具有市场信用风险相关性的投资组合选择

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英文标题：
《Portfolio Choice with Market-Credit Risk Dependencies》
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作者：
Lijun Bo and Agostino Capponi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study an optimal investment/consumption problem in a model capturing market and credit risk dependencies. Stochastic factors drive both the default intensity and the volatility of the stocks in the portfolio. We use the martingale approach and analyze the recursive system of nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated with the dual problem. We transform such a system into an equivalent system of semi-linear PDEs, for which we establish existence and uniqueness of a bounded global classical solution. We obtain explicit representations for the optimal strategy, consumption path and wealth process, in terms of the solution to the recursive system of semi-linear PDEs. We numerically analyze the sensitivity of the optimal investment strategies to risk aversion, default risk and volatility.
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中文摘要：
我们研究了一个捕获市场和信用风险依赖关系的模型中的最优投资/消费问题。随机因素驱动投资组合中股票的违约强度和波动性。我们使用鞅方法分析了与对偶问题相关的非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程的递推系统。我们将这样一个系统转化为一个半线性偏微分方程的等价系统，并建立了该系统有界全局经典解的存在唯一性。通过求解半线性偏微分方程递归系统，我们得到了最优策略、消费路径和财富过程的显式表示。我们数值分析了最优投资策略对风险规避、违约风险和波动率的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Portfolio_Choice_with_Market-Credit_Risk_Dependencies.pdf (687.33 KB)

2022-6-14 01:23:04 上传

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关键词：投资组合选择 信用风险 投资组合 相关性 Mathematical

具有市场信用风险依赖性的投资组合选择李俊波*Agostino Capponi+2018年6月20日摘要我们在一个模型中研究了一个最优投资/消费问题，该模型捕捉了市场和信用风险的相关性。随机因素驱动投资组合中股票的违约强度和波动性。我们使用鞅方法分析了与对偶问题相关的非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程的递推系统。我们将这样一个系统转化为一个半线性偏微分方程的等价系统，并由此建立了有界全局经典解的存在性和唯一性。通过求解半线性偏微分方程递归系统，我们得到了最优策略、消费路径和财富过程的显式表示。我们数值分析了最优投资策略对风险规避、违约风险和波动率的敏感性。AMS 2000科目分类。91G10、91G40、60J20关键单词。投资/消费问题、随机因素、鞅方法、PDEs1递归系统介绍投资组合优化问题，起源于Merton（1971）的开创性工作，一直是大量研究的主题。重要的发展包括交易约束的影响（参见Cvitani\'c（2001）的调查）、随机波动性的纳入，参见InstanceFuque et al.（2017）和远期效用法（参见Musiela和Zariphopoulou（2006））来模拟代理人随时间变化的偏好。默顿（1971）对数正态假设的最直接扩展是随机因素模型。这种模型能够捕捉价格过程的经验观察特征，并已成功应用于多种情况，包括随机利率（如Brennan和Xia（2000））、单个股票的平均回报率（如。

Bielecki和Pliska（1999）），以及随机波动率（例如Castaneda Leyva和HernandezHernandez（2005）；Fouque等人（2017年））。我们还参考了Zariphopoulou（2009）对随机因素模型的卓越概述。本文的目的是引入一个信贷投资组合框架，以评估系统和宏观经济因素对投资者最优投资组合策略的联合影响。据我们所知，我们的模型是第一个以可处理的方式将随机波动性和系统性风险对最优投资组合配置的影响结合起来的模型。之前的工作主要集中在上述随机波动率模型、基于相互作用强度的直接传染模型（如Bo和Capponi（2016）、Bo和Capponi（2017）以及Jarrow和Yu（2001）），以及通过暴露于系统因素的违约相关性（如Callegaro et al.（2012））。上述研究均未考虑市场和信贷风险对*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，西安电子科技大学数学与统计学院，中国Xi 710071，中国科技大学数学科学学院，中国合肥230026。+电子邮件：ac3827@columbia.edu，美国纽约州纽约市哥伦比亚大学工业工程与运营研究系，10027。最优投资。然而，实证研究表明，这两种风险的相互作用起着关键作用。有充分的证据表明，股票收益波动率是随机的（例如Bollerslev et al.（1994）；Ghysels等人（1996年））；此外，有证据表明，公司的信贷利差与股权回报波动率呈正相关（例如Campbell等人（2003年））；Bakshi等人。

