具有市场信用风险相关性的投资组合选择

，n，Mq，h，it：=Mit-Zt公司∧τi（1+his）q- 1.λi（Ys，Hs）ds，t∈ [0，T]（35）是鞅。因此，使用公式（1），我们可以重写Pq，a，hasdYt=η（at；t，Yt，Ht）dt+σ（Yt）下随机因子过程的动力学ρdWq，θt+p1- ρd'Wq，at. （36）在上述表达式中，对于（t，a，y，z）∈ [0，T]×Rd×D×S，漂移矢量由η（a；T，y，z）给出：=u（y）- qσ（y）ρθ（t，y，z）+p1- ρa. （37）我们首先使用启发式参数推导出对偶问题的HJB方程。然后，我们将验证HJB方程的解满足正则性条件，并且与对偶问题的值函数一致。利用公式（33）和动态规划原理，对于每个状态z，ifg（t，y，z）为Cin t和Cin y，它满足以下HJB方程：g（t，y，z）t=K1-q+trσσ>Dyg（t、y、z）+ Ξ（a，h）∈B×θ（g（t，y，z）q（q- 1） tr[（θθ>）（t，y，z）]- qr码+q（q- 1） g（t，y，z）tr[aa>]+η（a；t，y，z）>Dyg（t，y，z）+g（t，y，z）nXi=1（1+高）q- q（1+hi）+q- 1.(1 - zi）λi（y，z）+nXi=1g（t，y，’zi）- g（t，y，z）(1 - zi）（1+hi）qλi（y，z）, （38）初始条件g（0，y，z）=K1-qfor all（y，z）∈ D×S.在上述表达式中，对于i=1，n、 我们使用的是符号“zi：=（z，…，zi-1, 1 - zi，zi+1，zn），（39）即“Zi”是通过计算z的第i个分量来获得的。利用最优性的一阶条件，我们得出a满足q（q）给出的线性方程- 1） g（t，y，z）a- qp1- ρσ>（y）Dyg（t，y，z）=0，导致^a=^a（t，y，z）=-p1级- ρ1 - qσ>（y）Dyg（t，y，z）g（t，y，z）。（40）另一方面，我们设置^h=^h（t，y，z）∈ argΞh∈Θθ（q（q- 1） g（t，y，z）tr[（θθ>）（t，y，z）]+nXi=1g（t，y，\'zi）（1- zi）（1+hi）qλi（y，z）- qρ（σ（y）θ（t，y，z））>Dyg（t，y，z）+g（t，y，z）nXi=1q- 1.- q（1+hi）(1 - zi）λi（y，z）, （41）其中，如果p<0，argΞ表示“argmax”，如果p<0，argΞ表示“argmin”∈ (0, 1). 注意，对于任何θ∈ C、 式（30）中定义的集合Θθ是一个单态{h}。

根据Θzgiven的定义（A3），^h∈ C0,1带取间隔中的值(-1 + ε, ∞)对于某些ε>0。将上述表达式插入^ai，i=1，n、 在主HJB方程（38）中，我们得到以下非线性PDE：g（t，y，z）t=K1-q+trσσ>Dyg（t、y、z）+ ν（t，y，z）>Dyg（t，y，z）+g（t，y，z）Д（t，y，z）+q（1- ρ)2(1 - q） g级-1（t、y、z）σ> （y）Dyg（t，y，z）（42）+nXi=1g（t，y，’zi）（1- zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z），初始条件g（0，y，z）=K1-q、 对于（t，y，z）∈ [0，T]×D×S，上述方程中的系数由ν（T，y，z）：=u（y）定义- qρσ（y）θ（t，y，z），（43）Д（t，y，z）：=q（q- 1） tr[（θθ>）（t，y，z）]- qr+nXi=1[q- 1.- q（1+^hi（t，y，z））]（1- zi）λi（y，z）。备注3.5。