随机集的非线性期望

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英文标题：
《Nonlinear expectations of random sets》
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作者：
Ilya Molchanov and Anja M\\\"uhlemann
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Sublinear functionals of random variables are known as sublinear expectations; they are convex homogeneous functionals on infinite-dimensional linear spaces. We extend this concept for set-valued functionals defined on measurable set-valued functions (which form a nonlinear space), equivalently, on random closed sets. This calls for a separate study of sublinear and superlinear expectations, since a change of sign does not convert one to the other in the set-valued setting. We identify the extremal expectations as those arising from the primal and dual representations of them. Several general construction methods for nonlinear expectations are presented and the corresponding duality representation results are obtained. On the application side, sublinear expectations are naturally related to depth trimming of multivariate samples, while superlinear ones can be used to assess utilities of multiasset portfolios.
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中文摘要：
随机变量的次线性泛函称为次线性期望；它们是无限维线性空间上的凸齐次泛函。我们将这个概念推广到定义在可测集值函数（构成非线性空间）上的集值泛函，等价地，推广到随机闭集上。这就需要对次线性和超线性期望进行单独的研究，因为在集值设置中，符号的变化不会将一个转换为另一个。我们将极值期望确定为它们的原始和对偶表示所产生的期望。给出了非线性期望的几种一般构造方法，并得到了相应的对偶表示结果。在应用方面，次线性预期自然与多变量样本的深度微调相关，而超线性预期可用于评估多资产组合的效用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：非线性 Expectations Presentation Applications Quantitative

随机集的非线性期望Silya Molchanov和Anja M¨uhlemannUniversity of Bern，Institute of Mathematics Statistics and精算科学，Alpeneggstrasse 22，CH-3012 Bern，SwitzerlandMarch 13，2019年抽象随机变量的次线性函数称为次线性期望；它们是有限维线性空间上的凸齐次泛函。我们将此概念推广到可测集值函数（形成非线性空间）上定义的集值泛函，等价地，推广到随机闭集上。这就需要对次线性和超线性期望进行单独研究，因为在集值设置中，符号的变化不会将一个转换为另一个。我们将极端期望确定为它们的原始和双重表示所产生的期望。给出了非线性期望的几种一般构造方法，并得到了相应的对偶表示结果。在应用方面，次线性预期自然与多变量样本的深度调整相关，而超线性预期可用于评估多资产投资组合的效用。1简介修复概率空间(Ohm, F、 P）。次线性期望是定义在p-可积随机变量空间Lp（R）上的实值函数（p∈ [1, ∞]), 这样，对于每个确定性a，e（ξ+a）=e（ξ）+a（1.1），函数e是单调的，e（ξ）≤ e（η）ifξ≤ ηa.s.，均质（cξ）=ce（ξ），c≥ 0和次加性（ξ+η）≤ e（ξ）+e（η），（1.2）参见【24】，他将次线性期望引入概率论领域，并建立了它们与倒向随机微分方程解的密切关系。用u（ξ+η）代替（1.2），超线性期望u满足相同的性质≥ u（ξ）+u（η）。

（1.3）在许多研究中，e的凸性和u的凹性取代了同质性和亚（超）可加性。这些非线性预期可能基于一个比Lpor更大的家族，而不是其亚家族；有必要假设定义域包含所有常数，并且在正常数的加法和乘法下闭合。值的范围可以扩展到(-∞, ∞] 对于子线预期和[-∞, ∞) 对于超线性的。符号e和u的选择可以通过以下事实来解释：超线性期望可以被视为一个效用函数，与两个随机变量各自的效用之和相比，它为两个随机变量的和分配了更高的效用值，参见【5】。如果随机变量ξ为财务收益建模，则r（ξ）=-u（ξ）被称为一致风险度量。然后，属性（1.1）被称为现金不变性，由于符号的变化，超加性属性变为次加性。风险的次加性是指两个随机变量之和至多承担与其风险之和相同的风险；这正是多元化的经济原则。很容易看出，e是次线性期望，当且仅当ifu（ξ）=-e类(-ξ） （1.4）是超线性的，在这种情况下，e和u被称为形成一个精确的对偶对。公共性性质产生e（ξ）+e(-ξ) ≥ e（0）=0，因此-e类(-ξ) ≤ e（ξ）。由一对精确的非线性期望产生的区间[u（ξ），e（ξ）]表征了ξ期望值确定的不确定性。在金融方面，这些区间决定了非流动市场的价格范围，见【19】。基于Lp和lq1/p+1/q=1的标准配对，我们将空间Lp配置为σ（Lp，Lq）-拓扑。通常假设σ（Lp，Lq）-拓扑中e是下半连续的，uis是上半连续的。

