多因素粗糙波动率中波动率导数的渐近性

我们现在定义以下L[0，T]运算符Ig，T:L[0，T]→ C[T，T+], 空间Hg，Tas（5.3）Ig，Tf（·）：=ZTg（·，s）f（s）ds，Hg，T：={Ig，Tf:f∈ L[0，T]}，其中空间Hg，Tis具有以下内积hIg，Tf，Ig，TfiHg，T：=hf，f，iL[0，T]。请注意，函数g必须是这样的，即操作符Ig是内射的，以便内积h·、·iHg、Ton Hg、Tis得到很好的定义。提案5.2。假设存在h∈ L[0，T]使得rε| h（s）| ds<+∞ 对于某些ε>0且g（t，·）=h（t-·) 对于任何t∈ [T，T+]. 然后，空间Hg，是过程（Vg，Tt）t的再生核Hilbert空间∈[T，T+].证据见附录B.5。定理5.3。对于任何γ>0的随机过程序列（εγ/2Vg，T）ε>0满足C[T，T+] 速度ε-γ和速率函数∧V，定义为（5.4）∧V（x）：=kxkHg，T，如果x∈ Hg，T+∞, 否则证据广义Schilder定理的直接应用【DS89，定理3.4.12】。18克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通评论5.4。现在我们引入C[T，T+], 定义为A：={g∈ C[T，T+] :g（x）≥ 1代表所有x∈ R} 。然后，通过定理5.3的简单应用，并利用a上的速率函数∧Vis连续，我们可以得到过程Vg，T的以下尾部行为：（5.5）limε↓0εγlog PVg，Tt≥εγ/2= - infg公司∈A∧V（g），对于任何γ>0和t∈ [T，T+].备注5.5。让我们再次将核g定义为粗糙Bergomi核，并用Hη，α和相应的过程Vg，Tas Vη，α，T表示相应的再生核Hilbert空间。如果x∈ Hη，α，Tit表示存在f∈ L[0，T]使得x（T）=RTη√2α+1（t-s） 所有t的αf（s）ds∈ [T，T+].很明显，x∈ Haη，α，t对于任何a>0，作为f∈ L[0，T]表示af=：fa∈ L[0，T]。

我们可以计算每个空间中x的范数，得出以下等距：（5.6）kxkHaη，α，T=kfakL[0，T]=aZTf（s）ds=akxkHη，α，T。我们现在可以合并（5.4）、（5.5）和（5.6）得出以下陈述，这告诉我们在粗略的Bergomi模型中，大走向行为如何与vol参数η的vol进行缩放：（5.7）limε↓0εγlog PVaη，α，Tt≥εγ/2= limε↓0εγlogPVη，α，Tt≥εγ/21/a！事实上，（5.7）准确地告诉我们，在粗略的Bergomi模型中，将vol参数η的vol乘以因子a，会增加相关过程Vg，Twill超过某一水平的概率。在说明本节的主要定理之前，我们首先定义以下重定标过程：（5.8）Vg，T，εT：=εγ/2Vg，Tt，eVg，T，εT：=Vg，T，εT-εγZtg（t，u）du+εγ/2，用于ε∈ [0，1]，t∈ [T，T+]. 我们还定义了以下C（[T，T+] ×[0，1]）运算符Д1，ξ，Д，映射到C（[T，T+] ×[0，1]）和C[0，1]，as（5.9）（Д1，ξf）（s，ε）：=ξ（s）exp（f（s，ε）），（Дg）（ε）：=ZT公司+Tg（s，ε）ds。注意，在（5.9）中定义ξ1时，我们假设ξ是[T，T]上的连续单值严格正函数+]. 这意味着∈ [T，T+], 地图ε7→ （Д1，ξf）（s，ε）是一个双射，因此有一个逆项，用Д表示-11，ξ，定义为（Д-11，ξf）（s，ε）：=对数f（s，ε）ξ（s）.定理5.6。对于任何γ>0的情况，重标度VIX过程的顺序（eεγ/2VIXT，εγ/2）ε∈[0,1]满足速度为ε的C[0,1]上的横向大偏差原理-γ和速率函数∧VIX（x）：=infs∈[T，T+]∧V日志y（s，·）ξ（s）: x（·）=（Иy）（·）.证据见附录B.6。备注5.7。

