具有潜在因素的主动和被动投资组合管理

当Q是对角矩阵Qt=diag（wt，…，wnt），则Q-1t=诊断wt。。。，wnt公司. 由此，我们可以看出，绝对惩罚条款迫使我们收缩到与wt。。。，wnt公司; 当Wii大1/Wii小且收缩投资组合向资产i分配的资本较少时，这可用于远离不受欢迎的资产；获取wi→ ∞ 强制资产i中的分配为零。此外，在任何资产中，取Q=I会通过收缩到等权重投资组合来惩罚大量头寸，而设置wi=σii会迫使收缩到风险平价投资组合。第二个推论意味着投资者正在修改资产的回报率，以使其回归那些与其试图追踪的投资组合更密切相关的资产。这是因为ζ∑tη这一项是一个向量，由每项资产和与跟踪基准η相关的财富过程之间的二次协变量组成，即hlog Xi，log Zηi。此外，如果我们考虑qt是对角矩阵的情况，根据Qt的相应对角线条目，对协方差矩阵的修改相当于增加每个资产的方差。这反过来会降低某些资产的可信性，并与前一点中讨论的远离这些资产的概念相联系。以上几点突出了两次连续罚分的动机。原则上，当投资者的目标仅仅是跑赢一个业绩基准时，他们会让共和党最大化他们的预期增长。然而，有充分的证据表明，GOP与非常大的风险水平（就投资组合差异而言）以及许多资产中潜在的巨大短期头寸有关。添加相对和绝对惩罚条款可以缓解部分风险。

还值得注意的是，推论3（ii）和（iii）中的分解有助于指导主观参数ζi的选择，该参数可用于表示投资者希望在GOP、跟踪基准和MQP中放置的财富比例。4、隐马尔可夫模型上述模型非常通用，但如果没有条件期望bγ和b∑的显式形式，则无法实现。在本节中，我们计算了隐马尔可夫模型的这些条件期望，其中增长率根据一个潜在的马尔可夫链在多个可能的常数区间之间切换。更具体地说，让我们=Wt=（Wt，…，Wkt）|t型≥0为标准k维维纳过程，设Θ=（Θt）t≥0状态空间m={1，2，…，m}和生成器矩阵G的不可观测连续时间马尔可夫链。接下来，假设资产价格满足SDEd对数Xt=γ（Θt）dt+ξdWt，（4.1），其中γ（j）∈ Rn对于j=1。。。，m和ξ是灵敏度的常数矩阵。这里，增长率都是有界的，噪声分量是平方可积鞅。备注5。为了稳定估计过程，我们选择ξ与时间无关。此外，ξ不能以与增长率相同的方式依赖马尔可夫链（即根据马尔可夫链的普遍状态在固定矩阵的数量之间切换），否则马尔可夫链变得可观察，并且不存在过滤问题；见Krishnamurthy等人（2016）。如果∑=ξξ|是一个满足假设2的常数矩阵，则上述市场模型满足本文前面描述的要求，最优投资组合由（3.12）给出。这里，b∑t=所有t的∑。仍然需要计算bγt的显式形式。

该过滤步骤涉及在目前所有可观察信息的情况下，对马尔可夫链的当前状态进行后验分布，即我们对计算P（t | Ft）感兴趣。首先，让投资者对马尔可夫链初始状态的先验分布表示为dpj：=P（Θ=j） j∈ M、 接下来，我们根据可观测数据aspjt=E，确定了底层马尔可夫链状态的后验分布{Θt=j}英尺,  j∈ M（4.2）下面的引理允许我们根据非规范化状态变量写出后验概率。引理2。设λ=（λt）t∈[0，T]是满足Novikov条件的F-适应过程经验值ZTkλtkdt< ∞ ,定义：1。通过Radon-Nikodym-derivativedePdP=exp的概率测量-ZTλ| t-载重吨-ZTλ| t-λt-dt公司.2、随机过程Υ=（Υt）t≥0Υt=EdPdeP公司英尺= 经验值Ztλ| t-载重吨-Ztλ| t-λt-dt公司.然后，后验概率过程pjt可以写成：pjt=PjtPi∈MPit， j∈ M，（4.3），其中Pjt=EeP{Θt=j}Υt英尺.证据见附录B.1。本节的主要定理给出了控制后概率动力学的SDE系统。定理2。状态变量{Pj}j∈M满足以下随机微分方程：dPjt=Xi∈MPit-Gjidt+Pjt-γ（j）|Σ-1d log Xt，（4.4），初始条件Pj=pjandγ（j）=γ（j）。。。，γ（j）n|.证据见附录B.2。在续集中，我们使用向量表示法pt=（pt，…，pmt）|和pt=（pt，…，pmt）|。注：p=（pt）t≥0和P=（Pt）t≥0都是F适应的随机过程。利用上述结果，我们得出了预计资产增长率的最终形式asbγt=mXj=1pjtγ（j）。（4.5）在该模型中，最优投资组合（3.12）是对应于马尔可夫链每个状态的最优投资组合的加权平均数。

