与目标波动率策略相关的期权的封闭式公式

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英文标题：
《Closed-End Formula for options linked to Target Volatility Strategies》
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作者：
Luca Di Persio, Luca Prezioso, Kai Wallbaum
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Recent years have seen an emerging class of structured financial products based on options linked to dynamic asset allocation strategies. One of the most chosen approach is the so-called target volatility mechanism. It shifts between risky and riskless assets to control the volatility of the overall portfolio. Even if a series of articles have been already devoted to the analysis of options linked to the target volatility mechanism, this paper is the first, to the best of our knowledge, that tries to develop closed-end formulas for VolTarget options. In particular, we develop closed-end formulas for option prices and some key hedging parameters within a Black and Scholes setting, assuming the underlying follows a target volatility mechanism.
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中文摘要：
近年来，出现了一类基于与动态资产配置策略相关的期权的结构性金融产品。最常用的方法之一是所谓的目标波动率机制。它在风险资产和无风险资产之间转换，以控制整个投资组合的波动性。即使已经有一系列文章致力于分析与目标波动机制相关的期权，但据我们所知，本文是第一篇尝试开发Voltaget期权封闭式公式的文章。特别是，我们在Black和Scholes背景下开发了期权价格和一些关键对冲参数的封闭式公式，假设基础遵循目标波动机制。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Closed-End_Formula_for_options_linked_to_Target_Volatility_Strategies.pdf (751.28 KB)

2022-6-14 05:08:36 上传

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关键词：波动率 封闭式 Quantitative Applications Computation

与目标波动率相关的期权封闭式公式系统策略Sluca DI PERSIOa，Luca PREZIOSOb，c和Kai WALLBAUMdaDepartment of Computer Science，University of Verona，Strada le Grazie，15，Verona，ItalybDepartment of Mathematics，University of Trento，via Sommarive，14，Trento，ItalycLPSM，University of Paris Diderot，5 Rue Thomas Mann，Paris，FrancedRiskLab，Allianz Global Investors，Seidlstrasse 24-24a，Munchen，Germany 2019年2月26日摘要。近年来，出现了一类基于与动态资产配置策略相关的期权的结构化金融产品。最常用的方法之一是所谓的目标波动率机制。它在风险资产和无风险资产之间转换，以控制整个投资组合的波动性。即使已经有一系列文章被投票用于分析与目标波动机制相关的期权，但据我们所知，本文是第一篇尝试开发电压目标封闭公式的文章。特别是，我们在Black和Scholes背景下开发了期权价格的封闭式公式和一些关键hedgingparameters，假设基础遵循targetvolatility机制。关键词。波动率目标投资组合、广义Black-Scholes模型、欧式期权、exactformulas、Greens、Euler-Maruyama方案、Milstein方案。AMS科目分类。91G10、91G20、91G50.1简介金融市场之后，风险管理解决方案对机构投资者和散户投资者变得越来越重要。低利率环境迫使从业者思考如何在客户投资组合中使用可用的风险预算的更高效的技术。

最成功的策略之一是所谓的目标波动率策略，也称为Voltaget策略（VTS），该策略在多资产组合中引入，但也在至少提供部分资本保护的结构化产品中引入。这一概念在无风险和风险集合之间动态转换，以生成一个风险水平稳定、不受市场波动影响的投资组合。该方法假设市场波动率是资产配置决策的良好指标，该概念在波动率较低的上涨市场和波动率较高的下跌市场中都能很好地发挥作用。从业者经常将这一概念与固定投资组合保护保险（CPPI）策略进行比较，CPPI策略也在风险资产和无风险资产之间动态分配，但在这一概念中，投资过程旨在实现一般的资本保护。近年来，VTS或CPPI策略等动态资产配置过程已被用来解释期权，我们看到了一系列研究期权理论的学术论文，当衍生工具的基础遵循某种交易规则，在风险资产和无风险资产之间转换时。这些论文大多采用数值方法来确定期权价格或对冲参数。例如，我们参考了Alberio等人【1，2】、Jawaid【11，12】、Zakamulin【20】，他们特别关注不同市场模型中的VT。Zagst等人[8]专注于CPPI期权，他们还开发了Black-Scholes环境下CPPI期权的封闭式公式。据我们所知，本文是第一次尝试，考虑了VTS链接选项的封闭式公式。我们的基本环境可以与Zagst等人在[8]中的环境进行比较，作者假设风险资产会演变为Black-Scholes模型。