利用定理5.6，我们可以推导出VIX期权的小噪声、大走向行为。实际上，对于C[T，T+]] 在备注5.4中介绍，我们有thatlimε↓0εγlog PV IXT，εγ/2≥ e-εγ/2= - infg公司∈A∧VIX（g），对于任何γ>0。多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性196。结论在本文中，我们首次利用大偏差理论描述了粗糙波动率模型中积分方差期权的小时间行为。我们的方法具有坚实的理论基础，具有非常令人信服的相应数字，与观察到的市场现象以及Al\'os、Garc'a-Lorite和Muguruza得出的理论结果一致【AGM18】。理论和数值结果均适用于所提出的三种粗糙波动率模型，其复杂性增加。三者中的任何一个，加上我们相应的结果，都适合实际使用；用户只需选择满足其个人需求所需的复杂性级别。还要注意的是，理论结果具有广泛的适用性，并且可以很容易地将本文中给出的结果应用于其他模型，其中波动过程也满足大偏差原则，并且可以轻松准确地计算其比率函数。也许令人惊讶的是，我们已经发现，对数正态模型，如粗糙Bergomi[BFG16]，2-FactorBergomi[Ber08，Ber16]及其混合版本，在对数空间中对期权实现的方差产生线性微笑。这至少是在建模波动性衍生品时需要考虑的一个属性，据我们所知，以前的作品中从未涉及或评论过这一属性。

无论这种假设是否现实，我们还提供了一种明确的方法来构建一个模型，该模型可以在需要或需要时生成非线性微笑。我们还证明了重标度VIX过程的路径大偏差原理，在一个相当一般的设置中，对用于定义瞬时方差的随机积分的核进行了最小假设；然后，利用这些结果建立了小噪声、大打击下的波动指数的渐近行为。目前的设置不允许我们从pathwiselarge deviations原理推断出小时间波动率指数的行为，但这将是未来研究的一个非常有趣的领域。我们的数值模式很可能会很好地近似速率函数和相应的小timeVIX微笑。附录A.根据第4节所示的数值结果（见图2-6），近似混合粗糙Bergomi模型中的已实现方差密度，我们确定了粗糙Bergomi模型和混合粗糙Bergomi模型产生的隐含波动率微笑中的明显线性趋势。因此，自然可以假设对数线性微笑的以下猜测/近似值。假设A.1。混合粗糙Bergomi（2.5）模型中已实现方差期权的隐含波动率在对数货币中是线性的，并采用以下形式：σ（K，T）=Tβa（α，γ，ν）+b（α，γ，ν）对数KRV（v）（0）+式中（α，γ，ν）=√2α+1Pni=1γiνi（α+1）√2α+3，b（α，γ，ν）=√2α+1Pni=1γiνiPni=1γiνiI（α）（2α+3）3/2（α+1）-Pni=1γiνi（2α+2）p（2α+3）！，20克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通维西（α）=∞Xn=0（α）n（α+2）n1- 2.-2α-3.-n2α+3+n+∞Xn=0(-1） n个(-α） n（α+1）（α+2+n）n！^F（n，1）- 2n个-1/2-n^F（n，1/2）α+1- n（α+1）（4α+5）使得^F（n，x）=F(-n-2α -2, α + 1 -n、 α+2-n、 x）和（x）n=n-1Yi=0（x+i）表示risingPochhammer阶乘。备注A.2。

