资产负债表风险度量的稀疏网格方法

重新调用我们考虑如下形式的责任函数：`（t，x，Θ）=EQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i，（3.10），其中G通过有限集上的值依赖于St，x，Θ，G={τ=0，…，τκ=T} [0，T]。在下文中，为了简单起见，我们假设τ>t。否则，将添加确定性项，但方法保持不变。Delta：我们要计算：`x（t，x，Θ）=xEQhe公司-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i（3.11），我们得到以下结果。提案3.2。对于所有（t，x，Θ）∈ [0，1]×R×R，以下情况成立：`x（t，x，Θ）=等式-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）Hx，Θe-Rτtξtsds，St，x，Θτi、 （3.12）带hx，Θ（a，y）=∑-11,2a+∑-12,2×对数（y/x）-Rτtαt，Θrdr+σ（τ- t）x、 （3.13）式中，∑是（Atτ，Xt，x，Θτ）的协方差矩阵，见（3.18）。证据我们把期望写成一个积分，记住我们知道耦合定律（ξtu，Atu，Xt，x，Θu）在Fs上的条件：EQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i（3.14）=e-RTtαt，ΘsdsEQ“e-Rτtξtsdsκ-1Y`=1e-Rτ`+1τ`ξtsdsG（St，x，Θ）#=e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）dQ（Atu，Xt，x，Θu）u∈ΓG（a，···，aκ，x，···，xκ）=e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）pΘ（t，0，log（x），1，a，x）×。×pΘ（tκ-1，0，xκ-1，tκ，aκ，xκ）da··daκdx··dxκ，其中pΘ（s，a，x，u，，.）是偶的密度（At，au，Xt，x，Θu），以Fs为条件。我们以前发现它是一个具有显式平均向量和协方差矩阵的高斯向量。因此，使用Fubini\'stheorem，我们得到，因为除了第一个密度外，对x没有依赖性：`（t，x，Θ）x=e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）pΘ（t，0，log（x），1，a，x）x×。×pΘ（tκ-1，0，xκ-1，tκ，aκ，xκ）da··daκdx··dxκ。

（3.15）因此，贴现价格对初始股价的敏感性仅通过计算密度对x的导数来计算。我们有pΘ（t，0，log（x），s，a，y）=det（2π∑）exp-（（a，y）- u) Σ-1（（a，y）- u)>, （3.16）其中，由于（3.7）-（3.8），u=Et公司Atτ, Et公司Xt，x，Θτ（3.17）∑=Var（Atτ）tCov（Atτ，Xt，x，Θτ）tCov（Atτ，Xt，x，Θτ）tVar（Xt，x，Θτ）t！。（3.18）仍然通过（3.7）-（3.8），我们看到只有EthXt，x，Θτide依赖于x。因此我们得到：f（t，0，log（x），s，a，y）x=∑-11,2a+∑-12,2×对数（y/x）-Rτtαt，Θrdr+σ（τ- t）xf（t，0，log（x），s，a，y）。（3.19）将这个等式重新注入（3.15）并根据期望重写结果，我们最终得到了结果。功能（ti，·）使用（3.12）中给出的蒙特卡罗估值器计算，如（3.9）中所示，其中我们还模拟了与利率曲线相关的权重H.敏感性。我们现在考虑与利率曲线相关的衍生品。对于i=1、2、3，我们要计算：`θi（t，x，Θ）=θiEQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i，i=1，2，3。提案3.3。对于所有（t，x，Θ）∈ [0, 1] × (0, ∞) ×Rand all i=1，2，3，我们有以下等式（其中我们设置了τ=t）：`θi（t，x，Θ）=等式-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）Hx，Θi（ξtτl，e-Rτlτl-1ξtudu，St，x，Θτl）l=1，。。。，κi、 （3.20）HT，x，Θi（（r`，a`，s`）`=1，。。。，κ) = -Zτκtht，isds+κX`=1Zτ\'τ`-1ht，isds！(Στ`-1,τ`)-11,3（r`- uτ`-1,τ`)+ (Στ`-1,τ`)-12,3（a`- uτ`-1,τ`)+ (Στ`-1,τ`)-13,3（对数）- uτ`-1,τ`), （3.21）式中，us，uand∑s，uar是高斯向量（ξtu，Atu，Xt，x，Θ）的平均值和协方差矩阵，条件为Fs。证据执行与上述分析类似的分析，`θi（t，x，Θ）=e-RTtαt，ΘsdsθiEQhe-RTtξtsdsG（St，x，Θ）i+e-RTtαt，ΘsdsZR2κe-aκ-1Y`=1e-a`+1G（ex，…，exκ）pΘ（t，0，log（x），1，a，x）。pΘ（tκ-1，aκ-1，xκ-1，tκ，aκ，xκ）θida··daκdx··dxκ。

