期权定价中的维度诅咒与最优解

Bk+1的定义，-（t，γ，，δ，U）与Bk+1（t，γ，，δ）几乎相同，唯一的区别是对Bk的调用j、 A[j]，，δ4N（，δ）T在算法定义的第6行被对Bk的调用所取代，-j、 A[j]，，δ4N（，δ）T，U; 算法定义第8行对Bk（t，γ，，δ）的调用通过对Bk的调用来替换，-（t，γ，，δ，U）。Chen和Goldberg：战胜期权定价中的维度诅咒和k的最优止损≥ 1、我们定义了^Bk，-（，δ，U）如下。^Bk的定义，-（，δ，U）与Bk（，δ）几乎相同，唯一的区别是对Bk的调用j、 A[j]，，δ2N（，δ）T第6行的算法定义由ca ll替换为Bk，-j、 A[j]，，δ2N（，δ）T，U.然后我们有以下辅助算法结果，与定理6完全类似。定理10。仅假设Zt≥ 0表示所有t∈ [1，T]w.p.1，以下是正确的。对于所有k≥ 1，随机优化算法^Bk，-将任意、δ作为输入∈ （0，1）和U>0，并实现以下功能。在最多4（C+G+1）fk+1（，δ）的总计算时间中，如果对基本模拟器B调用最多fk+1（，δ）的随机性，则返回一个满足P的随机数X|十、- H-U、 k |≤ ≥ 1.- δ.证明：证明与定理6的证明基本相同，我们省略了细节。事实上，定理10源自定理6，该定理适用于交替最小化问题，其中使用交替g函数g′t=1- U-1×min（U，gt）。我们注意到，计算成本界中出现的额外乘法4（与定理6相比）来自计算1所需的额外计算- U-1×min（U，gt）。事实上，如果一个人在我们的计算模型下计算时间G，那么他可以计算1- U-1×min（U，gt）时间G+3≤ 4×G。

Q、 E.D.接下来，我们正式声明算法^A，ich将对Bk执行适当的操作和调用，-（使用适当的参数）以产生定理7中保证的近似。算法^A（，δ，M，M）：计算项目（M）并存储在γ计算中10×γ×-2×M存储在U中创建长度-（UM） i=1至（UM）生成指向^Bi的索引，-（UM）+1-2, δ ×（UM）+1-1，U并存放在AiReturn U×1.-P（UM）i=1Ai在定义了算法^A并掌握了定理9的情况下，定理7的证明与推论2的证明类似，尽管需要验证截断的适当性等额外的复杂性，我们将证明提交给技术附录。Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维度诅咒5.4。推论3的证明在本节中，我们讨论如何使用基于仿真的方法来实现良好的近似停止策略，从而证明推论3。我们从以下引理开始，将单个停止策略在不同的停止问题上实现的价值联系起来（由Zk定义）。引理18。对于所有（可能随机的）整数值停止时间τ，适应于F whichw。p、 1属于[1，T]，所有k≥ 1，E【Zτ】=E【Zkτ】+Pk-1i=1E[铸币厂∈[1，T]青春痘]。证明：我们仅对非随机停止时间的情况进行证明，因为一般设置遵循直线条件论证。我们采用归纳法。基本情况k=1源自定义。现在，假设归纳法对某些k是真的≥ 1.然后根据定义和可选停止，E[Zk+1τ]=EZkτ- E[铸币厂∈[1，T]Zkt | Fτ]= E【Zkτ】- E[铸币厂∈[1，T]Zkt]，本身（通过归纳）等于E[Zτ]-Pki=1E[铸币厂∈[1，T]Zit]，它在重新排列后完成屋顶。Q、 结合引理18、引理8和定理1，我们得到以下推论。推论4。