特别是，如果马尔可夫链始终保持在相应的状态，并且权重由投资者在给定状态下的后验概率给出，则依赖于状态的投资组合是最优解。换句话说，投资组合（3.12）是各州最优投资组合的后验均值。这一问题总结如下。推论4。对于资产价格动态的HMM模型（4.1），最优投资组合（3.12）可以写成π*t=Xi∈Mpitπ（i）t，其中π（i）t=A-1t“1- 1 | A-1tB（i）t | A-1t1+B（i）t#，At=ζ∑+ζtOhmt+ζtQt，B（i）t=ζγ（i）+ζt∑ηt。是控制问题（3.3）的解决方案，假设马尔可夫链状态空间为S={i}。证据结果如下所示，这是最优控制相对于推断生长率bγ的线性结果。明确地说，我们有mXi=1pitπ（i）t=mXi=1pitA-1t“1+1 | A-1tB（i）t | A-1t1- B（i）t#=A-1tmXi=1pit“1+1 | A-1tB（i）t | A-1t1- B（i）t#=A-1t“1+1 | A-1tPmi=1ITB（i）t | A-1t1-mXi=1pib（i）t#现在，mXi=1pib（i）t=mXi=1pithζtγ（i）t+ζt∑ηti=ζtbγt+ζt∑ηt=bt将此和替换到前面的表达式中即可完成证明。5、实现在本节中，我们在一系列样本外测试中测试最优投资组合的性能。在进行这些测试之前，我们首先推导出OREM 2中给出的滤波器的离散化版本，并概述了从数据中估计HMM参数的过程。此后，我们将处理每日数据，并确定时间增量为t=。5.1. 数据数据包括1970年1月至2017年12月期间12个行业（非耐用品、耐用品、制造业、能源、化学品、商业设备、电信、公用事业、商店、健康、货币和其他）的每日回报（含股息）。我们构建行业投资组合的方法是，根据当时的SIC代码，将每个股票分配给上面列出的12个分组中的一个。

由此产生的行业构成了我们的市场，即我们的市场由12项资产组成，这些资产就是行业本身。我们使用行业回报而非个别证券来避免因个别公司进入和退出市场而导致的不同投资组合所产生的困难。此外，限制为12项资产使参数估计步骤更易于管理；随着资产数量的增加，参数估计，尤其是增长率的估计变得不那么可靠。5.2. 模型离散化为了继续实施定理2中的过滤器，我们首先离散SDE系统（4.4）。Euler-Maruyama方法的简单应用不会产生可接受的结果，因为不稳定问题会导致实施过程中的流量不足。因此，我们推导了一种非归一化后验概率的交替离散化方案：P（t+t） =eGtm×mPtY（t，t+t） 。。。PmtYm（t，t+t）m×1（5.1），其中Yj（t，t+t） =扩展-γ（j）|∑-1γ（j）t+γ（j）|∑-1日志Xt公司+tXt文件o、 在上面的最后一行中，比率+tXtis元素。我们将该模式的完整推导推迟到附录C。模型离散化的另一个方面包括为agiven转移概率矩阵找到最近的生成矩阵。如下一节所示，我们的估计过程产生了一个转移概率矩阵Z，它控制离散时间内的转移，而不是连续时间生成器矩阵G。这是时间离散化的结果。然而，最优投资组合需要生成器矩阵，该矩阵通过Z=eG与离散时间转移概率矩阵无关t。

人们试图用矩阵对数从Z中得到G。然而，这有时会产生一个复杂的矩阵，它的条目对于我们的目的是不可用的，需要一个替代的过程，这是信贷迁移问题中的一个众所周知的问题。我们选择使用估计的生成器矩阵G*作为概率转移矩阵g的Frobenius范数最小化的范数*= arg明Z- 如t型. (5.2)5.2.1. 参数估计和模型选择HMM市场模型（4.1）的参数集包括j=1，…，每个状态γ（j）的恒定增长率。。。，m、 共享协方差矩阵∑和生成器矩阵G。Wee使用最大似然估计估计这些参数，并且由于我们的模型包含潜在信息，因此需要使用Baum等人（1970）的期望最大化（EM）算法（更多详细信息，另请参见Bishop（2006））。我们的模型包含来自最新状态的高斯发射，因此我们获得了Baum-Welch（前向-后向）算法的明确更新规则（详情请参见附录D）。EM算法使用不同的初始值重复多次，MLE被视为所有EMRun中可能性最大的参数集。每次运行的初始化基于估计一个独立的混合模型（没有潜在的马尔可夫链组件）。如上所述，估计算法生成离散时间观测的转移概率矩阵。然后使用（5.2）将该矩阵转换为生成器矩阵。可以使用不需要假定离散时间步长的替代估计方法，如Hahn等人（2010）中概述的MCMC basedapproach。图2、图3和表2显示了2010年至2015年五年期间12个行业粒度级别的估计结果。

