期权定价中的维度诅咒与最优解

既然V ar[Zk]=0，那么一个简单的归纳法证明了s thatbk∈ （0，1）且ak>0，则从straig Htfroward概率参数得出，zk+1=dmax0，B（黑色）×U（黑色）-akbk公司=数据库黑色（1-黑色）U（ak-akbk）、Chen和Goldberg：在期权定价和最优停止中击败维度诅咒完成Zk+1=dB（bk+1）×U（ak+1）的证明。然后，从马丁格尔性质得出所需的归纳。请注意，对ak+1和bk+1递归的定义意味着ak+1ak=bk+1bk=1-BK适用于所有k≥ 1、对于所有k≥ 1，akbk=ab=2，因此ak=2bk。从引理21得出{k×bk，k≥ 2} 是单调递增的，极限为2。当Zk=ak×bk=bk时，则{kZk，k≥ 2} 是单调递增的，限制为4。结合以上事实，Zkis-amartingale和引理1完成了证明。Q、 E.D.7.6。引理16的证明引理16的证明：回想一下fk（，δ）=102（k-1)-2（k-1） （T+2）k-1.1+对数（δ）+对数（）+对数（T）k-1，N（，δ）=2log（δ）. 因为很容易验证1<log（8），因此对于所有，δ∈ （0，1），N（，δ）≤8.5log（δ）和N（，δ）+1≤log（δ），我们的论点如下。N（，δ）+1×T+2×fk，δ4N（，δ）T最多为×log（δ）×（T+2）×fk，Δlog（δ）T≤×对数（δ）×（T+2）×102（k-1） （T+2）k-1()-2（k-1） 1+日志log（δ）Tδ+ 日志）+对数（T）！k-1.≤ 9×对数（δ）×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×16k-1×1+log（34）+2 log（）+log（δ）+log（Tδ）+log（4）+log（）+log（T）！k-1.≤ 9×对数（δ）×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×16k-1×10+3对数（）+2对数（δ）+2对数（T）！k-1.≤ 9×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×16k-1×10+3对数（）+2对数（δ）+2对数（T）！k≤ 10k+1×（T+2）k×-2k×102（k-1） ×102（k-1） ×1+对数（）+对数（δ）+对数（T）！k、 由fk+1进一步限定, δ自2k起-k+1+2（k-1） +2（k-1)= k-1.≥ 0.Q.E.D.7.7。

推论2的证明：定理2的证明：根据定理6和定理2，通过一个并界和一个不等式，可以分别逼近第一个 在Hi中，每一个都在一个可加的误差范围内，rChen和Goldberg：在期权定价和最优停止中击败维度诅咒-1概率为1- δ-1、计算平均成本后 值，并结合FK和一些简单代数的单调性，我们发现计算成本除以C+G+1最多Xi=1fi+1-1, δ-1.+  + 1.≤ f+1.,δ+  + 1.≤ 6-1f层+1.,δ≤ 6-12(3-1)()-2(3-1） （T+2）3-1.1+对数（δ）+对数（δ）+对数（T）3-1= 1018-26-1+1-12-1.-1（T+2）3-1.1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ 1018-2经验日志（6）（7）-1） +对数（）（13-1)（T+2）3-1×1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ 1018-2经验14-2+ 13-2.（T+2）3-1.1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1=经验值27+18对数（10）-2.（T+2）3-1.1+对数（3）+对数（6）+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（80-2)27-1T3-1.5+3对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（80-2)(500 0)-1T3-1.1+对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（100-2） T3-1.1+对数（）+对数（δ）+对数（T）3-1.≤ exp（100-2） T6-1× 23-1×1+对数（）+对数（δ）3-1自1+对数（）+对数（δ）+对数（T）≤ 2吨1+对数（）+对数（δ）≤ exp（100-2） T6-1× 23-1（e）3-1.1+对数（δ）3-1自1+对数（）+对数（δ）≤e1+对数（δ）≤ exp（100-2） ×T6-1×e6-1×exp3-1日志（）×1+对数（δ）3-1.≤ exp（200-2） ×T6-1×1+对数（δ）6-1、对基本模拟器调用次数的分析结果几乎相同，我们省略了细节。结合以上内容完成证明。Q、 E.D.7.8。定理9的证明我们首先证明一些辅助引理。

