特征分类投资组合：估计和推断

因此，对于横截面回归的常见实现，更精确的“非参数对应物”是第3.1节方程式（7）中引入的可加分离模型。加性可分性假设将有助于改善“维度诅咒”；事实上，可以表明，在该模型中，速率限制J log（max（J，T））/n→ 0和nT/J→ 0（即，当d=1时的假设3）有助于确保估计量的一致性和共正态性，基于d≥ 1特点。5均方展开式和实践指南随着投资组合排序估计器的一阶理论性质的建立，我们现在开始讨论实施问题。其中最主要的是投资组合数量的选择：根据方程式（5）中定义的估计量，从业者剩下的就是选择jt。前两部分的结果强调了JT选项在获得有效推理中所起的关键作用。相比之下，Jtin实证研究的选择非常随意，几乎总是设置为5或10个投资组合。在这里，我们将提供简单的数据驱动规则来指导参数数量的选择。为了有助于这一点，我们将考虑投资组合估值器的均方误差扩展，特别着眼于测试感兴趣的中心假设：H：u（zH）- u（zL）=0，作为构建插件最佳选择的起点。本节的主要结果是投资组合排序估值器均方误差的以下特征。为了简化计算，本节假设分位数已知（而不是在每个横截面中进行估计）。

这种简化只影响MSE扩展中高阶项的常数，但不影响相应的速率（有关相关示例和更多讨论，请参见Calonico、Cattaneo和Titiunik（2015））。回想一下，n和J分别代表{nt}和{Jt}的共同增长率。定理3。假设假设1、2和3成立，zare的边际分位数已知。那么，呃^u（zH）- ^u（zL）-u（zH）- u（zL）Z、 X，F，FTi=V（1）JdnT+V（2）J2dnT+BJ+CJ3d/2n3/2T3/2+OPnT公司+ oP公司J-2+J2dnT,其中Z=（Z，…，znTT），X=（X，…，xnTT）和B=PTt=1Bt（zH）-PTt=1Bt（zL）和V（`）=PTt=1V（`）t（zL）+PTt=1V（`）t（zH），`∈ {1，2}和Bt（z）、V（1）t（z）、V（2）t（z）和C在补充附录中定义。术语C（有条件地）平均为零，1阶/（nT）的术语捕捉到了pn/TPTt=1（βt）的极限可变性-βt），且不依赖于J。在定理3中的条件下，并在时间序列结构上施加适当的正则性条件（例如，混合条件），可以证明'B=plimn，t→∞B、 \'V（1）=plimn，T→∞V（1），\'V（2）=plimn，T→∞V（2），其中‘B’、‘V（1）和‘V（2）是非随机和非零量。然而，在本文中，我们仍然不知道发生概率收敛的特定正则条件，因为我们的方法不依赖它们。为了获得投资组合数量的最佳选择，请注意，扩展的第一个方差项将与定理1的一阶渐近方差相匹配，这建议选择J来共同最小化扩展的下两个项：偏差和高阶方差（该逻辑的另一个应用见Cattaneo、Crump和Jansson（2010））。这种方法在推理目标意义上是最优的，因为它最小化了定理1中近似值未考虑的两个引导项。

用于测试H：u（zH）- u（zL）=0我们找到了最佳投资组合数量？t型=$“Bd”V（2）ntT公司2d+2%，（10），其中b·c是表达式的整数部分。在所有期间强制执行相同数量的投资组合的一个简单选择是在该表达式中简单地将ntn替换为n。这是为了验证J？tsatis fies假设3：对于T，所需条件仍然是Bd<2 nB，限制排序特征的数量和/或允许的时间序列长度（见假设3的讨论）。为了获得J的直觉？t、 考虑一个单变量同构线性模型的简单情况：u（z）=bz，σit=σ。然后是B∝ |b |和V∝ σ、 因此，更陡的线（更大的| b |）需要更多的投资组合，而更多的特殊噪音（更大的σ）需要更少的投资组合。为了使这一选择切实可行，我们可以选择J来最小化MSE扩展基本方程（10）的样本版本，[MSE^u（zH）- ^u（zL）；J=^V（2）J2dnT+^BJ（11），其中估值器^V（2）和^B本身是J的函数。因此，在J值的网格上搜索并根据方程（11）中表达式的最小值进行选择是很简单的（更多细节请参见补充附录）。或者，如果我们有V（2）和B的初步估计，那么我们可以直接利用公式不等式（10）来获得每个Jt的选择。备注7（欠平滑）。在半参数和非参数分析中，通常的做法是通过对均方误差最优选择进行平滑处理来选择调谐参数。从理论上讲，这是可行的，但它必然是临时的；更多讨论请参见Calonico、Cattaneo和Farrell（2018、2019）。

