随机集的非线性期望

A图（ξ+C）7→ E（ξ+C）∈ ξ的co F∈ Lp（Rd）是σ（Lp，Lq）-下连续正规化次线性期望当且仅当h（E（ξ+C），u）=∞ 对于u/∈G=Co，和H（E（ξ+C），u）=supζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξi，u∈ G、 （5.1）其中Zu，u∈ G、 是凸σ（Lq，Lp）-在Lq（G）中的闭锥，使得{Eζ：ζ∈ Zu}={tu:t≥ 0}表示所有u 6=0，Zcu=ZU表示所有c>0，Z={0}，ZU+v Zu+Zv、u、v∈ G、 （5.2）证明。效率。对于线性独立的u和v，每个ζ∈ Zu+V饱和度ζ=ζ+ζ，其中Eζ=tu，Eζ=tv。因此，只有当t=t=t时，Eζ=t（u+v）。因此，h（E（ξ+C），u+v）=supζ∈Zu+v，Eζ=u+vEhζ，ξi≤ supζ∈Zu+Zv，Eζ=u+vEhζ，ξi≤ supζ∈Zu，ζ∈Zv，Eζ=u，Eζ=vEhζ+ζ，ξi≤ h（E（ξ+C），u）+h（E（ξ+C），v）。由于任何c>0时，Zcu=Zu=Czuf，h（E（ξ+c），cu）=supζ∈Zcu，Eζ=cuEhζ，ξi=supζ∈Zu，Eζ=uEhcζ，ξi=ch（E（ξ+C），u），其中函数h（E（ξ+C），u）在u中是次线性的，因此是一个支持函数。单子上的可加性性质来自于构造，sincesupζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξ+ai=supζ∈对于每个确定性a，Zu，Eζ=uEhζ，ξi+ha，ui∈ 此外，h（E（C），u）=h（C，u），其中E（C）=C。同质性很明显。函数E是次可加的，因为（E（ξ+η+C），u）=supζ∈Zu，Eζ=uhu，ξ+ηi≤ h（E（ξ+C），u）+h（E（η+C），u）。对于u∈ G、 集合{ζ∈ Zu:Eζ=u}在σ（Lq，Lp）中闭合。确实，如果ζn→ ζ、 然后在Ehζn，ξi中→ Ehζ，ξi设ξ为基向量之一，以确定Eζ=u。因为（E（ξ+C），u）是闭集{ζ）的支持函数∈ Zu:Eζ=u}在ξ方向，作为ξ的函数是下半连续的∈ Lp（Rd），因此（3.4）保持不变。必然性根据命题3.2，支持函数为u/∈ G、 对于u∈ G、 设Aube为ξ的集合∈ Lp（Rd）使得h（E（ξ+C），u）≤ 0、映射ξ7→ h（E（ξ+C），u）是从Lp（Rd）到(-∞, ∞]. 根据次线性，Au是Lp（Rd）中的凸锥，对于所有c>0的情况，andAcu=Au。

此外，Au对于标量收敛ξn+C是闭合的→ ξ+C，假定E的下半连续性。因此，它对于收敛ξn是闭合的→ ξinσ（Lp，Lq）。请注意，0∈ Au和letZu={ζ∈ Lq（Rd）：Ehζ，ξi≤ 0表示所有ξ∈ Au}是Au的极锥。对于u=0，我们有A=Lp（Rd）和Z={0}。考虑u 6=0。设ξ=a1h为事件H，确定性a为ha，ui≤ 0，我们得到一个Au的成员，其中每个ζ∈ Zusatis fies hEζ，a1Hi≤ 0每当ha、ui≤ 因此，ζ∈ G a.s.，让H=Ohm 对于某些t，得出Eζ=tu≥ 0和所有ζ∈ 祖。E（ξ+C）支撑函数的次可加性性质得出Au+v （澳大利亚）∩ Av）适用于u、v∈ G、 Bya Banach空间模拟[25，Th.1.6.9]，极性到Au∩ Avis是两极的闭合和Zu+Zv，其中（5.2）成立。根据Au的定义，h（E（ξ+C），u）=infhx，ui：ξ- x个∈ 澳大利亚.由于Auis凸且σ（Lp，Lq）-闭，双极性定理得出h（E（ξ+C），u）=inf{hx，ui:ξ- x个∈ Au}=infhx，ui:Ehζ，ξ- xi≤ 0表示所有ζ∈ 祖= supζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξi。定理5.2。p-可积随机闭凸集上的函数E是标度低连续的最小正规化次线性期望当且仅当E接受表示h（E（X），u）=supζ∈Zu，Eζ=uEh（X，ζ），u∈ G、 （5.3）和h（E（X），u）=∞ 对于u/∈ G、 其中{Zu，u∈ Rd}满足引理5.1的条件。证据必然性引理5.1适用于E对随机集ξ+C的限制。根据最小假设，E与其最小扩张（4.2）一致。引理5.1，foru∈ G、 h（E（X），u）=supξ∈Lp（X）supζ∈Zu，Eζ=uEhζ，ξi=supζ∈Zu，Eζ=uE supξ∈Lp（X）hζ，ξi=supζ∈Zu，Eζ=uEh（X，ζ），其中使用了（2.4）。效率。（5.3）的右侧是u中的次线性，因此是一个支持函数。E的单态可加性、单调性、次可加性和齐次性都很明显。

