特征分类投资组合：估计和推断

例如，在我们的实证应用中，最大横截面样本量大约是最小横截面样本量的十五倍。多重特征投资组合形成为边际区间的笛卡尔乘积。也就是说，我们首先使用其边缘分位数将每个特征划分为JTInterval，然后通过获取所有此类区间的笛卡尔积形成Jdtportfolios。我们保留符号Pjt Rd对于典型的投资组合，其中j=1，2，Jdt。福特>1，即使Jd<n，这些投资组合也不能统一保证包含任何资产，这种对“空”投资组合的担忧可以在经验文献中找到（例如，见Goyal，2012，第31页）。我们的构造模仿了经验实践，我们将J上的约束形式化，以确保非空投资组合（方差条件），同时控制偏差。虽然大J意味着空投资组合的问题已经被重新认识（尽管从未研究过），但控制偏差的想法似乎还不太清楚。然而，在我们的框架中，非参数偏差是自然产生的，可以进行研究。有条件排序被用来“克服”空投资组合问题，但它们在概念上是不同的，如下所述。根据由此形成的投资组合，我们可以确定最终投资组合排序估值器u（z），即兴趣点z∈ Z、 首先，为了加强估计的portfoliobreakpoints，对于给定的投资组合Pjt，j=1，2，Jdt，t=1，T，let^jt（z）={z∈ Pjt}表示点z在Pjt中，让Njt=Pnti=1^jt（zit）表示其（随机）样本大小。然后将投资组合排序估计器定义为^u（z）=TTXt=1^ut（z），^ut（z）=JdtXj=1NjtntXi=1^jt（z）jt（zit）（Rit- xit^βt），（5）其中^βt=（XtMtXt）-1xTMRT，Rt=[R1t，…]。

，Rntt]，Xt=[x1t，x2t，···，xntt]，Mt=Int-^Bt（^Bt^Bt）-1^Bt，（6）和^Bt=^Bt（zt），其中zt=[z1t，z2t，·····，zntt]是nt×Jdtmatrix和（i，j）元素equalto^jt（zit），表征了特征zit的投资组合。指示符函数^jt确保存在所有必要的逆，因此，如果pjt为非空且（XtMtXt/nt）为可逆，则取值1。两种事件发生的概率都接近一（见补充附录）。据证实，Njt 对于所有j和t，nt/JDT概率接近1。备注2（实现和加权投资组合）。尽管存在符号复杂性，估计量^ut（z）是作为结果Riton-theJdt+DX协变量^bt和Xt的标准线性回归实现的。它是指标函数^jt（z）^jt（zit）的乘积，它加强了估计量的非参数性质：只使用与z相同的投资组合中的zit，因此使用“close”。估计器可以很容易地适应加权方案，例如按市值加权资产或按估计（条件）异方差反向加权资产。为了便于说明，我们提出了不带投资组合权重的理论，但第6节中的所有实证结果都基于价值加权投资组合估值器。值得强调的是，（5）的非参数估计量^ut（z）是非标准的。乍一看，它似乎是通常部分线性模型的非参数部分，使用分区回归估计作为第一阶段（βtwould是参数部分）。然而，这里的分区估计是使用估计分位数形成的，这使得我们的非参数估计的“基”函数非标准，并且使得文献中的先验结果不适用。备注3（与其他异常调整的联系）。

