资产负债表风险度量的稀疏网格方法

（2.8）2.2.2股票模型给出了利率因素和风险资产价格x的观察结果∈ (0, ∞), 中性风险度量Q下的价格演变由t，x，Θs=x+Zstrt，ΘuSt，x，Θudu+ZstσSt，x，ΘudWu，s给出∈ [t，t]，（2.9）其中σ>0，~W是另一个Q-布朗运动，其与B的二次协变量由hb给出，~W it：=ρt，t∈ [0，T]，其中ρ∈ [-1, 1]. 等效地，St，x，Θ可以写成：St，x，Θs=x+Zstrt，ΘuSt，x，Θudu+ZstρσSt，x，ΘudBu+Zstp1- ρσSt，x，ΘudWu，s∈ [t，t]（2.10），其中W是Q-布朗运动，与B无关。备注2.3。实际上，可以校准（2.10）中出现的参数σ，以便模型再现风险资产上某些衍生工具的价格。这可以通过增加Θ所在空间的尺寸和添加此校准程序来考虑。备注2.4。自然，通用稀疏网格方法可以应用于不同的模型和功能表示。我们选择使用Black&Scholes模型来表示股票价值，使用Hull&White模型来表示短期利率的h、h、HF的函数表示，因为它们便于获得明确的定价和敏感性公式，如下所示。2.3资产负债表建模我们的关键点是，根据t=0时的市场观察结果，估算t=1时（此处为一年）保险公司资产负债表的分布。如引言中所述，PnL是一个过程P，可分解为asPt=Lt- At，t∈ [0，1]，（2.11），其中L是公司负债的价值，A是资产的价值。我们假设在t=0时，资产负债表是清晰的，这意味着该公司既没有资产也没有负债，即L=A=0。我们在随后的两节中准确描述了这些数量的定义。

重要的是，wedenote by“Xt:=（“St，”“t”），0≤ t型≤ 1，表示真实世界测度P下市场参数随机演化的随机过程。即，如第2.2.1节所述，S是股票价格和利率曲线参数。重要的是要记住，为股票价格S（Q下）和S（P下）选择的模型将完全不同，因为它们不符合相同的目的（一方面是定价对冲，另一方面是资产负债表的风险管理或所需资本的监管评估）。2.3.1负债侧对于任何市场观察，必须计算负债的值Lt=：`（t，\'St，\'t），尤其是在我们的应用程序中的时间t=1时。公司负债减少为一种以t=0的价格出售的衍生产品。在我们的设置中，未定权益的价格简单地由以下公式给出：`（t，x，Θ）=EQhe-RTtrt，ΘsdsG（St，x，Θ）i，（2.12）其中（rt，Θ，St，x，Θ）t≤s≤关于短期利率和股票价格的风险中性动态，请参见第2.2.1节和第2.2.2节，根据t时观察到的市场参数（x，Θ）进行校准。我们记得，支付取决于St，x，Θ，仅通过值St，x，Θτ，τ∈ ΓG：={τ，…，τκ}（κ≥ 0），请参见（2.1）。如下文所述，首先计算需要在[0，1]×（0，可能是随机的）离散网格上近似（t，x，Θ）的`（t，x，Θ），∞) ×R.任意点（t，x，Θ）的近似值L∈[0, 1]×(0, ∞)×rbasicaly遵循风险中性度量Q和蒙特卡罗程序下的过程rt，Θ和St，x，Θ的模拟。我们将在第3节中看到，可以在我们的模型中以正确的方式进行模拟。备注2.5。经典的计算方法是使用动态规划原理。一步一步，它需要1。用（2.12）计算网格上所有（x，Θ）的`（1，x，Θ），2。

