资产负债表风险度量的稀疏网格方法

我们首先将其与经典的nestedsimulation方法进行比较。4.1稀疏网格法与嵌套模拟法我们使用嵌套模拟法（回顾第3.2节）和稀疏网格法（回顾第3.3节）计算了地平线1年处PnL的经验分布。对于这两种方法，我们使用了一个大小为N=11000的样本来描述S和Θ的真实世界演变，recallM 100 500 1000 2000 10000Wasserstein距离0.73 0.20 0.09 0.050V@R/AV@R α = 0.005 7.03 / 8.75 4.26 / 5.08 3.95 / 4.33 3.72 / 4.01 3.56 / 3.85V@R/AV@R α = 0.01 5.82 / 7.52 3.88 / 4.57 3.68 / 4.07 3.48 / 3.80 3.37 / 3.65V@R/AV@R α = 0.05 4.01 / 5.22 3.08 / 3.62 2.93 / 3.36 2.84 / 3.23 2.77 / 3.13V@R/AV@Rα=0.1 3.31/4.42 2.72/3.24 2.61/3.06 2.54/2.96 2.49/2.88表1：不同风险中性模拟样本大小的嵌套模拟获得的指标比较。第2.4节。对于嵌套模拟方法，使用[6]中给出的总体误差界，我们希望通过大小为M\'的样本的蒙特卡罗模拟来近似风险中性预期√N、 即M=100。然而，在实践中，我们观察到尚未发生趋同，并且我们观察到所考虑的风险措施发生了不可忽视的变化，见表1。在该表中，我们计算了关于M=10000时获得的分布的Wasserstein距离。操作限制不允许我们改变P下蒙特卡罗模拟所用样本的大小，因此，我们认为风险中性蒙特卡罗模拟的样本大小为M=2000。

根据命题2.2，我们校准了高斯模型，使得（X，（θ），（θ），（θ））的均值和协方差矩阵为：u=（4.1×10-5、0.01、0.03、0.01、（4.5）V=0.004 3.2 × 10-56.76 × 10-60.0000083.2 × 10-53.1 × 10-51.82 × 10-51.5 × 10-56.76 × 10-61.82 × 10-57.5 × 10-58.1 × 10-60.000008 1.5 × 10-58.1 × 10-62.7 × 10-5.（4.6）风险中性模拟通过蒙特卡罗程序计算，使用我们使用的赫尔&怀特和布莱克&斯科尔斯设置中的精确公式计算，回顾命题3.1。Black&Scholes模型中使用的波动率参数设置为σ=0.3，而Hull&White模型的参数设置为a=0.05和b=0.01。最后，将两个布朗运动之间的协变参数设置为ρ=0。在此设置中，使用2.1中描述的看跌期权测试嵌套模拟方法，成熟度T=30年。图2显示了结果PnL的分布。PnL分布，嵌套模拟PnL密度1 2 3 4 50.0 0.2 0.4 0.6 0.8图2：PnL分布，嵌套模拟我们接下来研究了网格方法。图3显示了级别1、2、3的稀疏网格的PnL分布结果，这些网格的基数分别为81、297、945。对于每个级别，我们选择了风险中性模拟的数量M，这样蒙特卡罗估计引起的误差与稀疏插值误差相比就很小，这意味着我们可以多次运行程序，而不会显著改变结果。此外，在嵌套模拟的情况下，我们选择M，以便增加M对分布没有影响。根据经验，我们选择M=20000作为1、2或3级稀疏网格。图4将嵌套模拟获得的分布与Level 3稀疏网格获得的分布进行了比较。

表2显示了计算时间比较，表3显示了V@R和AV@R比较在每种情况下获得的经验分布。我们观察到，在M=20000的3级稀疏网格上的计算时间与仅M=2000的嵌套模拟的计算时间相似。此外，仅通过使用2级稀疏网格即可获得显著的时间增益，这已经给出了很好的结果，见表2。正如Remark3.1中已经观察到的那样，通过计算的并行化，可以进一步提高时间增益。此外，我们观察到，一旦网格上的计算完成，那么PnL分布几乎是直接得到的。这是该方法的一个关键特征，因为网格上的计算将保持不变。事实上，如果有人需要改变P下（S，Θ）的分布，比如说因为风险管理对市场参数演化的观点已经改变，那么它们可以很容易地重复使用。