首先，我们限制截断引入的错误。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优停止引理中的维度诅咒》24。对于所有U>0,0≤[选择- U×supτ∈TE[ZU，τ]≤ （M） ×亩.证明：非负性源于w.p.1 Zt≥ 所有t的U×ZU、t∈ [1，T]。若要向另一个方向移动，则让τ*表示问题supτ的最佳停止时间∈TE【Zτ】，其中存在源自Chow和Ro-bbins（1963）。然后通过直接耦合和缩放，E[Zτ*] - U×E[ZU，τ*] ≤ EZτ*我Zτ*> U≤ EZτ*我最大值∈[1，T]Zt>U≤ E最大值∈[1，T]Zt×I最大值∈[1，T]Zt>U≤ （M） ×P最大值∈[1，T]Zt>U作者：Cauchy Schwarz≤ （M） ×亩利用马尔可夫不等式，完成了证明。Q、 接下来，我们证明，如果γ不是太大，那么optm不能太小。引理25。[选择≥× γ-1×M.证明：重新命名著名的Paley-Zygmund不等式，即对于任何δ∈ （0，1）和非负r.v.X，PX>δE【X】≥ (1 - δ） ×（E[X]）E[X]。（29）现在，对于δ∈ （0，1），考虑停止时间τδ，它第一次停止该Zt≥ δ×M，如果[1，t]中不存在该时间，则在t ime t停止。然后通过非负性和（29），E[Zτδ]≥ δ × (1 - δ） ×（M）M.在δ上进行优化（微积分中的一个简单例子），然后完成证明。Q、 通过组合引理24-25，我们得到了以下推论。推论5。对于所有U>0,0≤[选择- U×supτ∈TE[ZU，τ]≤× (γ)×亩×【OPT.Proof：引理25得出（M）【OPT.Proof】≤×（M）（M）=×（γ）。与引理24相结合，完成了Q.E.D.Chen和Goldberg的proo f.Q.E.D.Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维数诅咒我们现在完成了定理9的证明。定理9的证明：注意，对于所有U>0，supτ∈TE[ZU，τ]=1- infτ∈TE[Z1，-U、 τ]；（30）定理2暗示，对于所有U>0和k≥ 1,1 - E-U、 k级-k+1≤ supτ∈TE[ZU，τ]≤ 1.- E-U、 k。

（31）然后根据推论5和三角形不等式得出[选择- U×1.- E-U、 k+z≤× (γ)×亩×[选择+U×”|z |+（k+1）-1..此外，U[OPT=UM×M[OPT≤UM×M×（M）M=×γ×UM。结合上述三角不等式，γ≥ 通过Jensen不等式和一些简单的代数完成了证明。Q、 E.D.7.9。定理7的证明定理7的证明：回想一下U=10×γ×-2×M.让k= （UM）. 然后，从^A的定义、定理10、直向并集以及概率至少为1的三角形不等式的应用出发- δ、 ^A ret urns A随机数X s.t.| X- E-U、 k |≤ （UM）-. 因此，根据定理9，为了证明定理的第一部分（即算法返回一个具有规定保证的值），必须证明7×γ×嗯×2×（UM）-+ （UM）-≤ ，等于21γ（UM）-≤ . 自21γ（UM）-= 21 × γ×× γ× -2.-≤ ，结合上述内容完成证明。接下来，让我们证明关于运行时分析的第二部分。

回想一下fk（′，δ′）=102（k-1)× ′-2（k-1） ×（T+2）k-1×1+对数（δ′）+对数（′）+对数（T）k-1、Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维数诅咒仔细考虑了^A执行的所有操作，并应用定理10和变量函数的单调性，我们发现计算成本除以C+G+1等于16+（UM） ×4×f（UM）+1.（UM）+1-2, δ ×（UM）+1-1.+ （UM）≤ 10（UM）f（UM）+1.（UM）-3，δ（UM）-≤ 10×（UM）×108（UM）×4（UM）4（UM）×（T+2）2（UM）×1+log（4）+log（δ）+log（UM）+log（4）+3 log（UM）+log（T）2（UM）≤ 1025（UM）×T2（UM）×10+对数（δ）+5对数（UM）+对数（T）2（UM）自10年以来≤ 102（UM），（UM）≤ 10（UM）、44（UM）≤ 103（UM），（UM）12（UM）≤ 经验值12（UM）≤ 107（UM），（T+2）2（UM）≤ 10（UM）×T2（UM）≤ 1027（UM）×T2（UM）×1+对数（δ）+对数（UM）+对数（T）2（UM）≤ 10γ-6.×Tγ-3.×1+对数（δ）+4对数（10）+3对数（γ）+2对数（）+对数（T）γ-3.≤ 10γ-6.×Tγ-3.×1+对数（δ）+对数（γ）+对数（）+对数（T）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3.×1+对数（δ）+对数（γ）+对数（）+对数（T）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3×1+对数（δ）+对数（γ）+对数（）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3×1+对数（δ）+对数（γ）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3× (2γ)γ-3×1+对数（δ）γ-3.≤ 经验值γ-6.×Tγ-3×1+对数（δ）γ-3、对基本模拟器调用次数的分析几乎相同，我们省略了细节。结合以上内容完成证明。Q、 E.D.Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和最佳阻止认知作者g感谢Sid Banerjee、Erh an Bayraktar、Denis Be lo mestny、ThomasBruss、Agostino Capponi、Jim Dai、Mark Davis、Vivek Farias、Paul Glasserman、Nir Halman、Shane Henderson、Saul Jacka、Bobby Kle inberg、Ozalp Ozer、Philip Protter、Chris Rogers、，J ohnSchoe nmakers、Timur Tankayev、John Tsitiklis、Alberto Vera和David Williamson进行了一些有益的对话和见解。

