期权定价中的维度诅咒与最优解

除了Z的非负性和M的完整性之外，没有其他假设=E[最大值∈[1，T]Zt]，M= E最大值∈[1，T]Zt, 以下是事实。Letγ=M（M），即1加上最大值的平方变化系数。存在一个随机化算法，该算法取任意值δ∈ （0，1），M=E[最大值∈[1，T]Zt]，M=E最大值∈[1，T]Zt∈ R+，并实现以下功能。总计算时间最多（C+G+1）expγ-6.Tγ-3.1+对数（δ）γ-3，并且只能在mostexp访问随机性γ-6.Tγ-3.1+对数（δ）γ-3调用基本模拟器B，返回满足P的随机数X|十、-[选择]≤ ×[选择≥1.- δ.当然，对于定理6、推论2和定理7的显式边界，许多已知方法（对于许多参数体系）将显示更快的运行时。然而，我们强调，基本上上述所有ADP方法都有在维度上指数缩放的运行时（通常也需要马尔可夫假设），如果需要良好性能的理论保证，所有上述二元或纯对偶方法都有在时间范围内指数缩放的运行时。事实上，一种算法的存在性，这种算法可以在时间多项式的维度和时间范围内产生一个具有强大理论近似保证的解，这在以前是不存在的。我们留给未来研究一个紧迫的方向，即根据这项工作的见解，设计更严格的界限和更实用的算法，并了解哪些方法可能最适合于哪些参数设置和实例特性。

我们还注意到，尽管任何现有方法都不知道这样的多项式界限，但这也是一个非常重要的问题（特别是根据我们自己的工作）是否可以证明这样的界限，也许是为了对这些方法进行适当的修改。Chen和Goldberg：战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒我们接下来陈述我们的算法结果w.r.t.使用类似的性能保证实施有效的止损策略。出于空间考虑和披露的清晰性，我们仅在之前的规范化假设下的最小化框架中陈述了这些结果，并注意到，在不同的假设下，可以证明不一致的结果。这里有一个问题，因为有人可能会认为，由于我们之前的结果产生了近似值函数评估，因此从已知的黑箱约化（Singh和Yee（1994））可以立即得到，我们也得到了一个很好的近似停止策略。然而，这种方法的问题在于，通常需要将值函数近似为一个加性误差，直到0 a s T增长（Singh and Yee（1994），Chen and Glasserman（2007），Van Roy（2010））。在我们的框架中，这是行不通的，因为它需要嵌套很深的条件期望。幸运的是，在得到主要结果的过程中，我们将证明强大的路径收敛结果，这将允许我们克服这个问题，得到以下结果。我们注意到，我们的结果是根据有效实施的随机停止时间的存在来陈述的，读者可以参考Chala sani et al.（2001）和Levin and Peres（2017）的相关标准定义，了解随机停止时间作为F适应停止时间的适当混合的正式定义。

我们还注意到，过去的几项工作明确研究了价值函数近似与期权定价中的近似最优停止时间之间的关系，但其结果与我们的结果不可比（Van Roy（2010），Belomestny（2011））。推论3。假设w.p.1 Zt∈ [0，1]对于所有t∈ [1，T]。那么，总而言之∈ （0，1），存在随机停止时间τs.t.E[Zτ]- 选择≤ ，并具有以下特性。在每个时间步，是否停止（如果尚未停止）的决定最多可以在总计算时间（C+G+1）f内执行（，4T），并且在mostf中只能访问随机性（，4T）调用基本模拟器B。虽然我们将停止时间τ和所有相关算法的细节推迟到第5节，但我们注意到，从直觉上看，e可以（大致）将τ作为停止第一次的停止时间，即（模拟近似值）ZIts小于。我们在结束本节时，简要回顾了我们在第1节中关于问题supτ的陈述∈TE【Zτ】，期权定价背景下的主要利益的设定，可以将w.l.o.g.转化为一个Form infτ的问题∈在negativeZ′上适当n的TE[Z′τ]。当然，如果Z上存在一个有限的已知上界U，可以设置Z′t=U- Zt，在这种情况下，supτ∈TE[Zτ]=U- infτ∈TE[Z′τ]。或者，如果这样的上界不可用或计算上不需要，可以设置Z′t=E[最大值∈[1，T]Zi | Ft]- Zt，在这种情况下（通过optiona l Stop）supτ∈TE[Zτ]=E[最大值∈[1，T]Zt]-infτ∈TE[Z′τ]。

