斯塔克伯格独立性

这是很自然的，因为非线性函数可以在竞争平衡附近用线性函数近似。提案2（竞争限制）。设Xc=P-1（c）是具有反向需求P（X）和边际成本c的竞争均衡量≥ 固定一个序列n=（n，…，nT），让我们在一个特定的周期t内增加nT。然后限制总数量limnt→∞十、*（n） =xC和各公司i的单独数量∈ Isarelimnt公司→∞x个*i（n）=0s≥ t、 XcQsk=1（1+nk）证明见附录A，但为了说明论点，让我讨论第2.1节中研究的单领导者案例，即n=（1，n- 1） 带n→ ∞ 在这里下面的人观察X并最大化xi（P（X）- c） 。结合它们的最优性条件，给出了确定总平衡量X的方程*（x） 对于任何给定的x，企业i的最佳条件是x*i=-P（X*（x） （）-cP（X*（x） ）=克（x*（x） ）。将所有followers的条件相加可以得到一个条件x*= 十、*（十）- （n）- 1） g（X*（x） ），（4）这隐含地定义了所有追随者的总体最佳响应函数。将此插入到领导者的最大化问题中，并采用最优性条件可得到均衡条件X*= ng（X*) - （n）- 1） g（X*) g（X*) . （5） 显然，作为n→ ∞, 左边的X*→X和g（X*) → g（Xc）=0。此外，limn→∞g（X*) = -[P（Xc）]- [P（Xc）- c] P（Xc）[P（Xc）]=-因此，方程式（5）的极限意味着limn→∞ng（X）*) =Xc。从方程式（4）确定的领导者平衡量中取极限，给出Slimn→∞x个*= 画→∞ng（X*) =Xc。3.2 Stackelberg独立性将极限结果与Stackelberg独立性相结合，可以准确预测企业的平衡行为。也就是说，s<T时期的所有公司都可能拥有大量追随者。

根据Stackelberg独立性，他们的需求量行为必须与追随者的数量无关，因此他们的平衡量必须始终等于命题2中的极限。这被称为COLLARY 1。推论1（竞争极限和Stackelberg独立性）。如果模型具有斯塔克伯格独立性，那么对于所有s<T和所有i∈ 是，x*i=XcQsk=1（1+nk）。（6） 请注意，公司在上一阶段的行为并不是由推论1决定的，因为他们没有任何追随者，因此斯塔克伯格独立性对他们的行为没有影响。如果我们稍微扩展论点，通过允许他们可能也有追随者，因此他们的行为也由方程（6）表征，我们可以将所有平衡量相加，得到对总平衡量x的唯一预测*=\"1 -QTk=1（1+nk）#Xc。4必要条件在本节中，我表明上述标准模型的假设对结果是必要的。我逐一放松了标准模型的假设，并表明Stackelberg独立性属性失败了。4.1线性标准模型的第一个主要假设是需求函数是线性的。更准确地说，需求和边际成本之间的差异是线性的，即P（X）-c=aXc公司- 十、. 放松这一假设，我假设P（X）是一个连续可微分（但可能是非线性）函数，它满足正则性条件，因此平衡是内部的，并且每个企业的二阶条件都是满足的。下面的结果表明，如果Stackelberg独立性至少适用于两个周期的确定性到达过程n=（n，n）和所有常数边际成本c≥ 0，然后是函数P（X）- c在X中必须是线性的。命题3（线性是必要的）。

