具有潜在因素的主动和被动投资组合管理

（2.10）在该公式中，Wγ是驱动增长率差异的k维维纳过程，φ和Φ是增长率的漂移和波动函数。我们要求选择φ和Φ，以便γ（i）∈ L对于所有i.这方面的一组有效条件是通常的Lipschitz和多项式增长条件，它们保证了DE存在唯一的平方可积强解（见Karatzas和Shreve（1998）第5章中的定理2.9）。图1显示了当可能的差异是Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程时该过程的模拟。在第4节中，我们将φ和Φ都取为零。这恢复了Rieder和B¨auerle（2005）中使用的隐藏马尔可夫模型（HMM），其中增长率在许多可能的常数之间切换，而不是在扩散过程中切换。这简化了校准过程，这是我们在实施中采用的模型-0.06-0.04-0.020.040.060.08图1：m=3个状态的扩散切换过程示例。彩色虚线代表三种可能的扩散过程，增长率可以遵循三种马尔可夫链状态。实心黑线显示了在潜在马尔可夫链发生过度时跳跃的增长率路径。2.3.2. 二阶秩基模型可以考虑的另一种模型是Fernholz et al.（2013）中描述的基于二阶秩基的股票市场模型。在该模型中，资产的价格动态取决于资产的市场权重排名；通常，较小的资产比较大的资产具有更高的增长率和波动性。

这种建模方法的目标是通过利用资本分配曲线的固有稳定性，更好地捕捉股票市场中观察到的资本分配的长期特征，例如平均排名职业时间。设rit为时间t时资产i的秩，假设资产价格满足SDE：d log Xit=γi+nXj=1gj{rit=j}！dt+nXj=1σj{rit=j}dWjt（2.11），即γi是资产i基于“名称”的增长率，而gj是其资本化占据j级时的额外增长和资产经验。类似地，σj是资产j级的波动率。我们假设模型参数满足市场形成渐近稳定系统的要求；参见Fernholz et al.（2013），其中还提供了此类模型的参数估计概要。需要注意的是，当假设此模型时，每个股票的排名过程必须作为状态变量纳入优化问题中。当使用动态规划方法时，这会使最优性证明变得非常复杂。我们在当前工作中采取的方法并没有解决这些涉及当地时间和不可区分性的问题。最后，我们注意到，可以创建一个由不可观测马尔可夫链驱动的秩相关混合模型，但这可能会导致参数估计的困难。3、随机控制问题3.1。描述我们考虑的随机控制问题类似于Al Aradi和Jaimungal（2018）提出的问题。投资者对两个投资组合进行组合，分别衡量其表现和主动风险。

也就是说，投资者选择一个他们希望跑赢大盘的业绩基准ρ和一个跟踪基准η，他们会惩罚偏离该基准的情况。目标是确定投资组合过程π，该过程使投资期T内相对于ρ的预期增长率差异最大化。此外，投资者因主动风险水平过高（根据η衡量）而受到处罚。还包括独立于两个基准的额外惩罚，以控制绝对风险（通过财富的二次变量衡量）或惩罚分配给特定资产的惩罚，如Al-Aradi和Jaimungal（2018）第4节所述。优化问题中的主要状态变量是任意投资组合的财富比率π相对于预选绩效基准ρ的对数。设Yπ，ρt=对数ZπtZρt表示投资组合π和ρ的相对投资组合财富的对数。然后该过程满足SDE：dYπ，ρt=（γπt- γρt）dt+（πt- ρt）| dMt，（3.1），这反过来意味着Yπ，ρt=Yπ，ρ+ZT（γπt- γρt）dt+ZT（πt- ρt）| dMt。（3.2）我们的主要随机控制问题是找到最优投资组合π*如果在可容许策略集中达到上确界，则达到上π∈AcH（π）（3.3），其中H（π）是组合π的性能标准，由以下公式给出：H（π）=EζYπ，ρt-ZTζs（πs- ηs）|Ohms（πs- ηs）ds-ZTζsπ| sQsπsds. （3.4）这里，ζ是一个常数，ζ=（ζt）t≥对于某些固定的ζ<∞. 向量ζt表示投资者设定的主观偏好参数，以反映他们对三个目标的重视程度：1。第一个期限是一个最终回报期限，对应于希望最大化其投资组合与绩效基准ρ之间预期增长率差异的投资者。