对于确定性F∈ co F（C），支持函数的次线性Yieldsthas（E（F），u）=supζ∈Zu，Eζ=uEh（F，ζ）≥ supζ∈Zu，Eζ=uh（F，Eζ）=h（F，u），其中E（F） FE的最小值遵循E（X）=supξ∈Lp（X）supζ∈Zu，Eζ=uEhξ，ζi=supζ∈Zu，Eζ=uEh（X，ζ）=E（X）。由于（5.3）给出的E（X）的支持函数是X的标度连续函数的上确界，因此最小次线性期望是标度下半连续的。推论5.3。如果u∈ Zufor所有u∈ Rd，然后EX E（X）对于所有p-可积X和任意下半连续正规化最小次线性期望E.Proof。By（5.3），h（E（X），u）≤ Eh（X，u）=h（EX，u）表示所有u∈ G、 备注5.4。（5.3）给出的次线性期望是定律不变的，当且仅当setsZuare定律完备，即每个ζ∈ Zu，集合Zu包含与ζ共享分布的所有随机向量。示例5.5。设Z为随机矩阵，EZ为单位矩阵，Zu={Zi>：t≥ 0}，u∈ G=Rd。然后（5.3）变成h（E（X），u）=Eh（Z>X，u），此时E（X）=E（Z>X）。可以让Z属于这样的矩阵族；那么，E（X）是所有这些Z的E（Z>X）的并集的闭凸包。在这个例子中，h（E（X），u）不仅仅由h（X，u）确定。这种次线性期望不一定是恒常保留的。示例5.6（随机半空间）。设X=Hη（β）和β∈ Lp（R）和η∈ L（Sd-1.∩ G） 。根据（5.3），h（E（X），u）是u的定义∈ Sd公司-1.∩ G仅当各ζ∈ Zuwith Eζ=u满意度ζ=γηa.s.withγ∈ Lq（R+）。Thenh（E（Hη（β）），u）=supγ∈Lq（R+），γη∈Zu，E（γη）=uE（γβ）。如果法线η=u是确定性的，则为zu {γu：γ∈ Lq（R+）}，（5.4）然后E（Hu（β））=Hu（t），t=supγu∈Zu，Eγ=1E（γβ）。否则，E（Hu（β））=Rd.5.2精确次线性期望现在考虑这样一种情况，即对于每个u，h（E（X），u）的值仅由h（X，u）的分布决定。

如果（5.3）中的上确界仅涉及ζ，因此对于某些γ，ζ=γu，则为这种情况∈ Lq（R+）。下面的结果表明，这个条件的特征是恒量保持最小的次线性期望，然后必然成为精确期望。定理5.7。Lp（co F（C））中p-可积随机闭凸集上的函数E是保持最小次线性期望的标度下半连续常数，当且仅当h（E（X），u）=∞ 对于u/∈ G、 andh（E（X），u）=supγ∈Mu，Eγ=1E（γh（X，u）），u∈ G、 （5.5）其中Mu，u∈ G、 是凸σ（Lq，Lp）-在Lq（R+）中的闭锥，使得Mcu=Muforall c>0，和Mu+v 亩∩ MVU适用于所有u、v∈ Rd证明。效率。如果Mu，u∈ Rd，满足所施加的条件，则Zu={γu：γ∈Mu}，u∈ G、 满足引理5.1的条件。实际上，对于所有c>0，Zcu=Zu，并且Zu+v={γ（u+v）：γ∈ Mu+v} {γ（u+v）：γ∈ 亩∩ Mv} 所有u、v的Zu+ZV∈ G、 如果F∈ co F（C）是确定性的，那么h（E（F），u）=supγ∈Mu，Eγ=1Eh（F，γu）=h（F，u），u∈ G、 E是常数保持的。必然性由于E是最小值，E（X）的支持函数由（5.3）给出。constantpreserving性质得出，对于所有半空间Hu（t）和u，E（Hu（t））=Hu（t）∈ G、 根据例5.6的论证，只有当（5.4）成立时，半空间Hu（t）的最小次线性期望才与整个空间不同。zu的性质意味着Mu={γ：γu的强制性质∈ 祖}。实际上，假设γ∈ Mu+v，所以γ（u+v）∈ 因此，γ（u+v）∈ （Zu+Zv），表示γ（u+v）是γ1nu的γ1nu+γ2nv的范数极限∈ Zu和γ2nv∈ Zv，n≥ 1、u和v的线性依赖性得出γ1n→ γ和γ2n→ γ、 γ从何而来∈ （亩）∩ Mv）。可以将（5.5）ash（E（X，u）=eu（h（X，u）），u重新表述为∈ G、 （5.6）对于数值次线性期望seu（β）=supγ∈Mu，Eγ=1E（γβ），u∈ G、 β∈ Lp（R），由（1.5）的类似物定义。