在这两种转换下，我们可以Thenshen和Goldberg：在期权定价和最优停止中击败维度诅咒，将我们的方法应用于相关的最小化问题，我们注意到，所有相关的运行时分析在其基本部分保持不变，只需稍加修改，例如，在第二次变换下，所有递归必须执行到更大的深度，因为即使Z′t也必须通过估计适当的条件经验来计算。事实上，我们的结果在最大化框架中，即orem 7中，实现了这样一种转换，并与任意选择的截断相结合。2.6. 其余文件概要pa per剩余部分如下所示。我们推导出了纯对偶鞅r表示，并与文献中的相关方法进行了比较，在第3节中给出了网络流方面的积分。在第4节中，我们证明了我们的方法收敛速度的几个界，并提供了几个示例。我们推导了第5节中的主要算法结果，证明了实现给定性能保证所需的计算复杂性和样本复杂性的显式界限。我们为第6节的未来研究提供了结论和一些有趣的方向。我们还在第7节中提供了一个技术应用程序endix，其中包含来自整个pap er的几个证明。定理1、杜阿尔鞅和网络流的证明。在本节中，我们将形式化我们的纯对偶方法，并证明定理1，将我们的结果放在其他相关工作的更广泛背景下，并给出网络流的公式。3.1. 定理1的证明我们从观察第2.2节早期的简单直觉开始，即递归地将可选停止定理m应用于适当的余项，结合定义，立即得出以下结果。引理1。

对于所有k≥ 1，OPT=Pki=1E[最小值∈[1，T]Zit]+infτ∈TE【Zk+1τ】。此外，w.p.1 Zktis对所有k均为非阴性≥ 1和t∈ [1，T]；对于每个t∈ [1，T]，w.p.1{Zkt，k≥ 1} 是随机变量的单调递增序列。如果我们能证明Limk→∞infτ∈TE【Zk+1τ】=0。现在我们证明这一点，从而完成定理1的证明。定理1的证明：从单调收敛性得出{Zk，k≥ 1} 收敛于a.s.，和{Zk+1T- ZkT，k≥ 1} 将a.s.收敛到0。自定义以来，对于所有k≥ 1，w.p.1 Zk+1T=ZkT-E迷你∈[1，T]Zki | FT, 通过可测量性w。p、 1 E迷你∈[1，T]Zki | FT= 迷你∈[1，T]Zki，我们得出结论{mini∈[1，T]Zki，k≥ 1} 将a.s.收敛到0。（3） Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和最优stoppingThus，对于任何j≥ 1、Kjs复存在。t、 k级≥ Kjimplies P公司迷你∈[1，T]Zki≥j<j、 因此，存在一个严格递增的整数序列{K′j，j≥ 1} s.t.P迷你∈[1，T]ZK′ji≥j<j、 用于停止问题m infτ∈TE[ZK′jτ]，考虑停止第一时间ZK′jt的停止时间τ′j≤j、 如果在地平线结束时还没有出现这样的时间，则在时间T处停止。让我来做一个事件的指示器迷你∈[1，T]ZK′ji>j. 注意，w.p.1，ZK′jτ′j≤Zj公司=j+I′jZK′jT。根据我们的定义，{ZK′j，j≥ 1} 都构造在相同的概率空间上，因此{ZK′jT，j≥ 1} 是单调递减的。从Borel Cantelli得出{I′j，j≥ 1} 在某个特定时间后等于0，因此{Zj，j≥ 1} 将a.s.收敛到0。但是，由于单调性、可积性和非负性，我们可以应用支配收敛性来得出→∞E[Zj]=0，这意味着limj→∞EZK′jτ′j= 0，因此limj→∞infτ∈TE[ZK′jτ]=0。