这也相当于假设对数效用函数，使相对财富的预期效用最大化。2、第二项为连续处罚条款，对偏离跟踪基准的情况进行处罚。什么时候Ohmt=∑t，投资者正在惩罚偏离跟踪基准的风险加权偏差，风险较高资产的偏差将受到更严重的惩罚。因此，这可以被视为投资者旨在最小化跟踪错误/主动风险。最后一项是一般的二次连续惩罚项，不涉及eitherbenchmark。QT的一个可能选择是协方差矩阵∑t，可以采用协方差矩阵来最小化根据投资组合财富过程的二次变化Zπt衡量的投资组合的绝对风险。另一个选择是让QT成为一个恒定的对角矩阵，其效果是根据相应对角分录的大小对每项资产的分配进行惩罚。投资者可以使用这种选择Q作为一种方式，对每项资产的配置施加一系列“软”约束。读者可参考Al Aradi和Jaimungal（2018）对这些术语的进一步解释。备注3。两个偏好参数ζ1,2t可以是随机的；e、 它们可能取决于投资者的财富水平或其他因素。此外，由于两个原因，偏好参数被限制在[0，ζ]：首先，它简化了最优性的证明；其次，根据Al Aradi和Jaimungal（2018），结果是由相对权重而非绝对权重驱动的，因此对立方体的限制不会导致失去一般性。备注4。

基准可能是非马尔可夫的；如果它们是马尔可夫函数，并且可以表示为ρt=ρ（t，Xt）和ηt=η（t，Xt），则函数ρ和η不限于可区分。这允许更广泛的基准类别，包括基于排名的投资组合和使用与资产价格无关的其他信息构建的投资组合，例如基于公司基本面的要素投资组合。允许使用功能生成投资组合类别的基准，包括市场投资组合，以及由排名相关的投资组合生成功能生成的投资组合，如大盘股投资组合。我们还需要以下关于相对和绝对惩罚矩阵的假设Ohm andQ：假设3。惩罚矩阵Ohm Q是F-适应矩阵值随机过程，对于每个x∈ Rn，存在常数ε>0和C<∞ 满足εkxk≤ x个|Ohm德克萨斯州≤ Ckxk和εkxk≤ x | Qtx≤ Ckxk，t型≥ 0。（3.5）这些界与二次协变量∑上的非退化和有界方差假设起着类似的作用，并确保我们后面推导的候选最优控制实际上是可容许的。考虑随机惩罚矩阵很有用，因为它为以下情况下的随机波动性模型打开了大门Ohm （选择时Ohm = ∑）和Q情况下的随机交易成本。接下来，我们根据运行奖惩条款重写控制问题。当实施假设1中的任一条件时，（3.2）中最后一个积分的期望值为零，因为随机积分实际上是一个鞅。此外，假设Zπ=Zρ，则性能系数变为（π）=EZTζγπt- γρt-ζt（πt- ηt）|Ohmt（πt- ηt）-ζtπ| tQtπtdt公司.

（3.6）与Al-Aradi和Jaimungal（2018年）相比，迄今为止取得的概括总结见下表1。动态规划凸分析增长率基础的、确定性的、可区分的增长率随机的、不可观察的增长率（可能与排名相关）噪声成分确定性的、可区分的波动性与布朗噪声（甚至L）鞅噪声（可能与随机波动性）的基准是X中的马尔可夫基准，不同的地图基准是F-适应惩罚矩阵确定性惩罚权重矩阵到快速惩罚权重矩阵偏好参数恒定主观偏好参数到快速主观偏好参数（如财富相关）表1：使用凸分析方法而非动态规划方法实现的概化总结。3.2. 投影解决控制问题（3.3），我们遵循Casgrain和Jaimungal（2018a）中的论点。第一步是将资产价格动态预测到可观察的过滤F上，这使我们能够仅根据可观察的过程重写绩效标准（3.6）。为此，我们首先定义了条件期望过程bγ=（bγt）t≥0以便bγt：=E[γt | Ft]。该过程代表了投资者对资产增长率的最佳估计，给出了截至给定时间点的所有资产价格信息。同样，我们定义了一个过程b∑=（b∑t）t≥0对应于不可观测的二次协变量在同一过滤上的投影，因此b∑t：=E∑t | Ft。提案3。无论实施假设1的哪一部分，估计的增长率过程bγ都与bγ相适应∈ 五十、 此外，估计的二次协变量过程b∑isF适应并满足：εkxk≤ x | b∑tx≤ 对于某些ε>0和C<∞ 对于所有x∈ R和t≥ 0.证明。