相比之下，选择J？tof方程（10）的优点是在客观意义上是最优的，并且适合进行推理。J的可能替代品？通过平衡选择J\'\'B针对V（1）；然而，这将导致选择Jt∝ （ntT）d+1与J相比，哪一个会导致选择更多的投资组合？t。备注8（参数化组件）。J的另一个优势？这是d的≤ 2（经验应用中最常见的情况）对参数分量的推断对于J的选择也是有效的。可以表明，对于任何实数、非零向量a∈ Rdx，TPTt=1a（βt- βt）qTPTt=1（a（^βt- βt））→dN（0，1）（12）在这种情况下，Fama和MacBeth（1973）方差估计器相对于“插件”替代方案的一个优点是，可以在不必非参数估计给定z的x的条件期望的情况下进行关于ptt=1βt的推断。备注9（构造因素）。当目标是点估计而不是推断时，也可以使用定理3。使用前导方差项和偏差，我们得到j？？t型=$“Bd”V（1）（ntT）d+2%，这在常数上是不同的，但更重要的是发散率也不同：例如，当d=1时，则J？？t型∝ n1/3tT1/3而J？t型∝ n1/2tT1/4。在横截面样本量远大于时间周期数的应用中，J？？t=o（J？t），即在构建因素时，投资组合的最佳数量比在推断预期回报是否与特征显著相关时小。非正式地说，这在经验文献中得到了承认，因为用于构建因素的投资组合数量相对较少（例如，Fama和French（1993））。

正如补编中所讨论的，J？？tcan按照（11）中的步骤构建，将^V（2）J2d/（nT）替换为^V（1）Jd/（nT）。6实证应用在本节中，我们回顾了文献中考虑的一些显著的股权异常变量，并证明了前几节理论讨论的实证相关性。我们重点关注大小异常（如Banz，1981；Reinganum，1981）和动量异常（如Jegadeesh和Titman，1993）。6.1数据和变量结构我们使用证券价格研究中心（CRSP）1926年1月至2015年12月的月度数据。我们将这些数据限制在纽约证券交易所（NYSE）、美国证券交易所（AMEX）或纳斯达克上市的公司，并仅使用普通股回报率（即CRSP股票代码10或11）。为了处理退市申报，我们遵循Bali、Engle和Murray（2016）中描述的程序。当形成市场权益时，我们在收盘价不可用时使用报价，并且在0股流通股的情况下，我们将忽略所有观察结果。在形成动量变量时，我们遵循12个月前的累积回报率定义动量的流行惯例（即t-12） 直到当月前一个月（即t-2). 一个月的间隔是为了避免将动量异常变量与短期反转异常混淆（Jegadeesh，1990；Lehmann，1990）。如果在此期间缺少任何月度回报，我们将设置为缺少此变量。我们还构建了一个行业动量变量。为此，我们使用Ken French数据库中使用的38个行业组合的定义，这些定义基于四位数的SIC代码。

为了构建行业动量变量，我们对行业内每个企业的动量变量进行了价值加权平均。我们使用13个月的滞后市值来形成权重，使其不受任何后续价格变化的影响。我们实现了第3节中介绍的估计器，如下所示。因为基础数据是每月的，所以投资组合总是形成的，然后在每个月底重新平衡。所有投资组合，包括基于标准实施方法的投资组合，均使用滞后市场股票进行价值加权。由于我们在本节中的目标是推理，因此我们根据使方程（11）中所述的高阶均方误差准则最小化的投资组合数量来实现估值器。最后，必须充分描述这些数据的性质。特别是，股权回报数据在我们的样本期内代表了一个高度不平衡的面板。在样本开始时，CRSP范围包括约500家公司，在20世纪90年代末增加到8000家，目前约为4000家。此外，1962年和1972年的横截面样本量大幅增加，反映出样本中增加了在美国运通和纳斯达克上市的公司（参见补充附录中的图）。即使是纽约证交所上市公司的子公司，这个小组仍然高度不平衡。在样本开始时，大约有500家公司，之后上升到大约2000家的高位，目前略低于1500家。6.2规模异常我们首先考虑规模异常，即规模较小的公司获得的回报高于规模较大的公司的平均回报。为了调查规模异常，我们使用市值作为衡量公司规模的指标。因此，根据第3节的符号，我们得到了Rit=u（mei（t-1） ）+εit，i=1，nt，t=1，T

（13） 这里，meit表示企业i在t时的市场权益，转换方式如下：（i）取企业i在t时的市场权益的自然对数；（ii）每个横截面t=1，T，市场权益的自然对数通过横截面标准差的倒数（即，应用zscore）进行降级和归一化。根据假设1（c），后一种转换是必要的，并确保企业规模的衡量随着时间的推移具有可比性。图3提供了回报与公司规模之间关系的估计值。左列显示估计值{u（z）：z∈ Z} ，基于方程式（5），而右栏绘制了根据文献中当前使用的传统方法形成的十个投资组合中每个投资组合的平均回报。标准方法的投资组合断点通常使用纽约证券交易所上市公司子样本的十分位或基于整个样本的十分位进行选择。在这里，我们选择基于后者的十分位数，因为它们确保了估值器之间更好的兼容性。为确保可比性，将两个估计值放在同一个量表上。从图中可以清楚地看出，传统方法会在平均回报和规模之间产生衰减回报差异。这样做的一个重要原因是，无论横截面样本大小如何变化，标准方法都依赖于相同数量的投资组合。正如我们在第3节和第4节中所示，投资组合数量的选择必须是数据驱动的，并遵守适当的利率条件，以便提供有效的推断。标准方法往往会产生对回报差异的有偏估计，并会损害识别数据中显著差异的能力。