对于k≥ 1，让τkdenote表示第一次停止Zkt的停止时间≤k、 我们注意到引理8中存在这样一个时间，即w.p.1。然后E[Zτk]- 选择≤k、 现在，如果不是因为我们不能在一个高效的管理器中计算zktex的fa ct，我们就可以完成了。然而，根据《纽约时报》第17期的报道，我们很清楚该如何应对。在每个时间段t中，我们将使用模拟来估计到目前为止观察到的给定历史Y[t]的Zkt（Y[t]）（对于适当的k），并以足够的精度和足够高的概率来这样做，以确保所有边界都通过。现在让我们做一下准备。对于任何给定的>0，我们首先确定适当的（随机）停止时间τ。即τ定义如下。在时间1，在看到Y[1]之后，独立调用B4-1.1，Y[1]，，4T. 如果返回的值最多为，请停止。如果没有，请继续。我们归纳未来行为如下。假设对于某些t∈ [1，T- 2] ，我们还没有在时段t结束时结束。在时间t+1，在观察到Yt+1后，独立调用toB4-1.t+1，Y[t+1]，，4T. 如果重新返回的值最多为，则停止。如果没有，请继续。最后，如果我们还没有在周期T前停止，那么就在周期T内停止。很容易验证，对于任何∈ （0，1），τ是一个定义良好、适当适应、随机最小化的停止时间。现在我们用τ来完成推论3的覆盖。Coro llary 3证明：Let k= . 让G1，表示事件(B4-1.t、 Y[t]，，4T- Zkt（Y[t]）≤ t型∈ [1，T]）；Chen和Goldberg：击败期权定价和最优止损中的维度诅咒2，表示事件( t型∈ [1，T]这样B4-1.t、 Y[t]，，4T≤);G3，表示eve ntZkτ≤. 观察引理8、引理17、定义和se veralstraightforward并集边界以及三角形不等式的应用，可以确保：1。P（G1，）≥1.-; 2、P（G2，| G1，）=1；和3。

P（G3，| G1，TG2，）=1。因此P一般条款3，≤因此，由我们的假设和单调性P（Zkt）确定≤ 1） =1表示所有t∈ [1，T]，EZkτ= EZkτI（G3，）+ EZkτI（Gc3，）≤+EI（一般条款3，）≤ .结合引理18、引理8和定理1，完成了对第一部分定理的证明。第二部分直接来自引理17。Q、 E.D.6。结论在这项工作中，我们开发了一种新的纯对偶方法，用于解决高维全路径依赖的最优停止和期权定价的基本问题。与文献中大多数过去的方法相比，我们的（数据驱动）算法允许人们在所需的近似水平和相关条件预期中的运行时/样本复杂性/测试水平之间进行优雅的权衡。事实上，我们对结果的一个关键见解是，即使存在全路径依赖性和高维性，对于任何给定的错误参数，我们也可以在T中获得时间多项式中的-ap近似，并且仅通过模拟单个样本路径的成本来取决于维度（更一般地说是状态空间），其中只需要多项式数量的此类模拟。我们的方法还揭示了与网络流的新联系以及文献中的其他结果。我们的工作为未来的研究留下了许多有趣的方向。对真实数据和金融实例的实施和测试。此时，我们的结果和分析证明了在精度和计算/样本复杂性之间进行权衡在理论上是可能的。在真实数据和实例上测试该方法，了解如何将我们的方法与其他启发式方法相结合（例如。

从ADPand simulation）提高速度和准确性，并与过去的应用程序进行严格比较，这对于从概念验证阶段转变为期权定价的有用工具来说当然至关重要。此外，研究实用智能的新设置将是一件有趣的事情，因为数据、机器学习和更复杂的模型的使用越来越多，这可能会激发我们的灵感。Schen和Goldberg：战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒，我们的方法可以提供高效的算法。更好地理解收敛性的理论。在不同的环境中，我们提供了方法收敛速度的几个界限。我们怀疑，在许多情况下，我们的分析会很松散，仅使用相关系列的几个术语就可以得到相当准确的结果。无论是在期权定价的一般设置中，还是在诸如Robbins问题等更结构化的最优停止问题中，理解这一现象都是有趣的。我们还注意到，如果有人怀疑在任何特定情况下，扩展的收敛速度比我们的理论结果所认为的要快，那么可以通过简单地显示E[Zk+1τ]很小的终止时间τf来确定上限，并且将这种过程形式化也可能值得考虑。使用高级仿真技术进行更好的算法和分析。似乎通过将我们的方法与更复杂的工具和模拟分析相结合，可以得出更快的算法和更严格的界限。例如，我们没有尽力优化样本的使用，更好地理解如何在嵌套模拟的不同“级别”之间分配样本，和/或如何更智能地重用和重新组合样本，可能会导致显著的加速。

