具有市场信用风险相关性的投资组合选择

在这种情况下，使用定理3.7证明中等式（57）给出的Feynman-Kac表示，我们得到f（t，y，e>n）=eK1级-qρeRtβ-1^（s，^Yy，ns，e>n）ds+ZtK1-qβ-1f1-β（s，^Yy，ns，e>n）eRsβ-1^1（u，^Yy，nu，e>n）哑弹.那么，对于j=1，m、 根据等式（46）和支配收敛定理，我们得到了dyjf（t，y，1）=E“K1-qρeRtβ-1Д（s，^Yy，ns，e>n）dsZtβ-1mXi=1DyiД（s，^Yy，ns，e>n）φij，nsds#+e“ZtK1-qβ-1(1 - β） f级-β（s，^Yy，ns，e>n）mXi=1Dyif（s，^Yy，ns，e>n）φij，nseRsβ-1Д（u，^Yy，nu，e>n）duds#+e“ZtK1-qβ-2f1-β（s，^Yy，ns，e>n）eRsβ-1Д（u，^Yy，nu，e>n）duβ-1ZsmXi=1DyiД（u，^Yy，nu，e>n）φij，nudu！ds#。上面，φij，kt：=φij，zt当z=0j，。。。，JK和k∈ {0，1，…，n}。在假设（A2）-（A3）下，DyИ（·，e>n）在D上有界，我们记得（43）中定义了И（y，z）。利用估计（46），在假设（A1）-（A3）下，利用定理3.7中改进的经典解F的有界性，我们推导出常数C>0的存在性，从而Dyjf（t，y，e>n）≤ CZtmXi=1Eφij，nsds+CZtZsmXi=1Eφij，nududs+CZtmXi=1EDyif（s，^Yy，ns，e>n）φij，nsds。在下面的估计中，我们继续使用C=C（m，n，T）表示一个与m，n和T可能不同的直线之间的有限正常数。使用H¨older不等式和Jensen不等式，mXj=1Dyjf（t，y，e>n）≤ CZtmXi，j=1Eφij，nsds+CZtmXi=1EDyif（s，^Yy，ns，e>n）nXj=1Eφij，nsds公司≤ CZtmXi，j=1Eφij，nsds+CZtsup（u，y）∈[0，s]×DmXj=1Dyjf（u、y、e>n）nXi，j=1Eφij，nsds公司≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt+ C支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，ntZtsup（u，y）∈[0，s]×DmXj=1Dyjf（u、y、e>n）ds。然后，从Gronwall引理，我们使用（66）thatsup（t，y）得到∈[0，T]×DDyf（t，y，e>n）≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt经验值CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt. （67）（II）0≤ k≤ n- 1，即z=0j，。。。，jk和股票j，jkare默认值。在这种情况下，使用等式中的PDE表示。

（50），我们获得以下Feynman Kac代表FJ，。。。，jk（t，y）=EK1级-qρeRtβ-1хj，。。。，jk（s，^Yy，ks）ds+ EZtΦj，。。。，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））eRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）哑弹,其中函数Φj，。。。，jk已在公式（51）中定义。那么，对于j=1，m、 我们使用估计（46）和支配收敛定理DYJFj，…，得到，。。。，jk（t，y）=E“K1-qρeRtβ-1хj，。。。，jk（s，^Yy，ks）dsZtβ-1mXi=1DyiДj，。。。，jk（s，^Yy，ks）φij，ksds#+E“ZtΦj，…，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））×β-1ZsmXi=1DyiДj，。。。