从Glosten Milgrom到整个限额订单和应用程序

的确，尽管我∈ Z*, 做市商计算^Ld（i），使Gd（i）=0在比例3.1中。等式Gd（i）=0等于：如果i>0:d+（i- 1） α=rE[B1B>d+（i-1） α]rP[B>d+（i- 1)α] + (1 - r） P[Qu>^Ld（i）]，如果i<0:d+iα=rE[B1B<d+iα]rP[B<d+iα]+（1- r） P[Qu<Ld（i）]。这相当于：^Ld（i）=（F-1κu1.-r-r1级-rE[最大值（Bd+（i-1)α, 1)]如果i>0F-1κu-r1级-r+r1-rE[最大值（Bd+iα，1）]如果我≤ 0.与无刻度大小的情况一样，这导致以下零利润假设。假设4。每一个我∈ Z+（分别为i∈ Z-), 做市商计算^Ld（i）。If^Ld（i）≤ 0（分别为1）≥ 0），做市商不向LOB增加流动性：Ld（i）=0。如果^Ld（i）>0（分别为^Ld（i）<0），由于竞争，累积订单会进行调整，以便Gd（i）=0。Wethen get then Ld（i）=^Ld（i）。零利润条件仅适用于在队列底部提交的新订单。其他订单的预期利润为非零，队列顶部的订单将获得最大收益。3.3买卖价差和业务线形成基于做市商的预期收益，见命题3.1和零利润条件（假设4），如前所述，我们推断买卖价差和业务线形状。我们在附录A.5中证明了以下定理。定理3.1。LOB形状函数满足ld（i）=0-kdl<i<kdr，其中kdland kdrare由以下等式确定的两个正整数：kdr=1+du- dαe，kdl=du+dαe，其中u由（1）定义，其中dxe表示大于x的最小整数（可以等于0）。此外，对于我≥ kdr:Ld（i）=F-1κu1.- r-r1级- rE[最大值（Bd+（i- 1)α, 1)]对于我来说≤ -kdl:Ld（i）=F-1κu(-r1级- r+r1- rE[最大值（Bd+iα，1）]）。对于给定的d，买卖价差φdα满足度：φdα=αdu- dαe+du+dαe.让我们考虑d均匀分布在[0，α]上的近似值（这是合理的，请参见[21，29，32]）。

在这种情况下，我们得到了附录A中证明的以下推论。推论3.1。平均分布φα满足：φα=2u+α。（5） 当刻度大小消失时，我们在定理2.1中看到，扩散等于2u。否则，由于刻度大小应变，排列不一定等于2u。特别有趣的是，即使α≤ 2u，平衡分布不是2u。始终存在一个刻度大小的处理成本，导致价差值为2u+α。方程式（5）将用于第4节中的实际应用。为了便于说明，我们现在提供了一个限额订单簿的数字示例。如第2.6节所述，让我们考虑价格跳跃的绝对值遵循帕累托分布，形状和尺度参数分别等于3和0.005，r=2/3，α=0.01和d=0.0075。此外，我们假设qu遵循标准正态分布（这里，标准偏差的值1仅代表一个合适的单位）。在所考虑的参数下，利差等于2个刻度，我们得到了图1中给出的LOB。图1：LOB的数字图示。3.4每笔交易的差异如果勾号大小不为空，我们在此提供每笔交易的差异（之前在第2.6节中定义）。这个结果是以与定理2.2相似的方式得到的。定理3.2。每笔交易的方差σtrsaties：σtr=E[（Pτi+1- Pτi）]=E[B]（u+α/2）E[| B | 1 | B |>u+α/2]。（6） 正如在零刻度大小的情况下（见第2.6节），我们认为价格跳跃的绝对值遵循帕累托分布，并将xequal取为半扩散u+α/2。

