资产负债表风险度量的稀疏网格方法

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英文标题：
《A sparse grid approach to balance sheet risk measurement》
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作者：
Cyril B\\\'en\\\'ezet, J\\\'er\\\'emie Bonnefoy, Jean-Fran\\c{c}ois
  Chassagneux, Shuoqing Deng, Camilo Garcia Trillos, Lionel Len\\^otre
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this work, we present a numerical method based on a sparse grid approximation to compute the loss distribution of the balance sheet of a financial or an insurance company. We first describe, in a stylised way, the assets and liabilities dynamics that are used for the numerical estimation of the balance sheet distribution. For the pricing and hedging model, we chose a classical Black & Scholes model with a stochastic interest rate following a Hull & White model. The risk management model describing the evolution of the parameters of the pricing and hedging model is a Gaussian model. The new numerical method is compared with the traditional nested simulation approach. We review the convergence of both methods to estimate the risk indicators under consideration. Finally, we provide numerical results showing that the sparse grid approach is extremely competitive for models with moderate dimension.
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中文摘要：
在这项工作中，我们提出了一种基于稀疏网格近似的数值方法来计算金融或保险公司资产负债表的损失分布。我们首先以一种风格化的方式描述用于资产负债表分布数值估计的资产和负债动态。对于定价和套期保值模型，我们选择了一个经典的Black&Scholes模型，随机利率遵循Hull&White模型。描述定价和对冲模型参数演变的风险管理模型是高斯模型。将新的数值方法与传统的嵌套模拟方法进行了比较。我们回顾了两种方法的收敛性，以估计所考虑的风险指标。最后，我们提供的数值结果表明，稀疏网格方法对于中等维数的模型非常有竞争力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_sparse_grid_approach_to_balance_sheet_risk_measurement.pdf (722.16 KB)

2022-6-14 03:10:29 上传

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关键词：资产负债表 风险度量 资产负债 风险度 负债表

CEMRACS：资产负债表风险度量的稀疏网格方法Cyril Bénézet*, Jérémie Bonnefoy+，Jean-Francois Chassagneux*，Shuoqing Deng，Camilo Garcia Trillos§，Lionel Len^otreP2018年11月22日摘要在这项工作中，我们提出了一种基于稀疏网格近似的数值方法，以计算金融或保险公司资产负债表的损失分布。我们首先以简洁的方式描述用于资产负债表分布数值估计的资产和负债动态。对于定价和套期保值模型，我们选择了一个经典的Black&Scholes模型，随机利率遵循Hull&White模型。描述定价和对冲模型参数演化的风险管理模型是高斯模型。将新的数值方法与传统的嵌套模拟方法进行了比较。我们回顾了两种方法的收敛性，以估计考虑中的风险指标。最后，我们提供的数值结果表明，稀疏网格方法对于中等维数的模型非常有竞争力。1简介本文的目标是提出一种稳健而有效的方法，以数字方式评估给定期限内（例如，保险公司）资产负债表分布上的风险。在实践中，它被选择为一年，与Solvency 2监管一致，这是评估欧洲保险公司所需Solvency资本的审慎框架。关于滤波概率空间(Ohm, A、 P，（Ft）t≥0），公司的资产负债表是一个随机过程，在任何时候≥ 0，按公司资产价值（At）t≥0和可靠性（Lt）t的值≥0

利息数量是与资产负债表相关的损益（续表中的PnL），由PT=Lt给出- At，t≥ 0 .按照惯例，并采用风险管理的观点，我们将损失计量为正数。在负债方面，保险公司出售了一种结构性金融产品，该产品取决于一维股价（St）和无风险利率（rt）的演变。有几种保险产品可能属于这种类型，特别是与单位挂钩（有或没有财务担保）和可变年金合同。对于这些合同，客户的资金投资于股票和债券市场，而保险公司也可能提供类似于长期看跌期权的财务担保。这些合同的长期到期要求引入利率模型，因为它们对利率曲线的变动非常敏感。该值仅为该产品的价格，考虑了t=1时用于校准定价模型的某些风险因素X（股价、利率曲线等）的值。在资产方面，保险公司管理一些资产以对冲与产品销售相关的风险。定价实际上包括通过对冲获得的保证金。对冲资产为*巴黎狄德罗大学，LPSM+吉安盛集团风险管理部巴黎多芬大学，Ceremake。§伦敦大学学院。PEcole Polytechnique，CMAP。多个到期日的股票和掉期，实际上主要集中在长期。实际上，债券期货有时也包括在内。