许多作者试图通过首先将其提出的异常变量回归到现有变量上，并对残差进行排序，来控制现有异常。这与我们在本文中所研究的有着根本性的（和分析性的）不同，而且这种方法通常不喜欢估计ziton-Ritcontrolling对其他变量的影响的通常解释。相反，我们的框架通过模型（4）描述的可加性可分离性假设保留了标准解释。3.1有条件的SortsA经验金融中的常见做法是执行所谓的“有条件”投资组合。首先对一个特征进行排序，然后在每个投资组合内分别对第二个特征进行排序，依此类推（通常只考虑两个特征）。在每个连续排序中，使用分位数间隔的投资组合。在本小节中，我们将根据条件排序的两种不同解释，讨论我们的框架与条件排序的关系：第一种是作为条件测试，第二种是作为空投资组合的机械解决方案。要确定想法，请考虑公司规模和信用评级。小企业不太可能拥有高信用评级，因此在“高”信用评级组合中，可能没有真正的小企业。因此，直接应用（5）将产生空的投资组合。有条件排序通过构造“解决”了空投资组合问题：首先按评级排序，然后按大小在每个基于评级的投资组合中排序，但其特点是，评级最高的投资组合中的“小企业”投资组合通常比评级较低的投资组合中的企业更大。但如果我们试图研究如果我们保持固定的信用评级，规模较小的公司是否仍能获得较高的平均回报，这可能不会出现问题（第6节略微找到了规模异常的证据）。

为了回答这个问题，我们可以在每个基于信用的投资组合中测试“高-低”假设。我们的框架直接适用于此处，即以下小节中的结果和讨论，前提是仔细解释第一类结果的条件。此外，如果u（·）的大小确实是单调的，那么这些条件结果可以外推到“填充”空箱子，但我们的理论无法证明这一点。对条件排序的第二种解释是，它们的设计完全是为了解决空投资组合的问题。这与上述不同，我们的框架不适用于此，因为在这个组合排序公式中，隐含地假设函数u（z）随时间的推移是恒定的，作为条件顺序统计的函数，在每个组合中（或利息在特定的总平均数中，如上所述，尽管这里混合了不同的定性公司）。这在理论上很难处理，因为u（z）上的（总体）假设必须适用于已构建（估计）投资组合的每个条件排序。此外，还不清楚这种方法是否可以扩展到其他兴趣需求。最后，对于经济理论来说，产生这样一个约束（有条件）的回报产生过程可能是一个挑战。然而，另一种可能更透明的空组合方法是假设函数u（·）的可加性可分性，因此，如果我们表示zitby-zit的D成分，1，zit，d，我们假设rit=u（zit，1）+···+ud（zit，d）+εiti=1，nt，t=1，T、 （7）因此，对于`=1，…，每个特征效应通过其自身的未知函数u`（·）返回，d

最终的估计值总是针对支持中的任何值z进行定义，从而避免了空投资组合的问题（另请参见备注6）。4一阶渐近理论在充分描述了估计量的情况下，我们现在给出了一致性和渐近正态性结果，以及两个有效的标准误差估计量。据我们所知，这些结果对文献来说都是全新的。如第2节所述，实证文献中包含了大量的研究，这些研究完全实现了以下结果所验证的测试，但迄今为止还没有此类验证。除了模型（4）的定义和假设1对其施加的条件外，我们还需要对渐近结果进行一定的速率限制。现在，我们将这些假设分为以下两个假设。假设2（面板结构）。横截面样本量成比例发散：对于序列n→ ∞, nt=κtn，带κt≤ 1且一致有界远离零。假设2要求横截面样本量按比例增长。这确保了每个^ut（·）以相同的速率对最终估计作出贡献。我们还将严格关注Jt=Jt（nt，n，T），这意味着有一个序列J→ ∞ 此类atJt∝ 对于所有t，这两个都不可能在实践中受到限制：我们的最佳选择取决于ntby设计，让JT随时间变化而不考虑面板不平衡几乎没有概念意义。常用增长率的符号n和J使我们能够提出紧凑和简化的正则性条件，如以下假设，它正式规定了非参数估计量的偏差方差要求。所有限制均视为n，T→ ∞, 除非另有说明。假设3（利率限制）。