假设所有c≥ 0，所有n=（n，n）模型具有Stackelberg独立性属性。然后P（X）- c=aXc公司- 十、对于somea>0，Xc>0。证据在附录A中。让我来说明证据的关键思想。首先，命题2给出了领导者总平衡量X的唯一预测*=nXc1+n任意n≥ 1和任何c≥ 0，其中Xc=P-1（c）是竞争数量。另一方面，在n人古诺寡头垄断中，均衡量的特征是条件X*= ng（X）*, c） ，其中g（X，c）=-P（X）-cP（X）。根据Stackelbergindependence假设，这两个量必须重合，这给出了一个条件，通过g（X，c）函数和Xc，nXc1+n=gnXc1+n，c！将n，c和需求函数联系起来！。其余的证明使用这个条件来确定需求函数p（X）的形状。它表明在任意点X∈0，X, 其导数P（X）=P（0）。假设P是连续可微的，这意味着P确实是线性的。数学直觉。让我更正式地讨论这个结果的数学直觉。Hinosar（2018）提供了这类具有非二次支付的序列博弈的一般特征。总平衡量X*由等式X定义*=TXk=1Sk（n）gk（X*),其中S（n），ST（n）是捕获游戏n=（n，…，nT）和g，…，的信息量的整数，g递归定义为asg（X）=g（X）=-P（X）- cP（X），gk+1（X）=-gk（X）g（X），k=1，T- 1、gk（X*) 术语反映了数量的高阶战略可替代性。特别是g（X*) 抓住了增加数量会略微降低企业自身数量的边际效益这一事实。它通过S（n）=n（即公司数量）进行加权。

下一步，g（X*) 捕捉到领导者数量的增加会降低其所有追随者的边际收益，从而使他们感到沮丧的事实。该项乘以S（n），S（n）计算模型中所有主从对的数量。其他术语捕获了相同的想法，但顺序更高。例如，g（X*) 如果i公司增加了数量，而j公司观察到这一点并做出回应，则会影响j公司所有追随者的利益。因此，我还有两步间接影响。同样，每个这样的术语gk（X*) 由模型中k步路径的总数进行加权。每个额外的跟随者通常会在所有层面上增加影响。到达t期的第一家公司的平衡数量为x*i=“1-T-tXk=1Sk（nt）gk（X*)#g（X*) = g（X*) +T+1-tXk=2Sk-1（nt）gk（X*),其中S（nt），装货单-t（nt）捕获移动玩家i后剩余游戏的信息量，即nt=（nt+1，…，nt）和g，燃气轮机-皮重定义如上，解释相同。每增加一个从动件，总数量X就会增加*, 因此，这降低了rmi增加数量的动机。这种影响通过减少gk（X*) 在高阶战略替代品的情况下，术语严格减少。然而，这也增加了nt的信息量，这意味着企业i影响了更多的企业。这增加了x*我直截了当地说。根据需求函数，这两种相反影响的比较可以在两个方向上进行。在线性需求的情况下，这两种影响完全相等。即，如果P（X）=a十、- 十、, 那么g（X）=Xc- 十、 其中Xc=X-ca>0，因此每个gk（X）=Xc- 十、

结合这些，我们得到了thatX*= （Xc）- 十、*)TXk=1Sk（n）=> Xc公司- 十、*=Xc1+PTk=1Sk（n）=XcQTk=1（1+nk）和x*i=（Xc- 十、*)“1+T-tXk=1Sk（nt）#=XcQTk=1（1+nk）TYk=t+1（1+nk）=XcQTk=1（1+nk），这些表达式与我们在上面推导的表达式相同，实际上与跟随者的数量nt=（nt+1，…，nt）无关。然而，请注意，表达式中的术语sinvolving ntcancelled out依赖于所有informationmeasures Sk（n）具有相等的权重gk（X*) = Xc公司- 十、*, 这意味着所有直接和间接替代效应是相等的。对于非线性需求函数或标准线性模型的其他偏差，情况并非如此，因此没有理由期望这些项消失。4.2非线性函数示例下面的示例表明，即使与标准模型有很小的偏差，也可能使领导者的行动完全没有信息。考虑与第2.1节相同的示例，但对需求函数进行了少量修改。将需求设为P（X）=a，而不是线性函数十、- 十、- εsin（kπX），其中k∈ N、 π≈ 3.14159，且ε>0非常小，因此满足正则性条件（需求仍然是线性的，内部是平衡的）。通过构造，竞争数量仍然是x，新的需求函数与原来的线性需求函数在ε上有所不同。因此，通过取一个小的ε，我们可以非常接近原始函数。另一方面，通过增加k>0，我们可以增加P的一阶和二阶导数，这在平衡表征中起着重要作用。总平衡量X*由方程（5）给出，由方程（4）给出领导者的数量。为了了解非线性如何改变结果，让我们考虑k=4和两个值ε=±0.023a。