套期组合通常每周重新平衡，套期数量由财务模型确定，该模型与负债定价模型相同，其输入是计算套期时t的风险因素xtx。我们在第2节，定价和套期保值模型，风险因素X的动态以及资产负债表资产和负债方面的价值中进行了准确的描述。我们要强调的是，风险因素模型是在所谓的现实世界概率测度P下给出的，该测度可以使用金融市场的时间序列进行客观校准，或者代表管理层的观点。这种现实世界的模型可能——而且在大多数情况下——与定价和对冲模型完全不同，定价和对冲模型可能出于运行时间/可追踪性的目的而简化，谨慎（定价和对冲包括保证金）或受到监管的约束。然后，我们的目标是计算资产负债表损失分布的各种风险指标，即真实世界概率测度P下的分布，我们在下文中表示η。准确地说，我们使用在平方可积测度%：P（R）类上定义的（法律不变性）风险测度来衡量与η相关的风险→ R、 首先，我们考虑所谓的风险值（V@R），由左侧分位数确定：V@Rp（η）=inf{q∈ R |η((-∞, q] （）≥ p} 。（1.1）我们还将研究光谱风险度量的类别：光谱风险度量定义为%h（η）=ZV@Rp（η）h（p）dp，（1.2），其中h是[0，1]上的非递减概率密度。在数值计算中，我们将重点关注平均风险值（AV@R），由AV@Rα（η）=1给出- αZαV@Rp（η）dp，（1.3），是光谱风险度量的特例。对于一个律不变的风险测度%，我们表示为<其在L上的“升力”(Ohm, A、 P；R） =：L，即任何X的<[X]=%（[X]）∈ 五十、 其中，[X]表示X定律。

光谱风险度量的升力%h满足以下特性：1。单调性：<h[X]≤ <h[Y]，对于X≤ Y∈ L2、现金不变性：<h[X+c]=<h[X]+c∈ 土地c∈ R3、正均一性：<[tX]=t<[X]，t≥ 0和X∈ 五十、 4。凸度：<[tX+（1- t） Y]≤ t<[X]+（1-t） <[Y]，每当0≤ t型≤ 1，对于X，Y∈ L让我们强调一个事实，即V@R仅满足1-3。我们参考[7]和其中的参考文献，以了解更深入的风险度量和光谱风险度量。在我们的设置中，资产负债表PnL的损失分布η通过以下表达式获得：η=p]ν，其中]表示推进运算符，p:Rθ→ R是根据风险因素描述PnL的函数，ν代表风险因素X的分布。实际上，估计%（η）需要从η中取样。反过来，这需要一个模型参数分布ν的样本和一个p的数值近似值。在本文中，我们比较了两种主要方法，以形成给定ν的η样本。第一种方法称为嵌套模拟方法：这是一种两步方法。首先，绘制了一组描述风险因素随机值的“outersimulation”。然后，针对风险因素的每个值，抽取一个“内部模拟”样本来计算各种套期保值和价格。在这种方法中，所有计算都是“在线”实现的。该方法的主要优势在于其在实践中的实施简单，如第3.1小节第一段所述。然而，众所周知，这种方法非常贪婪，即使像[6]中那样进行了优化。