，jk（u，^Yy，ku）φij，kudu！eRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）duds#+E“ZtmXi=1DyiΦj，…，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））φij，kseRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）duds#（68）+E“ZtDvΦj，…，jk（t，^Yy，ks，fj，…，jk（s，^Yy，ks））mXi=1Dyifj，…，jk（s，^Yy，ks）φij，kseRsβ-1хj，。。。，jk（u，^Yy，ku）duds#。使用（51）中给出的Φ表达式，我们可以计算yiΦj，。。。，jk（t，y，v）=β-1v1-β“Xj/∈{j，…，jk}βfβ-1j，。。。，jk，j（t，y）Dyifj，。。。，jk，j（t，y）×1+^hj；jjk（t，y）qλj；jjk（y）+Xj/∈{j，…，jk}fβj，。。。，jk，j（t，y）Dyi[1+^hj；jjk（t，y）qλj；jjk（y）]#，和dVΦj，。。。，jk（t，y，v）=β-1(1 - β） 五-β(69)K1级-q+Xj/∈{j，…，jk}fβj，。。。，jk，j（t，y）1+^hj；jjk（t，y）qλj；jjk（y）.式（68）以及式（69）中给出的导数表达式表明，导数之间也存在递归依赖关系，即术语Dyfj，。。。，JK取决于Dyfj，。。。，jk，jforj/∈ {j，…，jk}。（I）中的分析表明，当所有股票都违约时，梯度Dyf是有界的。接下来，我们继续归纳并假设sup（t，y）∈[0，T]×DkDyfj，。。。，jk，j（t，y）k<+∞对于j/∈ {j，…，jk}。然后我们要证明sup（t，y）∈[0，T]×DkDyfj，。。。，jk（t，y）k<+∞. 首先，请注意^hj，。。。，jk（·）∈ Θθ C0,1b。根据假设（A3），这意味着（1+^hj；j，…，jk）q∞≤1+^hj；jjk公司q∞如果q∈ （0，1）和（1+^hj；j，…，jk）q∞≤ 对于某些ε>0的情况，εqif q<0。

还使用假设（A3）、公式（46）在假设（A2）-（A3）下给出的估计以及定理3.7中证明的经典解f的有界性，它认为Φj，。。。，jk（t，y，fj，…，jk（t，y）），kDyΦj，。。。，jk（t，y，fj，…，jk（t，y））k和DvΦj，。。。，jk（t，y，fj，…，jk（t，y））都有界。因此，对于j=1，m、 我们有Dyjfj，。。。，jk（t，y）≤ CZtmXi=1Eφij，ksds+CZtZsmXi=1Eφij，kududs+CZtmXi=1EDyifj，。。。，jk（s，^Yy，ks）φij，ksds。利用H¨older不等式和Jensen不等式，可以得出Dyfj，。。。，jk（t，y）≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，nt+ CZtE公司Dyfj，。。。，jk（s，^Yy，ks）mXi，j=1Eφij，ksds公司≤ CT支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，kt+ C支持∈[0，T]mXi，j=1Eφij，ktZtsup（u，y）∈[0，s]×DDyfj，。。。，jk（u，y）ds。然后通过Gronwall引理和估计（66），我们得到了sup（t，y）∈[0，T]×DkDyfj，。。。，jk（t，y）k<+∞. 这就完成了证明。23.3验证结果本节给出了对偶问题的验证定理（31）。在证明这个定理之前，我们记得f（t，y，z）是偏微分方程递归系统（44）的唯一正有界经典解，而（40）给出的^a（t，y，z）是对应的一阶条件系统的解。还记得^h（t，y，z）由（41）给出。我们将随机控制问题（31）的值函数定义为f（T，y，z）：=Ξ（a，h）∈MEq、a、hK1级-qeRTψ（s，as，hs，Ys，hs）ds+K1-qZTeRtψ（s，as，hs，Ys，hs）dsdt, （70）对于给定的初始条件（Y，H）=（Y，z）∈ 那么，我们有下面的命题3.9。