时间会告诉我们-在选择嘈杂时恢复偏好

然而，首先，我们想用一个简单的例子来说明对称性有时可能根本不是一个不恰当的假设。示例1。考虑一个特殊情况，其中我们的一组选择X包括对货币结果的偏好。特别是，考虑在两个选项x和y之间进行选择，其中x是概率为1/20的彩票，0是概率为19/20的彩票，y是概率为1的安全选项。数据生成过程是基于随机风险规避参数α的CRRA预期效用的RUM b（关于随机参数模型的最新处理，见Apestegu'ia和Ballester，2018）。给定α的实际值，x的效用为u（x |α）=（1/20）20α，y的效用为u（y |α）=1，因此实际效用差为v（x，y |α）=u（x |α）- u（y |α）=20α-1.- 1.S uppose风险规避参数遵循统一分布α~ U[0.4，1.4]。如果α>1，则选择x，如果α<1，则选择y，从而得出SCF p（x，y）=0.4和p（y，x）=0.6。整个效用差异分布的cdf可以计算为g（x，y）（v）=Prob[v（x，y |α）≤ v] =0.6+ln（v+1）ln 20，对于v给出的支架[v，v]中的所有v≈ -0.83和v≈ 2.31. pdf isg（x，y）（v）=（v+1）ln 20，这显然不是对称的，但在v中严格递减。如果分析员了解数据生成过程，他会接受这种不对称是特定环境的自然特征。然而，请考虑一位不知道数据生成过程的分析人员。假设该分析员在分析SCF时错误地强加了对称性假设，目的是揭示更深层的效用。该分析员将正确地推断G（x，y）（0）=0.6，但应用对称性，th en错误地得出v（x，y）是严格负的结论，即SCF显示出对y的严格偏好超过x。

然而，真实数据生成过程满足以下条件：Z1.40.4v（x，y |α）dα≈ 0.05>0，即x的平均效用严格大于y的平均效用。该示例旨在说明（i）对称性并不总是一种似是而非的限制，尤其是当噪声像许多随机参数模型中那样是非线性时，以及（ii）错误地做出对称性假设可能会导致错误的偏好推断。以下结果表明，如果响应时间可用，即使在不受限制的模型类别中，也有可能学习参考。我们首先介绍了以下新概念。给定两个累积分布函数G和d H onR+和一个常数q≥ 1，我们说G q-一阶随机支配H（也称为G q-FSD H）ifG（t）≤ q·H（t）适用于所有t≥ 如果从理论上讲，该不等式对于某些t是严格的，那么G严格q-一阶随机支配H（写为G q-SFS D H）。对于q=1，这些概念与一阶随机优势的标准概念一致。当q>1时，它们的要求较弱，并且可能基本上是这样，因为支配函数G可以位于H之上，仅在一定程度上受比率q的约束。特别是，当q≤ q′。此外，对于G（t）/H（t）有界的任何两个分布G和d H，我们总是可以找到足够大的q，使得G q-FSD H。定理1。在所有RUM CFs类别中，合理化SCF-RT显示，如果F（y，x）q-FSD F（x，y），则x优先于y，如果F（y，x）q-SFSDF（x，y），则q=p（x，y）/p（y，x），则为严格偏好。证据设（u，g，r）为使S CF-RT（p，f）合理化并考虑（x，y）的任何RUM-CF∈ D、 通过（1），它认为1- G（x，y）（r-1（t））=p（x，y）F（x，y）（t）（2），对于所有t>0。