式（42）定义了一个非线性偏微分方程的递归系统，其中依赖性增加，因为术语Pni=1g（t，y，’zi）（1）捕获的系统效应-zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z）。首先考虑所有n只股票都违约的情况，即默认状态为z=1。然后，上述条件变为零，这与直觉一致，即如果所有股票都已违约，则不会出现传染。接下来，考虑z=（0，0，…0 |{z}k项，1，1，…，1 |{z}n的情况-k项），即前k只股票仍然有效，剩余n只- 默认为k。然后，上述项将变成pki=1g（t，y，zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z）。因此，式（42）中PDE的解取决于集合{g（t，y，\'zi）}ki=1。此类集合包括形式为（42）的k个偏微分方程的解，但与默认状态“zi，i=1，…”相关，k、 其中第i个股票默认。这反映了一个事实，即投资者在确定其策略时，需要考虑在任何其他股票违约的状态下可实现的最佳预期效用。这一观察结果也将指导Eq的分析。

（42）在以下章节中。让我们分析等式（42）的结构。很容易看出，它包含一个由二次梯度的乘积和解的倒数给出的项。此外，与增强默认状态“zi”相关的偏微分方程的解呈非线性。我们的半线性PDE显示了类似于Bayarakhtar和Ludowski（2006）在保险领域分析的结构。在他们的案例中，PDE中的指数非线性来自死亡风险。我们的第一步是将其转换为半线性偏微分方程，去掉由二次梯度的乘积和解的倒数给出的项。这是通过采用Zariphopoulou（2001）开发的功率变换实现的，该变换允许我们将公式（42）简化为无二次梯度的非线性偏微分方程的草书系统。具体而言，我们寻求g（t，y，z）=fβ（t，y，z）形式的等式（42）的解，其中β6=0是需要确定的自由参数。在这个安萨兹，g级t=βfβ-1.ft、 Dyg=βfβ-1Dyf，Dyg=β（β-1） fβ-2Dyf（Dyf）>+βfβ-1Dyf。将上述导数表达式插入（42），我们得到f（t，y，z）t=K1-qβ-1f1-β（t，y，z）+trσσ>Dyf（t、y、z）+ ν（t，y，z）>Dyf（t，y，z）+β-1Д（t，y，z）f（t，y，z）+q（1- ρ)2(1 - q） β+（β- 1)f-1（t、y、z）σ> （y）Dyf（t，y，z）+ β-1f1-β（t，y，z）nXi=1fβ（t，y，zi）（1- zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z）。选择参数β=1- 第一季度- qρ，thenq（1-ρ)2(1-q） β+（β- 1） =0，产生以下半线性偏微分方程的递归系统f（t，y，z）t=trσσ>Dyf（t、y、z）+ ν（t，y，z）>Dyf（t，y，z）+β-1Д（t，y，z）f（t，y，z）+β-1f1-β（t，y，z）“K1-q+nXi=1fβ（t，y，’zi）（1- zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z）#（44），初始条件f（0，y，z）=K1-qβ=K1-qρ表示所有（y，z）∈ D×S.公式（44）仍然包含非Lipschitz连续的非线性项。

