多因素粗糙波动率中波动率导数的渐近性

然而，存在已实现差异的期权，并作为OTC产品进行交易。以下是这类产品支付结构的两个示例：（3.1）（i）（RV（v）（T）- K） +，（ii）（pRV（v）（T）- K） +，其中T，K≥ 0.多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性7其中我们定义了以下C（T）算子（3.2）RV（f）（·）：f 7→·Z·f（s）ds，RV（f）（0）：=f（0），v表示给定随机波动率模型中的瞬时方差。注意RV（v）（0）=v。备注3.1。如Neuberger[Neu94]所示，我们可以根据logcontract将方差掉期改写为（3.3）E[RV（v）（T）]=E“TZTvsds#=E-2XTT其中，E[·]在风险中性度量下取，S=exp（X）是风险中性鞅（假设利率和股息为空）。因此，RV（v）（T）或期权的风险中性定价完全由（3.3）调整。3.1. 粗糙Bergomi模型的小时间结果。提案3.2。集合HKα：={R·Kα（s，·）f（s）ds:f∈ L（T）}用内积hR·Kα（s，·）f（s）ds，R·Kα（s，·）f（s）dsiHKα=hf，fiL（T）定义Z的再生kernelHilbert空间。证据参见【JPS18，定理3.1】。在说明定理3.3之前，我们定义了以下函数∧Z:C（T）→ R+as∧Z（x）：=kxkHKα，如果x/∈ HKα然后∧Z（x）=+∞.定理3.3。方差过程（vε）ε>0满足C（T）上的大偏差原则，因为ε趋于零，速度ε-β和速率函数∧v（x）：=∧Z日志十五, 其中∧v（v）=0和x∈ C（T）。证据为了减轻纸张的流动性，将证明推迟到附录B.1。推论3.4。综合方差过程（RV（v）（t））t∈Tsatis fies a large developments principle on R大偏差原则*+当t趋于零时，速度为t-β和速率函数∧∧Vd定义为∧∧v（y）：=inf{∧v（x）：y=RV（x）（1）}，其中∧∧v（v）=0。证据如定理3.3所证明的，当ε趋于零时，过程（vε）ε>0满足路径大偏差原则onC（T）。

对于小扰动δv∈ C（T），我们有krv（v+δv）（T）- RV（δv）（t）k∞≤ 支持∈TtZtδv（s）ds≤ M、 其中M=支持∈T |δv（T）|，定义为δv∈ C（T）。很明显，当δvtend为零时，M趋于零，因此算子RV相对于C（T）上的sup范数是连续的。因此，我们可以应用收缩原理（见附录D），因此，当ε趋于零时，综合方差过程RV（vε）满足C（T）上的大偏差原理。显然RV（vε）（t）=RV（v）（εt），对于所有t∈ 设置T=1并将ε映射到T，然后得出结果。根据定义，^∧v（y）：=inf{∧v（x）：y=RV（x）（1）}。如果我们选择x≡ v当v=RV（x）（1）且∧v（x）=0时。由于∧visa norm，它是一个非负函数，因此∧v（v）=0。证据到此结束。8克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通评论3.5。推论3.4可应用于（粗略）方差过程的大量现有大偏差结果，以获得综合（粗略）方差过程的大偏差结果；例如Forde和Zhang【FZ17】以及Horvath、Jacquier和Lacombe【HJL18】。推论3.6。速率函数∧vis连续。证据实际上，作为一个速率函数，^∧vis是下半连续的。此外，当∧vis连续时，可以使用与[FZ17，推论4.6]类似的参数，并推断∧vis上半连续，henceis连续。在说明综合方差期权的小时间行为的结果之前，我们指出，综合方差过程RV（v）满足R的大偏差原则，因为t趋于零，速度为-β和速率函数∧∧v（e·）。然后，应用推论3.4可以得到此类期权的小时间行为。推论3.7。