假设a.1中的常数a（α，γ，ν）和b（α，γ，ν）的值分别给出了隐含波动率的水平和斜率，分别在[AGM18，实施例24和实施例27]中给出；我们将其推广到n个因子。这些结果是根据赫斯特参数H给出的；为了避免混淆，我们将继续使用α。回想一下，通过备注2.2，α=H- 1/2.提案A.3。在假设A.1下，RV（v（γ，ν））（T）的密度由ψRV（x，T）=-φ（d（x））d（x）x个a（α，γ，ν）Tα+1/2d（x）+1, x个≥ 0其中d（x）=对数（v）-对数（x）^σ（x，T）√T+σ（x，T）√T，d（x）=d（x）- ^σ（x，T）√T代表x≥ 0和φ（·）是标准高斯概率密度函数。证据让我们表示c（K，T）：=E[（RV（v（γ，ν））（T）- K） +]。著名的布里登-利岑伯格公式（BL78）告诉我们C（x，T）x个x=K=ψRV（K，T）。在假设A.1下，我们得到c（K，T）=BS（v，^σ（K，T），K，T），其中BS（v，σ，K，T）=vΦ（d）-KΦ（d）是具有Φ标准高斯累积分布函数的Black-Scholes看涨期权定价公式。

然后，将C与罢工区分开来C（x，T）x个x=K=vφ（d（K））d（x）x个x=K- xφ（d（K））d（x）x个x=K- Φ（d（K）），其中d（x）x个=-σ（x，T）+对数（x/v）a（α，γ，ν）Tαxσ（x，T）√T+a（α，γ，ν）Tα+1/2x=-b（α，γ，ν）Tαx^σ（x，T）√T+a（α，γ，ν）Tα+1/2xandd（x）x个=d（x）x个-a（α，γ，ν）Tα+1/2x。使用附录E中证明的众所周知的恒等式vφ（d（x））=xφ（d（x）），我们进一步简化C（K，T）K=vφ（d（K））a（α，γ，ν）Tα+1/2K- Φ（d（K））。再次微分，我们得到了多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性21ψRV（K，T）=-vφ（d（K））a（α，γ，ν）Tα+1/2Kd（K）d（x）x个x=K+K- φ（d（K））d（x）x个x=K。然后，通过使用vφ（d（x））=xφ（d（x）），我们发现ψRV（K，T）=-φ（d（K））a（α，γ，ν）Tα+1/2d（x）d（x）x个x=K+K+d（x）x个x=K,我们进一步简化为ψRV（K，T）=-φ（d（K））d（x）x个x=Ka（α，γ，ν）Tα+1/2d（K）+1,结果如下。注意，密度ψRV（·，T）在所有T>0时确实是连续的。备注A.4。注意，命题A.3给出了闭合形式的RV（v（γ，ν））（T）密度。此外，命题A.3可以很容易地得到BlackScholes模型下算术亚式期权的密度。这将对应于α=0和ν=σ>0的情况，即Black-Scholes-constantvolatility。备注A.5。假设密度ψRVexists，我们有以下波动率互换价格：E[qRV（v（γ，ν））（T）]=Z∞√xψRV（x，T）dx。在图9中，我们提供了波动率掉期近似值的数值结果，该近似值在短期到期时表现最好，因为近似值的性质是由短时微笑行为驱动的。有趣的是，它相当准确地捕捉到了期限不到3个月的波动性掉期价格的短期衰减；对于更大期限，绝对误差不超过20个基点。图9：。