在假设（A1）-（A3）下，以下陈述成立（I）Let^at=^a（T- t、 年初至今-, Ht公司-) 和^ht=^h（T- t、 年初至今-, Ht公司-) 对于t∈ [0，T]。然后（^a，^h）∈ M、 （II）值函数F（T，y，z）=Fβ（T，y，z），β=1-第一季度-qρ。特别地，马尔可夫反馈控制（^a，^h）=（^at，^ht）t∈（I）中给出的[0，T]是（70）中的最优控制。证据我们首先证明（I）。

回想一下g（t，y，z），（t，y，z）∈ [0，T]×D×S，是HJBequation（42）的解。然后g（t，y，z）=fβ（t，y，z），其中β=1-第一季度-qρ。因此，使用（40），可以得出^a（t，y，z）=-p1级- ρ1 - qσ>（y）Dyg（t，y，z）g（t，y，z）=-p1级- ρ1 - qβσ>（y）Dyf（t，y，z）f（t，y，z）。由于f及其梯度分别由定理3.7和命题3.8有界，我们得到了每个状态z的有界性∈ S、 sup（t，y）∈[0，T]×Dk^a（T，y，z）k≤ Csup（t，y）∈[0，T]×DkDyf（T，y，z）kK（z）<∞. （71）另一方面，到（41），我们有^h∈ ΘθwhileΘθ C0,1b使用假设（A3）。因此，与估计（71）一起，它意味着（I）中给出的（^a，^h）属于空间M。接下来，我们转向（II）的证明。根据公式（38），我们可以确定（a，h）的哈密顿量ψ（a，h；t，y，z）∈ Rn×(-1.∞)nand（t、y、z）∈ [0，T]×D×S，由式（38）的r.h.S.给出。可以很容易地验证ψ（^a，^h；t，y，z）=Ξ（a，h）∈B×Θθψ（a，h；t，y，z）表示（t，y，z）∈ [0，T]×D×Sa。s、 然后，将It^o公式应用于g（T- t、 注意到g（t，y，z）满足HJBequation（42），在p.m.Pq，^a，^h下，我们得到t+^Aηt+ψ（t，^at，^ht，Yt，ht）g（T- t、 Yt，Ht）=-K1级-q、 t型∈ [0，T），（72），其中系数ψ由（32）给出，运算符^Aη定义为^Aηtl（T，y，z）：=tr（σσ>Dyl）（t，y，z）+ η（^at；t，y，z）>Dyl（t，y，z）（73），其中l（t，y，z）表示固定（t，z）∈ [0，T]×S。注意g（0，y，z）=K1-qfor all（y，z）∈ 然后，等式F（T，y，z）=g（T，y，z）遵循费曼-卡克公式和等式（72）。2标记3.10。对于某些（a，h）∈ M、 过程Γq，a，h=（Γq，a，ht）t∈（29）定义的[0，T]可能不是（P，G）-鞅。然而，因为θ∈ C和（a，h）∈ M、 我们有（θ（·，z），h（·，z））areC0，1b和h（t，y，z）∈ (-1 + ε, ∞)对于一些ε∈ (0, 1). 用M={（a，h）定义Mof M的子集∈Ma有界}。

然后，满足了Novikov条件，因此过程Γq，a，his a（P，G）鞅为all（a，h）∈ M、 由于命题3.9，它认为inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ），因为命题3.9中给出的最优控制^a确实是有界的（即，（^a，^h）∈ M） 。这意味着在约束优化问题（33）中，我们可以用M替换可容许策略集M。因此，我们可以在假设Γq，a，his a（P，G）-鞅的情况下解决问题（33）。4最优投资/消费策略在本节中，我们推导了可容许的最优交易策略，表示为^πt=（^πit）>i=1，。。。，n、 t型∈ [0，T]，以及由^ct，T表示的容许最优消耗过程∈ [0，T]。这是通过利用命题3.3中提供的原始-对偶关系来实现的。我们开始召回数量（^a，^h）∈ M由命题3.9给出。让密度过程Γ^a，^ht，t∈ [0，T]，由（16）和（a，h）给出∈ M替换为（^a，^h），F^a，^h（T，y，z）由（70）定义为（a，h）替换为（^a，^h）。