因为h（X，u）的负部分是p-可积的，所以可以一致地让e（h（X，u））=∞ 在（5.7）中，如果h（X，u）不是p-可积的。推论5.8。每个保持最小次线性期望的标度下半连续常数都是精确的。证据由于（5.5）得出E（Hη（X））=Rdifη是随机的，因此（4.3）的类似物Eby的最大延伸减少到确定性η，因此E=eE是减少的最大张力。对于u∈ Sd公司-1.∩G和β∈ Lp（R），我们有E（Hu（β））=Hu（eu（β）），参见示例5.6。因此，E的约化最大扩张由ee（X）=\\u给出∈Sd公司-1.∩GHu（eu（h（X，u）））。与（5.6）相比，我们可以看到ee（X） E（X）。相反的夹杂很明显，当EE（X）=E（X）=E（X）时。推论5.9。如果E是一个保持最小正规化次线性期望的标度下半连续常数，则对于每个确定性F，E（X+F）=E（X）+F∈co F（C）。推论5.10。假设E是标度下半连续常数保持最小律不变的次线性期望。然后E（E（X | H）） E（X）表示所有X∈ Lp（co F（C））和F的任何子σ-代数H。特别是，EX E（X）。证据E的定律不变性意味着euis定律不变性。次线性期望eu是扩张单调的，这意味着eu（E（β| H））≤ 所有β的eu（β）∈ Lp（R），参见【8，Cor.4.59】，了解风险度量得出的事实。声明如下（5.6）。对于p-可积随机闭凸集X，其Firey p-期望由H（EpX，u）=（Eh（X，u）p）1/p定义。下一个结果来自（5.5）中应用的H¨older不等式toE（γH（X，u））。推论5.11。如果E接受表示（5.5），则E（X） （EpX）supu∈G、 γ∈Mu，Eγ=1（Eγq）1/q。下面的结果确定了一个特别重要的情况，当族Mu=Mdo不依赖于u时。这个性质本质上意味着次线性期望保留了Tred balls。

由Br表示以原点为中心的半径为r的球。定理5.12。保持最小超线性的标度下半连续常数满足E（Bβ+C）=Br+C所有β∈ Lp（R+）和R≥ 0（取决于β）当且仅当（5.5）在所有u 6=0的情况下，Mu=M成立。然后h（E（X，u）=E（h（X，u）），u∈ G、 （5.7）其中e接受陈述（1.5）。此外，E（X）=co[γ∈M、 Eγ=1E（γX）。（5.8）证明。假设mu是按照定理5.7的证明构造的，因此对于每个u∈ G、 h（E（Bβ+C），u）=supγ的右侧∈Mu，Eγ=1E（γβ）。不依赖于u∈ Sd公司-1.∩ G当且仅当所有u的Mu=M∈ G、 表示（5.7）遵循（5.6），Mu=M。鉴于（1.5），supγ∈M、 Eγ=1Eh（γX，u）=supγ∈M、 Eγ=1Eh（γX，u）=supγ∈M、 Eγ=1E（γh（X，u））=E（h（X，u））。根据（5.7），（5.8）两侧的支持功能相同。如果X={ξ}是单态，则无需在（5.8）的右侧取凸包。示例5.13。对于可积X和n≥ 1、考虑次线性期望∪n（X）=E co（X∪ · · · ∪ Xn），很容易看出∪n（X）是一个保持最小常数的次线性期望；（5.7）给出了相应的数值次线性期望e（β），是βn i.i.d.副本的期望最大值∈ L（R）。根据推论5.8，这种次线性期望是正确的。示例5.14。对于α∈ （0，1），设Pα为随机变量γ族，其值为[0，α-1] 使得Eγ=1。此外，设M是由Pα生成的锥，即isM={tγ：γ∈ Pα，t≥ 0}. 在金融中，集合Pα生成平均风险值，这是作为平均分位数获得的风险度量，见【8】。类似地，由该集合M生成的数字公共e和超线性u期望被表示为平均分位数。