然后使用`（tk，x，Θ）=等式迭代计算网格上所有x，Θ的`（tk+1，x，Θ）e-Rtk+1tkrtk，ΘsdsEQe-RTtk+1rtk，ΘsdsG（Stk，x，Θ）| Ftk+1. （2.13）然而，当x>0和Θ时，内部条件期望不是`（tk+1，x，Θ）形式∈ R、 事实上，市场观察的时间仍然是塔卡，而贴现系数仅从塔卡+1到T，而不是（2.12）。因此，使用动态规划方程（2.13）需要引入一些额外的人工参数，即校准时间和时间tk+1时的rtk值。这将使整个过程更重，这就是为什么我们只使用（2.12）进行计算。2.3.2资产方面公司希望复制产品并支付。数学金融的经典理论确保，在理论上，拥有一个否定产品价格随基础参数变化的投资组合是等价的。在我们的背景下，保险公司希望受到保护，免受股票价格变化的影响，利率曲线通过参数Θ建模。动态套期保值投资组合是在离散时间内，在时间网格上构建和重新平衡的：={t=0<t<···<tn=1}（在实践中，投资组合将在产品到期之前重新平衡，但在我们的设置中，我们只对t=1之前的投资组合价值感兴趣）。每次t∈ 在这种情况下，保险人计算出与持仓价格相关的衍生品，然后购买一些金融资产（股票和掉期），以构建一个衍生品与计算出的衍生品相匹配的投资组合。为了对该框架建模，我们将套期保值组合的价值A分解为两部分：At=At+Aρt。

（2.14）过程A是指为抵消与S相关的价格变化而获得的投资组合的价值，而ρ是为处理与Θ相关的变化而定义的。备注2.6。显然，由于在实践中套期保值是在离散时间内完成的，并且没有考虑一些潜在参数，因此支付不是完全复制的，也不是超级复制的。因此，公司的PnL不是空的，也不总是正的，本程序的目标正是提出一种新的数值方法来估计t=1时该数量的分布。在实践中，定价包含利润，复制支付的目的是确保利润。为了构建对冲投资组合，保险人可以购买标的股票，以及三份掉期合约，由一些利率R、R、R>0和到期日T、T、T确定∈ [1，T]。进行利率调整，使投资组合对利率曲线主要到期日的变化不敏感。对于长期产品，这意味着建立一个对冲投资组合，包含从1年到30年的几个不同阶段。这里，为简单起见，仅考虑代表曲线短期、中期和长期部分的3个到期日。上述建议2.1中给出了其价格SWt，Θ，Ti，Ri，i=1，2，3的公式。我们现在描述如何计算每次购买的资产和掉期数量t∈ Γ，重新平衡对冲组合。表示为 （分别为ρi，i=1，2，3）股票数量（分别为利率为Ri和到期日为Ti的掉期，i=1，2，3）。那么，公司投资组合的价值为：∏t=St+Xi=1ρidSWt，Θt，Ti，Ri- `（t，St，Θt）。

（2.15）通过It^o公式，假设过程Θ在P下的半鞅分解，我们得到：d∏t=( - （t，St，Θt））dSt+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R-`θ（t，x，Θ）dθ+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R-`θ（t，x，Θ）dθ+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R-`θ（t，x，Θ）dθ+dt项。为了消除股票价格和利率曲线变化引起的风险，需要取消前面等式中的四个第一项。这些考虑因素导致对冲组合A=A的以下构造+ Aρ：-套期保值：指时间1 isA=n-1Xi=0（ti，\'Sti，\'Θti）？Sti+1-？Sti哪里（t，x，Θ）：=Lx（t，x，Θ）。（2.16）请注意 必须计算，每次ti，i=0，n、 对于目前的任何市场情况（x，Θ）。一种数值估计 建议参见第3节。ρ-对冲：ρisAρ=n的值-1Xi=0Xj=1ρj（ti，\'Sti，\'Θti）SWti+1、\'Θti+1、Tj、Rj- SWti、Θti、Tj、Rj. （2.17）时间t∈ [0，T]，对于（x，Θ）的市场，套期保值所需的每个掉期合约的数量ρi（T，x，Θ），i=1，2，3由线性系统的解给出ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R=`θ（t，x，Θ）ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R=`θ（t，x，Θ）ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R+ρ软件θt，Θ，t，R=`θ（t，x，Θ）（2.18）在这种情况下，我们需要计算的一个关键量就是灵敏度向量(`θi（t，x，Θ）），i=1，2，3。备注2.7。（i） 我们选择始终使用t=0时发行的相同掉期合约作为对冲工具。我们本可以决定在每次再平衡时免费进行掉期交易（按掉期利率）。