这意味着我们考虑了图2a中仍然可见的两个与线性需求曲线的小偏差。XP系统- cXc2XcaXc00n=1n=2（a）按需功能10 20 30 40 50 60 70 80 90 100nX*, x个*10Xc2Xc（b）平衡量图2：需求函数P（X）=a的平衡十、- 十、±0.023a sin（5πX）inStackelberg模型，带一个引线和n- 1个追随者。图2a说明了在非线性需求情况下得出的结论不同的原因。首先，如果n=1，即领导者是垄断者，则在原始垄断数量xc附近，两条非线性需求曲线的斜率不同。当ε<0（蓝色实线）时，Xc附近的斜率比-1，因此垄断数量现在低于0.5。另一方面，当ε>0（红色虚线）时，曲线没有原始需求曲线陡峭，这将垄断数量推向右侧。这三个垄断数量由图2a中间的垂直线表示。正如我们所见，需求曲线中相对较小的差异导致垄断数量的明显数字差异。接下来，如果有一个跟随者（n=2），那么总平衡量接近竞争量Xc（向右的三条垂直线）。在原始平衡量xc附近，ε<0情况（蓝色实线）的弹性需求较低，因此总平衡量高于线性曲线，ε>0情况（红色虚线）的弹性需求较高，因此总平衡量较低。对于ε<0和ε>0，领导者的相应数量现在按顺序颠倒，且差异显著。图2b显示了领导者数量和总平衡数量与企业数量的函数关系。

这表明追随者的数量对领导者的均衡行为有着显著的影响，因此我们这里没有斯塔克伯格独立性。此外，在相同需求函数的情况下，领导者的均衡数量显著高于或低于xCIEN。这意味着现在我们不能得出这样的结论*. 它与竞争数量的关系取决于领导者对追随者数量的期望以及需求函数的特定形状。事实上，假设观察者知道需求函数是图2a中所示的两条非线性曲线之一，比如概率相等。对于每个X，预期价格为P（X）=aXc公司- 十、, i、 e.预计曲线是线性的，误差项小于0.005。总平衡量的行为符合预期，趋同于竞争量。然而，领导者的数量X*这在很大程度上取决于特定的需求函数以及预期的跟随者数量。最后，图3描述了ε=0.00025和k=100的相同计算。如图所示，需求曲线现在几乎无法与线性曲线（尽管有相当大的衍生品）区分开来。

图3a中的垂直线显示，当n为1、2或3时，领导者的行为有显著差异，图3b显示，对于较大的n，相同的模式继续存在，收敛速度与n一样慢→ ∞.因此，即使需求函数非常接近线性，领导者的行动也可能缺乏信息，并且严重依赖于n。XP系统- cXc2XcaXc00n=1n=2n=3（a）按需功能10 20 30 40 50 60 70 80 90 100nX*, x个*10Xc2Xc（b）平衡量图3：需求函数P（X）=a的平衡十、- 十、- 0.00025a sin（100πX）inStackelberg模型，带一个引线和n- 1个追随者。4.3相同的公司标准模型的第二个主要假设是公司相同。在本节中，我放松了这个假设，同时保持了standardmodel的其他假设不变。我假设每家公司可能有不同的固定边际成本ci≥ 0和不同的线性逆需求函数Pi（X）=aixi- 十、. 后者抓住了企业可能在不同的税收规则下运营或为决策者提供不同的激励结构的可能性。在这些假设下，我们可以重写Pi（X）- ci=aiXic公司- 十、, 其中Xic=Xi-CIAII是指rmi将获得零利润的总数量。请注意，友邦保险会成倍地影响支付效果，因此不会影响均衡行为。因此，唯一相关的参数是Xic。如上所述，我假设参数xic是众所周知的，为了简单起见，我将重点放在确定性到达过程上。此外，我假设西卡雷的差异非常小，因此在平衡状态下，所有企业都会选择一个内部解决方案来解决最大化问题。对于正式声明，我在特定比较中使用Stackelberg独立性。

