随机集的非线性期望

实际上，选择任何ξ∈ Lp（X）和writeh（X，ζ）=h（X- ξ、 ζ）+hξ，ζi。右侧的第二个和是可积的，而第一个和是非负的。引理2.4。设X，Y∈ Lp（co F（C））。如果Eh（Y，ζ）≤ 所有ζ的Eh（X，ζ）∈ Lq（G），然后 X a.s.证明。对于每个可测量事件A，用ζ1A代替ζ，得到e[h（Y，ζ）1A]≤ E[h（X，ζ）1A]，其中h（Y，ζ）≤ h（X，ζ）a.s.对于一般ζ，同样适用∈ Lq（Rd），将其拆分为ζ∈ G和ζ/∈ G、 对于一般ζ∈ L（Rd），我们有h（Y，ζn）≤ h（X，ζn）a.s.，ζn=ζ1{kζk≤n} ，n≥ 1.因此，h（Y，ζ）≤ 所有ζ的h（X，ζ）a.s∈ L（Rd），该陈述源自【17，Cor.3.6】。推论2.5。X的分布∈ Lp（co F（C））由Eh（X，ζ）为ζ唯一确定∈ Lq（G）。证据将引理2.4应用于Y={ξ}，以便Eh（X，ζ）的值识别X的所有p-可积选择，并注意X等于其p-可积选择族的闭包，请参见[20，Prop.2.1.4]。如果一个随机闭集X看起来是随机闭集的hausdorff度量中的几乎确定极限，则称其为hausdorff可逼近集X，该随机闭集的值最多为有限个。众所周知【20，Th.1.3.18】所有随机紧集都是Hausdorff可逼近的，以及那些作为随机紧集和随机闭集之和出现的，可能值最多为有限个。示例2.3中的随机闭集X不可逼近。hausdorff可逼近p-可积随机闭凸集Xis的分布由所有γ的选择期望E（γX）唯一确定∈ Lq（R+），实际上，它的作用是让γ成为所有可测量的指标，见[11]和[20，第2.1.33条]。如果X是Hausdor ff可逼近的，则其选择ξ由条件E（ξ1A）确定∈ E（X1A）用于所有事件A。

通过传递支持函数，我们得到了引理2.4的一个变体，对于所有u∈ Sd公司-1和A∈ F、 2.3随机闭凸集的收敛随机闭凸集的收敛通常在概率中考虑，几乎可以肯定，orin分布。在下文中，我们需要定义适合处理无界随机凸集的Lp型收敛概念。空间Lp（Rd）具有σ（Lp，Lq）-拓扑，即ξn→ ξ表示ehξ，ζi→ Ehξ，所有ζ的ζi∈ Lq（Rd）。引理2.6。如果X是p-可积随机C-闭凸集，则Lp（X）是Lp（Rd）的非空凸σ（Lp，Lq）-闭和Lp（C）-闭子集。证据如果ξn∈ Lp（X）和ξn→ ξ ∈ Lp（Rd）inσ（Lp，Lq），thenEhξ，ζi=lim Ehξn，ζi≤ 所有ζ的Eh（X，ζ）∈ Lq（Rd）。因此，ξ是引理2.4对X的选择。关于亲密的说法是显而易见的。A序列Xn∈ Lp（co F（C）），n≥ 1，称为收敛于X∈ Lp（co F（C））标度inσ（Lp，Lq）（短，标度）如果Eh（Xn，ζ）→ 所有ζ的Eh（X，ζ）∈ Lq（G），其中在扩展线中理解收敛性(-∞, ∞]. 由于Eh（Xn，ζ）等于Lp（Xn）在ζ方向上的支持函数，因此该收敛是标量收敛Lp（Xn）→ Lp（X）作为Lp（Rd）中的凸集，参见[26]。3一般非线性集值期望3.1定义Fix p∈ [1, ∞] 和一个不同于整个空间的凸闭锥C。定义3.1。

