特征分类投资组合：估计和推断

这就是说，可以使用普通最小二乘法（或者在价值加权投资组合的情况下使用加权最小二乘法）简单地实现该估计值（以及下面更通用的版本）。我们形式化的起点是认识到*), t=1，T，isa回归函数u（z）的非参数估计*), 使用一种称为分区回归的技术。Cattaneo和Farrell（2013）最近研究了分区回归估计值u（z*) 使用“接近”z的观测值*, 目前这意味着他们属于同一个投资组合。一个关键的教训是，J是这个非参数过程的调整参数，类似于基于核的估计器中的带宽或筛选估计器中的项数（例如样条回归的节点）。有充分的证据表明，非参数推理对调整参数的选择很敏感，经验金融也不例外。对于较小的J，^ut（z）的方差*) 将很低，因为每个投资组合中都有相对较大的样本部分，但这也意味着投资组合中包含的资产的特征与z相差甚远*, 意味着偏见增加；另一方面，较大的J会减少偏差，但会影响方差。对于每个横截面，^ut（·）是一个带有J个“梯级”的阶梯函数，每个梯级是投资组合中的平均回报。虽然u（·）的估计可以使用各种非参数估计量（如核回归或系列回归）进行，但我们的目标是明确分析投资组合排序。这种方法不能避免参数选择灵敏度的调整，并且可能需要比PortfolioOrting更强的假设。

从从业者的角度来看，估值器的优势在于，它可以直接解释为投资组合的回报，这是一个具有经济意义的对象。超出横截面，相同的结构和教训适用于完整的^u（z*)方程（2）中，但结果有显著差异。考虑图1。面板（a）显示了单个横截面的^ut（·）的单个实现，J=4。转到面板（b），我们可以看到，仅在两个时间段内求平均值会产生更复杂的估计量，因为每个横截面的投资组合是单独形成的。最后，面板（c）显示了T=50的结果（尽管一个典型的应用程序可能有数百个T）。自始至终，J是固定的，但T的增加起到了平滑T的作用；这一点在实践中似乎没有得到很好的认识，并清楚地表明J的选择必须取决于T。接下来，对于n和T的相同样本，面板（d）–（f）重复练习，但J=10。将图1顶部一行中的面板与底部的面板进行比较，可以看出上面讨论的偏差-方差权衡。图1清楚地表明，J必须取决于手头数据的特征。我们表明，^u（·）的一致性要求J与n和T的发散速度足够快，以消除偏差，但不会太快，导致方差爆炸。我们在本文后面详细介绍了J的实际选择。在定义了投资组合和估值器后，到目前为止，经验金融文献中最常见的兴趣对象是最高投资组合的预期回报减去最低投资组合的预期回报，然后（非正式地）将其解释为函数u（z）的单调性测试，或用于构建基于特征z的因子。

这些是不同的目标（分别是推断和点估计），因此需要J的不同选择。首先，考虑单调性测试，这也被解释为购买利差投资组合策略的回报：高预期回报投资组合中多头一美元，低预期回报投资组合中空头一美元。形式上，我们希望进行假设检验：H：u（zH）- u（zL）=0 vs.H：u（zH）- u（zL）6=0，（3），其中zL<zHdenote“低”和“高”评估点。（实际上，zLand zHareusually相距遥远，从不在同一个投资组合中。）在此背景下，统计意义与交易策略的经济意义密切相关，通过夏普比率衡量。我们的总体框架允许更丰富的估计类别（见备注4），但该估计将在本文中始终是我们的重点，因为它与实证研究人员最相关。我们的主要结果建立了使用估计分位数的投资组合排序检验（3）的渐近有效性。也就是说，从（更一般的）定理1得出=^u（zH）- ^u（zL）-u（zH）- u（zL）q^V（zH）+^V（zL）→dN（0，1），前提是J log（max（J，T））/n→ 0和nT/J→ 0，其他正则性条件成立。对J的增长限制正式确定了该问题中的偏差-方差权衡。一致性方差估计可以通过几种方式完成。估计量的结构意味着^u（zH）的方差- ^u（zL）是每个逐点方差与^V（z）之和 J/（nT）。我们证明了常用的Fama和MacBeth（1973）方差估计量，由^VFM（z）=TTXt=1（^ut（z）给出- ^u（z）），确实对学生化有效，这是一种新的插件方法。下面的等式（9）给出了这两种情况。完整的讨论见定理2。