作者特别感谢Jim Dai组织了一个关于处理网络强化学习的系列研讨会，以及该系列研讨会的所有参与者。作者还感谢赖斯大学举办的2018年拉里·谢普最佳停车研讨会的组织者和参与者。参考文献：Abo Lassani，M.、Ehsani，S.、Esfandiari，H.、HajiAghayi，M.、Kleinberg，R.和Lucier，B.（2017年6月）。“为有秩序的先知击败1-1/e。”第49届ACM SIGACT计算理论年度研讨会论文集（第6 1-71页）。ACM。Y.阿奇杜和O.皮龙诺。期权定价的计算方法。第30卷。暹罗，2005年。Agarwal，A.和S.Juneja。“比较百慕大期权定价的随机网格法和勒斯特平方法的最优收敛速度。”2013年冬季模拟会议论文集：模拟：在复杂世界中做出决策。IEEE出版社，2013年。Agarwal，A.、S.Juneja和R.Sircar。“随机波动下的美式期权：控制变量、到期随机化和多尺度渐近性。”量化金融16.1（2016）：17-30。Ahn，S.，H.Bae，H.Ko o，a和K.Lee。“关于美国选择的调查：旧方法和新趋势。”韩国数学学会公报48，第4期（2011）：79 1-812。Ahuja，R.，T.Magnanti和J.B.Orlin。网络流量。皮尔逊教育，201 4。安徒生，L.，a和M.布罗迪。“多维Americanoptions定价的Primal dua l模拟算法。”管理科学50.9（200 4）：1222-1234。A.阿洛托和I.古尔维奇。“多秘书问题中的一致有界遗憾。”arXiv预印本XIV:1710.07719（2017）。Arora，S.、B.Barak、M.Brunnermeier和R.Ge。“金融产品的计算复杂性和信息不对称。”ACM 54通信，第5号（20 11）：101-107。Avramidis，A.和H.Ma tzinger。

“金融工程中的问题：美式期权定价的随机网格估计的收敛性。”第34届冬季模拟会议论文集：探索新的前沿。2002年冬季模拟会议。Aydogan、Burcu、Umit Aksoy和Omur Ugur。“关于美式期权定价方法：案例研究。”运筹学年鉴260.1-2（2018）：79-94。Chen和Goldberg：《战胜期权定价中的维度诅咒和最优止损》，Bandi，C。，还有D.Bertsimas。”稳健的期权定价。”《欧洲歌剧研究杂志》239，第3期（2014）：842-853。Bank，P.和H.Follmer。“美国选项、多武装匪徒和最佳消费计划：Aunizing视图。”巴黎普林斯顿数学金融讲座（2003年）。拜耳，C.、P.弗里兹和J.Gatheral。”粗略波动下的定价。”量化金融16.6（2016）：887-904。Bayraktar，E.和S.Yao。“关于鲁棒最优停止问题。”《暹罗控制与优化杂志》52.5（2014）：3135-3175。Becker，S.、P.Cheridito和A.Jentzen。“深度最佳s打顶。”arXiv预印本arXiv:1804.05394（201 8）。Belomestny，D.、J.Schoenmakers和F.Dickmann。“美式衍生品定价的多级双重方法。”《金融与随机科学》17.4（2013）：717-742。Belomestny，D.、M.Ladka u和J.Schoenmakers。“基于多级仿真的策略迭代优化停止–收敛性和复杂性。”SIAM/ASA《不确定性量化杂志》3.1（2015）：460-483。Belomestny，D.“通过经验对偶优化解决最优停车问题。”《应用可能性年鉴》23.5（2013）：198 8-2019。Belomestny，D.、R.Hildebrand和J.Schoenmakers。“通过路径双经验最大化实现最佳停车。”应用数学与优化（2017）：1-27。Belomestny、D.、S.Hafner和M.Urusov。