序列n、T和J服从：（a）n-1Jdlog（最大（Jd，T））log（n）→0，（b）√nT J公司-（d/2+1）→ 0，如果dx≥ 1、（c）电话号码→ 假设3（a）确保所有JT增长足够慢，非参数估计量的方差得到很好的控制，所有投资组合都是非空的，而假设3（b）确保非参数平滑偏差可以忽略不计。最后，假设3（c）限制了T的增长速度。当模型中包含线性条件变量且d=1时，此附加假设对于标准推断是必要的。当d>1时，则由假设3（a）和3（b）进行简化。一般来说，如果时间序列观测值相对于横截面的数量较大和/或ord较大，则投资组合排序估计器的性能可能会受到严重影响。为了说明这一点，假设J Na和T 注意。假设3（a）和（b）要求∈ （（1+B）/（2+d），1/d），相当于需要Bd<2。如果时间序列维度较大，则允许的排序特征数量有限。例如，如果B接近1，则最多允许两个排序特征，甚至勉强允许，并且可能导致非常差的分布近似。因此，在将估值器应用于标的资产相对较少的应用程序时，应谨慎行事。在说明渐近正态性结果之前，首先给出一个显式（条件）方差公式很有用：V（z）=TTXt=1JdtXj=1NjtntXi=1^jt^jt（z）^jt（zit）σit。（8） 此公式和下面的分布结果是针对单点z的。

很少有人会对单个u（z）感兴趣，但这些结果将作为更一般的感兴趣参数的构建块，例如下面明确讨论的主要测试案例（3）。在任何此类分析中，一个重要的考虑因素是点估计量之间的协方差。投资组合排序估计器（或分区回归估计器）的特殊结构在这里很有用：只要z和zare在不同的投资组合中（这是唯一有趣的情况），则^u（z）和^u（z）是不相关的，因为^jt（z）和^jt（z）≡ 在这个意义上，分区估计是局部非参数估计，而不是全局平滑估计。现在，我们可以陈述我们的第一个主要结果。定理1（渐近分布）。假设假设1、2和3成立。然后，V（z）-1/2（μu（z）- u（z））=TXt=1ntXi=1^wit（z）εit+oP（1）→dN（0，1），其中V（z）JdnTand^wit（z）=V-1/2（z）JdtXj=1T Njt^jt^jt（z）jt（zit）。定理1表明，适当归一化的中心估计量^u（z）具有有限的正态分布。收益和（某些）特征之间的非参数规范灵活性的成本是以收敛速度较慢为代价的-系数j-d/2。定理1也明确了为什么假设3（b）是必要的：估计量的偏差为J阶-1因此，一旦速率J-日期/2√应用nT时，必须保持假设3（b），以确保可以忽略极限正态分布的偏差。这种欠平滑方法是消除偏差的典型方法。定理的陈述包括估计量的加权平均渐近表示，这有助于逐点u（z）以外的估计的处理，包括线性泛函，如注释4所述的部分平均值。逐点一阶渐近理论的最后缺失部分是一个有效的标准误差估计量。为此，我们考虑两种选择。

由于Famaand MacBeth（1973）的原因，第一种方法利用了^u（z）是T“观测值”的平均值这一事实，而第二种方法是基于投资组合估值器大样本可变性的渐近近似的插件估值器。定义VFM（z）=TTXt=1（ut（z）-^u（z）和^VPI（z）=TTXt=1JdtXj=1ntXi=1^jtNjt^jt（z）^jt（zit）^εit（9），带^εit=Rit- ^u（z）- xit^βt。以下结果确定了两个选项的有效性。定理2（标准误差）。假设定理1的假设在φ=2+%的情况下成立，某些%>0。然后，nTJd（^VFM（z）- V（z））→P0，和NTJD（^VPI（z）- V（z））→P0.Fama和MacBeth（1973）方差估计常用于实证工作，但这是其有效性的第一个证明。相反，基于定理1中的结果，^vpis是“插件”方差估计。定理2表明这些方差估计是辛等价的。在固定样本中，不清楚两种估计值中哪一种更适合。^VFMis实现简单，非常流行，而^vpii基于估计的残差，可能需要较大的横截面。另一方面，虽然我们假设T发散，但根据常见的排序应用，可以确定^vpii对fixedt有效，而^VFMis仅对大T面板有效。然而，相关结果来自Ibragimovand M¨uller（2010），他提供了条件，在这种条件下，应用于横截面回归的Fama和MacBeth（1973）方法可以对有效或保守的标量参数进行推断，这取决于所施加的假设。具体而言，Ibragimovand M¨uller（2010）在横截面回归的背景下表明，对于固定的T和aspeci fi fi fi fic范围的尺寸-α测试，Fama和MacBeth（1973）方法是有效的，但可能是保守的。