在下一节中，我们将给出这方面的一个应用程序。PnL分布，稀疏网格PNLDensity1 2 3 40.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2解析网格，1级解析网格，2级解析网格，3级图3：PnL分布，稀疏网格级别l=1 l=2 l=3嵌套模拟网格上的计算9分钟30秒35分钟10秒1h 58分钟PnL分布计算2秒4秒8秒2h 15表2：稀疏网格的计算时间级别l=1 l=2 l=3嵌套模拟Wasserstein距离0.13 0.06 0.050V@R/AV@R α = 0.005 3.87 / 4.09 3.64 / 3.94 3.72 / 3.96 3.72 / 4.01V@R/AV@R α = 0.01 3.68 / 3.93 3.43 / 3.73 3.54 / 3.79 3.48 / 3.80V@R/AV@R α = 0.05 3.08 / 3.43 2.81 / 3.17 2.95 / 3.30 2.84 / 3.23V@R/AV@Rα=0.1 2.73/3.16 2.54/2.92 2.64/3.04 2.54/2.96表3：经验分布比较Comp稀疏与NestedPnLDensity1 2 3 40.0 0.2 0.4 0.6 0.8稀疏图4：PnL分布、嵌套模拟与稀疏网格方法4.2模型风险如上所述，本文开发的稀疏网格方法的一个有趣特征是，能够在真实概率P下改变过程X=log（S）和Θ的分布。在本节中，我们使用第2.4节中描述的模型来模拟第一个样本。然后，我们考虑用于校准高斯模型的估计矩u，V（X，Θ）的一些不确定性：我们仅假设真实矩位于估计值周围的中心区间。实际上，我们考虑的是[m×0.95，m×1.05]形式的区间，其中m是所考虑的估计力矩。为了更好地理解与P下的这种不确定性相关的风险，我们模拟了（X，Θ）的两个“极端”新样本，其中校准模型所考虑的每个时刻都乘以0.95（分别为。

1.05），并且，由于之前对初始模型进行了网格计算，我们几乎可以即时计算与这两个新样本相关的经验PnL分布。表4显示了初始分布与移位参数获得的两个分布之间的Wasserstein距离，以及V@R和AV@R在不同分位数水平获得。我们观察到，这些微小变化的分布非常接近。得到了减小矩的主要差异。模型初始模型减小力矩增大力矩瓦塞斯坦距离0.030 0。0070V@R/AV@R α = 0.005 3.37 / 3.63 3.43 / 3.81 3.33 / 3.67V@R/AV@R α = 0.01 3.18 / 3.45 3.17 / 3.54 3.16 / 3.45V@R/AV@R α = 0.05 2.61 / 2.95 2.63 / 2.97 2.60 / 2.93V@R/AV@Rα=0.1 2.34/2.71 2.37/2.73 2.32/2.69表4：经验分布的比较5附录5.1（2.3）的证明在本小节中，我们将给出命题2.1的完整性证明。我们提醒大家，在赫尔-怀特模型中，短速率的动力学由以下公式给出：drt，Θs=a（ut，Θs- rt，Θs）ds+bdBs（5.1），带a，b∈ R、 我们将证明均值回复θ扫描可通过以下方式通过远期利率曲线fΘ（t，s）进行校准：ut，Θs=fΘ（t，s）+afΘ（t，s）s+b2a（1- e-2a（s）-t） ）（5.2）该方法是用以下方式表示零息票债券P（t，s）的价格：E[exp(-Zstrt，Θudu）]=P（t，s）=exp(-ZstfΘ（t，u）du）（5.3）然后通过比较两侧，我们可以确定fΘ（t，s）。