“嵌套MonteCarlo方法的基于回归的复杂性降低。”(2018).Belomestny，D.，a和G.Milstein。“使用消费过程对美国ican期权进行蒙特卡罗评估。”《国际理论与应用金融杂志》9.04（20 06）：455-481。Belomestny，D.、C.Bender和J.Schoe nmakers。“通过非NestedMonte C arlo获得的Ber mudan产品的真实上界。”《国际金融数学：国际数学、统计和金融经济学杂志》19.1（2009）：53-71。Belomestny，D.“通过非参数回归对百慕大期权进行定价：低估计的最优收敛速度。”《金融与随机》15.4（2011）：65 5-683。Belomestny，D.“关于基于模拟的优化算法的收敛速度，用于优化停止问题。”应用概率年鉴21.1（2011）：215-239。Belomestny，D.和J.Schoenmakers。优化停车和控制的高级模拟方法：金融应用。Springer，2018年。Bender，C.和J.Schoenmakers。“多重停止的迭代方法：收敛性和稳定性。”应用概率的进展38.3（2006）：729-749。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优stoppingBender、C.、A.Kolodko和J.Schoenmakers中的维度诅咒》。“美国选项的政策迭代：概述。”蒙特卡罗方法与应用12.5（200 6）：347。Bender，C.、A.Kolodko和J.Schoenmakers。“通过sc enarioselection增强美国选项的政策迭代。”定量金融8.2（2008）：135-146。Bender，C.、J.Schoenmakers和J.Zhang。“一般多重停止问题的对偶表示。”数学金融25.2（2015）：339-370。Bender，C.、C.Gartner和N.Schweizer。“路径动态编程。”运筹学数学（2018）。Bertsimas，D.和I.Popescu。

“关于期权与股票价格之间的关系：凸优化方法。”运筹学，50（2）：358 374，200 2。Beveridge，C.、M.Joshi和R.Tang。“实用的政策迭代：使用蒙特卡罗模拟快速获得百慕大外来衍生品紧边界的通用方法。”《经济动力学与控制杂志》37.7（2013）：1342-1361。Bezerra，S.、A.Ohashi和F.Russo。“非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第二部分。”arXiv预印本arXiv:1707.05250（2017）。Bhandari，J.、D.Russo和R.Singal。”使用线性函数近似对时间差异学习进行有限时间分析。”arXiv预印本arXiv:1806.02450（2018）。2018年考尔特接受。Blanchet、J.、G.Gallego和V.Goyal。”选择建模的马尔可夫链近似。”OperationsResearch 64，第4期（2016）：886-905。Blanchet，J.、X.Chen和J.Dong。“eps-ilon通过粗路径分析对多维随机微分方程进行强模拟。”《应用概率年鉴》，2 7，（2017），275-339。Bolia，N.、S.Juneja和P.Glasserman。“pricingAmerican选项基于函数近似的重要性采样。”第36届冬季模拟会议记录。2004年冬季模拟会议。北博利亚和朱内贾。“美国期权定价的基于函数近似的完美控制变量。”模拟会议，2005年冬天的过程。IEEE，2005年。Booth、Heather和Robert Endre Tarjan。”寻找串联并联网络中的最小成本最大流量。”《Alg算法杂志》第15期，第3期（1993）：416-446。Bouchard，B.和X.Warin。“美式期权的蒙特卡罗估值：事实和改进现有方法的新算法。”金融中的数值方法。施普林格，柏林，海德堡，2012年。215-255.Boyle，P.、A.Kolkiewicz和K.Tan。

“一种改进的模拟高维美式衍生品的方法。”数学与计算机模拟3.62（2003）：315-322。M.Braverman和K.Pasricha。“复合期权定价的计算难度。”第五届理论计算机科学创新会议纪要。ACM，2014年。Chen和Goldberg：《战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒》，Broadie，M.和M.Cao。“通过模拟为美式期权定价的改进上下限算法。”定量金融8.8（2008）：845-861。Broadie，M.和P.Glasserman。“美国式证券定价模拟”《经济动力学与控制杂志》21.8-9（1997）：1323-1352。Broadie，M.、P.Glasserman和Z.Ha。“使用具有优化权重的随机网格模拟美式期权定价。”概率约束优化。斯普林格，波士顿，马萨诸塞州，2000年。26-44.Broadie，M.和P.Glasserman。“一种为高维美式期权定价的随机网格方法。”计算金融杂志7（2004）：35-72。Broadie，M.和J.Detemple。“周年纪念文章：期权定价：估价模型和应用。”《管理科学》50.9（2004）：11 45-1177。Brown，D.、J.Smith和P.Sun。“随机动态程序中的信息松弛和对偶性。”运筹学58.4-part-1（2010）：785-801。Brown、D.和M.Haugh。“有限时域马尔可夫决策过程的信息松弛界限。”运筹学65.5（2017）：1355-1379。Brucker，P.“树中最小成本流问题的O（nlogn）-算法。”《操作研究和数学经济学精选主题》，第299-306页。施普林格，柏林，海德堡，1984年。Bruss，F.“罗宾斯的问题大家都知道些什么？”应用概率杂志4 2.1（2005）：108-120。Buchbinder，N.、K.Jain和M.Singh。