与目标波动率策略相关的期权的封闭式公式

S=K e-r（T-t） 这意味着ΓS=Sσ√T- te公司-σ（T-t） ，对于VTS相关期权的伽马值，我们始终有两条渐近线，因为对于低波动率，伽马值也会被放大，事实上甚至比δ值还要大。图4：右侧的图表表示标准看涨期权/看跌期权相对于不同波动率值的Gamma行为，而左侧的图表表示VTS投资组合上的看涨期权/看跌期权的Gamma行为。如图3所示，我们考虑了履约价格K，以获得货币内期权、货币内期权、货币远期期权和货币外期权。请注意，VT期权的希腊文同样显示出符号，而只有当标的资产为ATMF时，标准期权才会出现这种情况。参数固定为v=s=10，bσ=0.2，u=8%，r=5%，T=1，T=0，挥发度从σ=0.05.5开始数值模拟为了更好地解释VTS和MLVTS投资组合的工作方式，让我们假设天空资产的动态根据赫斯顿模型演变，有关更多详细信息和控制理论相关问题，请参见[10]和[3]。我们有dSt=uStdt+√νtStdW（1）t，（31）dνt=κ（θ- νt）dt+ξ√νtdW（2）t，（32）其中W（1）和W（2）是ρ相关的布朗运动，ν演化为代表风险资产瞬时方差的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，θ是长方差，κ是ν恢复到θ的速率，ξ是波动率的波动率，我们假设条件成立：2κθ>ξ，为了保证过程ν是严格积极的。让我们考虑根据realdata中观察到的值校准的潜在风险资产参数，如Morellec等人[17]的论文，以及Samuelson[18]的开创性论文中的CIR参数。

考虑表1中所示的参数值，即对[17，18]中的参数值进行调整，以显示解释VTS和MLVTS影响的代表性场景。我们将时间间隔[0，T]划分为N个宽度为T/N0=T<T<···<tN=T数字κθξρνuSr BVT5 0.6067 0.2207 0.2928-0.75 0.2154 8.24%100 4.2%20 100 16“0.1707”0.1654“”的等子间隔。表1：我们为模拟资产动力学而考虑的赫斯顿模型参数。并模拟二元过程（S，ν）t的实现。通过修改的Euler-Maruyama方案，见下文，我们近似对应VTS和MLVTS-portfolioV的路径tbσ（tn+1）=Vtbσ（tn）1+α（tn）S（tn）序号+1- α（tn）B（tn）Bn公司, 对于n∈ {0，…，N- 1} ，（33）其中Sn：=S（tn+1）- S（tn），Bn：=B（tn+1）- B（tn）和Vt（0）=v.命题5.1确定t>0。数值格式（33）强收敛于（4）的解。，i、 e.lim公司t型→0E[| VT- 五、tT |]=0。证据与方程（4）isV相关的Euler-Maruyama格式tbσ（tn+1）=Vtbσ（tn）（1+”bσpν（tn）（u- r）- r#t+bσW（1）n），（34），我强收敛到（4）。此外，我们还有thatlimt型→0E“SnS（tn）- u tpν（tn）- W（1）n#=0。（35）在（34）中替换（35），我们得到（33）。即使Euler-Maruyama格式是强收敛的，但其阶数仅为0.5，因此，为了获得更高的收敛阶，我们还考虑了Milstein格式的以下修改：tbσ（tn+1）=Vtbσ（tn）（1+α（tn）SnS（tn）+（1- α（tn））BnB（tn）-α（tn）（1-α（tn））”SnS（tn）- ν（tn）t#），它通常强烈收敛于1.5.1阶分析的解。让我们强调一下，图6很好地捕捉到了上一节提供的敏感性分析。

例如，人们可以注意到，路径的趋势或多或少地得到满足，这取决于波动率瞬时值，有关VTS组合对基础风险资产微小变化的敏感性分析，请参见第4.2节，即Delta分析。此外，可以清楚地看到，白噪声线性影响VTS投资组合的价值，即VTS标准投资组合的Vega为空，请参见第4.1节。图5：顶部的图表表示资产价格和波动率值，模拟为赫斯顿模型的实现。这里的波动率（右上图）通常大于目标波动率bσ=0.2，在这些情况下，风险比例bα小于1（右下图）。左下角的图表示悉尼威立雅运输公司投资组合的相应实现。对于离散化方案（33），我们考虑了时间步长t=10-图6：从上到下的左图表示风险资产动态、VTportfolio和MLVTS投资组合，bσ=0.2，L=2。右上角的图表表示风险资产的波动性（黑色）、悉尼威立雅运输公司投资组合的波动性（蓝色）以及MLVTS中杠杆限制的影响（红色）。在左下角的图中，以红色突出显示了MLVTS投资组合中杠杆效应介入的路径部分。对于离散化方案（33），我们考虑了一个时间步长t=10-6.6交易案例的扩展和结论备注本文件首次尝试从分析角度考虑与VTS相关的选项。我们开发了与Voltaget概念相关的看涨期权和看跌期权的封闭式公式，以及相关的敏感性、希腊参数。结果与我们从从业者的角度所期望的一致。

我们可以看到，aVolTarget方法如何简化结构化产品的期权定价，以及为什么关键的hedgingparameters看起来比波动模式变化的标准期权容易得多。应进行进一步分析，放松我们为得出结果所做的一些假设，例如，降低非交易成本。例如，我们已经开始研究交易成本方面，以及如何将其嵌入到我们的框架中。我们在此指出两种可能的方法。第一种是对所选VTS的修改，即VTS投资组合将不再追求恒定的波动率，而是旨在使波动率达到所需的区间。此外，可以考虑处理结构修改，即考虑限制我们进行投资组合权重调整的容许时间间隔，以考虑混凝土子集。也就是说，悉尼威立雅运输公司将仅在一组离散的时间点内追求目标波动率，而不是考虑持续调整。当假定资产动态不具有恒定的波动性时，需要进行此类修改，以避免累积交易成本在理论上不确定，即使交易成本相对较小，也可能发生这种情况，例如，参见[6、7、9、14、15]。我们还将研究如何在现实世界场景中制定动态资产配置策略，此时可以考虑相当恒定的波动水平。参考文献【1】Alberio，S.，Steblovskaya，V.，Wallbaum，K.（2013）。《具有波动性目标机制的投资工具》，《定量金融》，第13卷，第10期，1519-1528年。[2] Alberio，S.、Steblovskaya，V.、Wallbaum，K.，（2017年）。

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