结果表明，使用该方法估计参数的一般模式总结如下：1。由于州数为奇数，中间州（按平均日增长率排序）所有资产的正预期回报率都很低（在2到12个基点之间）。这接近总体样本平均值，表明这是市场的“正常”状态。正常状态下的预期逗留时间（马尔可夫链进入状态后在该状态下花费的时间）约为60天。中间州两边的州一次访问时间很短（平均约1天），整个市场的回报大多为正或负。因此，它们可以被视为市场的“好”或“坏”状态。使用Viterbialgorithm获得的最可能路径也支持这一点。马尔可夫链在特定时间段内的高活性水平，包括在极端状态之间的切换，表明了一种波动聚集和短期反转的形式。4.

改变估计周期或将模型中的状态数改变为另一个奇数，可以定性地得到类似的结果。2011 2012 2013 2014 201512345Apr-10 Jul-10 Oct-1012345Oct-11 Jan-1212345图3：根据维特比算法（上图）和马尔可夫链路径，2010年（左下）和2011年（右下）高活动期的潜在因素最可能路径分别由红色和黑色部分高亮显示。州各行业平均每日增长率州内消费天数州内消费天数百分比预计逗留时间非常糟糕-250个基点44 3%1天糟糕-25个基点28 2%1天正常7个基点1305 86%60天良好10个基点89 6%1天非常好210个基点44 3%1天表2：基于对2010-2015年期间数据应用EM算法的HMM估计结果；每个州花费的天数的估计基于维特比算法。估计的一个困难是假设状态数已知，但估计状态数是一个非常重要的问题。确定状态数的似然比测试，是因为在无效假设下，替代方案缺乏识别能力，导致经典卡方理论失败，更多详情请参见Gassiat和Keribin（2000）以及Gassiat（2002）。为了避免这个问题，我们参考了Celeux和Durand（2008），他们比较了各种基于可能性的方法来选择隐藏状态的数量。他们将著名的Akaike信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）选择准则与Biernacki等人（2000）的综合完全似然（ICL）方法以及他们论文中开发的奇偶半抽样（OEHS）技术进行了比较。

感兴趣的读者可以参考塞莱克斯和杜兰德（2008）对这些主题进行更深入的讨论。为了选择州数，我们计算了从1970-1975年到2012-2017年的滚动5年期间的四个指标AIC、BIC、ICL和OEHS。对于每个5年期间，将根据1到11个州的州数计算指标。然后为该时段选择具有最高度量的状态。图4绘制了每个模拟周期的选定状态数，图5绘制了所有周期的结果分布。5.3. 最优投资组合绩效在这里，我们展示了我们的主要回溯测试结果。回溯测试是样本外测试：他们使用前5年进行参数估计，并在随后的一年实施最优投资组合。该程序在每月滚动的基础上重复，即第一次回测使用1970年1月至1974年12月的数据和1975年1月至1975年12月的投资数据进行估算，然后第二次回测使用1970年2月至1975年1月的数据和1975年2月至1976年1月的投资数据进行估算，等。在数据可用的期间内，对总共505个样本回溯测试中的所有可用数据重复此操作。对于参数估计，我们选择由ICL模型选择度量给出的隐藏状态数（我们还将在后面的部分中评估此选择的稳健性）。

对于实施（投资），我们计算带有惩罚的最优投资组合Ohm = ∑和Q=I（最小化主动风险并向等权重投资组合倾斜），并使用1970年、1975年、1980年、1985年、1990年、1995年、2000年、2005年、2010246810年的等权重投资组合。图4：根据每个5年估计期的不同模型选择指标，首选州数；虚线表示每个分发的模式（根据度量，在整个时间段内最首选的状态）。AIC BIC ICL OEHS246810图5：根据滚动5年估计期的不同模型选择指标，优选隐藏状态数的箱线图；蓝色圆点表示每个分布的模式（根据度量，最优先的状态）。跑赢大市和跟踪基准。众所周知，该投资组合的表现优于marketportfolio，因此构成了一个更难超越的基准。通过搜索与5%的目标主动风险尽可能接近的ζ，为每个回溯测试确定不同的主观偏好参数ζ。更具体地说，我们使用之前的5年数据（用于模型参数估计）以及同一时期的估计模型参数来搜索ζ向量，该向量导致投资组合的主动风险水平接近预期水平。然后固定该ζ向量，并将其应用于回测的样本外部分。该程序不能保证后续1年投资期内的主动风险与目标相符，但它确实为根据投资者在投资时的信息选择偏好参数提供了依据。总之，我们的回溯测试包括以下步骤：1。使用ICL选定的5年数据和国家数量估算模型参数。2.