η=1.5和v=0.04的波动率掉期蒙特卡罗价格估计（直线）和LDP basedapproximation（星形）；对于蒙特卡罗，我们使用200000个模拟和t=。22 CHLOE LACOMBE、AITOR MUGURUZA和HENRY Stone附录B.主要结果的证明B。定理3.3的证明。证据对于t∈ T，ε>0，我们首先定义重定标过程（B.1）ZεT：=εβ/2Ztd=ZεT，vεT：=vexpZεt-η（εt）β,其中β：=2α+1∈ (0, 1). 根据Schilder定理[DS89，定理3.4.12]和命题3.2，我们得出过程序列（Zε）ε>0满足C（T）上速度ε的大偏差原理-β和速率函数∧Z。我们现在证明了两个随机过程序列Zε和Zε：=Zε-η（ε·）β指数等效【DZ10，定义4.2.10】。对于每个δ>0和t∈ T，存在ε*: =t型2δη1/β>0，以支持∈T | ZεT-eZεt |=支持∈T |η（εT）β|≤ δ、 对于所有0<ε<ε*. 因此，对于所有δ>0，lim supε↓0εβlog P（kZε-eZεk∞> δ) = -∞, 这两个过程实际上是指数等价的。然后，使用[DZ10，定理4.2.13]，随机过程序列（eZε）ε>0也满足C（T）上的大偏差原理，速度ε-β和速率函数∧Z。此外，对于所有ε，t，我们有vεt=vexp（eZεt），其中双射变换x 7→ vexp（x）相对于sup norm度量显然是连续的。因此，我们可以应用附录D中所述的收缩原理[DZ10，定理4.2.1]，得出结论：过程序列（vε）ε>0满足速度ε为C（T）的大偏差原理-β和速率函数∧Z日志十五. 这里我们使用了，对于每个ε>0，t∈ T和x∈ C（T），双射变换x（T，ε）的逆映射7→ vexp（x）由log给出十五. 自，对于所有ε>0supt∈T | vεT- vεt |=0，这意味着对于任何δ>0，lim supε↓0εβlog P（kvε·- v（ε·）k∞> δ) = -∞微不足道。

因此，过程序列（vεt）t∈Tand（vεt）t∈T） 指数相等，因此满足相同的LDP。还要注意∧v（v）=∧Z（0）=k0kHKα=0。B、 2。推论3.7的证明。证据方程（3.4）的证明类似于[FZ17，推论4.9]的证明，我们将分别证明上界和下界，其结果是相等的。首先，作为C（T）上的粘连续速率函数∧，我们得到，对于所有k>0，limt↓0tβlog P（log[RV（v）（t）]>k）=-I（k），作为推论3.4的应用。（1） 下限的证明与[FZ17，附录C]中给出的完全相同，此处将省略；我们到达lim inft↓0tβ对数E（RV（v）（t）- 瑞典克朗）+≥ -I（k）。（2） 为了建立上界，我们严格遵循[PZ16]：首先我们证明（B.2）limt↓0tβ对数E[（RV（v）（t）- ek）]+=极限↓0tβlog P（RV（v）（t）≥ 瑞典克朗）。多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性23我们应用H¨older不等式：E[（RV（v）（t））-ek）]+=E（RV（v）（t）- ek）11{RV（v）（t）≥ek}≤ E（RV（v）（t）- ek）q1/qP（RV（v）（t）≥ ek）1-1/q，适用于所有q>1的情况。我们注意到，对于所有q≥ 2，映射x 7→ XQ对于任意x≥ 0是凸的，因此通过H¨older不等式可以得到（x+y）q≤xq+yq1-Q对于任意x，y≥ 0，这意味着（B.3）E|RV（v）（t）- ek | q≤ 第2季度-1.E[（RV（v）（t））q]+（ek）q.通过应用Jensen不等式和（RV（v）（t））q（B.4）E[（RV（v）（t））q的所有矩存在的事实，我们进一步得到了以下不等式]≤tqZtE[vqs]ds≤VQTQZTEPqη-qηs2α+1ds公司≤vqtq-1expqη-qηt2α+1因此，使用（B.3）和（B.4）我们可以得到一个上界supt↓0tβ对数E[（RV（v）（t）- ek）+]≤ lim支持↓0(1 - 1/q）tβlog P（RV（v）（t）≥ ek），因为它适用于（1- 1/q）<1。