这阻止了将全局经典解的标准存在性和唯一性结果应用于半线性偏微分方程。我们的方法是通过首先开发一种截断技术来研究等式（44）的可解性，该技术将上述方程组简化为半线性偏微分方程，属于Becherrand Schweizer（2005）研究的一类。然后，我们利用经典解的概率表示，建立转换系统的解与原始系统的解之间的等价性。在继续分析偏微分方程系统（44）之前，我们需要一个辅助结果来保证潜在状态因子过程的存在性和唯一性。这在附录中证明的下列引理中给出。引理3.6。让z∈ S、 考虑以下由d^Yzt=ν（t，^Yzt，z）dt+σ（^Yzt）dWt给出的m维SDE，（45），其中Rm值漂移项ν已在式（43）中定义，并且在第2.1节中引入了P下的n维布朗运动W。对于每个（t，y）∈ [0，T]×D，设^Yt，y，z=（^Yt，y，zs）s∈[t，t]是方程（45）的强解，初始值为y，时间为t。在假设（A1）-（A3）下，^Yt，y，zexists，并且对于每个y都是唯一的∈ D、 此外，对于每个z，该解决方案不会在T之前保留dbe∈ S、 即P（^Yt，y，zs∈ D s∈ [t，t]）=1。回想一下^h∈ Θθ随θ∈ C、 以及假设（A3）。定义以下默认状态相关常数：(R)mθ（z）：=nXj=1kθj（·，z）k∞, \'mλi（z）：=（1- zi）1+^hi（·，z）∞, \'m^hi（z）：=（1）- zi）^hi（·，z）∞,其中z∈ S和klk∞:= sup（t，y）∈[0，T]×D | l（T，y）|对于任何有界连续函数l（T，y）定义on（T，y）∈ [0，T]×D。

将q<1用于（t，y，z）∈ [0，T]×D×S，它认为φ（T，y，z）< 0，如果q∈ (0, 1),> -[q（1-q） \'mθ（z）+qr+（1- q） Pni=1'mλi（z）+qPni=1'mλi（z）'m^hi（z）]，<q（q-1） \'mθ（z）- qr码- 如果q<0，则qPni=1？mλi（z）？m^hi（z）>-(1 - q） Pni=1？mλi（z）。（46）接下来，我们以更方便的形式重写等式（44），以便进行分析。为此，确定满足SDE（45）的扩散过程的微型发生器AZO。这取决于默认状态z∈ S并作用于D asAt上定义的任何C函数$，z$（y）：=tr（σσ>Dy$）（y）+ ν（t，y，z）>Dy$（y），y∈ D、 然后，我们可以将等式（44）改写为f（t，y，z）t=At，zf（t，y，z）+β-1Д（t，y，z）f（t，y，z）+Φ（t，y，f（t，y，z），z），（47），其中，对于（t，y，v，z）∈ [0，T]×D×R+×S，与解相关的非线性项为Φ（T，y，v，z）：=β-1v1-βK1-q+nXi=1fβ（t，y，’zi）（1- zi）（1+^hi（t，y，z））qλi（y，z）！。（48）以下定理证明了半线性偏微分方程互连系统（44）的有界全局经典解的存在性和唯一性。请注意，链接是通过非线性形式Φ（t，y，v，z）实现的，更具体地说，是通过依赖于默认变量“zi”实现的。定理3.7。在假设（A1）-（A3）下，半线性偏微分方程（44）的递归系统对于每个默认状态z都允许唯一的经典解f（t，y，z），即Cin t和Cin y∈ S、 此外，存在两个正的默认状态相关常数0<K（z）<K（z）<+∞使得f（t，y，z）∈ [K（z），\'K（z）]表示所有（t，y，z）∈ [0，T]×D×S.Proof。我们的证明策略基于一个递归过程，从默认状态z=1（即，所有股票都是默认的）开始，然后返回到默认状态z=0（即，所有股票都是活动的）。我们使用0表示由所有零项组成的行向量。我们还介绍了一般默认状态表示z=0j，。。。，指数j6=·············································································。