因此序列{infτ∈TE[Zjτ]，j≥ 1} ，它是由非负性和引理1单调递减的，它有一个子序列可以转化为0，因此它本身必须收敛到0。让ting k→ ∞ 在引理1中，n完成了证明。Q、 E.D.3.2。最优对偶鞅与推论1的证明我们现在明确地描述了从我们的方法导出的最优鞅。首先，我们提供了一些关于鞅性质的额外背景。3.2.1. 鞅对偶的背景。相关的二元性有许多不同的、本质上等价的状态，我们以一个公式作为出发点，该公式本质上与几篇论文中提到的满足0-sure-optimality的二元性相同（Schoenmakers et al.（2013），Belomestny et al.（2013），B elomestny（2017））。引理2（0-sure-optimal dual for optimal stopping）。OPT=sup（x∈ R: M∈ Mxs。t、 P造币厂∈[1，T]Zt公司- Mt公司= 0= 1).我们注意到，以前研究0-sure-最优鞅du性的工作实际上意味着任何鞅M都适用于F s.t.P造币厂∈[1，T]Zt公司-Mt公司= 0= 1的平均值必须等于OPT，但就我们的目的而言，引理2中断言的面向优化的公式将很方便。3.2.2. 我们的最优对偶鞅。让我们=P∞k=1mini∈[1，T]Zki，其中我们注意到S是非负的，具有定理1中的有限平均值和单调收敛性。设Marden ote theDoob鞅s.t.MARt=ES | Ft, t型∈ [1，T]。我们现在证明了MAR是由纯对偶方法产生的最优对偶鞅。回想引理1（和monot-one收敛）中的{Zk，k≥ 1} 将a.s.收敛到极限T维随机向量Z∞= {Z∞t、 t型∈ [1，T]}。引理3。

E【MAR】=选项，P造币厂∈[1，T]Zt公司- 市场= 0= 1、Chen和Goldberg：击败期权定价中的维度诅咒和最优止损证明：所有∈ [1，T]，Zt- MARtequalsZt-E∞Xk=1mini∈[1，T]Zki | Ft= Zt公司-E[微型∈[1，T]Zi | Ft]-E∞Xk=2mini∈[1，T]Zki | Ft= Zt公司-E∞Xk=2mini∈[1，T]Zki | Ft.通过应用上述归纳法，我们发现所有j≥ 1和t∈ [1，T]，w.p.1Zt- MARt=Zjt- E∞Xk=jmini∈[1，T]Zki | Ft. （4） 通过在（4）中取极限，我们现在证明w.p.1Zt- MARt=Z∞t对于所有t∈ [1，T]。（5） 事实上，我们已经知道{Zjt，j≥ 1} 将a.s.收敛到Z∞t对于所有t∈ [1，T]。接下来，我们声称EP∞k=jmini∈[1，T]Zki | Ft, j≥ 1.将所有t的a.s.收敛到0∈ [1，T]。自从P∞k=jmini∈[1，T]Zki，j≥是单调且非负的，条件期望保持几乎肯定的优势，因此EP∞k=jmini∈[1，T]Zki | Ft, j≥ 1.是单调的，非负的。因此，通过单调收敛，EP∞k=jmini∈[1，T]Zki | Ft, j≥ 1.几乎肯定收敛到极限非负r.v.Qt，且E[Qt]=limj→∞EP∞k=jmini∈[1，T]Zki. 结合定理1，我们得出结论，E[Qt]=0，因此通过非负性Qt=0 w.p.1，完成了以下证明：EP∞k=jmini∈[1，T]Zki | Ft, j≥ 1.将所有t的a.s.收敛到0∈ [1，T]。在（4）的右侧取极限（j），然后完成（5）的证明。接下来，请注意a.s.收敛性、最小函数的连续性和{Zk，k]的a.s.收敛性的基本性质≥ 1} 至Z∞, 暗示{mini∈[1，T]Zki，k≥ 1} 将a.s.合并为mini∈[1，T]Z∞i、 结合（3），我们将mini∈[1，T]Z∞i=0 w.p.1。综合以上情况，P造币厂∈[1，T]Zt公司- 市场= 0= 由于定理1和MAR的定义意味着E[MAR]=OPT，这就完成了证明。Q、 E.D.3.2.3。

推论1的证明。Coro-llary 1的证明：证明紧接着引理3和引理2，结合可选停止，我们省略了细节。Q、 E.D.3.3。二元性、非负性和网络流量的优化公式在本节中，我们描述了最优停止和最大流量问题之间的新联系。关于最大流量问题和网络优化的概述，我们参考了readerto Ahuja et al.（2014）和Christiano et al.（2011）。关于最优停止的线性规划（LP）公式已经被几位作者研究过，我们请读者阅读非常相关的工作Chen和Glasserman（2007），该工作将LP对偶与鞅对偶联系起来，以及其他工作，如Buchb inder et al.（2010）。然而，以前的作者似乎从未经历过从此类LPs到更结构化的最大流量问题的飞跃。我们确实注意到，在Jamshidian（2007）中，对于马尔丁格尔对偶的乘法形式，先前研究了一些非负性的相关考虑，尽管与最大流量没有联系。Chen和Goldberg：战胜期权定价和最优止损中的维度诅咒3.3.1。其他符号。为简单起见，我们假设（仅在本节中）对于所有t∈ [1，T]和T矩阵γ的所有D可以通过从S中画出所有列来形成（以任意方式，可能有重复），它认为P（Y[T]=γ）>0，而P（Y[T]=γ′）=0表示任何γ′∈ 这是不可能以这种方式形成的。出租t指定由S中的所有列组成的所有D乘以t矩阵γ的集合，这相当于假设P（Y[t]∈t） =1，所有γ的P（Y[t]=γ）>0∈ t、 请注意，我们的假设进一步暗示∈ [1，T- 1] ，v∈ S、 和γ∈ t、 P（Yt+1=v | Y[t]=γ）>0。