每次交易的方差变为：σtr=k- 1公里- 2(u + α/2).我们将在第5.3.5节队列位置评估中根据此关系估计比例参数k。在我们的建模中引入刻度大小，使我们能够研究队列中限制订单位置的值。我们可以量化放置在队列顶部的订单相对于放置在队列底部的订单的优势。队列中头寸值的差异是交易算法的关键参数。这实际上导致了高频交易者和其他自动化市场参与者之间的技术专家竞赛，以在队列中建立早期（因此是有利的）位置，参见[2，27]。出于不同的原因，在队列前面放置限额订单非常有价值。它保证了早期执行和更少的等待时间。此外，它还降低了逆向选择风险。事实上，如【27】所述，当限额指令放在队列末尾时，很可能会针对大型交易执行。相反，排在（最佳）队列前面的限价订单将针对下一笔交易执行，与交易规模无关。大型交易通常由知情交易者进行，目的是消费所有限价订单，从而为他们创造利润。这样，在队列前面提交的限价单就不太可能进行重载选择。有鉴于此，为了优化其执行，从业者需要以相关方式下达限额指令。这需要根据限制指令在队列中的位置来估计其值。[27]中研究了大型tickassets在最佳限制下的队列的这一问题。

我们在这里补充了这项出色的工作，提供了适用于任何大型或小型tick资产队列的公式，并考虑了市场参与者之间的战略互动。假设4告诉我们，放置在非空队列底部的新的最小限额订单的预期利润等于零。然而，在我们的零利润条件下，如果做市商的订单提前下达，他们仍然可以盈利。ithlevel的queueposition值，用▄Gd（i）表示，可以在该模型中表示为放置在顶部的订单的预期利润与放置在ithqueue底部的新订单的预期利润之间的差异。计算这个量与推导命题3.1中的方程非常相似。不同之处在于，现在我们不再认为交易量完全耗尽了限额，而是认为交易量消耗了iThone之前的所有限额。这导致了以下定理。定理3.3。对于i≥ kdr，我们有▄Gd（i）=d+（i- 1)α -rE[B1B>d+（i-1)α]1 - rFψ（d+（i- 1)α) - (1 - r） FκuLd（i- 1).i的公式≤ -kdlis显然是推断出来的。我们将面对定理3.3中的公式，以获得第5.4节第一个实际应用中的数据：利差预测Gor模型（特别是方程（5））允许我们预测如果勾号大小被修改，利差的新值。在下文中，我们预测由于最近的欧洲监管MiFID II下的新勾号制度而导致的利差变化，并将我们的结果与有效传播值进行比较。我们希望我们的模型与流动性较高的资产相关，因为它是基于有竞争力的做市商的存在。因此，我们将自己限制在这一类。

请注意，文献中还有其他模型使从业者能够预测利差，值得注意的是，在文献[9]中，作者提出了一种针对大型tick资产的方法。例如，该方法在[18]中应用于日本数据，在[24]中比较了MiFID II前后的SpreadValue。我们的设备的优点是，它可以应用于小型和大型tick资产。4.1交易量问题和MiFID II监管近年来，交易平台竞相减少交易量，以提高价格和市场份额。这一大趋势对整体市场质量产生了不利影响：太小的价格波动会导致LOB不稳定和价格形成机制退化。然而，根据市场参与者的观点，过大的涨价阻碍了价格的自由波动。因此，找到合适的刻度值对于金融市场的流动性至关重要。为了解决这个问题，一些监管机构尝试使用试点项目，例如日本和美国的情况，参见示例【18】。这是一种昂贵的做法，并不真正依赖于理论基础。我们相信，使用本研究中提出的量化结果可以产生更有效的方法。在欧洲，MiFID II（金融工具市场指令II）条例引入了一个统一的勾号制度（第49条），该制度基于两项表：价格和流动性（以每天的交易数量表示）。请注意，监管机构的目标之一是获得1.5至2个刻度之间的流动资产利差，请参见【3】。4.2数据我们的数据由法国监管机构Autorit’e des March’s金融家提供。