据我们所知，这些结果对文献来说都是新的。除了一阶有效性之外，我们还通过高阶均方误差（MSE）展开式为J5的选择提供了明确、可行的指导。据我们所知，这是第一个基于J的选择理论，用于实现基于投资组合排序的推理。文献通常采用特别的选择，通常J=10（参见上文Cochrane（2011）的引文）。然而，考虑到问题的非参数性质，J应该取决于数据的特征，而且应该随着时间的推移而变化，因为横截面样本大小变化很大。为了明确这一点，我们将为t期的投资组合数量写下JT。即使实证研究人员已经认识到这些事实，并且J 6=10的必要性很明显，但缺乏原则性工具可能会阻碍实践。我们的研究结果通过提供一种透明、数据驱动的投资组合选择方法填补了这一空白，因此，希望使用非十种投资组合的从业者可以以可复制、客观的方式进行选择。例如，在我们的数据中，n的范围从500到近8000（见补充附录第6节和图），例如，动量异常的最佳选择Jt从13到52不等（图5）。在假设检验的背景下，如方程（3）所示，我们发现最优投资组合数服从J？t=K？n1/2tT1/4，t=1，2，····，t，其中常数K？取决于数据生成过程。很容易检查J？t满足上述条件（即定理1的条件）。在第5节中，我们详细介绍了constantterms并讨论了应用程序中的实现。

关于要素构建，我们发现J的不同选择将是最优的，即J？？t=K？？n1/3tT1/3，t=1，2，····，t，其中，同样，每次单独选择投资组合，K？取决于数据生成过程，实现将在第5节中讨论。这里的主要区别在于，对于点估计，投资组合的最佳数量，J？？t、 发散速度比假设检验慢，J？t、 在典型应用中，横截面样本量比时间序列观测值的数量大得多。偏差-方差权衡虽然仍然存在，但表现不同，因为这是一个点估计问题，而不是推理问题。特别是，发散率通常会较慢。这一形式选择是我们论文的进一步贡献，也是文献中的新内容。然而，至少在非正式情况下，现状是使用较少的投资组合进行因子构建，而不是测试。进一步讨论见备注9。我们说明了我们的结果在实证应用中的用途和重要性（第6节）。作为预览，考虑动量异常。我们发现，在美国股票市场中，动量异常会导致总体上以及交易的多头和空头的平均回报率具有统计意义（见表1）。从图形上看，过去的相对收益率和当前收益率之间的关系呈现单调递增和凹形，如图2所示。此外，我们还展示了基于10个投资组合的标准方法的结果。这表明，使用传统的估计量无法得出这些相同的结论。最后，我们注意到，当zHand Zl总是在极端投资组合中时，估计量^u（zH）- ^u（zL）基于（2），正是enjoyswidespread在实证金融中使用的标准投资组合排序估计器。

我们利用了u（z）作为特征值本身的函数随时间变化为常数的假设结构，这允许在z 6={zL，zH}处对u（z）进行直观和易懂的估计和推断。标准投资组合排序中隐含的类似假设是，u（·）随时间变化是常数，作为特征（即排名）的（随机）横截面顺序统计的函数。在特殊情况下，当zHand Zland总是处于极端投资组合中时，这两种情况会重叠。我们可以适应这种情况，但需要大量的符号复杂性。此外，本文通过形式化和分析投资组合排序估计器获得的关键见解不会受到影响。在这些广义的术语中，我们的论文的主要贡献是对^u（zH）上的标准投资组合分类检验的形式渐近处理-^u（zL），但另一个贡献是展示如何将投资组合排序用于更广泛的推理目标，并相应地允许对理论产生的其他可测试假设进行推理（例如形状限制）。研究人员可能会含蓄地认为，将这两种方法统一起来的另一种解释是，即使u（·）不是君士坦丁z本身，也不是君士坦丁z。也就是说，回顾（2），我们将估算值解释为（极限）(R)（z*) =PTt=1ut（z*)/T当zHand zLare总是处于极端投资组合中时，这种解释可能是自然的，数量^u（zH）- ^u（zL）可直接解释。我们的方法适应了这种解释，没有实质性的改变。备注1（类似于横截面回归）。u（z）作为特征值的函数随时间而恒定的假设与横截面（或Fama-MacBeth）回归的实践完全一致（Fama和MacBeth（1973））。

该方法由以下形式的模型驱动：Rit=ζzit+εit，i=1，nt，t=1，T，其中zit是特征值（或更一般的特征向量）。因此，在假设u（·）在特征中是线性的情况下，横截面回归嵌套在方程（1）中（另请参见下面的备注6）。3一般资产收益模型和排序估值器在本节中，我们研究了一个更一般的模型，并开发了相应的一般特征排序投资组合估值器。我们从两个方向扩展了上一节的简单情况。首先，我们允许多个排序特征，例如Zitis被zit替换∈ Z Rd.这种扩展很重要，因为在实证工作中，对两个变量进行排序是很常见的，而且，我们可以捕获并量化经验真实性，即很少对两个以上的特征进行排序，因为这会导致空投资组合。直觉上，非参数划分估计器与所有其他估计器一样，会受到维数诅咒的影响，并且性能会随着d的增加而恶化，这一点我们可以做出精确的解释（另请参见第3.1节和备注6）。为了解决这个问题，我们的第二个推广是考虑其他条件变量，由xit表示∈ Rdx，以灵活的参数化方式输入模型。形式上，我们的资产回报模型isRit=u（zit）+xitβt+εit，i=1，2，···，nt，t=1，2，···，t。（4）该模型保留了u（z）上的非参数结构，如方程（1）所示，具有相同的解释（尽管现在以xit为条件）。请注意，向量xit可能包含基本条件变量及其转换（例如，相互作用和/或功率扩展），因此提供了一种灵活的参数方法来建模这些变量，并为投资组合排序的横截面回归提供了桥梁。