对于对数货币性k：=对数krv（v）（0）6=0，以下等式适用于综合方差（3.4）limt上的看涨期权↓0tβ对数EhRV（v）（t）- 埃克+i=-I（k），其中，对于x>0，I定义为I（x）：=infy>x^∧v（ey），对于x<0，I（x）：=infy<x^∧v（ey）。类似地，对于对数货币性k：=对数k√RV（v）（0）6=0，（3.5）极限↓0tβ对数EpRV（v）（t）- 埃克+= -“I（k），其中“I”的定义类似于“I（x）：=infy>x^∧v（e2y）（x>0）和”I（x）：=infy<x^∧v（e2y）（x<0）。证据证明推迟至附录B.2。与股票价格过程中的看涨期权一样，我们可以定义和研究期权的隐含波动性。在（3.1）（i）的情况下，我们将隐含波动率^σ（T，k）定义为（3.6）E[（RV（v）（T）的解）- ek）+]=CBS（RV（v）（0），k，T，^σ（T，k）），其中CBS表示Black-Scholes模型中的买入价格。利用推论3.7，我们推断出隐含波动率σ的短时行为，如（3.6）所定义。推论3.8。对于对数货币性k 6=0，隐含波动率的小时间渐近行为由以下极限给出：limt↓0t1-β^σ（t，k）=：^σ（k）=k2I（k）。证据对数综合方差过程log RV（v）满足速度t的大偏差原则-β和速率函数∧∧v（e·），它是连续的。因此，它遵循这一限制↓0tβlog P（RV（v）（t）≥ ek）=-I（k）。多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性9在Black-Scholes模型中，即S=RV（v）（0）的几何布朗运动，具有常数波动率ξ，我们具有以下小时间隐含波动率行为：limt↓0ξt对数P（RV（v）（t）≥ ek）=-k、 然后我们应用推论3.7和[GL14，推论7.1]，确定ξ≡ 综上所述，σ（k，t）。备注3.9。请注意，推论3.8中的隐含波动率水平具有幂律行为，是到期时间的函数。

这个幂律是有秩序的√tβ-1，这与Al\'os、Garcia-Lorite和Muguruza[AGM18]的at the moneyRV隐含波动率结果一致，其中的顺序为-1/2使用Malliavin微积分技术。回想一下，β=2α+1，α=H-备注2.2.3.2。混合粗糙Bergomi模型的小时间结果。对于模型（2.5）中引入的混合方差过程v（γ，ν），对定理3.3进行小幅度调整，得出以下小时间结果；附录B.3中给出了预防措施。定理3.10。混合方差过程（v（γ，ν）ε）ε>0满足速度ε下C（T）的大偏差原则-β和速率函数∧（γ，ν）（x）：=inf{∧Z（ηνy）：x（·）=vnXi=1γieνiνy（·）}，满足∧（γ，ν）（v）=0。通过备注3.5，对于积分混合方差过程RV（v（γ，ν））的小时间行为，我们立即得到以下结果。推论3.11。综合混合方差过程（RVv（γ，ν）（t） ）t∈t存在较大偏差*+当t趋于零时，速度为t-β和速率函数∧（γ，ν）（y）：=inf∧（γ，ν）（x）：y=RV（x）（1）,式中∧∧（γ，ν）（v）=0。为了得到小时间隐含波动率结果，类似于推论3.8，我们需要使用以下引理来代替（B.4）。然后，证明的其余部分遵循相同的顺序。引理3.12。对于所有t∈ T和q>1，我们有RVv（γ，ν）（t）气≤vqnqtq-1expq（ν）*)2ηq- qt2α+1,其中ν*= 最大{ν，…，νn}。证据首先我们注意到，通过H¨older不等式（Pni=1xi）q≤ nq公司-1Pni=1（xi）q，对于xi>0。自，γi≤ 1对于i=1。。。，n、 我们获得RVv（γ，ν）（t）q≤vqtqnq-1nXi=1ZtE经验值qνiηZs-qνi2ηs2α+1ds公司≤vqtq-1nq-1nXi=1expνi2ηq- qt2α+1.选择ν*= max{ν，…，νn}结果如下。10克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通推论3.13。

对于对数货币性k：=对数krv（v（γ，ν））（0）6=0，以下等式适用于混合粗糙Bergomi模型中关于综合方差的看涨期权：（3.7）limt↓0tβ对数ERV（v（γ，ν））（t）- 埃克+= -I（k），其中，对于x>0，I定义为I（x）：=infy>x∧（γ，ν）（ey），对于x<0，I（x）：=infy<x∧（γ，ν）（ey）。类似地，对于对数货币性k：=对数k√RV（v（γ，ν））（0）6=0，（3.8）极限↓0tβ对数E“qRV（v（γ，ν））（t）- 埃克+#= -‘I（k），其中‘I’的定义类似于‘I（x）：=对于x>0，infy>x∧（γ，ν）（e2y）；对于x<0，I（x）：=infy<x∧（γ，ν）（e2y）。证据直接遵循引理3.12和推论3.7的证明。然后，混合粗糙Bergomi模型的小时间隐含波动率行为由推论3.8给出，其中，函数I定义为利率函数∧（γ，ν），如推论3.13所示。3.3. 多因素粗糙Bergomi模型的小时间结果。然后可以得到多因素粗糙Bergomi模型（2.6）的小时间行为；见下面的定理3.14；注意∧mis与C（T，Rm）上的（W，···，Wm）诱导的测度的再生核希尔伯特空间相关的速率函数。附录B.4中给出了证明。定理3.14。多因素粗糙Bergomi模型的方差过程v（γ，ν，∑）tt型∈Tsatis fies关于R的大偏差原则*+速度为t时-β和速率函数∧（γ，ν，∑）（y）=inf（λm（x）：x∈ Hm，y=vnXi=1γiexpνiη·Lix（1）),满足∧（γ，ν，∑）（v）=0。与混合方差过程一样，注释3.5给出了bat中RV（v（γ，ν，∑））的以下小时间结果。推论3.15。