首先，很容易发现（5.1）isrt的解决方案，Θs=rt，Θte-a（s）-t） +aZstut，Θue-a（s）-u） du+bZste-a（s）-u） 通过简单的计算，我们得到了zstrt，Θudu=rt，Θta（1- e-a（s）-t） ）+Zstut，Θu（1- e-a（s）-u） ）du+baZst（1）- e-a（s）-u） ）dBuSoRstrt，Θudu服从正态分布，平均值[Zstrt，Θudu]=rt，Θta（1- e-a（s）-t） ）+Zstut，Θu（1- e-a（s）-u） ）duand varianceV[Zstrt，Θudu]=baZst（1- e-a（s）-u） duNow比较（5.3）的两边，我们得到了zstfΘ（t，u）du=E[Zstrt，Θudu]-V[Zstrt，Θudu]ThusfΘ（t，s）=sE[Zstrt，Θudu]-sV[Zstrt，Θudu]=rt，Θte-a（s）-t） +aZstut，Θue-a（s）-u） 杜邦-b2a2aZst（e-a（s）-u）- e-2a（s）-u） ）du=rt，Θte-a（s）-t） +aZstut，Θue-a（s）-u） 杜-b2a（1- e-a（s）-t） （5.4）通过直接的区别，我们有sfΘ（t，s）=-艺术，Θte-a（s）-t）- aZstut，Θue-a（s）-u） du+aut，Θs-ba（e-a（s）-t）- e-2a（s）-t） ）（5.5）现在通过（5.4）和（5.5），我们可以很容易地验证（5.2）是否有效。5.2命题2.2的证明我们提供了命题2.2的递归证明，该证明允许有效地计算过程的系数。更一般地假设向量u∈ R和协方差矩阵V∈ Rn×nis给定。我们寻找n过程Xi（i=0，…，n），定义为：Xit=Xi+位+nXj=1cijWjt，（5.6），其中Wjt（j=1，…，n）是n个独立的布朗运动，b∈ Rn，C=（cij）∈ Rn×n.提案5.1。最多有一个（b、C）∈ Rn×Rn×nsuch：ocij=0，每当i>j时，oExi= ui（i=1，…，n），oCov（Xi，Xj）=Vij（i，j=1，…，n）。证据我们有Exi= Xi+bi，so bi：=ui- XI确保Exi= ui对于所有i。我们接下来通过递归算法确定矩阵C：升序：让i，l∈ {1，…，n}，并假设cik，k>l和clk，k≥ l已确定。然后我们确定cil。实际上，如果i>l，我们将cil设置为0。如果i<l，我们有：Vil=Cov（Xi，Xl）（5.7）=nXj=1cijclj（5.8）=nXj=lcijclj（5.9）=cilcll+Xj>lcijclj。（5.10）因此我们设置：cil=cllVil公司-Xj>lcijclj.

（5.11）后退：让l∈ {1，…，n}并假设cljis已确定，k>l。然后我们可以确定cll。事实上：Vll=V（Xl）=nXj=1clj=nXj=lclj=cll+Xj>lclj。（5.12）因此我们设置：cll=sVll-Xj>lclj。（5.13）5.3引理3.1和命题3.1的证明我们在这里证明引理3.1和命题3.1，它们给出了一个递归过程来精确模拟引理3.1的Q证明。Let（t，Θ）∈ [0，T]×Rand考虑过程rt，Θ=（rt，Θs）s∈[t，t]由（2.2）（2.3）定义。让我们∈ [t，t]。It^o公式的应用给出：easrt，Θs=eatrt，Θt+aZsteauut，Θudu+bZsteaudBu，（5.14），使用等式（2.3）进行的简单计算表明：aZste-a（s）-u） ut，Θudu=αt，Θs- αt，Θte-a（s）-t） ，（5.15），其中αt，Θ是由（3.4）定义的。此外，如果ξ由（3.5）定义，再次应用其公式得出：ξts=bZste-a（s）-u） dBu。（5.16）因此：rt，Θs=e-a（s）-t） rt，Θt+αt，Θs- e-a（s）-t） αt，Θt+ξts，（5.17），证明结束为rt，Θt=αt，Θt，by（5.4）。现在我们来看命题3.1的证明。命题3.1的证明。让t≤ s≤ u≤ TIt^o的公式意味着三重态（ξtr，At，sr，Xt，x，Θr）r∈[s，u]是以下线性随机微分方程的解：dξrArXr=-a 0 01 0 01 0 0ξrArXr+αt，Θr-σdt公司+b 00 0σρσp1- ρdBrdWr, r∈ [s，u]，（5.18），初始条件ξs=ξts，As=0，Xs=Xt，x，Θs。该线性方程具有闭合形式的解，我们发现：ξtu=e-a（u-s） ξts+bZuse-a（u-r） dBr，（5.19）At，su=ξtsa（1- e-a（u-s） ）+巴祖（1- e-a（u-r） ）dBr，（5.20）Xt，x，Θu=Xt，x，Θs+Zusαt，Θrdr-σ（u- s） +ξtsa（1- e-a（u-s） ）+ZUS1- ρσdWr（5.21）+baZus（1- e-a（u-r） ）dBr+ZusρσdBr。

