多因素粗糙波动率中波动率导数的渐近性

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英文标题：
《Asymptotics for volatility derivatives in multi-factor rough volatility
  models》
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作者：
Chloe Lacombe, Aitor Muguruza and Henry Stone
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present small-time implied volatility asymptotics for Realised Variance (RV) and VIX options for a number of (rough) stochastic volatility models via large deviations principle. We provide numerical results along with efficient and robust numerical recipes to compute the rate function; the backbone of our theoretical framework. Based on our results, we further develop approximation schemes for the density of RV, which in turn allows to express the volatility swap in close-form. Lastly, we investigate different constructions of multi-factor models and how each of them affects the convexity of the implied volatility smile. Interestingly, we identify the class of models that generate non-linear smiles around-the-money.
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中文摘要：
通过大偏差原理，我们给出了许多（粗糙）随机波动率模型的实现方差（RV）和VIX期权的小时间隐含波动率渐近性。我们提供了数值结果以及计算速率函数的有效和稳健的数值方法；我们理论框架的支柱。基于我们的结果，我们进一步开发了RV密度的近似方案，这反过来又允许以闭合形式表示波动率互换。最后，我们研究了多因素模型的不同构造，以及它们各自如何影响隐含波动率微笑的凸性。有趣的是，我们确定了在金钱周围产生非线性微笑的模型类别。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Asymptotics_for_volatility_derivatives_in_multi-factor_rough_volatility_models.pdf (2.03 MB)

2022-6-14 06:26:06 上传

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关键词：波动率 多因素 Mathematical Quantitative Construction

多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性Schloe LACOMBE、AITOR MUGURUZA和HENRY STONEAbstract。我们研究了已实现方差期权的小时间隐含波动率微笑，并研究了多因素模型中相关性对微笑线性的影响。我们还为实现的方差密度开发了一种近似方案，允许快速准确地对波动性加权平均值进行定价。此外，我们还建立了一类一般VIX期权在大走向区域内的小噪声渐近行为。1、简介继Al\'os、Le\'on和Vives【ALV07】、Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【GJR18】以及Bayer、Friz和Gatheral【BFG16】的工作之后，粗糙波动率正通过将Bergomi的“第二代”随机波动率模型推广到非马尔可夫环境而成为金融建模的新品种。（对数正态）粗糙波动率模型最基本的形式是[BFG16]中介绍的所谓粗糙Bergomi模型。Gassiat[Gas18]最近证明了这样一个模型（在某些相关区域下）可以生成spot过程的真鞅。为了使粗波动率在工业环境中可用，缺乏马尔可夫性带来了许多基本理论问题和实际挑战。在理论方面，Jacquier、Pakkanen和Stone【JPS18】证明了对数股价过程的重标度版本的大偏差原则。在同一方向上，拜耳、弗里兹、古利萨什维利、霍瓦思和斯坦珀【BFGHS17】、福特和张【FZ17】、霍瓦思、贾奎尔和拉科姆【HJL18】以及最近的弗里兹、加西亚和皮加托【FGP18】（仅举几例）证明了广泛粗糙波动率模型的大偏差原则。

在实践方面，Bennedsen、Lunde和Pakkanen【BLP15】、Horvath、Jacquier和Muguruza【HJM17】以及McCrickerd和Pakkanen【MP18】开发了竞争模拟方法。此外，Stone【Sto19】和Horvath、Muguruza和Tomas【HMT19】最近的发展允许使用神经网络进行校准；与现有的粗糙波动率模型方法相比，它们的校准方案速度更快、精度更高。至关重要的是，缺乏定价PDE对由类Volterra高斯过程驱动的粗糙波动率模型的理解和解释造成了根本性限制。目前粗糙波动率文献中唯一的例外是由El Euch和Rosenbaum【ER18，ER19】开发的粗糙Heston模型，该模型允许通过【ER19】中推导的分数偏微分方程更好地理解。然而，在这项工作中，我们的注意力转向了这类定价PDE未知的模型，因此需要进一步的理论结果。日期：2020年11月3日。2010年数学学科分类。初级60F10、60G22；次级91G20、60G15、91G60。关键词和短语。粗糙波动率，波动率指数，大偏差，实现方差，小时间渐近，高斯测度，再生核希尔伯特空间。作者感谢Antoine Jacquier、Mikko Pakkanen和Ryan McCrickerd激发了讨论。AMand HS感谢EPSRC CDT在金融计算和分析领域提供的财务支持。2克洛伊·拉孔贝（CHLOE LACOMBE）、艾托·穆古鲁扎（AITOR MUGURUZA）和亨利·斯通（HENRY Stonemaybe），波动率期权本身是粗糙波动率模型中最自然的分析对象。在这个方向上，Jacquier、Martini和Muguruza【JMM18】提供了VIX期权和期货定价的算法。