（3.22）这里，计算更加复杂，因为每个密度都取决于ai，i=1，2，3，但IDEA与之前相同。唯一的区别是，当我们使用（3.7）-（3.8）进行区分时，我们看到短期本身出现在公式中。这不是问题，因为我们可以将之前的积分重写为R3κ上的积分，在时间τl，l=1，…，采用短速率过程，κ、 作为新的变量进行集成。数量`θi（i=1，2，3）使用公式（3.20）的蒙特卡罗估计量计算。然后求解系统（2.18）可以得到系数ρ，ρ，ρ。这种计算导数的方法允许我们仅用一次蒙特卡罗模拟计算函数`（t，x，Θ）及其四个导数。此外，在风险中性的情况下，公式（3.13）和（3.21）中涉及的每个数量都可以通过对初等函数ht、iand进行积分，并通过反转大小为3×3的实对称矩阵来精确计算。因此，权重函数Ht，x，Θ，Ht，x，Θ易于准确计算。3.3稀疏网格法嵌套模拟法要求函数及其导数的近似值`x，`θi，i=1，2，3，对于每条路径（\'Sjt，\'jt）t∈Γ的市场参数。这些值是根据非常耗时的流量计算的。我们在此建议另一种方法，即预先计算兴趣量（`及其导数）并存储它们。然后通过插值程序获得给定市场参数的请求值。第一种简单的方法是考虑域A的等距网格：=Qdl=1[mp，mp]，这是X的支持度（在我们的设置中，Rd，d=4）。然后可以使用多重线性插值在整个空间中重建函数。

如果在一个维度中设置2个点，则在给定时间内，一个函数的总点数将为2dp，并且总体（n+1）2dpto存储（此处d=4）。这将迅速变得太大，尤其是如果允许市场参数数量增长的话。这是数值分析在处理高维问题时遇到的“维数灾难”的典型例子。我们不考虑使用规则网格，而是使用稀疏网格，这样可以减少存储函数数值近似所需的点数。现在，我们快速介绍了与稀疏网格相关的主要概念，请参见[2]以了解全面的调查。在我们的数值示例中，请参见第4节，稀疏网格将使用StOpt C++库计算[5]。对于每个多索引k≤ l、 我们定义网格hk=2-kand网格点ˇyk，i=（m+i（m- m） 香港，md+id（md- md）港币），0≤ 我≤ 2k。使用hat函数，y∈ R 7→ φ（y）：=（1- |y |如果y∈ [-1，1]0，否则（3.23），我们可以将一组节点基函数关联到前面的网格：y∈ Rd7→ φk，i（y；A）=dYl=1φ（yl- 伊尔克，我-il）。当使用“全”线性插值时，该函数在最底层使用一整套节点基函数进行近似。相反，我们考虑由vκ定义的p阶稀疏网格节点空间：=span{φl，j；（l，j）∈ Ip（A）}，其中iκ：=（l，j）：0≤dXi=1li≤ p0≤ j≤ 2l；（li>0且jiis奇数）或（li=0），对于i=1，d.

（3.24）对于函数ψ：a→ R在A的支持下，我们通过πAVκ[ψ]（y）：=X（l，j）定义其相关的Vκ内插子∈Iκ（A）θl，j（ψ；A）φl，j（y；A）（3.25），其中算子θl，jc可以根据r，l的维数递归定义：θl，j（ψ；A）=ψ（ˇyl，j）；r=0θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr）；A.-); lr=0θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr）；A.-) -θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr-1); A.-)-θl-,j-（ψ（·，ˇyrlr，jr+1）；A.-); lr>0（3.26），其中，对于超立方体a=Qdl=1【ml，ml】，a- :=Qd公司-1l=1【ml，ml】，对于带维数的多指数k≥ 1，k- = （k，…，kr）-1).现在让我们介绍一下我们用来计算损失分布的近似值，即` S（·）：=πVκ[` N]（·），`x（t，·）S： =πVκ[`x（t，·）N] （·）（3.27）和`θi（t，·）S： =πVκ[`θi（t，·）N] （·）i∈ {1，2，3}，t∈ Γ .这些函数是通过计算（3.25）中出现的系数来构建的，这些系数随后存储在内存中。对于“Ssay”，这相当于计算稀疏网格vp上的函数，这是通过蒙特卡罗模拟完成的，与前面的方法一样，回忆一下“Nin”的定义（3.9）。复杂性此方法的主要限制是内存使用量和预计算函数的时间。这与栅格中的点数成比例。这个数字可以估计为ofO（2κ-d+1（κ-d+1）d-1（d-1)!), 参见【2】中的命题4.1。让我们坚持这样一个事实，即与嵌套模拟方法相比，这是“o峈ine”完成的。对于“在线”计算，主要作用是评估函数，该函数比线性插值稍微进化，为O（κ），其中κ是选择的最大水平。备注3.1。

