具有潜在因素的主动和被动投资组合管理

将一阶条件应用于每个γ（j）和∑，我们得到了更新规则γ（j）=PNn=1a（Θnj）xnPNn=1a（Θnj），对于j∈ M∑=NNXn=1mXk=1a（Θnk）xn公司- γ（k）xn公司- γ（k）|,Zjk=PNn=1b（Θn-1，j，Θnk）PNn=1Pmk=1b（Θn-1，j，Θnk）表示j，k∈ 对于k，Mpk=a（Θ1k）Pmk=1a（Θ1k）∈ 这是通常高斯情形到共享协方差情形的简单扩展。1、计算每个状态k下的高斯发射密度φkn=φ（xn |γ（k），∑）∈ M和每个时间步n∈ T、 2。计算alpha函数（正向算法）：（a）初始化：αk=pkφkfork∈ M（b）设置n=2。（c） 在每个时间步更新：eαkn=φknPmj=1Z | kjαjn-1（d）计算归一化常数：Cn=Pmk=1eαkn（e）归一化α值：αkn=eαknCn（f）Set n→ n+1，如果n≤ N转至步骤（c）。3、计算β函数（反向算法）：（a）初始化：k的βkN=1∈ M（b）集合n=n- 1.（c）在每个时间步更新：βkn=Cn+1Pmj=1Zkjβjn+1φkn+1（d）Set n→ n+1，如果n≥ 0转至步骤（c）。4、计算所有n的a和b∈ T和j，k∈ M： a（Θnk）=αknβknPmj=1αjnβjnb（Θn-1，j，Θnk）=αjn-1ZjkφknβknPmi，l=1αin-1Zilφlnβln图9：EM算法E步的前向-后向算法。ReferencesAl Aradi，A.和S.Jaimungal（2018年）。跑赢大市和跟踪：主动和被动投资组合管理的动态资产配置。应用数学金融，即将出版。Ang，A.、D.Papanikolaou和M.M.Westerfield（2014年）。非流动资产的投资组合选择。《管理科学》60（11），2737–2761。Bank，P.、H.M.Soner和M.Voss（2017年）。具有临时价格影响的对冲。《数学与金融经济学》11（2），215–239。B–auerle，N.和U.Rieder（2007年）。具有跳跃和不可观测强度过程的投资组合优化。数学金融17（2），205–224。Baum，L.E.、T.Petrie、G.Soules和N.Weiss（1970年）。在马尔可夫链概率函数的统计分析中出现的一种最大化技术。

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