因为（朗姆酒2）意味着1- G（y，x）（v）=G（x，y）(-v） ，对于（y，x）∈ D断奶获得（x，y）(-r-1（t））=p（y，x）F（y，x）（t）（3），对于所有t>0。定义为Q（x，y）（t）=（p（x，y）F（x，y）（t））/（p（y，x）F（y，x）（t）），则Q（x，y）（t）=1- G（x，y）（r-1（t））G（x，y）(-r-1（t））（4）对于所有t>0。现在假设F（y，x）q-FSD F（x，y），对于q=p（x，y）/p（y，x）。这可以等效地写为Q（x，y）（t）≥ 1表示所有t>0。因此，从（4）得出f，即g（x，y）(-r-1（t））≤ 1.- G（x，y）（r-1（t））表示所有t>0。我们声称这意味着g（x，y）(-五）≤ 1.- G（x，y）（v）（5）表示所有v≥ 对于存在t>0的任何v，不等式紧随其后，使得r-1（t）=v。对于v=0，它遵循G（x，y）（v）的连续性。对于r（v）=0的任何v，它如下所示，因为在这种情况下，G（x，y）（v）=1和G（x，y）(-v） =0，否则RUM-CF将在零响应时间生成原子。定义函数H:R→ [0，1]byH（v）=1.- G（x，y）(-v） 如果v≥ 如果v<0，则为0，G（x，y）（v）。观察H是一个分布的累积分布函数，该分布在零附近对称且连续，但原子在零处除外（可能）。因此wehaveZ+∞-∞vdH（v）=Z(-∞,0）vdH（v）+Z（0+∞)vdH（v）=Z-∞vg（x，y）（v）dv+Z+∞vg（x，y）(-v） dv=Z-∞vg（x，y）（v）dv-Z-∞vg（x，y）（v）dv=0。观察furthermore，（5）意味着G（x，y）1-FSD H。因此我们有v（x，y）=Z+∞-∞vdG（x，y）（v）≥Z+∞-∞vdH（v）=0，（6），即x对y的显示偏好。如果F（y，x）q-SFSD F（x，y）对于q=p（x，y）/p（y，x），th en（5）对于某些v是严格的≥0

因此，G（x，y）1-SFSD H和（6）中的不等式是严格的，即，对x的严格偏好高于y。定理1背后的基本思想是，响应时间的可观测分布根据时间关系提供了关于效用的不可观测分布的信息。为了理解精确条件，首先假设q=p（x，y）/p（y，x）=1，对于某些（x，y）∈ D、 也就是说，两种选择的可能性相同。任何使该选择合理化的RUM C必须满足G（x，y）（0）=1/2。此外，请注意，v>0的分布生成F（x，y），v<0的分布生成F（y，x）。因此，如果我们另外观察到，对于所有t，F（x，y）（t）=F（y，x）（t≥ 0，即两个选项的响应时间分布相同，那么我们可以得出结论，效用差异分布的形状在正域和负域上必须相同。这不需要了解r的单调性以外的性质。Hencewe已经验证了分布在零附近对称，因此其平均v（x，y）为零。我们的定理确实暗示了在这种情况下，x对y和y对x的显示偏好，我们也称之为x和y之间的显示差异。相比之下，如果我们观察到F（y，x）1-SFSD F（x，y），即y的选择在系统上比x的选择慢，我们可以得出这样的结论：效用差异分布是不对称的，并且在正域上的绝对值系统地大于负域上的绝对值。因此，它的平均值v（x，y）比零大得多，这就使得x与y之间存在着明显的s三角参考。

最后，如果我们观察到q=p（x，y）/p（y，x）>1，则为了获得对x的公开偏好，对于y的选择并不比x的选择快太多，正如我们的q-一阶随机优势概念所捕获的那样。如果选择行为已经表明了特定的偏好，那么响应时间分布只需要确认效用差异分布在相反方向上不是强对称的。在本节的剩余部分，我们将讨论定理1的几个应用。首先，在客观上存在正确和错误反应的许多决策情况下，错误比正确反应慢，这是一个经常的经验观察。我们的结果表明，类似的逻辑适用于优先选择。虽然在优先选择之前，错误和正确响应的定义并不明显，但在事后，我们可以选择y显示错误，选择x显示正确响应，而enx显示严格优于y。翻译成这种语言，紧接着，如果选择概率至少是最小信息量，那么标准一阶惩罚占卜观念中的缓慢选择确实总是会揭示错误。其次，我们通过无条件选择概率和每个选择的条件响应时间分布描述了SCF RTs。这是CFS的自然延伸，使我们能够为我们的结果找到直觉。或者，我们可以通过非条件响应时间分布和每个响应时间的条件选择概率来描述选择和响应时间的联合分布。设P（x，y）（t）表示在时间t之前选择x而不是y的概率。

