从Glosten Milgrom到整个限额订单和应用程序

然而，与我们的知情交易者概念相反，他们的分析通常依赖于订单流（不包括差价和失衡）来提取有效价格，而不是外部信息。这是因为定向交易不是造市算法的核心。我们认为，如[11]中所述，做市商知道价格上涨与市场上发生的事件总数的比例，他们相互竞争，并且在价格上涨或交易后，他们可以随时修改限价指令。做市商根据其相对于有效价格的潜在利润和损失下订单（此处不考虑库存方面）。因此，他们只会在高于有效价格的价格水平下发送销售订单，而在低于有效价格的价格水平下发送购买订单。我们在此假设没有刻度大小（此假设将在第3节中放宽）。该订单由做市商在有效价格P（t）附近下达的限价订单组成。Wedenote P（t）和P（t）+x之间的累积可用流动性乘以L（x）。当L（x）时≥ 0（分别为L（x）≤ 0），表示价格小于（或大于）P（t）+x的卖出（或买入）限价订单的总数量。此函数L称为累积LOBshape函数。2.3假设我们不会对累积LOB形状函数L施加任何条件，该函数可能具有矩形部分和不连续性。我们定义其逆L-1签字人：L-1（q）=argminx{x | L（x）≥ q} 。给定函数L，我们现在在下一个假设中指定知情交易者的行为。该假设将知情交易者QI的交易量与LOBcumulative shape L和知情交易者收到的价格跳跃B的大小联系起来。假设1。让t成为有效价格的跳跃时间。

根据做市商提供的累计LOB形状函数L，知情的交易员以贪婪的方式进行交易，以消除LOB中的所有可用流动性，直到P（t）+B级。因此，他的交易规模合格指数为：合格指数=L（B-).知情交易者根据未来有效价格计算收益。如果他知道价格将上涨（或下跌），这对应于一个正（或负）跳跃b，他会消耗所有的卖出（或买入）订单，从而产生正的事后利润。在这两种情况下，他的利润等于未来有效价格与他买入或卖出的每股价格之差的绝对值乘以消耗量。请注意，本着这项工作的精神，知情交易者不会在日内累积头寸。我们的想法是，他被动地解除自己的立场。举例来说，如果在某一时刻，有效价格等于10欧元，而未来价格涨幅等于0.05欧元，知情交易者将以10至10.05欧元的价格消费所有卖出订单。然后，他可以以等于或高于新有效价格的价格提交被动卖出订单，从而潜在地平仓。知道他们的潜在利润是根据有效价格计算的，他可以提交接近新有效价格的利润，从而使其很有可能执行。这个量实际上取决于时间t，但为了简单起见，我们只写L（x）。备注2.1。对于由知情交易者发起的给定规模Qi订单和给定数量q，交易规模Qi小于q的概率满足：P[Qi<q]=P[L（B-) < q] =P【B<L】-1（q）]=Fψ（L-1（q））。在下面，我们的目标是计算扩展和LOB形状。

我们分两步进行。首先，我们推导出做市商潜在限价指令的预期收益。其次，我们考虑做市商的零利润假设（由于竞争）。基于这两种成分，我们展示了扩散和LOB形状是如何出现的。2.4做市商预期收益的计算这部分是我们方法的第一步。我们在此关注被动销售订单的收益。被动购买订单的收益也可以用同样的方法推断出来。让我成为订单的形状。我们的目标是，如果在价格水平为x的情况下提交，并且知道Q>L（x），并且没有关于交易发起人的任何信息，则计算新的最小订单的条件平均利润。对于这个量，我们写G（x）。我们考虑总订单量ε>0，位于P（t）+x之间的新订单的利润-对于某些x>0和δp>0，如果这些命令完全执行，则δp和p（t）+x。体积ε提交的订单由一个额外的累积LOB形状函数表示，该函数由▄L（x）表示。请注意，我们处理x之间提交的订单- δp和x考虑了两种情况：L（x）在x处连续，L（x）在x处有质量。函数L（x）定义如下：o对于s<x- δp，~L（s）=0，LOB中可用的流动性在s之前等于L（s）。o对于x- δp≤ s≤ x、 可用流动性为L（s）+L（s），其中▄L（x- δp）=0，且￠L（x）=ε对于s≥ x、 LOB中可用的流动性达到s等于L（s）+ε。此外，我们假设对于任何s<x，~L（s）<ε。