应用多层蒙特卡罗技术也是如此。此外，我们怀疑，从重要性抽样和更普遍的度量变化中获得的技术在这里可能非常有用，例如，我们在第4节中对几个2周期问题的研究表明，算法减慢的原因可能是零和/或非常小的值的存在（这会导致一个进程变慢），而避免这种路径的偏差/条件化可能会使进步更快。与其他双重配方进行深入比较。我们的方法产生快速近似的能力似乎与我们的ap方法不具有确定的最优性（Schoenmakers et al.（2013）），这是大多数以前的方法所共有的特性（尽管不是所谓的乘法对偶）有关。更好地理解我们的方法在概念上和技术/计算上如何与过去的双重方法相关联，仍然是一个有趣的开放问题。广义地推广到随机控制。我们相信，我们的方法可以扩展到一系列广泛的随机控制问题。这里的第一步是扩展到多重终止，这几乎直接来自我们当前的分析，根据多重终止和最优终止之间众所周知的（递归）关系（Bender et al.Chen和Goldberg:在期权定价和最优终止中击败维度诅咒（2015））。事实上，最近在理解这种多重停止问题的贝叶斯后悔方面取得了很多进展（Arlotto和Gurvich（2017），Bumpensanti和Wang（2018），Vera和Banerjee（2018）），与我们自己的工作联系仍然是未来研究的一个有趣方向。

当然，还有一个更广泛的问题，即我们的方法可以扩展到一般的随机控制问题，同时保持可跟踪性的相关概念。使用与Bender et al.（2015）类似的减少，似乎很少采取行动的控制问题，其中不能多次改变行动（在适当意义上）可能是一个很好的起点。有趣的是，我们注意到，在相当普遍的意义上，suchan方法能够适应未来成本分布可能取决于个人过去行动的环境。此外，还需要研究一些方法，这些方法不只是试图导出嵌套的停止问题，例如，在多重停止框架中，可以尝试直接实现一个扩展（类似于此处为最佳停止而实现的扩展），其项直接对应于一个多重停止问题。还有几个技术方向可以扩展，例如连续时间和相关随机过程的设置、有限水平问题等。下限、随机化和计算复杂性。一组有趣的问题围绕着证明所研究问题的计算复杂性和样本复杂性的下界展开，例如依赖于时间的最优停止。最近有很多有趣的工作在随机控制和马尔可夫决策过程的设置中阐述了计算复杂性理论（具有积极和消极的结果）（Halman et a l.（2014，2015），Chen和Wang（2017），Sidford et al.（2018），Halman（2017））和pricingof complex fi financial products（Bertsimas et al.（2002），Van Roy（2010），Arora et al.（2011），Braverman等人（2014年））。

更好地理解我们的方法和方法之间的联系仍然是未来研究的一个有趣方向。这里的一个关键问题围绕着随机化和不同近似概念的使用，以及计算复杂性和样本复杂性之间的相互作用等问题。网络流量理论中其他工具的应用。正如我们的引理6所示，一般最优停止可能被表示为树网络上的大规模最大流量问题，这为利用网络流量理论（Ahuja et al.（201 4））上个世纪开发的庞大算法工具包打开了大门。此外，来自网络流理论的组合见解可能有助于确定我们的方法更快收敛的结构特性。或者，研究otherChen和Goldberg：击败期权定价中的维数诅咒和大规模图上的最优停止组合问题是否可以用我们的方法解决，这将是一件有趣的事情。交替展开和预处理。正如我们在第4节中看到的，以及我们对定理7的证明（以及在相关算法中实现的截断），对于一些问题，考虑修改我们的方法可能会有帮助。实际上，可以证明，在原则上，许多其他显式展开式也会收敛到最佳值，例如（对于c asethe P（Zt∈ [0，1]）=1表示所有t）定义Z′k+1t=Z′kt- E[QTi=1Z′ki | Ft]。也可以写下收敛性不太清楚的展开式，例如alte rnating符号的展开式，其收敛性仍然是未来研究的有趣方向。也可以通过定义Z′k+1t=Z′kt，将某些测量变化纳入膨胀本身- E迷你∈[1，T]Z′kiI迷你∈[1，T]Z′ki>|英尺.