我们扩展了这种分析，考虑到广义几何布朗运动框架，具有随机漂移和扩散，适应概率空间的真实过滤，然后推导出与VTS投资组合相关的看涨期权和看跌期权的封闭端公式。我们还考虑了模型的风险，为与VTS相关的期权的关键对冲参数提供了封闭式表达式。我们想强调的是，我们的结果对于任何与悉尼威立雅运输公司投资组合相关的定价和对冲期权的从业者来说都是重要的一步。本文的组织结构如下：在第2节中，我们分析了悉尼威立雅运输公司（VTS）的投资组合，其资产动态由广义几何布朗运动描述。我们处理了以标准VTS确定的VTS投资组合为基础的期权的估值问题，以保持固定的波动率。在第3节中，我们考虑了VTS的修改，这为VTS的持续动态调整所产生的杠杆效应设定了上限。在这种情况下，我们将风险资产视为具有时间依赖漂移和波动性的几何布朗运动。对于这两种策略，给出了看涨期权和看跌期权价格的精确公式。在第4节中，我们分析了悉尼威立雅运输公司投资组合中期权价格对波动性和风险资产价值的敏感性。我们重点分析了希腊（织女星、三角洲和伽马）的潜在波动性变化，还提供了一些图表，以更好地突出我们结果的稳健性和合理性。

在第5节中，我们利用Euler Maruyama和Milstein离散化方法，对风险资产用aHeston模型描述时的VTS投资组合路径进行了相关模拟。2广义几何布朗运动环境中的标准Voltaget策略让我们首先考虑一个类似于Merton的开创性论文[16]的框架。这意味着通过本文，我们将考虑两种投资机会出现的市场：一种是无风险资产，也称为货币市场或政府债券或简单的债券，另一种是风险基础资产，也称为股票或股票。此外，我们假设标的资产的随机性由Black-Scholes-Merton随机微分方程描述，并且存在连续交易的完美市场，其中代理人不受任何交易成本的约束，将风险资产交易为无风险资产，反之亦然。让(Ohm, F、 {F（t）}t≥0，P）是一个经过过滤的完全概率空间，具有右连续过滤，支持布朗运动W，并考虑由两个投资机会组成的市场：风险资产{S（t）}t≥0和无风险资产{B（t）}t≥0，演化为满足广义几何布朗运动和确定性函数的随机过程：dS（t）=S（t）u（t）dt+σ（t）dW（t）, （1） dB（t）=r B（t）dt，对于每个t≥ t、 其中t≥ 0是开始时间，W是布朗运动F（t）-适应，r∈ R+是代表无风险利率的正常数，u和σ是适应{FW}的随机过程，即布朗运动产生的自然过滤，分别代表平均回报率和风险资产的百分比波动率。

让s，b∈ R+是风险资产和无风险资产的时值。此外，考虑持有投资组合的投资者，从投资于无风险资产的正头寸x和投资于风险资产的正头寸y开始，并假设他可以在不支付任何交易成本的情况下将其资本从一项投资转移到另一项投资。因此，让我们介绍表示购买风险资产所需无风险资产累计金额的过程L，以及表示购买无风险资产所需风险资产累计金额的过程M。假设L和M都是非负的、非递减的和c\'adl\'ag。最后，投资组合的价值可以用（X（t），Y（t））t连续表示≥t、 从X（t）=X，Y（t）=Y开始，其中（X，Y）分别表示投资于无风险资产和风险资产的资本金额，并根据以下随机微分方程发展：dx（t）=r X（t）dt+dM（t）- dL（t），（2）dY（t）=u（t）Y（t）dt+σ（t）Y（t）dW（t）+dL（t）- dM（t）。（3） 在下文中，我们既不引入比例交易成本，也不引入固定交易成本，将这些框架留给未来的研究。让我们概括一下，如果将成本考虑在内，那么持续的重新平衡将给投资组合中的投资者带来不可忽视的费用，目的是保持固定的波动率，这意味着考虑波动率目标区间，而不是非非实际的波动率目标。让我们用V（t）表示投资者在t>t时的总投资组合价值，并让α（t）表示同时投资于风险资产的投资组合的百分比，假设该风险资产是一个适应的可预测的c\'adl\'ag过程，而1-α（t）表示投资于无风险资产集的投资组合权重，即我们定义V（t）=X（t）+Y（t），而α（t）=Y（t）X（t）+Y（t）。

由于投资按照（2）和（3）进行演化，通过替换风险资产动力学（1），我们导出了投资组合价值过程的动力学：（dV（t）=V（t）α（t）（u（t）-r） +rdt+α（t）σ（t）dW（t）, t>t，V（0）=x+y=：V，（4），其中α由投资者控制并适用于过滤F。我们有两条评论：首先注意，由（4）确定价值的投资组合是自我融资的，即（4）的动态与V（t）=V（t）等价α（t）dS（t）S（t）+（1- α（t））dB（t）B（t）, （5） 此外，请注意，V是一个马尔可夫投资组合，我们先验地不知道财富过程的未来价值，因为它具有随机动态。回到波动率目标（VT）投资策略，让我们回顾一下，这是一种动态资产配置机制，其中投资于风险资产的金额由预先确定的波动率目标水平决定，由代表基础风险集波动率的bσ表示，σ（t），见（1）。通过在两个投资机会之间动态切换（根据方程式（1），投资者旨在保持最终投资组合Vbσ（t）的恒定波动水平，该投资组合可用作衍生工具的基础，例如欧洲看涨期权/看跌期权。我们在以下定义中继续这一概念：定义2.1（VolTarget策略组合）考虑随机过程Vbσ根据Vbσ（t）=X1演变-bα（t）+Ybα（t），t≥ t、 （6）式中，Ybα=bαVbσ，Xbα=（1- bα）Vbσ，bα是指动态投资于风险资产的投资组合价值α（t）的比例。