让我们写下：oν对于一个随机变量，如果交易是由知情交易者发起的，那么它等于1；如果交易是由噪声交易者发起的，那么它等于0Gnoise（x-δp，x）用于获得新订单，总数量ε在x之间提交-δpand x，如果噪声交易者知道Qu≥ L（x）+L（x）。oGinf（x- δp，x）用于获得新订单，总数量ε在x之间提交- δpand x，如果交易是由知情交易者在了解Qi的情况下发起的≥ L（x）+L（x）。oG（x- δp，x）表示新订单的预期条件收益，总数量ε在x之间提交- δp和x知道Q≥ L（x）+L（x），没有任何关于交易发起人的信息。注意，增益取决于时间t，但在不可能混淆的情况下，我们保留符号G（x）。数量G（x- δp，x）等于：Ginf（x- δp，x）p[ν=1 | Q≥ L（x）+L（x）]+Gnoise（x- δp，x）p[ν=0 | Q≥ L（x）+L（x）]。我们的目标是计算以价格水平x提交的新的最小订单的预期收益，我们使δp和ε趋于0。因此，我们定义（x）=limε→0limδp→0G（x- δp，x）ε.我们在附录A.1中证明了以下命题。提案2.1。对于x≥ 0，如果以x级价格提交，则新的最小订单的平均利润：G（x）=x-rE[B1B>x]rP[B>x]+（1- r） P[Qu>L（x）]和x≤ 0G（x）=-x+rE[B1B<x]rP[B<x]+（1- r） P[Qu<L（x）]。请注意，即使当L（x）=0时，上述平均利润G（x）也很明确。事实上，当L（x）=0时，G（x）表示在清空订单簿中提交的最小订单在x的预期收益。请注意，对于给定的x，当L（x）变大时，limitorders的预期收益变为负值。现在，我们描述了通过零利润类型条件构建LOB的方式。让我们把高球抛到一边。对于任何点x，做市商首先考虑是否应该在0和x之间存在可信赖度。

为此，他们计算出值^L（x），这使得我们在命题2.1的表达式中得到（x）=0。如果^L（x）为正，则市场制造商之间发生竞争，并调整累积订单，使L（x）=^L（x），以获得G（x）=0。如果^L（x）=0，则0和x之间没有流动性。如果^L（x）为负，我们推断0和x之间没有流动性，因为该流动性应为正。这种机制是有意义的，因为正如我们将在下面看到的那样，^L（x）是x的非减量函数，这意味着两件事。首先，不可能遇到x<x的情况，做市商应该在P（t）和P（t）+x之间增加流动性，而不是在P（t）和P（t）+x之间增加流动性。其次，LOB的累积形状函数实际上是不递减的。我们得到G（x）=0等于：x=rE[B1B>x]rP[B>x]+（1-r） P[Qu>^L（x）]如果x≥ 0 RE[B1B<x]rP[B<x]+（1-r） P【Qu<^L（x）】如果x≤ 这意味着：^L（x）=（F-1κu1.-r-r1级-rE[最大值（Bx，1）]如果x≥ 0F-1κu-r1级-r+r1-rE[最大值（Bx，1）]如果x≤ 附录A.2给出了^L（x）的计算细节。我们现在正式确定了上述零利润假设。这是我们方法的第二步，以便最终计算利差和LOB形状。假设2。对于每x>0（分别x<0），做市商计算^L（x）。If^L（x）≤ 0（分别为^L（x）≥ 0），做市商不向LOB添加流动性：L（x）=0。如果^L（x）>0（分别为^L（x）<0），由于竞争，累积订单簿会进行调整，使G（x）=0。Wethen获得L（x）=^L（x）。上述零利润假设可视为[11]中提出的零利润条件的广义版本，其中零利润仅考虑两个最佳效益限值。