也就是说，e（β）是t级β分位数的平均值∈ (1 - α、 1），u（β）是t级分位数的平均值∈ (0, α). 对应的集值子线性预期满足EX E（X） α-1EX。6超线性集值期望6.1最大超线性期望的对偶性考虑Lp（co F（C））上定义的超线性期望。如果C={0}，我们处理所有P可积随机闭凸集。回想一下，G=COI是C的极锥。定理6.1。A映射U:Lp（co F（C））7→ co F是尺度上半连续归一化最大超线性期望当且仅当ifU（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G） \\γ∈Mηx:hx，E（γη）i≤ Eh（X，γη）（6.1）对于凸σ（Lq，Lp）集合-闭锥Mη Lq（R+）由η参数化∈ L（Sd-1.∩G） 对于每个确定性η=u，mu严格大于{0}∈ Sd公司-1.∩ G、 证明。必然性固定η∈ L（Sd-1.∩ G） ，设Aη为β的集合∈ Lp（R）使得u（Hη（β））包含原点。自U（Hη（0）） U（C）=C，我们有0∈ Aη。自CEU（Hu（t）） Hu（t），当t<0和u时，家族中不包含β=t∈ Sd公司-1.∩ G、 如果βn→ βinσ（Lp，Lq），然后Eh（Hη（βn），γη）→ 所有γ的Eh（Hη（β），γη）∈ Lq（R），whenceHη（βn）→ Hη（β）以σ（Lp，Lq）为单位。因此，U（Hη（β）） lim sup U（Hη（βn））由假定的U的上半连续性确定。因此，Aη是凸σ（Lp，Lq）-闭锥inLp（R）。考虑其正对偶coneMη=γ ∈ Lq（R）：E（γβ）≥ 0表示所有β∈ Aη.由于U（C）=C，每当C X a.s.鉴于此，如果β是a.s.非负，则Hη（β）a.s.包含零，因此β∈ Aη。因此，Mη中的每个γ都是非负的。双极性定理得出aη=β ∈ Lp（R）：E（γβ）≥ 所有γ为0∈ Mη. （6.2）自(-t）/∈ Au，（6.2）得出锥μ严格大于{0}。

由于U被假定为最大值，（4.3）意味着U（X）=U（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G）x:U（Hη（x）- x） 3 0=\\η∈L（Sd-1.∩G）x:h（x，η）- hx，ηi∈ Aη=\\η∈L（Sd-1.∩G） \\γ∈Mηx:Ehx，γηi≤ Eh（X，γη）}。效率。很容易检查（6.1）给出的U在确定性单态、齐次和单调上是可加的。如果F∈ co F（C）是确定性的，那么让（6.1）中的η=u是确定性的，并使用mu的非平凡性得出u（F） F此外，U（C）=C，因为U（C）包含原点，因此不为空。U的超加性来自以下事实：x:hx，E（γη）i≤ Eh（X，γη）+Eh（Y，γη）x:hx，E（γη）i≤ Eh（X，γη）+x:hx，E（γη）i≤ Eh（Y，γη）.很容易看出U与其最大延伸重合。注意，（6.1）等效为asU（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G） \\γ∈Mηx：Eh（x- x、 γη）≥ 0.如果Xnscalarly收敛到X和xnk→ x代表xnk∈ U（Xnk），k≥ 1，然后Eh（Xn- xn，γη）收敛于Eh（X-x、 γη）适用于所有γ∈ Lq（R+）和η∈ L（Sd-1.∩G） 。因此，Eh（X-x、 γη）≥ 0，x所在位置∈ U（X），然后是U的上半连续性。与次线性情况不同（见定理5.2），定理6.1中的锥Mη不需要满足引理5.1中规定的附加条件。推论6.2。如果1∈ Mη表示所有η，然后是U（X） 所有p-可积X和任意阶上半连续最大正规化超线性期望U的EX。证据将（6.1）中的交点限制为确定性η=u和γ=1，以便（6.1）的右侧变为示例6.3。设X=Hη（β）为法向η的半空间∈ L（Sd-1） 和β∈ Lp（R）。