我们认为，如果Vbσ是自筹资金的，且权重过程保持等于bσ的恒定波动率，则Vbσ是一个Voltaget策略投资组合，其中X和y分别表示无风险和风险资产的资本投资量，并根据（2）和（3）进行演变。我们想明确确定控制方程，该方程在投资组合过程中保持固定的波动性（4）。命题2.2对于bα（t）=bσ/σ（t），我们有一个过程，其动力学由（6）isa VTS投资组合给出。证据通过（4），对于α（t）=bα（t），我们有dvbσ（t）=Vbσ（t）bσσ（t）（u（t）- r） +rdt+bσdW（t）, （7） 也就是说，通过定义2.1，我们完成了论文。请注意，我们没有考虑涉及基础（1）和必须分别投资于风险资产和无风险资产的资本金额的等式。在命题2.2中，我们认为，为了获得悉尼威立雅运输公司的投资组合，投资者必须保持该比率与风险资产波动率的实际值成反比，即等于bα（t）=bσ/σ（t），这是托氏的。2.1期权价格X=Φ（VT）是到期日为T且基础投资组合为V的未定权益，其中Φ是合同函数。在下文中，我们为此类索赔提供了无套利价格∏（t；X），有时也表示为∏（t；Φ）或∏（t）。让我们试探性地假设目前存在一个函数F∈ C1,2（[0，T]×R+）使得∏（T）=F（T，S（T）），那么根据Black-Scholes方程，如果F是以下偏微分方程的解，我们将没有套利(（t） F（t，s）+r s（s） F（t，s）+sbσssF（t，s）- r F（t，s）=0F（t，s）=Φ（s），（8）对于t∈ [0，T]和s∈ R+。

在下一小节中，我们将删除上述启发式假设，以推导VTS投资组合中的未定权益定价公式。让我们注意到，相关的PDE（8）可以解为\'a la Feynman Kaˉc，即F（t，s）=e-r（T-t） EQt，s【N（ST）】，对于t∈ [0，T]，s>0，其中我们考虑的是关于以s（T）=s为条件的唯一风险中性度量Q的期望，有关唯一风险中性度量的存在，请参见，例如，[5，Ch.14]。2.1.1风险中性估值设Q为唯一等价鞅测度，即唯一测度，其中S（t）/B（t）为局部鞅，WQ为Q下的布朗运动。然后，根据Girsanov定理，我们得出风险资产过程满足以下SDEdS（t）=S（t）r dt+σ（t）dWQ（t）. （9） 由于基础风险资产受几何布朗运动的控制，动力学由方程（9）给出，因此我们可以将It^o-D¨oblin公式应用于log（S（t））（t）=S（0）expZt（r- σ（s）/2）ds+Ztσ（s）dWQ（s）.由于方程（9）中的波动率是随机的，我们不能对对数（S（t）/S（0）的分布说太多，在确定性波动率的特殊情况下，对数（S（t）/S（0）的分布是高斯分布。让我们考虑一个欧洲电话，分别是。看跌期权，带payoffΦcall（VT）=（VT- K） +，（10）Φput（VT）=（K- VT）+，（11）T≥ t为到期时间，K为履约价格。

通过下一个命题和推论，我们将在开始时间t确定价格≥ Voltaget框架内的此类选项中的0个。命题2.3假设风险资产动态遵循具有随机FW适应漂移和波动性的广义几何布朗运动，见方程（1），带payoff（10）的看涨期权的价格表示为Φcall，与VTS投资组合Vbσ（t）相关，见方程（7），由以下显式公式∏（t，Φcall（Vbσ（t））=v N（d（t））给出- K e公司-r（T-t） N（d（t）），（12）我们记得，投资于风险资产的投资组合价值的比例bα（t）如命题2.2所定义，N是标准正态分布的累积分布函数，v=Vbσ（t）是投资组合的起始值，我们定义了以下参数SD（t）=-zbσ（t）+bσ（t- t）√T- t、 d（t）=-zbσ（t）√T- t、 zbσ（t）=bσlog千伏+bσ-rbσ（T- t） 。证据请注意，虽然基础风险资产具有非恒定的波动性，请参见等式（7），但VTS投资组合的动力学更简单。事实上，我们可以很容易地得到以下显式解vbσ（t）=v expr-bσ（t- t） +bσWQ（t- t）, 对于t≥ t、 因此，我们有Vbσ（t）>K i ffwq（t- t） >bσlog千伏+bσ-rbσ（T- t） =：zbσ（t）。用fN（0，t）（x）表示高斯随机变量havig mean0和方差t的概率密度函数，即。