假设e和u取有限值，关于线性空间上凸函数的泛函分析的一般结果表明，如果p∈ [1, ∞) （见【15】）；如果p=∞. 如果在相同分布的随机变量上取相同的值，则称非线性期望为定律不变性（更准确地说，是由定律确定的），参见[8，第4.5节]。关于几种概率度量，传统（线性）期望的上限提供了次线性期望的丰富来源。假设σ（Lp，Lq）下半连续性，双极性定理得出这是唯一可能的情况，见[5]和[15]。Thene（ξ）=supγ∈M、 Eγ=1E（γξ）（1.5）是Lq（R+）中凸σ（Lq，Lp）-闭锥M上期望E（γξ）的上确界；通过将上确界替换为内确界来获得超线性期望。在下文中，我们假设（1.5）成立，并且表示集M的选择方式确保相应的次线性和超线性期望是定律不变的，也就是说，对于每个γ，M包含与γ相同分布的所有随机变量。欧几里德空间中的随机闭集X是一个随机元素，其值在Rd中的闭集族f中，使得{X∩ K 6=} 是Rd中所有紧凑设置的可测量事件，请参见【20】。换句话说，随机闭集是一个可测的集值函数。如果X几乎肯定属于Rd中的闭凸集族，则称随机闭集X为凸集。对于欧几里德空间中的凸随机集，可测性条件等价于X的支持函数（见（2.2））是Rd上的随机函数，其值为(-∞, ∞].在集值设置中，很自然地会将不等式（1.2）和（1.3）替换为包含。

对于集合，减号对应于相对于原点的反射；它不会改变包含的方向，因此设定值发布和超线性期望之间没有直接联系。集合包含始终被认为是非严格的，例如 B允许A=B。本文旨在系统地探讨非线性集值期望。第2节回顾了随机闭集的（线性）选择期望的经典概念，参见[2]和[20，第2.1节]。随机向量ξ称为X的选择，如果ξ∈ 几乎可以肯定。选择期望值EX定义为X的所有可积选择的期望值集的闭合（原始表示）或通过考虑预期支持函数（双重表示）。在本节中，我们将基于应用于支持函数的线性泛函，为（可能是无界的）随机凸集引入一个合适的收敛概念。第3节介绍了随机凸集的非线性期望。定义定义了【20，第2.2.7节】中所述非线性预期的性质。这些期望和更复杂的结构的基本例子被考虑，特别注意随机单态和半空间的期望。文中还解释了集值期望如何应用于随机凸函数，以及如何消除齐次性并将集值期望推广到凸/凹函数。在各种各样的非线性期望中，有可能识别极值：X的最小次线性期望是某个族中所有集的非线性期望的凸包，这些集合产生X作为它们的并集。

在选择的情况下，这成为选择期望的原始表示的直接推广。最大超线性扩张是包含随机集的所有半空间的非线性期望的交集。而在线性情况下，两者重合，并提供了选择期望的两个等效定义，一般来说，这两种结构不同。文献[4，9]研究了p-可积随机向量族Lp（Rd）的非线性映射，综合对偶结果见文献[7]。在我们的框架中，这些研究涉及超线性期望的参数是随机向量和凸锥的和的情况。然而，对于一般的集值参数，不可能依赖于[9，7]的方法，因为集值优化理论的已知技术（参见，例如，[16]）不适用。适用于处理非线性期望的关键技术依赖于双极性定理。将该定理直接推广到随机凸集的泛函是不可行的，因为随机凸集不形成线性空间。第5节给出了次线性期望的对偶结果，第6节给出了超线性期望的对偶结果。具体而言，确定了恒常保持的最小次线性期望。对于超线性期望，随机闭凸集族，使得次线性期望包含的定理是凸锥。然而，使用分离结果是相当棘手的，正弦函数（如选择期望）可能在无界可积随机集上具有平凡的值。例如，具有不确定法线的随机半空间的选择期望是整个空间；在这种情况下，超线性期望不受任何非平凡线性期望的支配。

为了处理这种情况，证明了最大超线性期望的对偶结果。结果表明，单态子的超线性期望通常为空；为了得到一个非平凡的最小扩展，最小扩展定义中的单态被转换锥所取代。第7节概述了一些应用。为了识别随机集样本中的异常值，次线性期望可用作深度函数。此类样本通常出现在计量经济学中的部分识别模型中，见【22】。超线性预期与衡量多元金融风险和多元效用密切相关。SuperlinearExpections对描述效用很有用，因为由随机集描述的两个Portfolios之和的效用“支配”了它们各自效用的总和。我们证明了超线性期望的最小扩张与[21]中考虑的低随机集的选择风险测度密切相关。附录提供了一个完整的证据，证明随机向量的向量值次线性期望必然分解为应用于向量每个分量的次线性期望。