Horvath、Jacquier和Tankov【HJT18】进一步研究了波动率随机波动与粗糙波动相结合时VIX的微笑。然而，直到最近，Al\'os、Garc''a-Lorite和Muguruza（AGM18）才研究了模型参数（尤其关注Hurst参数效应）对VIX隐含波动率（或一般波动率衍生品）的精确影响。本文的主要重点是推导粗糙Bergomi模型实现方差过程的小时间行为，以及相关但更复杂的多因素粗糙波动率模型，以及期权在实现方差上的小时间行为。这些结果从理论角度来看很有趣，对于定量金融行业具有实际适用性，因为从业者可以更好地理解已实现的方差微笑，以及相关性对微笑线性（或可能的凸性）的影响。据我们所知，这是第一篇研究期权在实现方差上的小时间行为的论文。本文的另一个主要贡献是，使用大偏差原理对利率函数进行精确近似，使用数值格式计算隐含波动率微笑。一般来说，速率函数的计算非常复杂；我们的方法简单、直观、准确。数值方法在GitHub上公开提供：LDP VolOptions。波动率期权在金融行业越来越受欢迎。例如，自芝加哥交易所（CBOE）成立以来，VIX期权的流动性一直在增加。受欢迎的一个主要驱动因素是，波动性往往与潜在动力呈负相关，这使得投资组合多样化成为可能。

由于挥发性选项的吸引力，其建模吸引了许多学者的注意，如Carr、Geman、Madan andYor【CGMY05】、Carr和Lee【CL09】等。对于对数股价过程X定义为Xt=-Rtvsds+Rt√vsdBs，X=0，其中B是标准布朗运动，我们用hXit表示X在时间t的二次变化。然后，在此设置中要分析的核心对象是带payoff（1.1）TZTdhXis的已实现方差选项- K！+，进而确定已实现方差的风险中性密度。在这项工作中，我们利用大偏差技术分析了（1.1）给出的许多（粗糙）随机波动率模型的隐含波动率的短期行为。我们特别关注相关因子的构建及其对已实现方差分布的影响。我们发现我们的结果与Al\'os、Garcia-Lorite和Muguruza[AGM18]的结果一致，这也有助于我们近距离描述货币的隐含效用。此外，我们还得到了VIX期权的一些渐近结果。虽然股票期权的隐含波动率通常是对数货币性的凸函数，给它们起了“微笑”的绰号，但实际方差期权的隐含波动率微笑往往是线性的。综合方差期权是OTC产品，因此其隐含波动率微笑并不公开。然而，VIX微笑为综合方差微笑提供了一个很好的代理；有关其线性的证据，请参见下面的图1。数据还表明了幂律项结构ATM和它的偏斜。多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性3图1。隐含波动率对VIX看涨期权的微笑，适用于小型到期，接近货币。

OptionMetrics提供的数据。尽管大多数文献都同意，建模波动性需要不止一个因素（参见Bergomi的[Ber16]双因素模型，例如Avellaneda和Papanicolaou[AP18]或Horvath、Jacquier和Tankov[HJT18]），但对于如何构建这些（相关）因素，还没有深入的分析，相关性对波动性衍生产品价格的影响及其相应的隐含波动性也不存在。我们的目标是理解多因素模型，并分析因素对隐含波动率微笑的影响。据我们所知，这篇论文是第一篇解决这些问题的论文，这些问题对定量金融行业的从业者来说非常有意义；这也是首次对粗糙波动率模型中综合方差期权的小时间行为进行严格的数学分析。本文的结构如下。第2节介绍了模型、粗糙Bergomi模型和两个密切相关的过程，我们研究了它们的小时间实现方差行为；第3节给出了主要结果。第4节专门讨论第3节中获得的结果的数值示例。第5节，我们介绍了一个一般方差过程，其中包括特定核选择的粗糙Bergomi模型，并在此一般设置下研究了VIX选项的小噪声行为。受第4节数值示例的启发，我们在附录a中为混合粗糙Bergomi模型（见（2.5））的实现方差密度提出了一个简单且非常可行的近似值。附录B中给出了主要结果的证明；附录C中给出了数字的详细信息。符号：设R+：=[0+∞) 和R*+:= (0, +∞).