我们还想强调一个事实，即在计算η-样本时，没有为将来的工作存储关于PI的信息：例如，如果由于时间或模型更改而修改了ν，则需要完全重新计算。我们选择采用并希望推广的另一种方法是网格方法，在这种方法中，PI的近似值通过蒙特卡罗方法生成“oêine”，然后存储。然后通过网格上的（多重线性）插值进行数值计算。这种方法的主要缺点是，高维网格的大小可能变得不可操作，尤其是在使用常规网格的情况下。为了部分解决这一难题，我们引入了稀疏网格[2]，它大大减少了要使用的点的数量（相当于要存储的值），而方法的精度仅略有降低。我们证明，对于谱风险度量，这两种方法给出了收敛于真值的%（η）估计，见定理3.1。此外，我们在数值第4节中表明，使用网格方法和低水平稀疏网格可以很好地近似损失分布η和一些相关风险度量，同时大幅减少计算时间，并允许保留有关资产负债表函数p的信息。最后，这允许对不确定性进行数值量化。事实上，由于网格上的计算是存储的，PnL在其他参数分布下的分布计算几乎是瞬时的，并且可以与初始结果进行比较。最后一个数值应用给出了不确定度估计的一个应用。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们首先描述了用于描述风险中性度量Q下价格演变的数学模型。

然后，我们精确地描述了A和L的定义。在第3节中，我们描述了在任何给定时间t计算Lt和Ata的两种数值方法≥ 特别是，我们展示了如何在时间t有效地计算对冲组合中持有的数量，这些数量以索赔价格的衍生品表示。我们还解释了如何计算产品的价格和用于构建对冲组合的资产的价格，从而计算LTA和At。我们展示了如何获得物理测度P的punder分布的近似值，并证明了整个过程的均方误差的上界。最后，在第4节中，我们给出了我们的数值结果，并对两种方法进行了比较。2财务模型在本节中，我们给出了资产负债表中资产和负债方面的精确说明。我们还介绍了所使用的风险中性模型和实际模型。2.1出售产品的描述让我们假设一家公司在时间t=0出售或有权益，这是一个（离散的）路径依赖关系，支付函数G在到期日t>0时支付，这取决于一维风险资产价格s的演变。我们在此重点讨论：看跌期权，这是一种离散路径依赖型期权，其到期时的行权T由资产价格s在T倍内的最大值给出∈ {τ=0，τ，···，τκ=T}其中κ≥ 1： G（Sτ，…，Sτκ）=最大值0≤`≤κSτ`- ST.（2.1）备注2.1。上述委托书接近于可变年金合同中提供的财务担保。这些合同是由基金投资构成的结构化保险产品，在基金投资的基础上增加了保险和金融保护。在我们的案例中，合同是一个有保证的最低累积效益，包括棘轮机制。

在时间t=0时，客户将其资金投资于基础基金，并将在给定的到期日收到终端基金价值与其终端基金基数之间的最大值，以防客户仍然活着。最终收益基数等于合同各周年日观察到的基础基金价值的最大值（棘轮机制）。我们不考虑本诉讼中死亡/生还的建模，也不考虑客户在合同有效期内的任何时候放弃的可能性。2.2风险中性措施下的市场模型我们假设所有定价和套期保值均采用市场风险中性措施Q。具有上述支付函数G的衍生工具取决于一维股票的价格s=（St）t∈[0，T]。在此，我们假设Q下资产的动态为Black&Scholes类型，如第2.2.2节所述，随机利率r=（rt）t∈[0，T]遵循Hull&White模型。由于支付是可变年金担保的代理，可变年金担保是一种长期储蓄产品（实际期限为10年至30年，具体取决于产品类型），因此利率建模对于该产品至关重要，因此公司的整体资产负债表对此风险非常敏感。2.2.1短期利率modelLetΘ∈ Rd（续集中的d=3）是一组代表一些市场观察结果的参数。短期演化受赫尔&怀特动力学rt，Θs=rt，Θt+Zsta控制ut，Θu- rt，Θudu+b（Bs- Bt），s∈ [t，t]，（2.2）其中B是Q-布朗运动，a和B是实常数，ut，Θ：[t，t]→ R是一个函数。有关赫尔&怀特短期利率模型的更完整分析，请参阅[1]。使用市场观察值Θ校准参数ut，Θ，以便模型再现市场上观察到的利率曲线。