（5.22）在Fs的条件下，向量（ξtu，At，su，Xt，x，Θu）是高斯的，并且由于上述公式，命题中给出的期望和协变量很容易计算。5.4与自动区分的比较。我们使用stan math C++库[3]，该库允许轻松实现（反向模式）自动微分过程，以便直接从函数L的蒙特卡罗计算中推导导数。我们将使用此处开发的权重方法获得的结果与通过自动微分获得的结果进行比较。我们还对计算时间进行了比较。精确地说，我们计算了`在256个点（xi，θi，θi，θi）i=1，…，对4个变量（x，θ，θ，θ）的导数，。。。，在自动微分的情况下，我们只需要1000个风险中性模拟来计算“权重”，而对于涉及权重计算的方法，我们需要10000个模拟来计算“及其四个导数”。表5总结了计算所需的时间。很明显，使用权重算法所带来的时间增益非常重要。此外，图5显示了使用权重导数与自动微分的计算精度。算法-Option-Put-LookbackAutomatic Differentiation 179 secWeights 97 secTable 5：计算时间图5：网格方法的结果与自动DifferenticationAcknowledges的结果作者感谢2017年CEMRAC的组织者提供了学习atCIRM的机会。在AXA研究基金的支持下，这项工作在欧洲金融研究所（Europlace Institute of Finance）赞助的研究项目“衍生品非线性定价和风险管理的先进技术”范围内获得了部分资助。

最后，我们要感谢CEMRACS期间支持EDUS的所有资金来源，尤其是巴黎迪德罗大学。参考文献【1】Damiano Brigo和Fabio Mercurio。利率模型理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷。施普林格科学与商业媒体，2007年。[2] Hans Joachim Bungartz和Michael Griebel。稀疏栅格。《数字学报》，13（5月）：1472004年。[3] Bob Carpenter、Matthew D Hoffman、Marcus Brubaker、Daniel Lee、Peter Li和Michael Betancourt。斯坦数学库：c++中的反向模式自动微分。arXiv预印本arXiv:1509.071642015。[4] Nicolas Fournier和Arnaud Guillin。关于经验测度的wasserstein距离的收敛速度。概率论及相关领域，162（3-4）：707–7382015。[5] 雨果·格夫雷特、尼古拉斯·兰热内、杰罗姆·勒隆、泽维尔·沃林和阿迪提亚·马赫什瓦里。C++中的随机优化库。研究报告，EDF实验室，2018年5月。[6] 迈克尔·高迪和桑德普·朱内哈。投资组合风险度量中的嵌套模拟。《管理科学》，56（10）：1833-18482010。[7] 阿洛伊斯·皮克勒。不同概率度量的风险度量评估。《暹罗优化杂志》，23（1）：530–5512013。[8] Yu V Prokhorov。随机过程的收敛性与概率论中的极限定理。可能性理论及其应用，1（2）：157–2141956。