次线性集值期望是一个函数E:Lp（co F（C））7→ co f例如：i）对于每个确定性a∈ Rd，E（X+a）=E（X）+a（3.1）（确定性单态的可加性）；ii）E（F） F表示所有确定性F∈ co F（C）；iii）E（X） E（Y）如果X Y几乎肯定（单调性）；iv）E（cX）=cE（X），对于所有c>0（同质性）；v） E是次可加的，即E（X+Y） E（X）+E（Y）（3.2）对于所有p-可积随机闭凸集X和Y。超线性集值期望U满足相同的性质，但i）被U（F）取代 F和（3.2）替换为超加性性质yu（X+Y） U（X）+U（Y）。（3.3）如果非线性期望E和U在同分布随机闭凸集上保持其值，则称其为定律不变。提案3.2。Lp（co F（C））上的非线性期望值取自co F（C）。证据如果a∈ C、 然后X+a X a.s.，E（X）+a从哪里来 E（X）。因此，E（X）∈co F（C）。虽然非线性期望的参数X为a.s.非空，但U（X）可能为空，那么（3.3）的右侧也为空。然而，如果某些X的E（X）为空，则E（ξ+C）= 对于ξ∈ Lp（X），henceE（Y）=E（Y+C）=E（Y- ξ+ξ+C） E（Y- ξ） +E（ξ+C）=对于所有p-可积随机集Y为空。有鉴于此，假设sublinearexpections取非空值。当E（X）=rD或U（X）=时，我们总是排除平凡的情况 对于所有X，同质性性质立即意味着，如果X几乎肯定是一个圆锥体，那么E（X）和U（X）是圆锥体，也就是说，对于所有的c>0，cX=X a.s。因此，只能得出结论，E（C）是一个闭凸锥，它可能严格大于C。根据命题3.2，U（C）要么是C，要么是空的。如果E（C）=C（分别，U（C）=C），则称次线性（分别，超线性）期望为归一化。

我们总是有E（Rd）=Rdby属性ii），还有U（Rd）=Rd，因为U（Rd）=U（Rd）+a表示所有a∈ Rd和U不是相同的空。非线性期望的性质并不意味着它们保持确定性凸闭集。家族{F∈ 不变集的co F（C）：E（F）=F}在平移、正实扩张和Minkowski和下是闭合的，因为如果E（F）=F和E（F）=F，则F+F E（F+F） E（F）+E（F）=F+F。如果来自co F（C）的所有非空确定性集都是不变的，则称非线性期望为常数保持。如果U（X），超线性和次线性期望形成对偶对 E（X）对于每个可积随机闭凸集X。与单变量设置不同，精确对偶关系（1.4）是无用的；如果C={0}，则-E类(-十） 也是次线性期望，其中-X={-x：x∈ 十} 是X相对于原点的反射。对于序列{Fn，n≥ 1} 闭集的下限lim-inf-Fn是所有收敛序列xn的极限集∈ Fn，n≥ 1，其上限lim sup Fn是所有收敛子序列xnk的极限集∈ Fnk，k≥ 次线性期望E称为下半连续ifh（E（X），u） lim inf h（E（Xn），u），u∈ Rd，（3.4），U为上半连续ifU（X） 随机闭凸集序列{Xn，n）的lim sup U（Xn）≥ 1} 在chosentopology中收敛到X，例如，如果Xnscally收敛到X，则为比例低半连续。请注意，低半连续性定义弱于集值函数的标准变量，这将要求e是lim inf e（Xn）的子集，请参见[14，Prop.2.35]。备注3.3。可以考虑仅在某些特殊随机集上定义的非线性期望，例如单态空间或半空间。

只要求这类集合的族在平移、正实扩张和Minkowski和下是封闭的。族co-F通常按逆包含排序；然后相应地调整终端，例如，超线性期望变为次线性。然而，我们系统地考虑了传统的包含顺序。备注3.4。出于金融应用的动机，可以用凸性或凹性代替均匀性和次（超）可加性，例如U（λX+（1- λ） Y） λU（X）+（1- λ） U（Y），λ∈ [0, 1].然而，通过lettingU（{t}×X）={t}×tu（t-1X），t>0。Uare随机闭凸集的自变量Y={t}×X；它们形成了一个用于膨胀、Minkowski和以及由R+×Rd的单子平移的家族循环。注意，{t}×X的选择由（t，ξ）给出，其中ξ是X的选择。有鉴于此，如果维数增加1，则齐次情况下的所有结果都适用于凸情况。3.2示例最简单的示例是选择期望，它在所有可积随机凸集上都是线性和法律不变性的。示例3.5（固定点和支架）。LetFX公司=x:P{x∈ 十} =1表示随机闭集X的固定点集。如果X几乎肯定是凸的，那么FX也几乎肯定是凸的，如果X是正概率紧的，那么FX是紧的。很容易看到FX+Y FX+FY，其中U（X）=FX是一个法律不变的超线性期望。根据类似的想法，可以定义子线预期E（X）=支持X作为X的支持，这是点X的集合，使得X以正概率表示X的任何开放邻域。