每个点的计算都是独立的，这种稀疏网格方法可以容易地并行化，从而进一步提高第4.1.3.4小节收敛性研究中观察到的时间增益。目标是以有效的方式获得与资产负债表损失分布相关的风险的合理近似值。在本节中，我们将解释为什么上述方法确实是风险指标的良好近似值。我们还从理论上研究了这两种方法在内存和时间消耗方面的数值复杂性。3.4.1误差分析对于风险估计，我们将研究以下形式的均方根误差（rMSE）υ： =E|%（p]η）- %（pД]ηN）|, 对于ν∈ {N，S}。期望算子E[·]作用于PN QM、 也就是说，它在用于校准的真实世界度量下的市场参数模拟和定价度量下的市场模型风险中性演化上均取平均值。第一个观察结果是，在对风险指标中使用的风险度量进行合理假设的情况下，数值模拟中执行的错误可分为两个主要贡献：来自市场参数抽样的损失分布抽样误差和近似不同定价和对冲函数时产生的误差。引理3.2。假设%具有单调且现金不变的升力<，则υ≤ E|%（p]η）- %（p]ηN）|+ E“sup1≤j≤N | p（Xj）- pν（Xj）|#。证据我们用分布为ηN（ω）的随机变量bxn（ω）表示。

注意p（bXN（ω））≤ pν（bXN（ω））+sup1≤j≤N | p（Xj（ω））- pν（Xj（ω））|（3.28），导致<（p（bXN（ω）））≤ <（pν（bXN（ω）））+sup1≤j≤N | p（Xj（ω））- pν（Xj（ω））|。通过对称，我们很容易得到|%（p]η）- %（pД]ηN（ω））|≤ |%（p]η）- %（p）ηN（ω））|+sup1≤j≤N | p（Xj（ω））- pν（Xj（ω））|（3.29），然后利用Minkowski不等式得出证明。当函数足够光滑时，可以很好地理解由于函数pis的近似而产生的误差。请注意，函数的资产端非常复杂，我们不会试图获得整体函数p平滑的条件。我们现在只需检查负债部分`（1，·）上的错误，假设映射G有界且（x，Θ）→ β1，ΘTG（S1，x，Θ）∈ Cb。（3.30）尽管在上述模型中几乎不能肯定这一点，但我们将在下面的讨论中假设β1，Θ是有界的。更精确的分析应该考虑到这些发生概率很小的极端事件。另一种可能性是，通过截断或考虑（2.2）的CIR模型，强制利率为非负。引理3.3。假设（3.30）成立。回想一下‘Nin（3.9）的定义，然后最大值1≤j≤N |`（Xj）- `N（Xj）|≤ Crlog（N）M.（3.31）证明。我们用c表示映射（x，Θ）上的界→ β1，ΘTG（S1，x，Θ）（回想方程式（3.30）之后的讨论），因此`上的界。为了方便读者，我们引入∑jM：=MXk=1`（Xj）- βt，Xj，kTG（St，Xj，kT），观察Eh∑jMi=0，回想一下，（jM）是i.i.d。我们有，使用Hoeffing不等式，Eh{∑jM |>z}i≤ 2经验值-zcM公司.利用独立性性质，我们得到了eh{maxj |∑jM|≤z} 我≥1.- 2经验值-zcM公司N、 （3.32）现在设置ξ：=cM log（N）并计算最大值1≤j≤N∑jM|=Z∞Eh{maxj |∑jM |>z}idz≤ ξ+Z∞ξEh{maxj |∑jM |>z}idz≤ ξ+Z∞ξ1.-1.- 2经验值-zcM公司Ndz。现在，我们观察到对于N≥ 2，2 exp-zcM公司≤ 1代表z≥ ξ.