有意思的是，在这种更现实的环境下，那些速度非常快的做市商仍然可以盈利，因为他们的订单在LOB中提前下达。在这种情况下，如果刻度大小为零，似乎很难想象不同做市商之间的竞争是如何发生的。可以认为，每个做市商都指定了自己的L（x）（他提供的累积流动性）。那么，假设2意味着，当x（G（x）>0时仍有未来收益的空间时，其他做市商将进入市场，增加LOB中的流动性，直到G（x）变为零。请再次注意，我们在此认为做市商可以在LOB中插入微量。这些想法将在第3节中更加清晰，其中刻度大小不再为零。2.5买卖价差和业务线形状的出现基于做市商的预期收益，见命题2.1和零利润条件（假设2），我们可以得出买卖价差和业务线形状。我们在附录A.2中证明了以下定理。定理2.1。累积LOB形状满意度L（x）=-L(-x） 对于任何x∈ R、 对于x，L（x）=0∈ [-u，u]和L在x>u时连续严格增加，其中u是以下等式的唯一解：1+r2r=E[最大值（Bu，1）]。（1） 对于x>u，L（x）>0，L（x）=F-1κu1.- r-r1级- rE[最大值（Bx，1）]. （2） 对于x<-u，L（x）<0，L（x）=F-1κu-r1级- r+r1- rE[最大值（Bx，1）]. （3） 特别是，买卖价差等于2u。方程（1）表明利差是r的一个递增函数。这意味着，当价格跳跃次数增加时，做市商意识到他们面临的逆向选择风险。因此，他们扩大价差，以避免因知情交易者在价格上涨前发布的交易而产生的这种影响。

特别是，如果市场上有非噪声交易者，则r=1，利差趋于一致。相反，当噪音交易者的交易数量增加时，做市商会减少价差，因为他们较少受到逆向选择的影响。所有这些结果与[11]中的发现一致。方程式（2）和（3）表明，做市商提交的流动性是r的递减函数。实际上，让我们取x>u，定义h（r）=1-r-r1级-rE[最大值（Bx，1）]。我们有h类r（r）=1- E[最大值（Bx，1）]（1- r）≤ 这意味着h是r的递减函数。函数F-1κU增加时，我们推断L（x）是r的递减函数。当价格跳跃次数增加时，做市商减少提交的被动订单数量。相反，当噪音交易者的交易数量很大时，市场就会变得非常流动。这与[26]中的实证结果一致，其中表明，就在某些公告之前，为了避免逆向选择，做市商降低了深度，增加了价差。最后，我们回忆起，在我们的设置中，我们没有先验地对L（x）施加任何条件。方程（1）、（2）和（3）表明，我们获得的累积LOB是连续的，并且严格增加，超出了价差。还请注意，L（x）趋于完整，因为x趋于完整。这意味着噪音交易者总是可以在LOB中找到流动性，无论其市场秩序有多大。2.6每笔交易的差异每笔交易的差异是两笔交易之间有效价格增量的差异。它可以被视为所考虑时期内累计方差与交易次数之间的比率。

文献中对这一概念非常感兴趣，尤其是因为它与价差和不确定区参数η有关，见[9，25，33]。在这项工作中，这个数量还有助于我们估计有效价格定律。用交易时间和交易后有效价格权的P表示。我们在附录A.3中证明了以下结果。定理2.2。每笔交易的方差σtrsaties：σtr=E[（Pτi+1- Pτi）]=E[B]uE[| B | 1 | B |>u]。我们知道，对于小型tick资产，我们应该获得波动性交易与利差之间的线性关系，斜率系数在1和2之间，请参见【25，33】。如果我们考虑这样的资产，那么我们必须有：E[B]E[| B | 1 | B |>u]~ u.使我们能够满足上述关系的一个经典选择是，考虑有效价格跳跃绝对值的帕累托分布，参数k（形状）和x（尺度），k>2，以获得有限的方差。在这种情况下，每笔交易的方差等于：σtr=x2个-k（k-1） ukk-2如果x≤ u（k-1） uxk-2如果x≥ u.为了确保每笔交易的方差与价差的平方成比例，我们应该将比例设为u。实际上，为了匹配上述公式中两种情况下的常数，我们自然取x=u。这意味着，在均衡状态下，价差会适应最小的跳跃大小，或者说，市场参与者认为只有在价差大于一半的情况下，有效价格的调整才是重要的。在这种情况下，方差pertrade变为：σtr=k- 1公里- 2u.知道每笔交易的波动率与利差之间的斜率系数介于1和2之间，我们预计标度参数k大于2.3。请注意，当k趋于完整时，斜率系数趋于1。