任何不平衡的小组都会出现这一问题，但这些数据的高度不平衡性加剧了这一问题，因为公司数量一直呈明显的加班趋势。估计值{u（z）：z∈ Z} 图3显示了三个不同的子样本，即1926-2015、1967-2015和1980-2015。在三个子周期内，收益和规模之间的估计形状通常非常相似，具有相对的浮动关系，但小型企业除外，因为小型企业的平均收益随着规模的减小而急剧单调上升。最小公司的峰值平均回报率似乎随着时间的推移而上升，在整个样本中约为5%，在1967-2015年的样本中为5.5%，在1980-2015年的样本中略高于6%。表1显示了与图3中的图相对应的相关点估计和测试统计数据。我们显示了许多不同的成对选择（zh，zL）的结果，即（Φ-1(.975), Φ-1(.025)), (Φ-1(.95), Φ-1（.05）），和（Φ-1(.9), Φ-1（.1）），其中Φ（·）是标准正态随机变量的CDF，如图3中的垂直线所示。该表还显示了使用十个投资组合的传统方法的点估计和相应的测试统计数据。在所有三个子阶段，在两个最极端的评估点上评估的功能之间的差异（Φ-1(.975), Φ-1（0.025）），与规模对回报率的统计显著影响密切相关。即使在最短的子样本（1980–2015年）中，t统计也是-5.46. 当评估点向内移动到（Φ）时也是如此-1(.95), Φ-1(.05)). 如图3所示，这一结果是由非常小的公司驱动的。然而，传统的估计员认为，在过去35年左右的时间里，规模效应在统计学上不再与零区分开来。

相反，“较大”的小企业在最后一个子样本中不再产生更高的回报。这种模式可以在最里面的一组评估点中看到，（zH，zL）=（Φ-1(.9), Φ-1（0.1）），其中尺寸效应估计可以逆转，尽管在统计上与零没有区别。为了进一步调查表1的结果，我们仅使用图4中纽约证券交易所上市的公司，重新考虑了回报与公司规模之间关系的估计。在这种情况下，与最近的子样本相比，全样本中估计的关系的形状发生了显著变化。在全样本中，估计的关系似乎与图3中三个图表所示的形状非常相似——从较小的公司到较大的公司呈急剧下降趋势。然而，在1967-2015年和1980-2015年的样本中，估计形状明显朝着倒置的“U”形变化。重要的是要强调，标准方法意味着该样本公司的回报率和规模之间关系的形状和模式非常不同，尤其是1967-2015年和1980-2015年的样本。图5的左面板显示了基于方程式（11）选择的尺寸异常样本中最佳portfoliosin数量的时间序列图，使用了我们三个子周期的数据，并基于zH=Φ-1（.975），zL=Φ-1(.025). 值得注意的是，最佳的投资组合数量远远大于标准的十种选择。相反，最大横截面的最佳选择约为250，最小横截面的最佳选择约为50。此外，在所有三个样本中，最优投资组合数量存在显著差异，再次反映了这些数据中横截面样本大小的巨大差异。图表还显示了仅纽约证券交易所样本中的最佳投资组合数量。

在这一限制性样本中，横截面样本量较低，其他条件相同时，这将减少投资组合数量的最佳选择。然而，在仅纽约证券交易所的样本中，偏差-方差交易效应也会发生变化，因此，受限样本对于最佳投资组合数量的价值并不总是较小的。在1980-2015年的样本中，投资组合的最佳选择比使用所有股票的情况略大（处于峰值），这进一步说明，投资组合数量的适当选择将受到所用数据特性的强烈影响。6.3动量异常我们接下来考虑动量异常，即过去相对回报较好的公司平均相对回报也较高。如第3节所述，我们抽样假设的普遍性意味着我们的结果适用于异常情况，如动量，其中滞后回报进入未知的利益函数。Speci ficallyrit=u（momit）+εit，i=1，nt，t=1，T、 （14）这里，momit表示在时间T时，企业i的12-2动量度量，转换方式如下：在每个横截面，T=1，T，12-2动量通过横截面标准偏差的倒数进行减量和归一化（即，应用zscore）。与大小异常的情况不同，无需进行转换即可满足假设1（c）。我们选择以这种方式对每个横截面进行规范化，因为它是动量异常的标准投资组合排序方法的自然对应物。此外，直接基于12-2动量的结果是相似的。图6显示了收益和动量之间关系的估计。甚至比大小异常的情况更为如此，我们观察到{u（z）：z∈ Z} 在子样本中非常相似。