根据单调性，{x}=U（{x}） 任意X的U（X）∈ FX，其中U（X）=FX是任何其他归一化超线性期望X的子集。通过类似的参数，E（X）=supp X支配任何其他保持常数的次线性期望。示例3.6（半行）。固定C={0}，设X=[ξ，∞)  R、 然后U（X）=[e（ξ），∞) issuperlinear当且仅当e（ξ）是（1.2）通常意义下的次线性。对于Y型随机集=(-∞, ξ] ，U（Y）=(-∞, u（ξ）]对应于u（ξ）的单变量超线性。因此，集值非线性期望的性质不仅取决于背景数值期望，还取决于相关随机集的构造。在高维情况下，情况变得更加复杂，其中凸集的补码不一定是凸的，并且补码的Minkowski和不等于和的补码。示例3.7（随机间隔）。设X=[η，ξ]是ξ，η直线上的随机区间∈ Lp（R），设C={0}。那么E（X）=[u（η），E（ξ）]是由η的数值超线性期望和ξ的数值次线性期望形成的区间，使得u（ξ）≤ e（ξ）表示所有ξ，例如，如果u和e是精确的对偶对。超线性期望u（X）=[e（η），u（ξ）]可能为空。3.3单粒子和半空间的期望确定性单粒子的可加性性质立即产生以下有用的事实。引理3.8。我们有E（X）={X∈ Rd:E（X- x） 3 0}，对于超线性期望也是如此。修复C={0}。仅限于单态，次线性期望是齐次映射：Lp（Rd）7→ 满足（{ξ+η}）的系数 E（{ξ}）+E（{η}），ξ，η∈ Lp（Rd）。注意，E（{ξ}）不一定是一个单态。如果E（{ξ}）是每个ξ的单态∈ Lp（Rd），则E在Lp（Rd）上是线性的。假设它的下半连续性，它就变成了通常的（线性）期望值。

以下结果涉及单态的超线性期望。对于一般锥C，用集合ξ+C代替单子也有类似的结果。命题3.9。设C={0}。对于每个ξ∈ Lp（Rd）和任何正规化的超线性期望U，集合U（{ξ}）要么是空的，要么是单态的，并且U是所有单态族上非空U（{ξ}）的加法。证据By（3.3）应用于X={ξ}和Y={-ξ} ，我们有{0}=U（{0}） U（{ξ}）+U({-ξ} ，其中U（{ξ}）要么为空，要么为单态，然后U({-ξ}) = -U（{ξ}）。如果U（{ξ}）和U（{ξ}）是ξ的单态（因此是非空的），ξ∈ Lp（Rd），thenU（{ξ+ξ}） U（{ξ}）+U（{ξ}），从中包含变成相等。考虑到命题3.9并将上半连续性性质强加于超线性期望，对于每个p-可积ξ，U（{ξ}）等于{Eξ}或为空。ξ家族∈ Lp（Rd）使得U（{ξ}）6= 是Lp（Rd）中的凸锥。提案3.10。如果X+X=Rda。s、 对于X是X的独立副本，则对于每个定律不变的次线性期望E，ne（X）=rde。证据根据次可加性和定律不变性，Rd=E（Rd）=E（X+X） E（X）+E（X）=2E（X）。如果X=Hη（0）是具有非原子η的半空间，则命题3.10适用，因此此类随机集上的每一个HLAW不变次线性期望取平凡值。示例3.11。设C=Rd-. 如果E（ξ+Rd-) = ~e（ξ）+Rd-对于向量值函数~e:Lp（Rd）7→ Rd，然后~e（ξ）分解为应用于ξ=（ξ，…，ξd）成分的超线性期望向量，见定理A.1.3.4随机凸函数的非线性期望下半连续凸函数f:Rd7→ [0, ∞] 在Rd+1中产生一个凸集tfh（Tf，（t，x））=（Tf（x/t），t>0,0，否则。获得的支持函数称为f的透视变换，参见[13]。