为了获得一个下界，我们对任何ε>0E[（RV（v）（t））都有- ek）]+≥ E（RV（v）（t）- ek）11{RV（v）（t）≥ek+ε}≥ εPRV（v）（t）≥ ek+ε,这意味着LIM inft↓0tβ对数E[（RV（v）（t）- ek）+]≥ lim信息↓0tβlog PRV（v）（t）≥ ek+ε.现在，使用（B.2）将导致lim supt↓0tβ对数E（RV（v）（t）- 瑞典克朗）+≤ -I（k）。然后直接得出方程式（3.4）的结论。在证明过程PRV（v）满足R+上的大偏差原则后，等式（3.5）的证明遵循相同的步骤。实际上，作为函数x 7→ xis是R+上的连续双射，我们知道当t趋于零时，积分方差过程的平方根prv（v）满足大偏差原则R+，速度为t-β和速率函数∧∧v（（·）），使用[DZ10，定理4.2.4]。B、 3。定理3.10的证明。证据为简洁起见，我们将n设置为2，但对于较大的n，可以应用相同的参数。根据Schilder\'sTheorem【DS89，定理3.4.12】和命题3.2，我们得出过程序列（Zε）ε>0满足速度ε的C（T）大偏差原理-β和速率函数∧Z。定义运算符f:C（T）→ C（（T），R）乘以f（x）：=（νηx，νηx），这显然是相对于sup normk·k连续的∞在C（T，R）上。然后应用收缩原理得出二维过程序列（（νηZε，νηZε））ε>0满足C（T，R）上的大偏差原理，因为ε随速度ε趋于零-β和速率函数∧∧（y，z）：=inf{∧z（x）：f（x）=（y，z）}=inf{∧z（ηνy）：z=ννy}。定理3.3证明的相同参数给出了过程序列（（νηZε，νηZε））ε>0和（（νηZε-ν（ε·）β，νηZε-ν（ε·）β）ε>0是指数等价的，因此满足相同的大偏差原则，具有相同的速率函数和相同的速度。24 CHLOE LACOMBE、AITOR MUGURUZA和HENRY STONEWe现在定义操作符gγ：C（T，R）→ C（T）为gγ（x，y）=v（γex+（1-γ） ey）。

对于小扰动δx，δy∈ 我们有那个支持∈T | gγ（x+δx，y+δy）- gγ（x，y）|≤ |五|支持∈T |γex（T）（eδx（T）- 1） |+支持∈T |（1- γ） ey（t）（eδy（t）- 1)|.很明显，右侧趋于零，因为δx，δy趋于零；因此，算子gγ相对于sup范数k·k是连续的∞在C（T）上。然后应用收缩原理得出过程序列（v（ε，γ，ν））ε>0：=vγexp（νηZε-ν(ε·)β) + (1 - γ） exp（νηZε-ν(ε·)β)ε> 0满足C（T）上的大偏差原则，因为ε趋于零，速度ε-β和速率函数x 7→ inf{∧（y，z）：x=gγ（y，z）}=inf{∧z（ηνy）：x=gγ（y，ννy）}=inf{∧z（ηνy）：x=v（γey+（1-γ） eννy）}。因为，对于所有ε>0和t∈ T，v（γ，ν）ε和v（ε，γ，ν）皮重相等，定理立即成立。与定理3.3的证明相同，则得出∧γ（v）=0。B、 4。定理3.14的证明。证据我们首先引入ε>0的小时间重标度（2.6），使系统变为（B.5）v（γ，ν，∑，ε）t：=v（γ，ν，∑）εt=vnXi=1γiEνiη·LiZεt,重新缩放的过程Zεt定义为Zεt：=Zεt=εα+RtKα（s，t）dWs。。。，RtKα（s，t）dWms.m维过程序列（εβ/2（W，···，Wm））ε>0满足大偏差原则C（T，Rm），因为ε随速度ε变为零-β和速率函数∧由∧m（x）定义：=kxkforx∈ 赫曼德+∞ 否则，根据Schilder定理【DS89，定理3.4.12】。HMI是由C（T，Rm）上的（W，···，Wm）诱导的度量的再生核希尔伯特空间，定义为asHm：=（g，···，总经理）∈ C（T，Rm）：gi（T）=Ztfi（s）ds，fi∈ L（T）代表所有i∈ 1···m.然后，使用[HJL18，定理3.6]证明的扩展，对于i=1，····，n，多维过程序列（LiZε·）ε>0满足C（T，Rm）上的大偏差原则，因为ε随速度ε趋于零-β和速率函数y 7→ inf{∧m（x）：x∈ Hm，y=Lix}，模型（2.6）中引入了下三角矩阵。