这些结果将在第5.3节中大量使用。在非零刻度大小的情况下，在本节中，我们研究引入刻度大小（用α表示）的影响，该刻度大小限制了LOB中的价格水平。与前一节中描述的相同的有效价格动态仍然适用，但累积LOB形状现在变成了一个分段常数函数。由于价格离散性，L（x）的不连续点将取决于有效价格P（t）相对于刻度网格的位置。3.1符号和假设为了处理L（x）的不连续点，后续将使用以下符号。让我们用▄P（t）表示大于或等于当前有效价格P（t）的最小容许价格水平，并用d表示其距离：=▄P（t）-P（t），其中∈ [0，α）。累积LOB形状函数L（x）现在由Ld（i）：Ld（i）定义=L（d+（i- 1） α）对于i>0L（d+iα），对于i<0。（4） 指数i=1（分别为i=-1） 对应于大于（或小于）P（t）或等于P（t）的最近价格水平。当Ld（i）>0（分别Ld（i）<0）时，它表示价格小于（分别大于）ithlimit的卖出（分别买入）被动订单总量。我们将ld（i）写入ithlimit下的数量：ld（i）=（ld（i）- Ld（i- 1） 对于i>0Ld（i）- 对于i<0，Ld（i+1）。当ld（i）>0（分别ld（i）<0）时，它表示在ithlimit下的卖出（分别买入）限额订单的数量。回想一下ld（i）≥ 0（分别为ld（i）≤ 0）对于i>0（分别为i<0）。假设我们将假设1调整为刻度大小设置。我们再次假设，当他收到新信息时，知情交易者以贪婪的方式发送交易，从而在价格低于新效率价格的限制下耗尽所有可用流动性。这可以翻译如下。假设3。

当知情交易者发送市场指令时，对于某些i，QI等于Ld（i）∈ Z*. 我们有Qi=Ld（i）当且仅当B∈ [d+（i- 1） α，d+iα]。备注3.1。在实践中，一笔交易消耗的LOB限额很少超过一个。在我们的模型中，这种交易在实践中应该被解释为一系列交易，每个交易都消耗一个限额。3.2做市商预期收益的计算在上一节中，让我们计算在ithlimit提交的新的独立主被动订单的条件平均收益，知道Q>Ld（i），并且没有关于交易发起人的任何信息。该数量用Gd（i）表示，并以与第2.4节中G（x）类似的方式定义。Gd（i）的计算可与G（x）的计算相比较，而且实际上更容易，因为我们现在知道，在ithlimit的体积不能是极小的。这意味着，不同的订单可以按照其在队列中的位置以相同的价格提交，但其收益存在差异。例如，放置在队列顶部的订单具有最高的预期收益，而我们稍后将强制要求在队列后部提交的新订单的收益为空。我们在附录A.4中证明了以下命题。提案3.1。根据假设3，对于i∈ Z*, 如果执行了新的ithlevel内单位主订单，则其预期收益满足：对于i>0:Gd（i）=G（d+（i- 1） α）=d+（i- 1)α -rE[B1B>d+（i-1） α]rP[B>d+（i- 1)α] + (1 - r） P[Qu>Ld（i）]，对于i<0:Gd（i）=G（d+iα）=d+iα-rE[B1B<d+iα]rP[B<d+iα]+（1- r） P[Qu<Ld（i）]。数量Gd（i）可以理解为在ithlimit下新插入的有限小限制订单的预期收益，前提是该订单是针对某些市场订单执行的。对于非零刻度大小的情况，我们遵循与零刻度大小情况相同的推理。