请注意，可以通过在Tf的支持函数中设置t=1来恢复f。如果ξ（x），x∈ Rd是一个随机的非负下半连续凸函数，则其次线性期望可以定义为E（ξ）（x）=h（E（Tξ），（1，x）），超线性期望也可以类似定义。根据这一定义，本文中的所有结构都适用于随机函数。4非线性期望的扩展4.1最小扩展Lp（co F（C））随机集上次线性集值期望E的最小扩展定义为（X）=co[ξ∈Lp（X）E（ξ+C），（4.1），其中co表示闭凸包运算。它将次线性期望定义的集ξ+C扩展到所有p-可积随机闭集X，使得X=X+C a.s。在支持函数方面，最小扩展由h（E（X），u）=supξ给出∈Lp（X）h（E（ξ+C），u），u∈ G、 （4.2）提案4.1。如果E是在ξ的随机集ξ+C上定义的次线性期望∈ Lp（Rd），则其最小扩张（4.1）是次线性期望。证据E在确定性单态上的可加性源于E的这个性质。Fora确定性F∈ co co F（C），E（F） co[x∈FE（x+C） co[x∈F（x+C）=F。E的同质性和单调性很明显。次可加性源自Lp（X+Y）是Lp（X）+Lp（Y）之和的Lp闭包这一事实，参见【20，Prop.2.1.6】。4.2最大延伸将超线性期望U从其值延伸到半空间上，得到其最大延伸U（X）=\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（X）），（4.3）是随机半空间Hη（X）=Hη（H（X，η））几乎肯定包含X的超线性期望的交点∈ Lp（co F（C））。回想一下G=Co.命题4.2。

如果U在具有相同法线的半空间上是超线性的，即U（Hη（β+β）） U（Hη（β））+U（Hη（β））（4.4）表示β，β∈ Lp（R）和η∈ L（Sd-1.∩ G） ，且在具有相同法线的半空间上是标度上半连续的，即U（Hη（β）） lim sup U（Hη（βn））如果βn→ β在σ（Lp，Lq）中，则（4.3）给出的最大扩张U（X）对于随机闭凸集的标量收敛是超线性和上半连续的。如果U在半空间上是定律不变的，那么U是定律不变的。证据确定性单态的可加性源于以下事实：对于所有a，Hη（X+a）=Hη（X）+a∈ 如果为F，则为Rd∈ co F（C）是确定性的，thenU（F）\\u∈Sd公司-1.∩顾（胡（F））\\u∈Sd公司-1GHu（F）=F。扩张的同质性和单调性很明显。对于两个可积随机闭凸集X和Y，（4.4）得到u（X+Y）=\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（H（X，η）+H（Y，η）））\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（X））+U（Hη（Y））\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（X））+\\η∈L（Sd-1.∩G） U（Hη（Y））=U（X）+U（Y）。假设Xnscalarly收敛到X。让xnk∈ U（Xnk）和Xnk→ x代表一些x。然后是xnk∈ U（Hη（Xnk））表示所有η∈ L（Sd-1.∩ G） 。自h（Xnk，η）→ h（X，η）在σ（Lp，Lq）中，半空间上的上半连续性得到U（hη（X）） lim sup U（Hη（Xnk）），whencex∈ U（Hη（X））表示所有η。因此，x∈ U（X），确定最大扩张的上半连续性。定律不变性的性质很简单。可以让（4.3）中的η具有确定性，并且定义u（X）=\\u∈Sd公司-1.∩顾（胡（X））。（4.5）通过这种简化的最大扩张，将超线性期望从其值扩展到具有确定性法向量的半空间上。请注意，缩减后的最大延伸可能等于整个空间，例如，对于X=Hη（0），它是具有不确定法线的半空间。很明显，U（X） U（X）eU（X）andeU是常数保持的。

减少的最大扩张对于Hausdorff可逼近随机闭集特别有用。4.3精确非线性期望可以对次线性期望应用最大延拓，对超线性期望应用最小延拓，从而得到E和U。对于每个p-可积随机闭集X，E（X），单调性 E（X） E（X）eE（X）。（4.6）很容易看出，每个扩展都是一个幂等运算，例如，e的最小扩展与e重合。如果非线性次线性期望与其最小（分别，最大）扩展重合，则称其为最小（分别，最大）。如果U与eu重合，则超线性期望值最大。由于随机凸闭集既可以表示为其选择的族，也可以表示为半空间的交集，因此最小表示可以被视为精确非线性期望的原始表示，而最大表示则成为对偶表示。若（4.6）在等式中成立，则称E为精确值。这同样适用于超线性预期。注意，选择期望在所有可积随机闭凸集上都是精确的，其最小值对应于（2.1），最大值变为（2.3）。5次线性集值期望5.1最小次线性期望的对偶最小次线性期望由其对随机集ξ+C的限制决定；以下结果是此类限制的特征。引理5.1。