然后使用命题3.9中给出的验证结果，F^a，h（T，y，z）=g（T，y，z）=Fβ（T，y，z）。函数g（t，y，z）和f（t，y，z）分别是等式（42）和等式（44）的唯一正有界经典解，其中β=1-第一季度-qρ。我们也叫数量Ii（y）=K1-qiyq公司-1，i=1，2，y∈ R+，见第3.1节。使用命题3.3，在初始条件（X^π，^c，Y，H）=（X，Y，z）下∈ R+×D×S，最优终端财富由x^π，^cT=I^κ，^hTBT=K1级-qxF^a，^h（T，y，z）Γa，^hTBT！q-1，（74），最优消耗过程由^ct=I^κΓa，^htBt=K1级-qxF^a，^h（T，y，z）Γa，^htBt！q-1，t∈ [0，T]，（75）式中，^κ=（F^a，^h（T，y，z）x）1-q、 接下来，我们要建立投资者的最优容许交易/消费过程（^π，^c）。

我们的目标是为满足式（14）中给出的动力学的最优财富过程提供表示。这将通过等式（74）中给出的最优终端财富表达式以及消费过程（75）来实现。我们开始定义下一步：=BtE^a，^h“X^π，^cTBT+ZTt^CSBSDGt#，t∈ [0，T]。使用g（0，y，z）=K1-q、 Cox和Huang（1989）中的引理2.5，我们有，对于t∈ [0，T]，^XtBt=xg（T，y，z）Γa，^htEK1级-qΓ^a，^hTBT！q+K1-qZTtΓ^a，^hsBs！qds燃气轮机=xg（T，y，z）Γ^a，^htE“GT- K1级-qZtΓ^a，^hsBs！qdsGt#。（76）在上述表达式中，对于t∈ [0，T]，我们定义了流程gt：=K1-qZtΓ^a，^hsBs！qds+a、htBt！qg（T- t、 Yt，Ht）。（77）我们在附录中证明了以下引理。引理4.1。过程G=（Gt）t∈式（77）中定义的[0，T]是一个正（P，G）-鞅。使用引理4.1和公式（77），我们可以将公式（76）改写为^XtBt=xg（T，y，z）Γ^a，^ht“Gt- K1级-qZtΓ^a，^hsBs！qds#=xg（T，y，z）Γ^a，htΓa，htBt！qg（T- t、 Yt，Ht）=xg（t，y，z）Γ^a，^htq-1Bqtg（T- t、 Yt，Ht）。（78）然后，使用等式（75）和上述表达式，可以根据时间t最优财富将最优消费过程写成^ct=K1-qxg（T，y，z）^Xtxg（T，y，z）g（T- t、 Yt，Ht）=K1-q^Xtg（T- t、 Yt，Ht），t∈ [0，T]。（79）为了实现我们表达动力学d的目标^XtBt+^ctBtdt在形式（14）中，我们首先推导了^XtBt的动力学。这是在附录中证明的下列引理中完成的。引理4.2。上面写着“D^XtBt！”=xg（T，y，z）（Γ^a，^ht）q-1Bqt- K1级-qdt+g（T- t、 Yt，Ht）×(1 - q） θ>t+ρDyg（t- t、 Yt，Ht）>σ（Yt）g（t- t、 Yt，Ht）dWθt（80）+xg（T，y，z）（Γ^a，^ht-)q-1Bqt-g（T- t、 Yt，Ht-)nXi=11+^命中-q-1g（T- t、 年初至今，命中-)g（T- t、 Yt，Ht-)- 1.dM^h，it。以上，用于t∈ [0，T]，Wθtand M^h，对于i=1。

，n在（15）中定义，h替换为^h。使用上述动力学以及方程（14）和（75），我们获得了最佳反馈策略的以下特征。对于（t，y，z）∈ [0，T]×D×S，定义∧θ，^h（T，y，z）：=（1- q） θ（t，y，z）>+ρDyg（t- t、 y，z）>σ（y）g（t- t、 y，z），Jθ，^hi（t，y，z）：=1- （1+^hi（t，y，z））q-1g（T- t、 y，’zi）g（t- t、 y，z），i=1，n、 （81）和Jθ，^h（t，y，z）=（Jθ，^hi（t，y，z）；i=1，n） >。提案4.3。假设（A1）-（A3）成立。假设存在a^h∈ Φθ，例如Jθ，^h（t，y，z）>σ（y）=∧θ，^h（t，y，z）。