我们研究了MiFID II实施前后六个月内的CAC 40股票：2017年10月至2017年12月（变动前）和2018年1月至2018年3月（变动后）。我们考虑在实施MiFID II法规后，其刻度大小发生变化的资产。CAC 40指数还有14只股票。我们注意到，对于所有这些资产，刻度大小都增加了。对于每项资产，我们计算两个利差：第一个利差是MiFID II之前三个月LOB中发生的所有事件（交易、插入新订单、取消或修改现有订单）的平均值，第二个利差是MiFID II之前三个月的平均值。我们排除了三种因价格变化而在日内波动的资产。股票ticksizebeforeif。IITicksizeunderMiF。IIAveragespreadbeforeMiF。II（欧元）MIF之前的平均分摊额。II（刻度）MIF下的平均分布。II（欧元）MIF下的平均分摊额。II（滴答声）基于我们的ModelRelativeErrorsFan 0.01 0.02 0.019 1.892 0.031 1.556 0.029 7%Accor 0.005 0.01 0.011 2.266 0.016 1.586 0.016 3%Bouygues 0.005 0.01 0.011 2.277 0.017 1.734 0.016 5%Kering 0.05 0.1 0.090 1.797 0.141 1.407 0.140 1%Schneider Electric 0.01 0.02 0.016 1.579 0.025 1.235 0.026 4%威立雅环境0.005 0.01 0.007 1.440 0.012 1.189 0.012 3%芬奇0.01 0.02 0.0171.668 0.026 1.280 0.027 4%Vivendi 0.005 0.01 0.007 1.408 0.012 1.162 0.012 4%Publicis 0.01 0.02 0.019 1.904 0.030 1.520 0.029 4%Legrand 0.02 0.016 1.643 0.029 1.471 0.026 10%Valeo 0.01 0.02 0.018 1.845 0.031 1 1.568 0.028 10%TechnipFMC 0.005 0.01 0.010 2.056 0.017 1.677 0.015 10%表1：预测MiFID II下的CAC 40资产利差。4.3 MiFID II下的利差预测和最佳利差我们现在根据MiFID II前的数据，预测由于新的利差制度，我们14项资产的新利差。

我们使用两种不同的预测因子。首先，我们认为利差（ineuros）保持不变。其次，我们根据公式（5）计算价差的新值，其中u是在2017年10月至2017年12月期间估计的。我们将预测的准确性与表1中的有效价差值进行比较。基于我们模型的预测非常准确：平均相对误差为5%，而其他预测值的相对误差为43%。还要注意的是，根据我们的方法得出的误差总是小于初始刻度大小，如果仅假设欧元利差是恒定的，则几乎不会出现这种情况。5秒实际应用：队列位置评估正如我们在第3.5节中看到的，我们的方法使我们能够根据定理3.3定量测量队列位置的值。为了使用这个结果，我们需要知道B的分布。为了估计它，我们使用第3.4节的帕累托参数化。我们将根据方程式（6）估计参数k，并使用方程式（1）计算r。然后将推导队列位置的值。5.1数据为了补充[27]的结果，我们在本节中考虑了CAC 40指数所有小股票的排队位置值（即平均价差大于2个股票）。我们在MiFID II下研究该数量。这些资产在三个月内进行调查：2018年1月至2018年3月。这给我们留下了五只股票。

我们每天计算每个股票在LOB中发生的所有事件的平均价差和每笔交易的方差。5.2帕累托参数估计方法在我们的参数化下，每笔交易的方差由σtr=（k）给出- 1） （u+α/2）k- 我们通过最小化每种股票的二次误差来估计k:Xjσtr- （fσtr）j,其中σtris是在我们的模型中获得的每笔交易的方差，（fσtr）jis是在第j天的数据上测量的每笔交易的方差（基于5分钟价格抽样除以交易数的实现方差）。我们在2.001和20之间搜索最优k。请注意，对于每个股票，考虑的利差等于研究期间的平均实现利差。5.3队列位置评估我们首先在表2中报告了根据tod的最佳ask限制下的队列位置值。我们认为d可以等于0.25α、0.5α或0.75α。股票价差（欧元）价差（ticks）k r PriorityValue for d=0.25α（欧元）PriorityValue for d=0.25α（价差）PriorityValue for d=0.5α（欧元）PriorityValue for d=0.5α（价差）PriorityValue for d=0.75α（欧元）PriorityValue for d=0.75α（价差）雷诺0.025 2.476 2.866 65%0.010 41%0.011 45%0.012 50%Lafarge Holcim 0.026 2.438 3.316 70%0.010 39%0.011 42%0.012 48%Airbus 0.020 2.040 3.478 71%0.01153%0.012 61%0.014 68%Saint Gobain 0.010 2.035 4.776 79%0.006 55%0.007 65%0.008 76%Soci'et'e Generale 0.010 2.012 9.910 90%0.006 60%0.007 73%0.009 86%表2：根据d，在最佳ask条件下的队列位置值。我们发现队列位置值与投标报价具有相同的数量级。这与[27]中的发现一致。此外，我们还发现它随着时间的推移而增加。