，n}，和k∈ {0，1，…，n}。通过设置条目j，j，…，可以获得这样的向量z，零向量的jk为1，即zj=···=zjk=1，对于j，zj=0/∈ {j，…，jk}（如果k=0，我们设置z=0j，…，jk=0）。显然是0j，。。。，jn=e>n，我们记得endenotes是由所有等于1的条目组成的n维列向量。（一） 在k=n的情况下，即z=e>n，所有股票都默认。在这种情况下，使用表达式（48），我们得到Φ（t，y，v，e>n）=K1-qβ-1v1-β. 将公式（47）专门化到此默认状态，我们得到f（t，y，e>n）t=At，e>nf（t，y，e>n）+β-1Д（t，y，e>n）f（t，y，e>n）+K1-qβ-1f1-β（t，y，e>n）（49），初始条件f（0，y，e>n）=K1-所有y的qρ∈ D、 使用估计（46）和设置Z=e>n，我们可以证明等式（49）允许唯一有界经典解。对于一般默认状态表示，下面将提供这一事实的详细证明。（二） 案例0≤ k≤ n- 1，即z=0j，。。。，JK和股票j，jkare默认值。设置解决方案fj，。。。，jk（t，y）：=f（t，y，0j，…，jk），运算符At，j，。。。，jk：=在，0j，。。。，jk，函数Дj，。。。，jk（t，y）：=Д（t，y，0j，…，jk），λj；jjk（y）：=λj（y，0j，…，jk）和Φj，。。。，jk（t，y，v）：=Φ（t，y，v，0j，…，jk）。然后fj，。。。，jk（t，y）求解以下半线性偏微分方程：V（t，y）t=At，j，。。。，jkV（t，y）+β-1хj，。。。，jk（t，y）V（t，y）+Φj，。。。，jk（t，y，V（t，y）），（50），其中，对于（t，y，V）∈ [0，T]×D×R+，Φj，。。。，jk（t，y，v）=β-1v1-β(51)×K1级-q+Xj/∈{j，…，jk}fβj，。。。，jk，j（t，y）（1+^hj；j，…，jk（t，y））qλj；jjk（y）.从式（50）的结构形式可以看出，fj……满足PDE，。。。，jk（t，y）还取决于解的序列（fj，…，jk，j（t，y））j/∈公式（44）的{j，…，jk}与默认状态z=0j，。。。，jk，j，代表所有j/∈ {j，…，jk}。

这将通过默认状态z在解决方案之间建立向后递归关系∈ 并指导我们以迭代反向方式求解等式（44）。具体而言，我们采用归纳法，首先假设/∈ {j，…，jk}，式（44）承认唯一有界经典解fj，。。。，jk，j（t，y）∈ [Kj，(R)Kj]当默认状态为z=0j，。。。，jk，j，其中0<Kj<Kj<+∞. 然后，我们证明了eq。（50）具有唯一的有界经典解V（t，y）=fj，。。。，jk（t，y）当z=0j，。。。，jk。该证明将基于一种适当设计的截断技术以及probabilisticFeynman-Kac表示。由于我们能够证明，对于基本归纳情形z=e>n，存在唯一的有界经典解，因此归纳证明是完整的。在续集中，我们严格执行了刚才讨论的步骤。我们从（II）开始。设mИ，qj，。。。，jkand'mИ，qj，。。。，jk表示当默认状态为z=0j，…，在等式（46）中获得的上下限，。。。，jk。定义，。。。，jk：=K1-qρexpnβ-1吨mИ，qj，。。。，jk公司∧ 0o、 `（t）：=表达式-β-1？mД，qj，。。。，jkto，(R)Kj，。。。，jk（t）：=`（t- t） 经验值Θ千焦，。。。，jk公司t型, t型∈ [0，T]，（52）其中，对于x>0，正函数Θ（x）：=β-1台-βK1级-q+Xj/∈{j，…，jk}Kβj（1+^hj；j，…，jk）q∞kλj；jjkk公司∞. （53）注意，根据假设（A3），我们得到了Θθ C0,1因此带^h（·，z）∈ C0,1bwithz∈ S、 那么（1+^hj；j，…，jk）q∞≤ k1+hj；jjkkq公司∞如果q∈ （0，1）和（1+^hj；j，…，jk）q∞≤ 对于某些ε>0的情况，εqifq<0。将以下截断应用于函数Φj，。。。，定义于（51）：对于（t，y，v）∈ [0，T]×D×R，Φ（K）j，。。。，jk（t，y，v）：=Φj，。。。，jk公司t、 y，（Kj，…，jk∨ 五）∧千焦，。。。，jk（t）.