然后，G-可预测最优反馈策略^πt=^π（t，Yt-, Ht公司-), t型∈ [0，T]，由^π>Tσ（Yt）给出-) =(1 - q） θ（t，Yt-, Ht公司-)>+ ρβDyf（T- t、 年初至今-, Ht公司-)>σ（Yt-)f（T- t、 年初至今-, Ht公司-)诊断（1- 打-; i=1，n） ，πit=“1- （1+^hi（t，Yt-, Ht公司-))q-1.f（T- t、 年初至今-,“”命中-)f（T- t、 年初至今-, Ht公司-)β#(1 - 打-), i=1，n、 （82）其中β=1-第一季度-qρ和f（t，y，z）是PDEs（44）递归系统的唯一经典解。让我们分析一下（82）中第一个等式给出的最优投资策略的结构。在右侧，第一个部分是所谓的近视部分，其功能形式与经典默顿模型中的功能形式相同，但经过调整也反映了即将到来的信贷风险。第二部分是由随机因素和股票价格的相关运动（相关系数ρ6=0）产生的超额套期保值需求。证据利用引理4.2和等式（78），我们得到了byd^XtBt+^ctBtdt=^Xt-英国电信-!∧θ，^h（t，Yt-, Ht公司-)dWθt- Jθ，^h（t，Yt-, Ht公司-)>dM^ht, （83）其中∧θ，^h（t，y，z）和Jθ，^h（t，y，z）在（81）中定义。对于^h∈ Φθ，我们让可预测过程π^h满足系统（82）。这进一步给了thatd^XtBt+^ctBtdt=^Xt-英国电信-（π^ht）>σ（Yt）dWθt- dM^ht. （84）然后直接比较公式。

（84）和式（14）表明，最佳反馈策略由π^h给出，其中我们还使用了g（T- t、 y，z）=fβ（t- t、 投资者持有的股票在违约后的财富收益率为零。另一方面，利用单纯形3.2和假设（A3），可以得出原始问题v（x，y，z）的值函数≤ inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）≤ ∏（^a，^h，^κ），其中^at=^a（t，Yt-, Ht公司-) 由（40）给出^a，由（75）给出^κ，且^ht=^h（t，Yt-, Ht公司-) 带^h∈ 上述Φθ。根据（23）、（18）、（75）和（84），直接计算得出∏（^a，^h，^κ）=V（x，y，z）。因此，它认为inf（a，h）∈M、 κ>0∏（a，h，κ）=∏（^a，^h，^κ）。这表明^h∈ Φθ满足上述要求（41）。Wenext验证上述策略π^h=（π^ht）t∈[0，T]是允许的。利用（82）中的第一个等式以及定理3.7和命题3.8，我们推断E[RTk（π^ht）>σ（Yt）kdt]<+∞根据假设（A1）-（A3）。利用（82）中的第二个等式和定理3.7，我们得到pni=1E[RT |π^h，it |λi（Yt，Ht）dt]<+∞. 此外，在假设（A1）-（A3）下，它保持π^h∈ (-∞, 1） 对于每个i=1，n、 因此，策略π^可以作为特定定义2.1接受。因此，^π：=π这是最优反馈策略。2标记4.4。G-可预测最优反馈策略^πt=^π（t，Yt-, Ht公司-), t型∈ （82）给出了[0，T]。观察HJB方程（42）的解g（t，y，z）=fβ（t，y，z）也依赖于h∈ Φθ. Michelbrink和Le（2012）考虑了一个具有跳跃微分动力学但没有随机因素的最优投资组合问题，并使用鞅方法进行了求解。在没有随机因素和违约传染的情况下，（81）中定义的函数减少到∧θ，^h（t，z）=（1-q） θ（t，z）>和Jθ，^hi（t，z）=1-（1+^hi（t，z））q-分别为1。