IfC={0}，X的最大超线性期望由u（Hη（β））=\\γ给出∈Mηx:hx，E（γη）i≤ E（γβ）.假设d=2，让η=（1，π），π几乎肯定是正随机变量。We haveU（Hη（β））=\\γ∈Mη，Eγ=1（x，x）：x+xE（γπ）≤ E（γβ）=（x，x）：x≤ u（β- xπ）,其中u是发电机组Mη的数值超线性期望。特别是，如果β=0 a.s.，则u（Hη（0））=（x，x）：x≥ 0，x≤ 徐(-π)∪（x，x）：x<0，x≤ -xu（π）.因此，U（Hη（0））=Hw（0）∩ Hw（0），其中w=（1，e（π））和w=（1，u（π）），表示集Mη的非线性期望的精确对偶e和u。6.2缩减的最大延伸以下结果可以类似于定理6.1证明（4.5）中缩减的最大延伸。定理6.4。A mapeU:Lp（co F（C））7→ co F是一个标度上半连续归一化约化最大超线性期望当且仅当ifeU（X）=v∈Sd公司-1.∩Gnx：hx，vi≤ infγ∈Mv，Eγ=1E（γh（X，v））o（6.3），对于非平凡凸σ（Lq，Lp）-闭锥的集合Mv Lq（R+），v∈ Sd公司-1.∩ G、 可以将（6.3）中的交叉点置于所有v上∈ Sd公司-1，因为h（X，v）=∞ 因为/∈ G、 表示（6.3）可以等价地写成半空间{x:hx，vi的交点≤ uv（h（X，v））}，其中uv（β）=infγ∈Mv，Eγ=1E（γβ）（6.4）是β的超线性单变量期望值∈ 每个v的Lp（R）∈ Sd公司-1.∩ G、 如果所有v.推论6.5的族都是定律完备的，则SuperlinearExpection（6.3）是定律不变的。LeteU:Lp（co F（C））7→ co F是一个标度上半连续律不变的归一化约化极大超线性期望，且概率空间是非原子的。TheneU是膨胀单调的，意思是Eu（X）eU（E（X | H））对于每个子σ-代数H F和所有X∈ Lp（co F（C））。尤其是欧盟（X） 防爆。由于Muis定律完全，由（6.4）给出的uv（β）是β的一个定律不变的凹函数∈ Lp（R）。

因此，uvis扩张单调[8，Cor.4.59]，意味着u（E（ξ| H））≥u（ξ）。因此，uv（h（X，v））≤ uv（E（h（X，v）| h））=uv（h（E（X | h，v））。示例6.6。如果Mv=M in（6.3）是非平凡的，并且不依赖于v，那么（6.3）turnsintou（X）=\\v∈Sd公司-1.∩Gx:hx，vi≤ u（h（X，v））,式中，由（6.4）给出的u是数值超线性期望，表示setM。在这种情况下，eU（X）是支持函数由u（h（X，v））支配的最大凸集，即h（eU（X，v）≤ u（h（X，v）），v∈ G、 （6.5）注意，u（h（X，·））可能不是支持函数。自\\v∈Sd公司-1.∩Gx:hx，vi≤ E（γh（X，v））}=X的E（γX）∈ Lp（co F（C）），这个约化的最大超线性期望允许等价表示aseU（X）=\\γ∈M、 Eγ=1E（γX）。（6.6）例6.7。设aξ的X=ξ+C∈ Lp（Rd）和与整个空间不同的确定性凸闭锥C。TheneU（ξ+C）=\\v∈Sd公司-1.∩Gx:hx，vi≤ uv（hξ，vi）. （6.7）如果所有v的Mv=M∈ Sd公司-1.∩ G、 然后uv=u andeU（ξ+C）=\\γ∈M、 Eγ=1E（γξ）+C）。如果C是一个Riesz锥，则对于某些x，Neu（ξ+C）=x+C，因为C平移的交点也是C的平移，请参见[18，Th.26.11]。示例6.8。设U（X）=E（X∩ · · · ∩ Xn）对于X的n个独立副本，注意如果交点X∩· · ·∩Xnis为空，概率为正。这个超线性期望既不是最大的，也不是一个约化的最大期望。例如，U（Hv（X））=HvE最小值（h（Xi，v），i=1，n）,因此，约化最大扩张U（X）是支持函数由U（Hv（X）），v支配的最大凸集∈ Sd公司-然而，E（X）的支持功能∩ · · · ∩ Xn）是由min（h（Xi，v），i=1，…）支配的最大次线性函数的期望值，N） ，所以U（X）可能是U（X）的严格子集。例如，设X=ξ+Rd-对于ξ∈ Lp（Rd）。ThenU（X）=E min（ξ。