这些概率的比率可以计算为q（x，y）（t）=P（x，y）（t）P（y，x）（t）=P（x，y）F（x，y）（t）P（y，x）F（y，x）（t）。因此，定理1中q=p（x，y）/p（y，x）的F（y，x）q-FSD F（x，y）与q（x，y）（t）等价≥ 1表示所有t>0。（7） 定理1和我们的进一步结果集中于揭示G（x，y）的平均值（符号），因为平均值等于u（x）- u（y）并因此通知由u表示的（顺序）偏好，无论是出于规范原因还是积极原因。潜在地，人们可能有兴趣发现G（x，y）的其他汇总统计数据，我们的工具可能有助于实现这一目的，但从揭示偏好理论的角度来看，其他统计数据的相关性并不明显。参见Luce（1986）对经典进化的讨论。当然，如果决策受到外部冲动倾向的影响，情况就复杂了，例如，替代决策过程反映了潜在的偏见。关于后者对响应时间的影响，请参见Achtziger和Al\'os Ferrer（2014）。有关讨论，请参见第5.2节。类似的公式适用于严格的情况。对于具有分布假设的显示偏好，我们也可以检查x是否比所有时间t之前的y更有可能被选择。简单要求p（x，y）≥ p（y，x）作为特例，在极限为t时得到→ ∞.基于Q（x，y）（t）的公式表明了一个自然更强的条件。Letp（x，y）（t）表示选择x对y的概率，条件是选择发生在时间t（而不是t之前）。我们得到了比率q（x，y）（t）=p（x，y）（t）p（y，x）（t）=p（x，y）f（x，y）（t）p（y，x）f（y，x）（t），并且可以陈述定理1的以下推论。推论1。

在所有RUM CFs类别中，如果q（x，y）（t），合理的SCF-RT显示x优于y≥ 1适用于几乎所有t≥ 0，如果不等式对于具有正Lebesgu e测度的t的se t是严格的，则为严格偏好。几乎在所有时间，x比y更可能被选择的条件t可以解释为所有响应时间的随机一致性要求。这明显强于（7）。附录B中有一个例子，其中p（x，y）（t）<p（y，x）（t）在响应时间间隔内保持不变，因此推论1不适用，但定理1仍然揭示了astrict偏好f或x优于y。因此，我们的主要标准得出了一个结论，即使行为在响应时间上表现出随机的不一致性。最后，定理1中的结果可以通过以传递方式完成显示优先权来扩展。通过定义（X，y），以一种基本关系Rrton X收集直接显示的所有偏好∈ Rrt公司<=> F（y，x）q-FSD F（x，y）F或q=p（x，y）p（y，x），或x=y。对于x上的任何二元关系R，用T（R）表示R的传递闭包，即（x，y）∈T（R）当且仅当存在序列x，x，xnof任意长度n≥ 2，x=x，xn=y和（xk，xk+1）∈ R对于所有k=1，n- 1、设P表示R的不对称部分，TP（R）表示T（R）的不对称部分。使用此符号，我们得到以下结果。推论2。在所有RUM CFs类别中，合理化的SCF-RT揭示了x对y的影响，如果（x，y）∈ T（Rrt）和严格偏好if（x，y）∈ TP（Rrt）。本节中的结果很有趣，主要有两个原因。

首先，对于不愿意在随机效用的背景下做出分配假设的分析人员，请注意与Bernheim和Rangel（2009）的相似之处，他们要求在选项集或框架之间达成选择一致，以获得显示的偏好。第一个区别是，我们研究随机选择，并考虑在响应时间内选择的概率一致性。第二个区别是，我们的主要标准可以揭示偏好，即使没有这样的协议。模型中，定理1 p为参考揭示提供了一个稳健的准则。该标准可能会导致偏好的不完整揭示（我们将在第4节中返回该问题），但它避免了出现示例1中所示的错误。其次，如果选择行为违反了随机传递性，我们的标准可能能够进行仲裁（Tversky，1969；Rieskamp et al.，2006；Tsetsos et al.，2016）。例如，假设我们观察到一个随机选择周期，其中p（x，y）>1/2，p（y，z）>1/2，p（z，x）>1/2。这种循环（以及相关的响应时间）不能用任何具有对称效用分布的模型来合理化，但可以用具有不对称效用分布的模型来合理化。在这种情况下，三个二元选择中最多有两个可以显示偏好，因此剩余的二元选择会被传递性显示为误导。如果颜色受框架影响，并且我们在框架f下观察到pf（x，y）>pf（y，x），但在框架f′下观察到pf′（x，y）<pf′（y，x），则适用类似的论点。同样，我们的响应时间标准可能能够检测出哪个f帧会导致更符合真实偏好的选择。3.2对称情况文献中通常接受对称假设。