这一事实再次表明，集值设置对于定义随机向量的非线性期望至关重要。注意以下符号约定：X，Y表示随机闭凸集，Fis表示确定性闭凸集，ξ和β是p-可积随机向量和随机变量，ζ和γ是q-可积向量和1/p+1/q=1的变量，η通常是单位球面Sd的arandom向量-1、u和v是Sd的确定点-1.2选择期望2.1可积随机集和选择期望设X是Rd中的随机闭集，通常假设X几乎肯定是非空的。随机向量ξ称为X的选择，如果ξ∈ 几乎可以肯定。设Lp（X）表示p的X的p-可积选择族∈ [1, ∞), p=∞, 如果p=0，则显示所有选项。如果Lp（X）不为空，则X称为p-可积，如果p=1，则称为短可积。如果X是p-可积有界的，即kXk=sup{kXk:X，则是这种情况∈ 十} isp可积（如果p=∞).如果X是可积的，则其选择期望由ex=cl{Eξ：ξ定义∈ L（X）}，（2.1），这是X的所有可积选择的期望集的闭包，参见[20，第2.1.2节]。如果X是可积有界的，则不需要右侧的闭包，EX是紧的，如果X是凸的或下面的概率空间是非原子的，则几乎肯定也是凸的。从现在起，我们假设所有随机闭集几乎都是凸的。RDI中非空集F的支持函数由h（F，u）=sup{hx，ui:x定义∈ F}，u∈ Rd，（2.2）如果F没有界，则考虑可能的有限值，其中hu，xi表示scalarproduct。

由于同质性，支持函数由其在unitsphere Sd上的值确定-1、如果X是一个可积随机闭集，则其期望支持函数是EX的支持函数，即Eh（X，u）=h（EX，u），u∈ Rd，（2.3）见【20，第2.1.38条】。因此，EX=\\u∈Sd公司-1{x:hx，ui≤ Eh（X，u）}，这可以看作是选择期望的对偶表示，（2.1）是它的原始表示。[1] 提供一个不言自明的Daniell–Stone类型的选择期望特征。性质（2.3）也可表示为supξ∈L（X）hξ，ui=supξ∈L（X）Ehξ，ui，（2.4）意味着在这种情况下，可以交换期望值和上确界。如果X是一个可积随机闭集，H是F的子σ-代数，则条件期望E（X | H）由其支持函数确定，即X的支持函数的条件期望，请参见[12]和[20，第2.1.6节]。闭集F的膨胀（缩放）定义为cF={cx:x∈ F}表示c∈ R、 对于两个闭集Fand F，其闭Minkowski和由F+F=cl{x+y:x定义∈ F、 y型∈ F} ，如果至少有一个summand为空，则sum为空。如果至少有一个Fand Fiscompact，则不需要右侧的封口。对于a，我们用F＋{a}代替F＋{a}写一个简短的F＋a∈ Rd.如果X和Y是随机闭凸集，那么X+Y是随机闭凸集，参见[20，Th.1.3.25]。选择期望在可积随机闭集上是线性的，即E（X+Y）=EX+EY，参见，例如，[20，Prop.2.1.32]。设C是RDS中的一个确定性闭凸锥，它不同于整个空间。如果F=F+C，则称F为C-闭。由于右侧的闭合Minkowski和，F也是拓扑闭合的。

设co F（C）表示Rd中所有C-闭凸集的族（包括空集），设Lp（co F（C））是所有p-可积随机集的族，其值在co F（C）中。Lp（co F（C））中的任何随机集都必须是非空的。ByG=Co={u∈ Rd:h（C，u）≤ 0}我们将极锥表示为C。示例2.1。如果C={0}，则co F（{0}）是Rd中所有凸闭集的族。IfC=Rd-, 然后co F（Rd-) 是下凸闭集族，在该族中实现的随机闭凸集称为随机下集。示例2.2。设C是Rd中的凸闭锥，它与整体空间不重合。如果X=ξ+C表示ξ∈ Lp（Rd），那么X属于空间Lp（co F（C））。对于每个ζ∈ Lq（G），我们有h（X，ζ）=hξ，ζi.2.2随机方向上的支持函数lethu（t）={X∈ Rd:hx，ui≤ t} ，u 6=0，（2.5）表示Rd中的半个空间，并让Hu(∞) = Rd.处理无界随机闭集时的特殊困难是由于任何确定性变元的支持函数可能与概率1有限这一事实造成的。示例2.3。设X=Hη（0）是法向量η具有非原子分布的随机半空间。那么EX就是整个空间。X的支持函数完全在随机射线{cη：c上≥ 0}.如【17，Cor.3.5】所示，每个随机闭凸集满足esX=\\η∈L（Sd-1） Hη（X），（2.6），其中Hη（X）=Hη（H（X，η））是包含X的外法线η的最小半空间。如果X是a.s.C-闭合，（2.6）保持不变，η贯穿Sd的选择族-1.∩ G、 对于每个ζ∈ Lq（Rd），支持函数h（X，ζ）是一个随机变量，其值为(-∞, ∞], 参见[17，引理3.1]。虽然h（X，ζ）不一定是可积的，但如果X是p-可积的，则其负部分总是可积的。