然而，此策略需要保留掉期利率的内存，以便在下一个结算日计算掉期价格。（ii）应选择Ti，R，使其代表一些流动合同。2.3.3全球PnL功能根据前两节，我们得出结论，时间1的资产负债表PnL可以表示为，P=P（t，\'St，\'Θt）t∈Γ其中（\'\'S，\'\'Θ）是市场参数（风险因素）和PnL函数p:Rγ→ R、 γ=4×（n+1），由`（tn，xn，Θn）给出-n-1Xi=0（ti，xi，Θi）（xi+1- xi）-n-1Xi=0Xj=1ρj（ti，xi，Θi）SWti+1、Θi+1、Tj、Rj- SWti、Θi、Tj、Rj.（2.19）在下一节中，我们将描述我们将考虑的市场参数（\'S，\'920\'）的模型。2.4真实测量下的市场参数我们在此描述将用于模拟数字部分中的市场参数的模型。让我们坚持认为，这个真实世界的衡量标准P可能代表了管理层对[0，1]时期市场参数演变的看法。如前所述，它可以与用于风险中性定价的模型完全不同。我们假设我们知道或至少能够估计P下（X：=log（S），Θ）=（X，（θ），（θ），（θ），（θ））分布的前两个矩。更准确地说，我们假设P下，该随机向量具有由u=（uX，u，u，u），（2.20）V=（Vij）i，j=0,1,2,3给出的均值和协方差矩阵。（2.21）对随机过程（Xt，（θ）t，（θ）t，（θ）t）t进行建模∈[0,1]在P下，我们假设其动力学由xt=X+bt+cWt+cWt+cWt+cWt，（2.22）（θ）t=（θ）+bt+cWt+cWt（2.23）（θ）t=（θ）+bt+cWt+cWt（2.24）（θ）t=（θ）+bt+cWt，（2.25），其中Wi，i=0，1，2，3是独立的P-布朗运动。提案2.2。至多存在一组系数bi、cij、i、j=0、1、2、3，使得随机向量（X、（θ）、（θ）、（θ））具有平均u和协方差矩阵V。证据

我们参考附录中的证明，参见命题5.1。备注2.8。众所周知，在Black-Scholes模型中很难准确估计漂移参数。这使得我们的计算受到模型风险的影响。我们将其留给未来的研究工作，以找到可靠的方法来近似Punder P定律。然而，让我们指出，网格方法允许我们以最小的重新计算，计算P定律不同近似值的风险度量。这是该方法相对于使用“嵌套模拟”的优势之一，如第4.3节数值方法所示。在本节中，我们描述了计算资产负债表PnL上风险指标所使用的两种数值方法。第一种方法被称为嵌套模拟方法，已在行业中使用，见开创性论文【6】。第二种方法是稀疏网格方法，其设计目的是在中等维数的情况下比嵌套模拟方法更有效。在下一节中，我们将进行数值模拟，以证实我们在这里考虑的中等维度模型的这一事实。3.1估计风险度量在一年的资产负债表风险度量%和损失分布η中，我们通过模拟N i.i.d随机变量（ψj）1的样本来估计利息的数量%（η）≤j≤然后使用公式（1.1）、（1.2）和（1.3）简单计算%（ηN），用ηN代替η。这里，ηNstands表示与ψji相关的经验测量值。e、 ηN=NNXj=1Δψj，其中δxis是点x处的狄拉克质量。回想一下，在我们的工作中，损失分布η是通过以下表达式获得的：η=p]νpB如（2.19）所述，ν代表市场参数的分布。

也就是说，ν是随机变量X的定律：=（\'St，\'t）t∈Γ（3.1）在真实世界概率测度P下。为了估计所选风险测度的%（η），我们需要能够从η中取样，这意味着我们的设置有两个步骤。首先，我们需要能够对'X进行采样，然后我们使用p，ν的近似值pν∈ {N，S}，即：opNif选择嵌套模拟方法；opSif one选择稀疏网格方法。最后，通过rν：=%（pν]νN）给出%u的估计量，对于ν∈ {N，S}。（3.2）综上所述，这两种数值方法有以下步骤。嵌套模拟方法1。外部步骤：模拟模型参数（Xj）j=1，。。。，N、 2。内部步骤：使用MC仿真模拟ψj=pN（Xj）。这需要使用蒙特卡罗估计值计算期权价格、利率衍生产品价格和价格的各种敏感性，见第3.2.2小节。所有这些计算都是使用下面推导的封闭式公式进行的。3、估计风险度量。所有计算都是“在线”进行的。稀疏网格方法1。固定（稀疏）网格V，并通过MCsimulation计算网格上每个所需值的近似PSA。这涉及与2完全相同的计算。在上面2、模拟N个模型参数样本（Xj），并计算ψj=pS（Xj）。3、估计风险度量。步骤1的计算。都是用“松露”做的。接下来的两个步骤是“在线”完成的。现在，我们精确地描述了如何计算Pn和pS.3.2嵌套模拟方法。在嵌套模拟方法中，一旦模拟了市场参数“X”，就要计算函数Pn本身。回顾（2.19），这要求评估函数\'N，N、 ρN（近似`，, ρ） 根据市场参数的价值。