我们在第6节中的实证结果使用^vfmt形成检验统计数据，以便与文献中的现有结果相比较。一般来说，我们的结果的一致信息是，在将投资组合排序应用于具有最长时间段的应用程序的情况下，或者如上所述，当时间段的数量相对于横截面样本量“大”时，需要谨慎。定理1和2直接导致以下结果，在简单且易于解释的条件下处理主要的兴趣情况。推论1。让定理2的条件成立。然后^u（zH）- ^u（zL）-u（zH）- u（zL）q^V（zH）+^V（zL）→dN（0，1），其中^V（z）可以是方程式（9）中定义的^VFMor^VPIas。第2节说明了相同的结果，简化为模型（1）。该结果表明，测试H：u（zH）-u（zL）=0，针对双面备选方案，可按标准进行：通过弹出Hif |^u（zH）- ^u（zL）|大于1.96×q^V（zH）+^V（zL）。通过这种方式，我们的工作准确地展示了标准投资组合排序方法在什么条件下有效，也许更重要的是，在什么条件下可能失败。备注4（其他估算）。如上所述，我们的总体框架允许除“高-低”回报率之外的其他估值。例如，文献中一个很容易被我们的结果处理的流行估计是部分均值的情况，当d>1时发生。如果我们用z（1），z（2），…，表示z的d分量，z（d），那么对于尺寸δ<d的子集，感兴趣的对象isR×δ`=1u（z）wz（1），z（2），z（δ）dz（1）dz（2）····dz（δ），其中未积分的z分量固定在某个值上，或不同初始z点的线性组合。突出的例子是Fama/French 3因子的SMB和HML因子。

加权函数w（······）通常被视为均匀密度（基于价值加权投资组合），但情况并非如此。例如，如果d=2，则在测试（3）：H:Zz（1）u的类似假设之前，可以对一个组件进行集成z（1），z（2）Hwz（1）dz（1）-Zz（1）uz（1），z（2）Lwz（1）dz（1）=0。在因子构造的情况下，这对应于对因子是否有条件定价的测试。定理1和2可用于提供有效的推论。备注5（强近似）。我们的渐近结果适用于可以写成u（z）的逐点变换的假设检验，主要情况是（3）：H：u（zH）-u（zL）=0。然而，在portfoliosorting的上下文中还有其他有趣的假设，需要超越逐点结果。其中最主要的是直接测试u（·）的单调性，而不是使用u（zH）- u（zL）作为代理（见第2节中的讨论）。在Cattaneo、Farrell和Feng（2018）以及Cattaneo、Crump、Farrell和Feng（2019）的基础上，可能会建立一个有效的强近似值，以适合的中心和比例随机过程{u（z）：z∈ Z} 。这样的结果将需要大量的额外技术工作，但将允许我们测试单调性、凹度和许多其他感兴趣的假设，例如测试“U形”关系（Hong et al.，2000），或通过H测试是否存在任何有利的交易策略：| maxzu（z）- minzu（z）|=0。备注6（类似于横截面回归）。正如我们在备注1中所讨论的，横截面回归是投资组合排序的“参数替代”。然而，在实践中，很少使用在线性规范中具有多个排序变量交互作用效应的投资组合排序的更自然的参数替代方案。