由ut，Θs=fΘ（t，s）+a给出fΘ（t，s）s+b2a1.- e-2a（s）-t）, s∈ [t，t]。（2.3）关于（2.3）的推导，我们参考附录。因此，必须选择Θ参数，以充分表示市场上观察到的远期利率曲线。这里我们假设远期利率曲线fΘ（t，·）是直接观察到的，并且是三个基本函数ht，1，ht，2，ht，3从[t，t]到R的线性组合，由ht，1（s）：=h（s）给出- t） ，ht，2（s）：=h（s- t） ，和ht，3（s）：=h（s- t） ，s∈ [t，t]，其中，对于u∈ [0，T]：h（u）=1如果u≤t+t，t+t-美国犹他州-tif u∈ [t+t，t+t]，否则为0，h（u）=0如果u≤t+tu-电话+电话-tif u∈ [t+t，t+t]，否则为1，h（u）=1- h（u）- h（u），其中0≤ t<t<t<t≤ T是四个固定的实数。函数ht，1（分别为ht，2，ht，3）为利率曲线的短期（分别为中长期）结构建模。简而言之，短期利率模型由以下因素决定：1。观察时间t∈ [0，T]，0 5 10 15 20 25 300.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0基本函数h，t1=0，t2=6，t3=16，t4=30UH1H2H3图1：远期利率曲线的构建块。2、三维参数Θ：={θ，θ，θ}∈ R、 其中θ、θ、θ是指fΘ（t，·）=θht，1+θht，2+θht，3，（2.4）fΘ（t，·）是观察到的远期利率曲线。结果，给出如上所述的观察结果（t，Θ），短速率过程rt，Θ具有动力学（2.2），其中ut，Θ使用（2.3）计算。备注2.2。在实践中，可以校准（2.2）中出现的参数a、b，以便模型再现市场上观察到的一些合约（如掉期或掉期期权）的价格。我们可以更一般地降低赫尔&怀特模型的参数a、b，以取决于市场观察结果。

参数Θ应位于更高的维度空间中，以考虑观察到的掉期价格。参数的定期重新校准主要由从业者执行，尤其是当他们执行动态对冲时。选择这种模式有几个原因。首先，使用数据进行校准非常简单。事实上，函数u直接作为远期利率曲线的函数给出。我们应该再次注意到，通过时间固定a、b的选择简化了校准。其次，我们将在后面的命题3.1中看到，与下面描述的股票模型相关联的短期利率模型，导致在风险中性度量下的精确模拟。最后，可以获得零息票债券和掉期价格的封闭且易于处理的公式，这些产品用于构建对冲组合，然后计算公司资产A的价值。这些价格如下所示。提案2.1。Let（t，Θ）∈ [0，1]×Rbe市场观察，并考虑过程rt，Θss∈[t，t]由（2.2）给出，其中参数ut，Θ由（2.3）和（2.4）定义。1、在时间u到期的零息票在时间t的价格∈ [t，t]由：Pt，Θ，u=exp给出-ZutfΘ（t，s）ds, （2.5）及其对Θ的导数：=（θ，θ，θ）由下式得出：Pθit，Θ，u=-Pt，Θ，Uzutt，i（s）ds。(2.6)2. 设（0，Θ）为时间0时的观测值。考虑一个s=0的掉期合约，到期日M>0，利率R>0，每次i∈ {1，…，M}。那么，该合同在时间t的价格为：SWt，Θ，M，R=Pt，Θ，1P0，Θ，1- Pt，Θ，M- RMXi=1Pt，Θ，i，（2.7）及其相对于Θ的导数如下所示：软件θjt，Θ，M，R=-Pt，Θ，1P0，Θ，1Ztht，j（s）ds+Pt，Θ，MZMtht，j（r）dr+RMXi=1Pt，Θ，iZt+itht，j（s）ds.