该声明要求，对于任意顺序寡头垄断n（如上所述的线性支付），在末尾添加一个跟随者不会改变之前现有公司的任何平衡选择。特别是，如果新增企业的相关参数为Xc，那么对于所有领导者来说，Xc=Xc是保持平衡行为不变的必要条件。提案4（需要相同的公司）。假设序贯寡头中的平衡量n=（n，…，nT），参数（Xic）ni=1为x*= （十）*, . . . , x个*n） 当添加参数为Xcon periodT+1的公司时，这些数量保持不变。然后，所有公司的Xic=Xc。证据见附录A。为了说明这一论点，让我们比较一下单寡头和双寡头斯塔克伯格模型。垄断者最大化xaXc公司- x个单纯形的数量是x*=Xc。对于两个连续寡头，跟随者的最佳响应函数为x*（x） =hXc- xi因此，领导者将Maxxx最大化Xc公司- x个- x个*（十）=maxxxXc公司- x+Xc- Xc公司.这个问题等价于垄断问题，当且仅当最后两项抵消时，即Xc=Xc，它给出了与垄断问题相同的解。4.4没有其他二次支付标准模型的其余假设是关于外部性和非恒定边际成本。我通过允许每个公司的Payoff函数为对称但更一般的二次函数来解决这些问题，其形式为πI（x）=α+αxi-αxi+βXj6=ixj- βXj6=ixixj。（7） 首先让我对这类函数发表一些评论。首先，假设均衡是内部的（即满足一阶最优性条件），参数α是无关的。其次，这个公式允许二次成本，其中边际成本要么线性增加，要么线性减少。

第三，该公式使研究具有不同产品的寡头垄断成为可能，其中企业i的反向需求函数为Pi（x）=a（x- xi）- bPj6=ixj。当b=a时，产品为IF Xic 例如，Xjc，因为cj ci，那么可以预期会有一个平衡点，我想通过选择一个使条目不可验证的数量来确定j的条目。在这种情况下，斯塔克伯格的独立性显然并不令人满意，因为如果没有j的存在，我会选择一个较低的数量。有关二次博弈的使用和基础的讨论，请参见Lambert、Martini和andOstrovsky（2017）。同质（即完全替代），如果b<a，则为不完全替代，如果b<0，则为互补。最后，如果β6=0，则存在直接支付外部性。下面的命题5表明，所有这些扩展都将违反Stackelbergindependence。命题5（无其他二次支付）。假设Stackelberg independenceproperty对于所有n=（n，n）都是非平凡满足的，并且参与者i的报酬由方程（7）给出。然后α=2β，β=0，因此我们可以表示πi（x）=xiaXc公司- 十、.对固定X的证明，结合第2周期内所有企业的一阶最优性条件，得出总数量作为X的函数，即X*（十） =nα+（α- β） Xnβ+（α- β).将其插入到领导者的优化问题中，并求解平衡条件，得到他们的总平衡量X*=α(α- β） n个- α(α- 2β）n- ββnn（α- β+nβ）（α- β） （8）非平凡Stackelberg独立性要求该表达式对于所有n都是独立的，但并不总是0。非平凡性要求α6=0，α6=β。要求α（α- 2β）=0意味着α=2β。最后，ββ=0意味着β=0或β=0，但前两次观察排除了β=0的可能性。因此，实际上β=0，α=2β。