(2006)).在定价领域，Bayarakhtar和Yang（2011）、Carr和Wu（2009）、Carr和Linetsky（2006）和Mendoza等人（2010）提出了以违约强度对资产可用性的依赖性为特征的模型规范，但仅适用于由单个实体承销的证券。Mendoza和Linetsky（2016）将分析扩展到了一个多名称信贷权益模型。巴塞尔协议（2009）也强调了信贷市场风险相关性的重要性，该协议为信贷市场风险相关性在宏观层面和微观层面的相互作用（单个银行风险对不同风险因素的敏感性）提供了经验证据。文献的一个相关分支分析了由违约风险敏感资产组成的投资组合中的最优投资问题。Bielecki和Jang（2006）考虑了由股票和债券组成的投资组合，但假设其价格过程是独立的，因此忽略了市场信用风险相关性。Pham（2010）和Jiao等人（2013）研究了由多个违约风险证券组成的投资组合模型中的最优投资。他们使用有限反向归纳法，将放大过滤下定义的原始控制问题（包括违约事件信息）分解为参考过滤下的经典随机控制问题。Iftimie et al.（2016）在无风险利率过程可能经历突然跳跃的市场环境中，使用双重方法解决投资组合优化问题。Di Nunno和Sjursen（2014年）认为，当投资者能够访问不同的信息集时，可以对可违约资产进行最优投资。

他们为投资组合的存在找到了必要和充分的条件，该投资组合能够从终端财富中本地最大化预期投资者的效用。我们考虑一个具有电力公用事业的风险厌恶型投资者，他将财富分配到可违约股票和银行账户上。股票的违约强度不仅取决于其波动性，还取决于影响投资组合中其他股票波动过程的共同因素。这些因素为宏观经济变量的演变建模，这些变量影响投资组合的市场和信贷风险。此外，当投资组合中的其他股票违约时，每只股票的违约强度都会跳跃。经验表明，对于许多金融部门，如商业银行，如果其一些主要交易对手违约，实体的违约可能性可能会突然增加，另见Yu（2007）。我们的工作中有几个数学贡献。我们的投资组合分析采用马丁格尔方法来处理市场不完全性，如Karatzas和Shreve（1998）（第5章）以及Kramkov和Schachermayer（1999）。由于违约风险的存在，我们需要引入额外的控制过程来建立对偶随机控制问题。我们证明了对偶问题的值函数满足默认状态相关非线性模型的递归系统。利用Zariphopoulou（2001）提出的幂变换方法，我们将原始系统转化为一个半线性偏微分方程递归系统，其非线性系数仍然是非Lipschitz连续的。然后，我们采用两步方法来建立系统光滑解的存在性和唯一性。我们首先使用停止时间参数构建一个截断PDE系统。

这样的系统属于Becherer和Schweizer（2005）分析的半线性偏微分方程类，可以保证有界经典解的存在性和唯一性。利用偏微分方程经典解的概率表示，我们证明了截断系统与原始系统之间的等价性。我们进一步证明了递归系统解的梯度是有界的，并得到了最优容许投资策略、消费路径和财富过程的封闭形式表示。我们的论文也与Pham（2002）有关，Pham研究了随机波动下的最优投资问题。他讨论了经典解的存在性，并为原始问题的HJB方程的解提供了梯度估计。他的方法论无法处理哈密顿量中出现的额外跳跃到默认项。我们对模型设置的一个特例进行了数值研究，其中

我们在第2.2.2.1节中建立了投资者的首要问题模型投资组合模型由n≥ 2个可违约股票和一个无风险银行账户Btwithdynamics dBt=rBtdt，其中r>0是恒定利率。我们将T>0定义为最终视野，并考虑一个完整的过滤概率空间(Ohm, G、 G，P），其中G=F∨ H、 两个独立的n维标准布朗运动W=（Wit；i=1，…，n）>t∈[0，T]和\'W=（\'Wit；i=1，…，n）>T∈[0，T]生成过滤F：=（Ft）T∈[0，T]，其中Ft=σ（Ws，Ws；s≤ t） 。我们使用>表示转置运算符。默认状态由n维默认指示器进程H=（命中；i=1，…，n）t描述∈状态空间S={0，1}n的[0，T]，其中，如果资产i在时间T之前已默认，则Hit=1，否则Hit=0。第i个安全的默认时间由τi：=inf{t给出≥ 0; Hit=1}对于i=1，n、 对于t∈ [0，T]，西格玛代数Ht：=Wni=1Hit，其中Hit：=σ（His；s≤ t） ，包含截至时间t的股票违约事件信息。过滤H=（Ht）t∈[0，T]包含到目标水平线之前有关默认事件的所有信息。我们的模型由三个部分组成：随机因素、价格过程和信用模型。随机因素不仅影响价格的回报和波动性，还影响股票的信用风险。随机因素。这是宏观经济变量演变的简化模型。这些变量的例子包括利率、广义股价指数和经济活动或增长的衡量指标。这一因素推动了股价过程的漂移、波动和违约强度。考虑一个域（开放连接子集）D Rm。