对于某些索引集T R+，符号L（T）表示T上实值平方可积函数的空间，C（T，Rd）表示T上Rd值连续函数的空间。E表示Wick随机指数。2、粗略波动率模型展示在本节中，我们将介绍即将进行的计算中考虑的模型。Weshall总是在给定的过滤概率空间上工作(Ohm, （Ft）t≥0，P）。为了便于注释，we4 CHLOE LACOMBE、AITOR MUGURUZA和HENRY StoneIntroduct（2.1）Zt：=ZtKα（s，t）dWs，对于任何t∈ T，其中α∈-, 0, W是标准布朗运动，其中核Kα：R+×R+→ R+读数（2.2）Kα（s，t）：=η√2α+1（t-s） α，对于所有0≤ s<t，对于某些严格正常数η。注意，对于任何t≥ 0，地图s 7→ Kα（s，t）属于L（t），因此随机积分（2.1）定义良好。我们还通过（2.3）Zt定义了（2.1）的类似多维版本：=ZtKα（s，t）dWs。。。，ZtKα（s，t）dWms:=Zt。。。，Zmt公司, 对于任何t∈ T，其中W。。。，WM是独立的布朗运动。模型2.1（粗糙Bergomi）。粗略的Bergomi模型，其中X是对数股价过程，vis是瞬时方差过程，然后定义为（2.4）Xt=-Ztvsds+Zt√vsdBs，X=0，vt=vexpZt公司-ηt2α+1, v> 0，其中布朗运动B定义为B：=ρW+p1- ρW⊥对于ρ∈ [-1，1]和一些标准布朗运动W⊥独立于W。备注2.2。对于所有γ，过程日志v有一个修改，其采样路径几乎肯定是局部γH–older连续的∈0, α +【JPS18，提案2.2】。对于包含分数布朗运动的粗糙波动率模型，对数波动率过程的样本路径正则性参考赫斯特参数H；回想一下，分数布朗运动的样本路径对于任何γ都是γ-H-older连续的∈ （0，H）[BHOZ08，定理1.6.1]。

因此，通过识别，我们得到α=H-1/2.模型2.3（混合粗Bergomi）。根据对数股价过程X和瞬时方差过程v（γ，ν），给出了混合粗糙Bergomi模型，作为（2.5）Xt=-Ztv（γ，ν）sds+Ztqv（γ，ν）sdBs，X=0，v（γ，ν）t=vPni=1γiexpνiηZt-νit2α+1, v> 0其中γ：=（γ，…，γn）∈ [0，1]nsuch thatPni=1γi=1和ν：=（ν，…，νn）∈ Rn，使得0<ν<<νn.受Bergomi【2008年10月】的启发，上述对粗糙Bergomi模型的修改允许在方差/波动期权的隐含波动率上创建更大的斜率（因此更大的倾斜），同时保持可处理的瞬时方差形式。第4.2节将对此进行精确说明。多因素粗糙波动率模型5模型2.4（混合多因素粗糙Bergomi）中波动率导数的渐近性。根据对数股价过程X和瞬时方差过程v（γ，ν，∑）给出了混合粗糙Bergomi模型，作为（2.6）Xt=-Ztv（γ，ν，∑）sds+Ztqv（γ，ν，∑）sdBs，X=0，v（γ，ν，∑）t=vPni=1γiEνiη·LiZt, v> 0，其中γ：=（γ，…，γn）∈ [0，1]nsuch thatPni=1γi=1。向量νi=（νi，…，νim）∈ rmsaties0<νi<…<νimfor all i∈ {1，…，n}。此外，李∈ Rm×mis是一个下三角矩阵，因此Lilti=：∑iis是所有i的正定义矩阵∈ {1，…，n}，表示协方差矩阵。对于涉及模型（2.4），（2.5）和（2.6）的所有结果，我们确定T=[0，1]；对Proofsyfield模拟结果进行微小调整，以获得更一般的T。我们还定义了β：=2α+1∈ （0，1）表示方便。备注2.5。在模型（2.4）-（2.6）中，我们考虑了初始正向方差曲线v>0的波动或常数。然而，我们的框架可以很容易地扩展到函数形式v（·）：T 7→ R+通过合同原则，见附录D，只要映射是连续的。备注2.6。