形式上，如果每个密度g（x，y）围绕其平均值v（x，y）对称，则RUM（u，g）或RUM-CF（u，g，r）是对称的，也就是说，如果每个密度g（x，y）围绕其平均值v（x，y）对称，则RUM（u，g）或RUM-CF（u，g，r）是对称的∈ C和所有δ≥ 0，g（x，y）（v（x，y）+δ）=g（x，y）（v（x，y）- δ).与位置1相反，该假设允许从观察到的选择概率中学习偏好。提案2。在对称RUM类中，如果p（x，y），合理化的SCF揭示了x对y的一个优势≥ p（y，x），如果p（x，y）>p（y，x），则为严格偏好。这个结果既简单又广为人知，我们在附录中仅为完整性提供了一个证明。通过以传递的方式完成显示的偏好，可以再次扩展结果。定义二元关系Rson X by（X，y）∈ 卢比<=> p（x，y）≥ p（y，x），或x=y。推论3。在对称RUM类中，一个合理化的SCF揭示了x对y的一个优势if（x，y）∈ T（Rs）和严格偏好if（x，y）∈ TP（Rs）。请注意，关系rsi总是比关系Rrt更完整，也就是说，xrrty意味着xRsy。这意味着，在没有分布假设的情况下，借助响应时间可以学习到的每个偏好也可以在没有响应的情况下学习。我们所了解的经济学文献中的第一个陈述是曼斯基（1977），但在爱德华兹（1954）中已经可以找到一个早期的、与一般随机选择密切相关的陈述。以做出（可能没有根据的）对称假设为代价。但是，即使人们愿意做出对称性假设，增加响应时间也会改善对偏好的了解，如下结果所示。它基于通过与第三个选项的比较间接地对一个选项进行三角剖分。

对于每个（x，y）∈ D其中p（x，y）>p（y，x）定义t（x，y）为x响应时间分布的1/q百分位数，q=p（x，y）/p（y，x），如前所述，即F（x，y）（t（x，y））=p（y，x）p（x，y）。百分位t（x，y）>0结合了关于选择概率和响应时间的信息。当p（x，y）变大或在通常的一阶随机优势意义下，x的选择变快时，它变小。因此，t（x，y）的sm all值表明对x的偏好高于y。比较这些百分位可以了解未观察到的对（x，y）的偏好∈ 即使trans-Itivitys无效，C\\D也是如此。定理2。在对称RUM CFs类中，合理化的SCF-RT显示出对x的偏好大于y，其中（x，y）∈ C\\D，如果存在z∈ X使得t（X，z）≤t（y，z）或t（z，x）≥ t（z，y），如果t（x，z）<t（y，z）或t（z，x）>t（z，y），则为严格偏好。证据设（u，g，r）为使SCF-RT（p，f）合理化的任何对称RUM-CF。我们首先声明，对于任何（x，y）∈ 当p（x，y）>p（y，x）时，它认为t（x，y）=r（2v（x，y））。要查看该声明，请注意，通过合理化和对称，p（y，x）=G（x，y）（0）=1- G（x，y）（2v（x，y））。（8） 从（1）我们得到p（x，y）F（x，y）（t）=1- G（x，y）（r-1（t））表示所有t>0。在t=r（2v（x，y））时进行评估，这是因为命题2的v（x，y）>0，这是很好的定义，即y ieldsp（x，y）F（x，y）（r（2v（x，y））=1- G（x，y）（2v（x，y））。（9） 将（8）和（9）产量SF（x，y）（r（2v（x，y）））=p（y，x）p（x，y）结合起来，通过定义t（x，y），可以得出t（x，y）=r（2v（x，y）），从而证明该权利要求。这种说法适用于较弱的偏好，但不一定适用于严格的偏好。在p（x，y）=p（y，x）=1/2和F（y，x）1-SFSD F（x，y）的情况下，我们确实可以得到xPrtybut yRsx。使这种SCF合理化的任何对称RUM t必须具有v（x，y）=0。