因此，方程Jθ，^h（t，z）>σ=∧θ，^h（t，z）的形式与Michelbrink和Le（2012）的推论1中的形式相似（选择ξ=σ，γi=1）。在没有违约风险的情况下，f（t，y，’zi）=f（t，y，z）=f（t，y），因此我们有^h（t，y，z）=0。因此，对于i=1，…，Jθ，0i（t，y，z）=0，n、 （83）中的默认鞅部分消失。比较dM^h=0（无违约风险）时的动力学（83）和（14），我们推断出最优策略由^π>t给出=(1 - q） θ（t，Yt）>+ρDyg（t- t、 Yt）>σ（Yt）g（t- t、 Yt）σ-1（Yt），其中g（t，y）是HJB方程的解，对应于相同的最优控制问题，但忽略违约风险。当n=1时，我们恢复了Castaneda Leyva和Hernandez Hernandez（2005）的最优策略（见他们论文的最后一节，并选择一维随机因子的波动率函数为常数）。备注4.5。我们提出了一个专门化的框架，在这个框架中可以显式地计算最优策略和值函数。投资组合模型由一只风险股票（n=1）和一个恒定的一维因子Y组成。在这个设置中，我们得到了forEq的闭式解。（44），显式依赖于h=^h。函数f满足以下伯努利方程：f（t，1）=Д（t，1）βf（t，1）+Kβf1-β（t，1），f（t，0）=Д（t，0）βf（t，0）+Kβ+fβ（t，1）（1+h（t，0））qλ（0）βf1-β（t，0），初始条件分别由f（0，1）=f（0，0）=K（1）给出-q） /β=K（因为β=1- q） 。方程的系数由ν（t，1）：=q（q）给出- 1） θ（t，1）- qr=q（q- 1)ξ- qr，Д（t，0）：=q（q- 1） θ（t，0）- qr+[q- 1.- q（1+h（t，0））]λ（0）。如果股票已经默认（z=1），我们有θ（t，1）≡ ξ = σ-1(u - r） ，即等于风险的市场价格。因此，我们可以取h（t，1）=0，因为如果股票违约已经发生，违约强度不起任何作用。在z=0的状态下，即。

当股票还活着时，我们得到了空气（θ（t，0），h（t，0））满足方程ξ- θ（t，0）=σ-1λ（0）h（t，0）。因此，上述系数可重写为Д（t，1）≡ ^1（1）：=q（q- 1)ξ- qr，（85）Д（t，0）：=q（q- 1） λ（0）2σh（t，0）- qλ（0）（q）- 1)ξσ+ 1h（t，0）- qr码- λ（0）+q（q- 1)ξ.定义f（t，z）=f（t，z）1/β，z=0，1。然后，对于z=0，1，~f（t，z）用初始数据~f（0，1）=~f（0，0）=Kβ满足线性ODE，并且~f（t，1）=Д（1）~f（t，1）+Kβ，~f（t，0）=Д（t，0）~f（t，0）+Kβ+~f（t，1）（1+h（t，0））qλ（0）。（86）对于t∈ [0，T]，设x（T）：=1+~h（T，0），其中设置~h（T- t、 0）=h（t，0）。然后我们可以将（85）中给出的系数Д（t，0）重写为Д（t，0）=Д（x（t- t） ）：=ax（t- t） +bx（t- t） +c，（87），其中常数a：=q（q-1） λ（0）2σ，b：=q（1-q） λ（0）σ+qλ（0）（（1-q） ξσ-1） 和c：=qλ（0）（（q-1)ξσ+1) - qr码- λ（0）+q（q-1） ξ+q（q-1)λ(0)2σ. （86）中第二个方程的闭式解由▄fx（t，0）=eRtД（x（t-s） ）ds中兴通讯-卢比（x（T-v） ）dvKβ+`（s）x（T- s） qds+Kβ.在上述表达式中，`（t）：=λ（0）~f（t，1）=λ（0）eД（1）tKβRte-^1（1）vdv+Kβ对于t∈ [0，T]，它独立于x（T）。修复t∈ [0，T]并设u=T-现在是成熟的时候了。然后，命题4.3中的非线性方程Jθ，h（t，0）σ=∧θ，h（t，0）减少了tox（u）=ba+`（u）afx（u，0）x（u）β，（88），其中a：=βλ（0）σ和b：=λ（0）β（ξσ+λ（0））-σσ. 我们考虑q=0且▄b>0的情况，这对应于具有对数效用的投资者。设ε：=▄b/▄a和I：=【ε，∞). 对于所有y∈ CI：=CI（[0，T]），定义CI上的连续映射：F（y）（u）：=ε+~a-1年（u）-β`（u）e-库鲁-反恐精英Kβ+`（s）ds+Kβ。我们的目标是证明F（x）的唯一固定点的存在。对于任何y，y∈ CI，它保持| F（y）（u）- F（y）（u）|=`（u）~ae-铜y（u）-β- y（u）-β后悔-反恐精英Kβ+`（s）ds+Kβ≤`（u） aβε-β-1 | y（u）- y（u）| Ruec（u-s）Kβ+`（s）ds+ecuKβ：=G（u）| y（u）- y（u）|。注意，`（t）在t上有界∈ [0，T]。