读者可能已经意识到，混合多因素粗略Bergomi定义（2.6）确实足够普遍，足以涵盖（2.4）和（2.5）。然而，我们以有序的方式提供理论结果，从（2.4）开始到（2.6），我们发现这是增加模型复杂性的最自然的方式。代替（2.1）中的Kα，还可以考虑更一般的形式g（t，s）：=Kα（t，s）L（t- s） 其中L∈ C（0，∞) 是一个可测函数，使得随机积分定义良好，L（·）递减，L（·）在0处连续。我们注意到，在这种条件下，L（·）也在零处缓慢变化，即limx→0L（tx）L（x）=1，对于任何t>0。这种核与Barndor Off-Nielsen和Schmiegel引入的截断布朗半平稳（T BSS）过程有着天然的联系[BS07]。示例包括Gamma和幂律内核：lgama（t- s） =经验值(-κ（t- s） ），κ>0L功率（t- s） =（1+t）-s） ζ-α, ζ < -1、以下结果给出了Kα和G的重标度随机积分序列之间的指数等价性，因此完全有理由只考虑情况Kα，而不损失任何一般性。提案2.7。过程的顺序εβ/2R·Kα（·，s）L（ε（·）-s） ）dWsε> 0和εβ/2Z·ε> 0是指数等效的。证据因为L是一个缓慢变化的函数，所以所谓的波特边界【BGT89，定理1.5.6，第25页】保持在区间（0，1）】：事实上，对于所有ξ>0，存在常数0<Cξ≤ 对于所有（εx），Cξ（εx）ξ<L（εx）<Cξ（εx）ξ∈ （0，1）。6克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通，尤其是ε>0，使得（εx）∈ [0，1]，L（εx）- 1.≤ Kξ（εx）ξ，其中Kξ<∞ 当ξ>0时。

因此，对于所有δ>0，Pεβ/2Z·Kα（·，s）[L（ε（·）-s） （）-1] dWs公司∞> δ= P|N（0，1）|>Δεβ/2kVεk∞=rπεβ/2kVεk∞δexp-δ2εβkVεk∞!（1+O（εβ）），其中，最终等式通过使用高斯密度近似的渐近展开式[AS72，公式（26.2.12）]和Vε（t）：=RtKα（t，s）[L（ε（t-s） （）-1] ds，那么，Vε（t）≤ Kξε2ξη（2α+1）Zt（t- s） 2（α+ξ）ds=（Kξη）2α+12（α+ξ）+1ε2ξt2（α+ξ）+1，因此limε↓0Vε∞= 0，以及limε↓0kVεk∞= 因此εβlog Pεβ/2Z·Kα（·，s）[L（ε（·）-s） （）-1] dWs公司∞> δ≤εβ对数π+ εβ对数εβ/2kVεk∞δ-δ2 kVεk∞+ εβ对数1+O）εβ.当ε趋于零时，上述不等式中的第一项和第二项趋于零（回想一下，0<β<1），第三项趋于-∞. 因此，对于所有δ>0，lim supε↓0εβlog Pεβ/2Z·Kα（·，s）[L（ε（·）-s） （）-1] dWs公司∞> δ= -∞,因此，这两个过程是指数等效的[DZ10，定义4.2.10]；见附录D。推论2.8。过程序列（εβ/2Rte-κiε（t-s） 对于i=1，…，Kα（s，t）dWi）ε>0和（εβ/2RtKα（s，t）dWi）ε>0是指数等效的。。。，m、 其中每个κi>0。证据该证明类似于命题2.7的证明。高斯密度近似渐近展开的方差【AS72，公式（26.2.12）】定义为Vε（t）：=Ztheκjε（t-s）- 1iKα（s，t）ds=ηβtββ- 2中兴通讯-κjε（t-s） （t- s） 2αds+中兴通讯-2κjε（t-s） （t- s） 2αds,使得0<εβVε≤ ηβεβtββ+中兴通讯-2κjε（t-s） （t- s） 2αds≤ 2η（εt）β，因此limε↓0Vε=0和limε↓0εβkVεk∞= 那么，对于所有δ>0，lim supε↓0εβlog Pεβ/2Z·Kα（s，·）[实验(-κjε（·- s） （）-1] dWjs公司∞> δ= -∞,因此，这两个过程是指数等效的【DZ10，定义4.2.10】。3、综合方差期权的小时间结果我们通过考虑已实现方差的期权开始我们的理论分析，我们也可以互换地称为综合方差和RV。我们记得，波动性既不是可直接观察到的，也不是可偿还的资产。