（54）使用（51），并回顾β=1-第一季度-qρ>0（自ρ∈ (-1，1）和q<1），我们得到0<Φ（K）j，。。。，jk（t，y，v）≤ K1级-qβ-1.（千焦，…，千焦）∨ 五）∧千焦，。。。，jk（t）1.-β+ β-1.（千焦，…，千焦）∨ 五）∧千焦，。。。，jk（t）1.-βXj/∈{j，…，jk}Kβj（1+^hj；j，…，jk）q∞kλj；jjkk公司∞≤ Θ千焦，。。。，jk公司千焦，。。。，jk（t）。（55）考虑以下PDE，终端条件“V（K）（T，y）=K1-y的qρ∈ D、 和on（t，y）∈ [0，T）×D，0=？V（K）（t，y）t+At，j，。。。，jk'V（K）（t，y）+β-1хj，。。。，jk（t，y）(R)V（K）（t，y）+Φ（K）j，。。。，jk公司T- t、 y，V（K）（t，y）. （56）根据归纳假设fj，。。。，jk，j（t，y）∈ [Kj，\'Kj]是方程（44）在默认状态z=0j，…，下的经典解，。。。，jk，jwith j/∈ {j，…，jk}。然后，在假设（A1）-（A3）下，调用有界子域（D`）`∈n在（A1）中，我们有一个φj，。。。，jkis C.此外，Φ（K）j，。。。，jk（t，y，v）在[0，t]×D`×R上是Lipschitz连续的，在（t，y）上也是v上一致的Lipschitz∈ [0，T]×D。利用Becherer和Schweizer（2005）中的命题2.1，我们可以得出以下结论：。（56）承认一个唯一的经典解，该解承认以下Feynman-Kac表示‘V（K）（t，y）=EK1级-qρexpβ-1ZTtДj，。。。，jk（s，^Yt，y，ks）ds（57）+EZTtΦ（K）j，。。。，jk公司T- u、 ^Yt，y，ku，(R)V（K）（u，^Yt，y，ku）经验值β-1ZutДj，。。。，jk（s，^Yt，y，ks）ds杜邦.在上述表达式中，我们使用简化符号Yt，y，ks：=Yt，y，0j，。。。，jks，s∈ [t，t]，其中YT，y，ZS已在引理3.6中定义。由于β>0，使用等式（46）中的边界，我们得到了'V（K）（t，y）≥ EK1级-qρexpβ-1ZTtДj，。。。，jk（s，^Yt，y，ks）ds≥ EKR11-qρexpβ-1mх，qj，。。。，jk（T- t）≥ 千焦，。。。，jk。（58）另一方面，确定停车时间τ：=infs∈ [t，t]；(R)V（K）s、 ^Yt，y，ks≤\'\'K（T- s）. （59）那么，它显然认为V（K）τ、 ^Yt，y，kτ≤\'\'K（T- τ），P-a.s。。此外，使用公式。

（55）并调用（53）中定义的数量Θ（·），它认为Φ（K）j，。。。，jk公司T- s、 ^Yt，y，ks，(R)V（K）s、 ^Yt，y，ks≤Θ（Kj，…，jk）(R)K（T- s） 对于所有s∈ [t，t]。使用Feynman-Kac表示，我们得到'V（K）（t，y）=E(R)V（K）τ、 ^Yt，y，kτ经验值β-1ZτtДj，。。。，jk（s，^Yt，y，ks）ds+ EZτtΦ（K）j，。。。，jk公司T- u、 ^Yt，y，ku，(R)V（K）（u，^Yt，y，ku）经验值β-1ZutДj，。。。，jk（s，^Ys，y，ks）ds杜邦≤ E千焦，。。。，jk（T- τ）eβ-1？mД，qj，。。。，jk（τ-t） +Θ（Kj，…，jk）Zτt'Kj，。。。，jk（T- u） eβ-1？mД，qj，。。。，jk（u-t） 杜邦=千焦，。。。，jk（T- τ）`（t）- τ） +Θ（Kj，…，jk）Zτt'Kj，。。。，jk（T- u） `（t- u） du=`（t）expΘ千焦，。。。，jk公司（T- t）=千焦，。。。，jk（T- t） 。