另一方面，在加速已知算法方面相当成功的一种方法是从良好的初始近似开始。对于我们的方法，这相当于执行一个初始轮，其中一个用一个鞅M补偿Z（可能是由于问题特定的特征或使用其他一些算法/近似），一个怀疑很好地近似最优对偶鞅，然后用这个补偿过程作为基过程执行我们的表达式。新pro-phet不等式的公式。你的方法可能为新的预言不等式的公式化打开了大门（Hill和Kertz（1992）），因为它提供了一种表达最优停止问题价值的新方法。我们不认为，在某种意义上，在一个以上的任期后截断我们的扩张可以解释为一种“高阶”预言不平等，表达某种中间对手（即不称职但不需要按照适应的政策行事的人）可以获得的价值。应用于最佳停止、顺序假设测试和机器学习中的其他理论问题。我们的方法也可能有助于对最优停止文献中研究得很好的几个理论问题，如Robbins问题和多臂bandit问题中Gittins指数的计算，提供新的见解。在这里，我们的结果可能不仅作为计算工具有用，而且因为它们为最佳值提供了新的纯分析表达式，这可能会产生新的理论和结构见解。鲁棒最优停止的含义。我们的方法也可能有助于对所谓的鲁棒最优停止（Bayraktar et al。

（2014）、Nutz等人（2015）、Goldenshluger和Zeevi（2017）），因为我们的扩张是一般性的，不依赖于Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒，并（从结构上）根据考虑的特定分布进行最优停止。应用于运营管理、定价和机制设计中的问题。最佳停止、prophet不等式和其他此类工具的另一个有用领域是运营管理、机制设计和定价问题领域（Blanchet al.（2016），Oh）。Arlotto和Gur vich（2017）、Bumpensanti和Wang（2018）、Vera和Banerjee（2018）、Abholhassani等人（2017）、C orrea等人（2017）、Luc ie r（2017））。将我们的结果推广到这种情况，并更广泛地将这篇文献与关于最优停止的对偶鞅方法的文献联系起来，仍然是未来研究的一个有趣方向。7、技术附件7.1。引理7的证明引理7的证明：首先，我们证明所有t的MARt=0∈ [1，3]w.p.1。事实上，我们有min1≤t型≤3Zt=最小1≤t型≤3Yt=Y=0 w.p.1。单调性和负性n然后yieldsmin1≤t型≤3Zkt=0 w.p.1。因此S=P∞k=1min 1≤t型≤3Zkt=0 w.p.1。因此，我们得出结论，定义为Doob鞅E[S | Ft]的MARt对于所有t必须等于零∈ [1，3]w.p.1的条件期望的基本性质。接下来，我们证明了唯一（0-均值）的确定最优双马丁酒M（0）=M（0，1）=0，M（0，1，1）=，M（0，1，）=-. 事实上，M（0）=M（0，1）=0直接源于Yand Yare const w.p.1这一事实，即mt适用于所有t∈ [1，3]，以及M上的0-平均假设。回想一下，对于i=2，确定的最佳特性需要造币厂∈[2,3]Zt公司- Mt+M= infτ∈T2,3E[Zτ| F]= 1，它（在简化和使用f-actthat Yand-Yare常数后）等于P最小值1，Z-M= infτ∈T2,3 E[Zτ]= 1.