使用以下事实1- (1 - u） N个≤ Nu，foru∈ [0，1]，我们得到最大值1≤j≤N∑jM|≤ ξ+2NZ∞ξexp-zcM公司DZ导至脚趾最大值1≤j≤N∑jM|≤ ξ+2cM，并得出证明结论。我们通过给出上述数值过程引起的总体估计误差来结束本节。我们承认引理3.3中给出的`（1，·）的误差上界适用于PNL函数p（1，·），其标度为n，来自于再平衡日期的数量。定理3.1。假设%是光谱风险度量。然后，对于某些α>0,1的情况，以下公式成立。对于嵌套模拟方法N≤ CNα+nrlog（N）M！；(3.33)2. 对于具有最大水平κ的稀疏网格方法S≤ CNα+n（rlog（n）M+2-2κ(κ - d+1）（d-1))!. （3.34）证明。1、我们首先表明最大值1≤j≤N |`（Xj）- `S（Xj）|≤ Crlog（N）M+2-2κκ（d-1)!. （3.35）实际上，我们有` S=πVκ[`N]=`N+πVκ[`N]- `N、 我们观察到πVκ[`N]- `N=MMXj=1πVκ[e-RTr1，·，ksdsG（S1，·，k）]- e-RTr1，·，ksdsG（S1，·，k）让我们用（x，Θ）7表示→ φk（x，Θ）=e-RTr1，Θ，ksdsG（S1，x，Θ，k），这是一个随机函数，因为它依赖于（r，S）过程的随机实现。在（3.30）下，φkis足够光滑，可以将结果应用于[2]中的比例4.1，我们得到|πVκ[`N]- `N个|∞≤MMXj=1 |πVκ[φk]- φk|∞≤ C2级-2κκd-1.（3.36）然后我们观察到最大值1≤j≤N |`（Xj）- `S（Xj）|≤ 总工程师最大值1≤j≤N |`（Xj）- `N（Xj）|+ |πVκ[`N]- `N个|∞!.将上述不等式与（3.36）和引理3.3.2相结合，得出（3.35）的证明。我们现在证明（3.33）。应用引理3.2，我们得到N≤ E|%（p]η）- %（p]ηN）|+ E最大值1≤j≤N |`（Xj）- `N（Xj）|. （3.37）上述不等式右侧的第二项由引理3.3控制。我们现在研究右侧的第一项，即损失分布抽样引入的误差。

将[7]中的推论11应用于光谱风险度量，我们首先得到|%（p]η）- %（p]ηN）|≤ 总工程师W（η，ηN）.然后，我们使用[4]中的定理1来限制瓦瑟斯坦距离，从而得出这一步的证明。为了证明（3.34），我们遵循步骤2中的类似论点。但是使用（3.35）而不是调用Lemma3.3。备注3.2。我们可以将嵌套模拟得到的界限与[6]中的界限进行比较。使用不同的方法，作者证明了C给出的总体误差有一个很好的界√N+M,对于V@R（不是光谱风险度量）和AV@R。请注意，通过误差扩展取消一阶项获得的术语。了解在我们的一般光谱风险度量设置中可以检索到哪些假设的界限是很有意思的。这个话题有待进一步研究。最后，我们简要介绍了这两种方法的数值复杂性。嵌套模拟方法是一种纯粹的“在线”方法，实现起来非常简单，但在运行时间方面有很大的倒退。每次请求估算时，数值复杂性都超过了nN M，其中n是重新平衡日期的数量，M是风险中性模拟的样本数量，n是真实世界模拟的样本数量。内存需求仅来自对损耗分布的估计，其阶数为N。如前所述，稀疏网格方法既是一种“在线”方法，也是一种“在线”方法。因此，在内存需求方面，它比嵌套模拟方法更贪婪。除了存储样本分布（N阶）所需的内存外，还需要存储稀疏网格近似值ps，要求为O阶（n2κ-d+1（κ-d+1）d-1（d-1)!).

就运行时间而言，增益很重要，因为仅评估O（κ）的pSis的复杂性，其中κ是使用的最大级别。4数值在下面的数值应用中，我们将通过计算两个经验分布之间的Wasserstein距离，比较通过我们的两个数值程序获得的损失分布。由于损失分布是一维的，我们使用下面的公式【8】：对于R，η和|η上的两个概率分布，W（η，|η）=（Z|F-1η（u）- F-1η（u）| du）。（4.1）在经验分布的设置中，上述距离很容易计算。假设η=NPNi=1δxindη=NPNi=1δyi。我们直接计算w（η，|η）=NXi=1ZiNi-1N | F-1η（u）- F-1η（u）| du=NNXi=1 | x（i）- y（i）|，（4.2），其中下标（i）表示分布的第i阶统计量，因为x（i）（对应y（i））是η（对应η）的第n个分位数。除了两个经验分布之间的Wasserstein距离，我们还将比较estimatedV@R和AV@R，以类似的方式计算。的确，对于α∈ （0，1），我们有：V@Rα（η）=F-1η（α）=x（iα），（4.3），其中iα-1N<α≤iαN，iα∈ {1，…，N}。对于给定α∈ （0，1），我们观察到av@Rα（η）=1- αZαV@Rp（η）dp=1- αZiαNαV@Rp（η）dp+N-1Xi=iαZi+1NiNV@Rp（η）dp！这导致V@R'α（η）=1- α{iαN- α} x（iα）+NN-1Xi=iαx（i+1）！。（4.4）使用公式（4.2）、（4.3）和（4.4），我们现在将给出数值结果，显示稀疏网格方法的效率和有用性。