综合差异过程（RVv（γ，ν，∑）（t） ）t∈Tin多因素Bergomi模型满足R的大偏差原则*+当t趋于零时，速度为t-β和速率函数∧（γ，ν，∑）（y）：=infn∧（γ，ν，∑）（x）：y=RV（x）（1）o，其中∧（γ，ν，∑）（v）=0。我们现在在推论3.17中建立了基于已实现方差的看涨期权的小时间行为，方法是如前一小节所述修改推论3.7的证明。为此，我们使用引理3.16代替（B.4）。然后，我们在推论3.8中获得了多因素粗糙Bergomimodel的小时间隐含波动率行为，其中函数I由推论3.17给出。多因子粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性11引理3.16。对于所有t∈ T和q>1，我们有RVv（γ，ν，∑）（t）气≤vqnqtq-1exp(ν*)2ηq- qt2α+1,其中ν*= max{ν，…，νn}证明。首先我们注意到，通过H¨older不等式（Pni=1xi）q≤ nq公司-1Pni=1（xi）q，对于xi>0。自，γi≤ 1对于i=1。。。，n、 我们获得RVv（γ，ν，∑）（t）q≤vqtqnq-1nXi=1ZtEEνiη·LiZsqds公司≤vqtq-1nq-1nXi=1expνi2ηq- qt2α+1.选择ν*= max{ν，…，νn}结果如下。推论3.17。对于对数货币性k：=对数krv（v（γ，ν，∑））（0）6=0，以下等式适用于多因素粗糙Bergomi模型中的综合方差Calloptions：（3.9）limt↓0tβ对数ERV（v（γ，ν，∑））（t）- 埃克+= -I（k），其中，对于x>0，I定义为I（x）：=infy>x∧（γ，ν，∑）（ey），对于x<0，I（x）：=infy<x∧（γ，ν，∑）（ey）。类似地，对于对数货币性k：=对数k√RV（v（γ，ν，∑））（0）6=0，（3.10）极限↓0tβ对数E“qRV（v（γ，ν，∑））（t）- 埃克+#= -‘I（k），其中‘I’的定义类似于‘I（x）：=infy>x∧（γ，ν，∑）（e2y）表示x>0，而‘I（x）：=infy<x∧（γ，ν，∑）（e2y）表示x<0。证据直接遵循引理3.16和推论3.7的证明。4、数值结果在本节中，我们给出了第2节中给出的三种模型的数值结果。

我们还分析了隐含波动率微笑中每个参数的影响。GitHub上提供了数值实验和代码：LDP-VolOptions。4.1. RV对粗鲁的Bergomi微笑。我们从使用推论3.8的粗糙Bergomi模型（2.4）的数值结果开始。对于详细的数值方法，我们请读者参阅附录C。在图3中，我们表示推论3.4中给出的速率函数，这是数值计算的基本目标。特别地，我们注意到^∧vis凸；这一说法的严格数学证明有待于未来的研究。更有趣的是，在图2中，我们提供了推论3.8与蒙特卡罗模拟生成的基准的比较，并看到所有微笑都遵循线性趋势。特别是，我们注意到推论3.8提供了一个令人惊讶的准确估计，即使是对于相对较大的到期日。作为进一步的数值检验，在图4中，我们将我们的结果与Al\'os、Garc'a-Lorite和Muguruza[AGM18]给出的货币渐近的闭合形式进行了比较，并再次发现了正确的收敛性，表明了一致的数值框架。12克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通图2。在粗略的Bergomi模型中，针对α和到期日T的不同值，比较蒙特卡罗计算的隐含波动率（直线）和基于LDP的隐含波动率（星形）。我们设定η=2，v=0.04；对于蒙特卡罗，我们使用200000个模拟和t=。4.2. RV为混合粗糙的Bergomi微笑。我们现在以vt=v（γE（νZt）+γE（νZt）给出的简化形式考虑混合粗糙Bergomi模型（2.5）。