此计算再次使用蒙特卡罗方法进行。为了计算上述公式中的风险中性预期，必须对短期利率过程进行抽样，并计算其在[t，t]上的积分，还必须至少在τ的时间模拟股票价格S`∈ ΓG∩ [t，t]。根据第2.2节所述模型，模拟是准确的，并在以下两个陈述中进行了描述，其证明推迟到附录中。Let（t，x，Θ）∈ [0，T]×（0，∞) ×Rbe市场观察，并考虑流程rt，Θss∈[t，t]和St，x，Θss∈【t，t】由（2.2）、（2.10）定义。我们首先从一个简单且众所周知的观察开始。引理3.1。对于短速率过程，我们有以下分解：rt，Θ=ξt+αt，Θ，（3.3），其中（αt，Θs）s∈[t，t]是时间αt的确定函数，Θs=afΘ（t，s）+b2ah1- e-a（s）-t） i，s∈ [t，t]，（3.4）和ξtss∈[t，t]是SDEdξts=-aξtsds+bdBs，s∈ [t，t]（3.5）ξtt=0。（3.6）以下命题提供了一种递归方法，可以在离散网格{t}上生成三元组（ξt，At，Xt，x，Θ）的样本路径∪ （ΓG∩ [t，1]）。因此，我们能够模拟（rt，Θ，St，x，Θ）的演化，并且贴现因子βt，θt：=e-RTtrt，Θsdsunder the risk neutral Measures Q.提案3.1。修复t≤ s≤ u≤ T

有条件地在Fs上，三元组ξtu，At，su：=Zusξtrdr，Xt，x，Θu：=logSt，x，Θu是维数为3的高斯向量，平均向量和协方差矩阵分别为ξtu= ξtse-a（u-s） ，EsAt，su=ξtsa（1- e-a（u-s） ），EsXt，x，Θu= Xt，x，Θs+Zusαrdr-σ（u- s） +ξtsa（1- e-a（u-s） ），（3.7）andVars（ξtu）=b2a（1- e-2a（u-s） ），Covs（ξtu，At，su）=ba（1- e-a（u-s） （）-b2a（1- e-2a（u-s） ），Vars（At，su）=ba（u- s）-2ba（1- e-a（u-s） ）+b2a（1- e-2a（u-s） ），Covs（ξtu，Xt，x，Θu）=ba（ba+ρσ）（1- e-a（u-s） （）-b2a（1- e-2a（u-s） ），Covs（At、su、Xt、x、Θu）=-aCov（ξtu，Xt，x，Θu）+ba（ba+ρσ）（u- s）-ba（1- e-a（u-s） ），Vars（Xt，x，Θ）=（ρσ+ba）（u- s） +（1- ρ） σ（u- s）-2ba（ρσ+ba）（1- e-a（u-s） ）+b2a（1- e-2a（u-s） ）。（3.8）3.2.1负债侧的近似值根据上述结果，负债函数“N”在任何时间t的近似值都很简单。由\'N（t，x，Θ）=MMXk=1βt，Θ，kTG（St，x，Θ，k），（3.9）和（（βt，Θ，kτ，St，x，Θ，kτ）τ给出∈ΓG）1≤k≤（βt，Θτ，St，x，Θτ）τ的Mare i.i.d实现∈ΓG，召回（2.1）。3.2.2资产方面的近似由于需要计算模型参数的敏感性，因此资产方面的近似更为复杂：`X和`θi，i=1，2，3，见（2.16），（2.17）和（2.18）。我们选择使用“权重”方法计算敏感度，即我们将其表示为折扣付款预期乘以精心选择的随机权重。请注意，可以使用其他技术来计算这些灵敏度，例如自动微分。在我们的背景下，我们比较了这两种方法，并观察到权重法更有效，见附录中的第5.4节。我们现在描述如何以蒙特卡罗模拟的方便形式获得灵敏度。