横截面回归很受欢迎，因为其线性结构意味着与投资组合排序的非参数性质相比，可以纳入更多的变量（即横截面回归不支持维数灾难）。模型（4）保持了这一特性，同时保留了投资组合排序的非参数灵活性和精神。事实上，与u（z）的非参数速率相比，参数β皮重可在参数速率下估计。这两种方法共有的条件变量的加性可分性是实现这一点的关键限制。此外，由于线性结构，排序估计器可以通过普通最小二乘法轻松实现，如下所述。如前一节所述，实证金融文献中的主要假设是，较低和较高投资组合之间的预期收益存在巨大差异。为了将（3）放入当前的形式化表示法中，让zL<zHbe两个值在上下（观察到的）边界点附近。然后，我们对测试h：u（zH）感兴趣- u（zL）=0，相对于双面备选方案。当然，我们的结果也涵盖了其他线性变换，如“diff-in-diff”方法：例如，对于d=2，估计u（z1H，z2H）-u（z1H，z2L）-（u（z1L，z2H）-u（z1L，z2L））。参见Nagel（2005）了解后者的示例，并在下面的备注4中进一步讨论其他潜在的相关假设。我们将围绕具体性的主要假设展开大部分讨论，同时提供可用于其他推理目标的一般结果。该框架是在以下控制数据生成过程的假设下完成的，其中还包括渐近结果的正则性条件。假设1（数据生成过程）。

让西格玛场Ft=σ（Ft）由一系列未观察到的（可能相关的）随机向量{Ft：t=0，1，·····，t}生成。对于t=1，2，T，以下条件成立。（a） 以Ft为条件，{（Rit，zit，xit）：i=1，2，·····，nt}是满足模型（4）的i.i.d。（b） E[εit | zit，xit，Ft]=0；均匀分布在t中，Ohmuu，t=E[V（xit | zit，Ft）]有界且其最小特征值远离零有界，σit=E[|εit | zit，xit，Ft]有界且远离零有界，E[|εit | 2+φ| zit，xit，Ft]对于某些φ>0有界，而E[axit | zit，Ft]对于所有a∈ Rdx。（c） 以Ft为条件，zit具有表示为Z的时不变支撑和远离零的连续Lebesguedensity。（d） u（z）是连续可区分的两倍|E[xit，` | zit=z，Ft]- E[xit，` | zit=z，Ft]|≤Ckz公司- zk表示所有z，z∈ Z，其中xit，`是xit的第个元素，常数C不是t或Ft的函数。这些条件允许回报时间序列的行为和横截面相关性具有相当大的灵活性。事实上，Andrews（2005年，第1552页）在单个横截面上使用了相同的条件，称假设1（a）“令人惊讶的普遍性”。该设置允许跨资产和时间的依赖性和条件异方差性。例如，如果FTA包含一个商业周期变量，那么我们可以在收益的特殊方差中考虑一个共同的商业周期成分。另一个例子是，抽样假设考虑了zitvariables中的因子结构。也许最重要的是，我们并没有强制规定收益随时间的推移是独立的，甚至是不相关的。

我们的假设考虑了动量或反转效应，即资产过去的相对回报预测其未来的相对回报，这与进入zit的滞后回报相对应（例如，见De Bondt and Thaler（1985）、Jegadeesh（1990）、Lehmann（1990）、Jegadeeshand Titman（1993、2001））。假设1要求zitbe的密度远离零，对于每个t=1，2，T，这有助于形成（渐进）非空投资组合。在研究面板数据时，假设特征在时间序列观测中的支持度相同是很常见的。其他限制主要是（横截面）半参数/非参数文献中的正则性条件标准，与矩的有界性和未知函数的光滑性条件有关。尽管估计的性质很复杂，并且在非参数步骤中使用了一组非估计基函数（由于估计的分位数），但这些条件并不比通常施加的条件强。在模型（4）中，投资组合排序估计器u（z）保留了（2）中给出的结构，但首先必须预测出条件变量。因此，横截面估计器^ut（z）可以通过简单的普通最小二乘法构建：回归Riton JDTDumies，表明zitis是否在投资组合j中，以及dxcontrol变量Xit。请注意，与第2节不同，我们允许J=jt随时间变化，与不平衡面板一致。这对于股票的应用尤其重要，因为这些数据往往非常不平衡，在样本的后面，横截面要大得多，而它们是在样本的开头。