在图5中，我们观察到混合方差过程（2.5）中γν+γν=2类型的约束允许我们在给定水平上确定货币隐含的可用性，同时为（ν，ν，γ，γ）的不同值生成不同的斜率；作为多因素粗糙波动率模型中波动率衍生品的症状13图3。不同α值的速率函数∧∧vf。图4：。在粗略的Bergomi模型中，Al\'os、Garc'a-Lorite和Muguruza【AGM18】在货币隐含波动率渐近性和基于LDP的α不同值的隐含波动率方面的比较，η=1.5，v=0.04。图2，我们看到生成的微笑遵循线性趋势。这再次与[AGM18]中的结果一致。图5：。混合粗Bergomi过程（2.5）中不同值（ν，ν，γ，γ）基于LDP的隐含挥发度比较，使得γν+γν=2，α=-0.4.14克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通备注4.1。此时，需要注意的是，混合粗糙Bergomi模型2.5允许通过（γ，ν）控制货币隐含波动率及其偏差，而在粗糙Bergomi模型（2.4）中，没有足够的自由来任意拟合这两个数量。4.3. smiles的线性和RV密度的近似值。值得注意的是，我们在图2-5中观察到了（混合）粗略Bergomi模型中的大致货币打击的线性模式。通过在对数货币空间中假设这种线性隐含波动率微笑，在附录A中，我们能够提供实现方差密度ψRV（x，T），x，T的近似方案≥ 0（见命题A.3）。反过来，这允许我们使用PV olSwap（T）=Z来计算波动率掉期的价格∞√xψRV（x，T）dx，其中PV olSwap（T）是到期日为T的波动率掉期的价格。图9显示了这种模拟技术的结果，结果令人惊讶地准确。

我们认为，这一近似值可能对从业者有用，附录A.4.4中提供了更多详细信息。RV为混合多因素粗糙Bergomi微笑。通过考虑混合多因素粗糙Bergomimodel（2.6），我们通过在隐含波动率微笑中引入相关性效应来结束我们的分析。我们将考虑以下两个瞬时方差的简化模型vt=EνZt（t- s） αdWs+ηρZt（t- s） αdWs+p1- ρZt（t- s） αdW⊥s,（4.1）vt=EνZt（t- s） αdWs+ EηρZt（t- s） αdWs+p1- ρZt（t- s） αdW⊥s,（4.2）其中W和W⊥是独立的标准布朗运动，且ν，η>0。一方面，图6显示了对应于（4.1）的隐含波动率微笑。我们得出结论，指数内的相关因素相加不会改变隐含波动率指数的行为，而且它们在货币周围仍呈线性形式。此外，在这种情况下，[AGM18]结果仍然成立，我们在图6中提供了渐近基准来支持我们的数值格式。另一方面，图7显示了对应于（4.2）的隐含波动率微笑，在负相关的情况下，该微笑明显与货币无关。因此，我们可以看到，拥有一系列指数，每一个指数都由不同的（分数）布朗运动驱动，确实会影响货币隐含波动中的凸性行为。我们进一步在图8中的微笑顶部叠加了一个线性趋势，以清楚地显示这些微笑的凸度中的相关性影响。多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性15图6。模型（4.1）的速率函数和相应的隐含波动率，其中（α，ν，η）=(-0.4, 0.75, 0.75).16克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通评论4.2。

这里需要注意的是，由于命题2.7，例如2因素Bergomi（及其混合版本）[Ber08，Ber16]等模型具有与（4.1）相同的小时间限制行为，其中我们将L=lgamand和α=0，这意味着它们的微笑遵循线性趋势。尽管图1给出了经验证据，但从建模角度来看，对线性微笑的承诺是强烈的。然而，简化的混合多因素粗糙Bergomi模型（4.2）能够有效地生成线性（ρ≥ 0）和非线性（ρ<0）微笑。图7：。（α，ν，η）=(-0.4, 1.0, 3.0).图8：。模型（4.2）的隐含波动率和叠加线性微笑，其中（α，ν，η）=(-0.4, 1.0, 3.0).多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性175。VIX期权虽然实现方差期权是随机波动性模型最自然的核心建模对象，但实际上最流行的方差导数是VIX。因此，在本节中，我们将注意力转向VIX和VIX期权，并研究其渐近行为。对于本节，我们的文本：=[0，T]。现在让我们考虑以下通用模型（vt）t≥0对于瞬时方差：（5.1）vt=ξ（t）EZtg（t，s）dWs.然后，VIX过程由VIXT=s给出ZT公司+TE【vt | FT】dt。我们引入以下随机过程（Vg，T）T∈[T，T+], 为便于注释，as（5.2）Vg，Tt：=ZTg（t，s）dWs，并假设映射s 7→ 对于所有t，g（t，s）在L[0，t]中∈ [T，T+] 这样（5.2）中的随机积分就得到了很好的定义。提案5.1。模型（5.1）中的波动率动力学，其中波动率的波动率用ν表示，由vixt，ν给出：=ZT公司+Tξ（T）expνVg，Tt-νE[（Vg，Tt）]dt。证据直接来自【JMM18，提案3.1】。