当然，这些概率对于d i different t，γ，s可能非常不同。wefurtr假设所有v∈ S有有理项，且P（Y[t]=γ）对所有t都是有理的∈ [1，T]和γ∈t、 在谈论洪水时排除某些病理学。这些条件虽然不是严格必要的，但会大大简化符号。此外，从标准近似论证可以看出，这些假设本质上是w.l.o.g.对于任何适应于F的鞅，任何t∈ [1，T]和任何γ∈t、 设Mt（γ）表示当Y[t]=γ时，鞅在t时刻的值。对于t∈ [1，T- 1], γ ∈t、 和v∈ S、 设γ| v表示t+1s。t、 γ| v[t]=γ，γ| vt+1=v，即通过在γ的右侧附加v导出的矩阵。3.3.2. 优化配方和非负性。我们首先观察到引理2中给出的OPT的双重特征可以表述为如下的优化问题。这源于与鞅相关的基本定义，d是众所周知的（Chen和Glasserman（2007））。引理4。OPT等于以下优化问题OPT1的值，变量为{Mt（γ），t∈ [1，T]，γ∈t} 。最大PV∈ SM（v）P（Y=v）Mt（γ）=Pv∈ SMt+1（γ| v）PYt+1=v | Y[t]=γ对于所有t∈ [1，T- 1], γ ∈t；Mt（γ）≤ 所有t的Zt（γ）∈ [1，T]，γ∈t；对于所有γ∈T、 存在T∈ [1，T]s.T.Mt（γ[T]）=Zt（γ[T]）。然而，我们相信以前的工作未能充分利用OPT1具有非负的非最优解这一事实，我们注意到文献中先前提出的大多数对偶鞅解不一定是非负的。实际上，从引理3可以看出OPT1有一个非负的Opti-imal解。

施加这种非负性，结合一个直接的矛盾论证，然后允许我们放弃最终的解释（它总是约束在任何最大流问题的最优解中），并执行转换Ft（γ）=Mt（γ）P（Y[t]=γ），我们得出以下重新公式。Chen和Goldberg：击败期权定价和最优停止引理中的维度诅咒5。OPT等于以下线性规划LP2的值，变量为{Ft（γ），t∈ [1，T]，γ∈t} 。最大PV∈ SF（v）Ft（γ）=Pv∈ 所有t的SFt+1（γ| v）∈ [1，T- 1], γ ∈t；0≤ Ft（γ）≤ 所有t的Zt（γ）P（Y[t]=γ）∈ [1，T]，γ∈t、 3.3.3。连接至最大流量最小切割。我们现在观察到，LP2是一个标准的最大s-t流量问题。实际上，考虑具有源节点s和汇节点t的流动网络N，构造如下。就我而言∈ [1，T]和γ∈i、 除了源节点s和sinknode t之外，还有一个节点nγ。对于所有γ∈, 有一条无向边（s，nγ），即在节点s和节点nγ之间，容量Z（γ）P（Y[1]=γ）。对于所有γ∈T、 有一条具有容量的无向边（nγ，T）∞. 对于alli∈ [1，T- 1], γ ∈i、 五∈ S、 有一条无向d边（nγ，nγ| v），其容量Zi+1（γ| v）P（Y[i+1]=γ| v）。然后，来自最大流理论的标准论点（我们省略了其中的细节）得出以下结论。引理6。OPT相当于网络N中最大s-t流量的值。使用关系ft（γ）=Mt（γ）P（Y[t]=γ），可以从最优流量网络N中恢复0-sure-最优对偶鞅，反之亦然。有趣的是，最大流量最小切割揭示了一个非常自然的最佳停车间的解释，即在N中找到最小切割，我们注意到，在N中的最小切割和停车时间之间确实存在一个直接的双射。