（60）使用（58）和（60），我们得到了kj给出的解V（K）（t，y）的以下界限，。。。，jk公司≤？V（K）（t，y）≤千焦，。。。，jk（T- t） ，则， （t，y）∈ [0，T]×D.（61）回想一下，V（T，y）是等式（50）的解。根据（54）和（61），Φ（K）j，。。。，jk（T-t、 y，’V（K）（t，y））=Φj，。。。，jk（T- t、 y，V（K）（t，y））表示所有（t，y）∈ [0，T]×D。根据等式（56）的经典解的唯一性，这将产生V（T，y）=V（K）（T- t、 y）。因此，我们得到了方程（50）的经典解V（t，y）的存在唯一性。此外，使用方程（52）和（61），我们也可以得到，对于所有（t，y）∈ [0，T]×D，Kj，。。。，jk公司≤ V（t，y）≤千焦，。。。，jk（t）≤ 经验值Θ（Kj，…，jk）- β-1.(R)mИ，qj，。。。，jk公司∧ 0T. （62）下一步，我们来看看案件的证明（I）。利用上述论点，修改式（52）中给出的常数定义就足够了。由于z=0j，。。。，jn=e>n，我们定义，。。。，jn：=K1-qρexpnβ-1吨mИ，qj，。。。，jn公司∧ 0o、 `（t）：=表达式-β-1？mД，qj，。。。，jnto，(R)Kj，。。。，jn（t）：=`（t- t） 经验值β-1K1-qK公司-βj，。。。，jnt, t型∈ [0，T]。（63）那么我们可以得出结论，等式（49）允许唯一的经典解f（t，y，1），并且进一步kj，。。。，jn公司≤ f（t，y，1）≤千焦，。。。，jn（t）≤ 经验值β-1.K1级-qK公司-βj，。。。，jn公司-(R)mИ，qj，。。。，jn公司∧ 0T. （64）这就完成了定理的证明。

2注意，（40）给出的一阶条件系统的解^a包括HJB方程解的梯度。因此，为了证明该策略是可接受的，我们需要估计等式（44）的有界经典解f（t，y，z）的梯度Dyf（t，y，z）。以下提案3.8给出了此类估计。在假设（A1）-（A3）下，存在一个有限常数C=C（m，n，T）（可能取决于m，n，T），因此sup（T，y）∈[0，T]×DkDyf（T，y，z）k≤ C表示每个默认状态z∈ S、 我们在此回顾，对于x，kxk：=Pmi=1xi∈ Rm。证据对于每个默认状态z，我们采用基于方程（44）的经典解f（t，y，z）的Feynman-Kac表示的概率方法∈ S、 回想强解^Yt、y、zs、S∈ [t，t]，在引理3.6中获得。设置^Yy，kt：=^Y0，y，zt用于t∈ [0，T]，当z=0j，。。。，jk，并使用^Yi，y，kt表示解向量^Yy，kt的第i个分量，对于i=1，m、 接下来我们估计^Yi，y，ztw的梯度。r、 t y公司∈ D、 为此，设φij，zt：=^Yi，y，ztyj对于i，j=1，m、 然后，使用Kunita（1997）第173-174页中的第4.6.5条，针对每个州z∈ S、 满足φij，zt=δij+mXl=1Ztνi（s，^Yy，zs，z）ylφlj，zsds+mXl=1nX`=1Ztσi`（^Yy，zs）ylφlj，zsdW\'s.（65）在证明的后半部分中，我们使用C=C（m，n，T）表示一个有限的正常数，它取决于m，n和T，这可能因行而异。根据假设（A2）-（A3），它认为φij，zt≤ δij+CZtmXl=1φlj，zsds+CnX`=1ZtmXl=1φlj，zs根据H¨older不等式，Eφij，zt≤ C+CRtPml=1Eφlj，zsds。然后，从Gronwall引理，得到∈[0，T]mXi，j=1Eφij，zt≤ CeCT。（66）接下来，我们根据默认状态变量z迭代估计梯度Dyf（t，y，z）∈ S、 在定理3.7的证明中，我们考虑了两种情况：（I）k=n，即所有股票都默认，z=e>n。