假设2意味着∑的所有条目都是有界的（见Al Aradi和Jaimungal（2018）的附录A），因此，条件期望B∑定义明确、有界且适应F。这也意味着需要涉及B∑的不等式。为了证明关于bγ的陈述，首先，在假设1的任一条件下，我们有E[|γt |]<∞ 对于所有t，因此E[γt | Ft]存在，并且是唯一的和可积的（见Durrett（2010），引理5.1.1）。此外，通过对条件期望的定义，E[γt | Ft]对于所有t≥ 接下来，假设实施假设1（a），那么γ∈ 五十、 即γi∈ l对于每个i。通过与上述相同的推理，这意味着E[（γit）| Ft]存在、唯一且可积。条件期望的ByJensen不等式（Durrett（2010）定理5.1.3）Eγit英尺≤ E（γit）英尺==> 呃Eγit英尺我≤ EE（γit）英尺==> E（bγit）≤ E（γit）< ∞因为这对每个i都是真的，所以bγ∈ 五十、 最后，假设假设假设1（b），那么γ∈ L∞, M、 那么我们有γ∈ 五十、 结论如下。该预测可根据投资者的过滤进行衡量，因此可用于构建其投资组合。引理1。创新过程，cM=cMt公司t型≥0，由CMT定义：=log Xt-Ztbγsds（3.7）是具有cm的F-适应鞅∈ 五十、 此外，资产动态满足F适应过程的SDE，如下D log Xt=bγtdt+dcMt。（3.8）证明。见附录A.1.3.3。通过凸分析优化性能标准（3.6）可以根据预测过程编写，因此h（π）=EZTnζbγπt- bγρt-ζt（πt- ηt）|Ohmt（πt- ηt）-ζtπ| tQtπtodt式中，γ和∑替换为其条件预期bγ和b∑，其中bγπ是组合π的预计增长率，定义类似于位置2中给出的组合增长率。

这个替换是由引理1和事实证明的，即我们有E[∑t]=E[E[∑t | Ft]]=E[b∑t]和类似的E[diag（∑t）]=E[diag（b∑t）]。按照Al Aradi和Jaimungal（2018）的命题2证明中的步骤，性能标准可以写成以下线性二次型：H（π）=EZT公司-π| tAtπt+π| tBtdt公司- EZT公司ζbγρt-ζtη| tOhmtηtdt公司式中，At=ζb∑t+ζtOhmt+ζtQtBt=ζbγt+诊断（b∑t）+ ζtOhmtηtAs第二个期望值不依赖于控制，可以在优化中省略。可以方便地确定资产的瞬时收益率过程α=（αt）t≥0由αt给出：=γt+diag（∑t），（3.9）及其预测对手bαt=bγt+diag（b∑t）。利用这一点，我们可以编写旨在优化asH（π）=E的性能基准ZT公司-π| tAtπt+π| tBtdt公司, （3.10a）其中t=ζb∑t+ζtOhmt+ζtQt（3.10b）Bt=ζbαt+ζtOhmtηt（3.10c）接下来，我们将（无约束）搜索空间设置为beA=π : Ohm ×【0，T】→ Rn，π∈ 五十、 F-适应.这形成了一个范数为kπkL的反射Banach空间=EhRTkπtkdti1/2-见Stein和Shakarchi（2011）的定理1.3和定理4.1。我们希望优化的可容许集（可容许投资组合集Ac）是投资组合定义为有界或公正的a的子集。让A*是对偶空间，设h·，·i表示A×A上的正则双线性对*, i、 e.hu，u*i=u*（u） 。性能标准（3.10）可以看作是将元素从a映射到实数的函数，即H:a→ R、 以下命题确保了我们稍后提出的候选最优控制确实是最优的。提案4。功能性H:A→ （3.10）给出的R是适当的，上半连续的，严格凹的。证据