此外，请注意，如第2.6节所述，k值大于2.3。现在，我们在表3中计算了当d=0.5α时，四个最佳极限下的队列位置值。股票价差（欧元）价差（刻度）k r Firstlimitpriorityvalue（欧元）Firstlimitpriorityvalue（价差）Secondlimitpriorityvalue（欧元）Secondlimitpriorityvalue（价差）Thirdlimitpriorityvalue（欧元）Thirdlimitpriorityvalue（价差）Fourthlimitpriorityvalue（欧元）Fourthlimitpriorityvalue（价差）雷诺0.025 2.476 2.866 65%-0.007-30%0.011 45%0.013 54%0.013 51%Lafarge Holcim 0.026 2.438 3.316 70%-0.008-31%0.011 42%0.014 55%0.013 52%Airbus 0.020 2.040 3.478 71%-0.005-25%0.012 61%0.015 72%0.014 67%Saint Gobain 0.010 2.035 4.776 79%-0.003-25%0.007 65%0.009 84%0.008 78%Soci\'e Generale 0.010 2.012 9.910 90%-0.003-25%0.007 73%0.012 117%0.013 127%Table 3：在d=0.5α的四个最佳限值下的队列位置值。请注意，第一个限制的队列位置值不一定对应于最佳任务。例如，如果第一个限制的优先级值为负，第二个限制的优先级值为正，则最好的ask是第二个限制。我们观察到，队列位置的值随着限制的等级而增加，达到某种程度后会减少。结论在本文中，我们为LOB引入了一个基于agent的模型。受格罗斯滕（Glosten）和米尔格罗姆（Milgrom）[11]的启发，我们对做市商使用零利润条件，这使我们能够得出噪声交易者事件比例、买卖价差、有效价格动态和平衡LOB状态之间的联系。然后讨论了引入ticksize的影响。我们特别指出，受限的买卖价差等于tick值和对应于尾迹大小情况的内在买卖价差之和。

该模型允许我们在修改ticksize时进行价差预测。价格离散性还使我们能够评估LOB中的队列位置。在我们的方法中，做市商只允许插入限价指令。在实践中，知情交易者和做市商的角色往往是混合的，知情交易者也有可能下达被动限价指令。通过这样做，他可能会得到更好的价格，但也会向其他市场参与者泄露一些信息。通过准确考虑这些复杂的特性来扩展我们的模型，这将留给将来的工作。A证据A。1命题证明2.1我们考虑被动销售订单的收益。被动购买订单的收益可以很容易地减少。首先，我们计算Ginf（x- δp，x）。我们有：Ginf（x- δp，x）=Zxx-δp（p（t）+s）dL（s）-Zxx公司-δp（p（t）+E[B | B>x]）dL（s）=Zxx-δpsd￠L（s）-L（x）E[B | B>x]。对于Gnoise（x- δp，x）我们得到：Gnoise（x- δp，x）=Zxx-δp（p（t）+s）dL（s）-Zxx公司-δpP（t）dL（s）=Zxx-δpsd￠L（s）。我们推导出：G（x- δp，x）=Ginf（x- δp，x）p[ν=1 | Q≥ L（x）+L（x）]+Gnoise（x- δp，x）p[ν=0 | Q≥ L（x）+L（x）]=Zxx-δpsd￠L（s）- P[ν=1 | Q≥ L（x）+L（x）]L（x）E[B | B>x]=Zxx-δpsd￠L（s）-L（x）E[B | B>x]rP[B>x]P[Q≥ L（x）+L（x）]=Zxx-δpsd￠L（s）-~L（x）rE[B1B>x]P[Q≥ L（x）+L（x）]=Zxx-δpsd￠L（s）-L（x）rE[B1B>x]rP[B>x]+（1- r） P[Qu>L（x）+▄L（x）]。按部件积分we getZxx-δpsd▄L（s）=▄L（x）x-Zxx公司-δpL（s）ds=εx-Zxx公司-δpL（s）ds。当δp趋于0时，这趋于εx。因此，我们得到：limδp→0G（x- δp，x）=εx个-rE[B1B>x]rP[B>x]+（1- r） P[Qu>L（x）+L（x）],andG（x）=limε→0limδp→0G（x- δp，x）ε= x个-rE[B1B>x]rP[B>x]+（1- r） P[Qu>L（x）]。A、 2定理2.1的证明我们考虑被动销售订单（x>0）。我们首先计算^L（x），这是做市商应在LOB中加入的理论流动性，以获得G（x）=0。