过程Y=（Yt）t∈[0，T]被称为

因此，我们的默认模型属于Frey和RungGaldier（2010）提出的丰富的相互作用马尔可夫强度模型。价格过程。n种股票的价格过程向量表示为▄P=（▄Pit；i=1，…，n）>t∈[0，T]。对于t∈ [0，T]，第i个可违约股票的价格过程由▄Pit=（1）给出- 命中）坑，i=1，n、 （2）换言之，第i个股票的价格由τi的预设价格补足给出-, 并在时间τi跳到0，此后它将永远保持不变。违约前价格过程的动态P=（Pit；i=1，…，n）>t∈n个可违约股票中的[0，T]由dpt=diag（Pt）[（u（Yt）+λ（Yt，Ht））dt+σ（Yt）dWt]给出。（3） 在上面的表达式中，diag（Pt）是对角线n维方阵，其第i个条目为it。向量u是一个Rn值函数，矩阵σ是一个Rn×n值函数。此外，假设σ是可逆的，其逆表示为σ-1、向量λ（y，z）=（λi（y，z）；i=1，n） >是默认强度的向量。式（3）表示持有信用敏感股票的投资者以溢价率λ（Yt，Ht）补偿了所产生的违约风险。利用（2）、（3）和分部积分，我们得到了byd▄Pt=diag（▄Pt）给出的动力学-) [u（Yt）dt+σ（Yt）dWt- dMt]，（4）其中Mt=（Mit；i=1，…，n）>是一个纯跳跃（P，G）-鞅，对于i=1，n、 Mit：=命中-Zt公司∧τiλi（Ys，Hs）ds，t∈ [0，T]。（5） 满足（4）和（5）的连接过程（~P，H）可以按照类似于Capponi和Frei（2016）引理A.1的过程以迭代方式构建。为了完整性，我们接下来给出了过程的构造（|P，H）：Let（ξij）i，j=1，。。。，nbe独立标准指数分布随机变量。我们假设这些也独立于布朗运动（W，’W）。

我们首先考虑以下SDE，对于i=1，n、 d▄P0，it▄P0，it=（ui（Yt）+λi（Yt，0））dt+nXj=1σij（Yt）dWjt，▄P0，i=▄Pi>0。（6） 然后▄P0，i=（▄P0，it）t≥0是一个几何布朗运动，其系数取决于随机因子。假设初始时未发生违约，即H=0。我们将^τ定义为n只股票中任何一只违约的时间，即^τ：=mini=1，。。。，nτ1i，τ1i：=inft>0；Ztλi（Ys，0）ds≥ ξ1i, i=1，n、 对于i=1，n、 当t∈ [0，^τ）。此外，定义i：=arg mini=1，…，nτ1和定义P1，t=0≥ ^τ. 对于i∈ {1，…，n}\\{i}，考虑以下SDE:on t≥ ^τ，~P1，it=~P0，iτ+Zt^τP1，是（ui（Ys）+λi（Ys，0i））ds+nXj=1Zt^τ？P1，是σij（Ys）dWjs。（7） 我们使用0ito表示n维行向量，其条目为0，但第i个条目设置为1。可以很容易地看出，等式（7）允许一个唯一的正强解P1，iton t≥ ^τ. 此外，确定第二个默认时间^τ：=最小值∈{1，…，n}\\{i}τ2i，τ2i：=inft型≥ ^τ;Zt^τλi（Ys，0i）ds≥ ξ2i, 我∈ {1，…，n}\\{i}。继续类似于t的工艺构造（~Pt，Ht）∈ [0，^τ），我们设置▄Pit=▄P1，itforall i∈ {1，…，n}\\{i}和Ht=H^τ=0iif t∈ 此外，设i：=arg mini∈{1，…，n}\\{i}τ2i。更一般地，对于k=3，n、 第k个默认时间规定为^τk：=最小值∈{1，…，n}{i，…，ik-1} τki，τki：=inf（t≥ ^τk-1.Zt^τk-1λi（Ys，0i，…，ik-1） ds公司≥ ξki），i∈ {1，…，k}{i，…，ik-1}.默认名称i，ik-1在上述方程式中，按照与i和i类似的方式，通过迭代程序确定∈ {1，…，n}{i，…，ik-1} ，对于t≥ ^τk-1、考虑流程▄Pk-1，it=~Pk-2，i^τk-1+Zt^τk-1Pk-1，is（ui（Ys）+λi（Ys，0i，…，ik-1） ）ds+nXj=1Zt^τk-1Pk-1是σij（Ys）dWjs。在上面的表达式中，我们使用0i，。。。，ik-1表示其i，i。