见附录A.2。接下来的步骤是（i）计算与函数lh相关的G^ateaux微分，（ii）在容许集中找到一个使其消失的元素，以及（iii）使用目标函数的严格凹性得出该元素是全局最大化子的结论。欲了解更多详情，请参阅Ekeland和T'emam（1999）的前两章。提案5。功能性H:A→ R是G^ateaux，可区分为所有π，π∈ A带G^ateauxdi微分H（π）∈ A.*由Heπ给出，H（π）i=E中兴通讯π| t[-在πt+Bt]dt时（3.11）证明。见附录A.3。最后，我们给出了我们的主要结果，给出了随机控制问题（3.3）的最优控制形式。定理1。π给出的投资组合*t=A-1吨1.- 1 | A-1tBt | A-1t1+Bt, （3.12a）式中t=ζb∑t+ζtOhmt+ζtQt，且Bt=ζbαt+ζtOhmtηt.（3.12b）是随机控制问题（3.3）的唯一解。证据见附录A.4。上述定理给出的最优投资组合类似于Al Aradi和Jaimungal（2018）中的解决方案，但不可观测的增长率γ和二次协变量矩阵∑被其预测的对应方bγ和b∑所取代。此外，我们可以将此最优解与增长最优投资组合（GOP）和最小二次方差投资组合（MQP）联系起来。回顾一下：GOP是在任何时间范围内具有最大预期增长的投资组合，而MQP是在投资范围内所有投资组合中具有最小二次变化的投资组合。形式上，GOP和MQP是优化问题πGOP=arg supπ的解决方案∈王牌日志ZπTZπ和（3.13）πMQP=arg infπ∈王牌ZTπ| t∑tπtdt, （3.14）。推论1。增长最优投资组合由πGOPt给出=1.- 1 | b∑-1tbαtπMQPt+b∑-1tbαt.（3.15），其中πmqpi是最小二次变化组合，由以下公式给出：πMQPt=| b∑-1tb∑-1t1。（3.16）证明。

使用定理1中给出的最优控制，ζ=ζ=0，Q=∑以获得MQP，ζ=ζ=0以获得GOP。接下来，我们将展示如何将最优投资组合拆分为子投资组合，以及如何将其编写为修改后的资产价格模型的增长最优投资组合。推论2。什么时候Ohmt=Qt=∑t（最小化相对和绝对风险），orem 1中的最优投资组合可以表示为π*t=ctπGOPt+ctηt+ctπMQPt，其中cit=ζitζ+ζt+ζt≥ 0表示i=1、2、3，以便ct+ct+ct=1。证据随后，将Al Aradi和Jaimungal（2018）附录A.3中的证明与当前设置相适应。推论3。最优投资组合π*是具有修正（预测）回报率过程α的市场的最佳增长投资组合*和修正的二次协变矩阵∑*给出人：bα*t=ζtbαt+ζt∑tηt（3.17a）∑*t=ζt∑t+ζtOhmt+ζtQt（3.17b）证明。将定理1中的最优投资组合与推论1中的增长最优投资组合的形式进行直接比较，得出结论。对最后两个结果的几点评论：1。当投资者希望最小化相对和绝对风险时，他们的最佳策略是投资于GOP、MQP和跟踪基准。其想法是通过分别投资MQP和跟踪基准，从共和党的预期增长率中获益，同时调节其高水平的绝对风险和主动风险。比例由投资者对表现优异、跟踪和绝对风险的相对重要性决定，如ζ所示，并可能随时间随机变化。还请注意，最佳解决方案不依赖于性能基准ρ，而是短视的，即独立于投资期限T。这是意料之中的，因为共和党可以在任何时间范围内实现预期增长的最大化。2、绝对惩罚条款迫使最优策略转向byQ“收缩”投资组合-1tQ-1t1。