泊松条件下的Leland-Toft最优资本结构模型

用Fubini定理替换，Z（r）（x；Φ（r+λ））=eΦ（r+λ）x1.- λZxe-Φ（r+λ）zhΦ（r）eΦ（r）z-Z∞e-ztu（r）（dt）idz= eΦ（r+λ）x1- λhΦ（r）1- e-（Φ（r+λ）-Φ（r））xΦ（r+λ）- Φ（r）-Z∞Zxe公司-z（t+Φ（r+λ））dzu（r）（dt）i！=eΦ（r+λ）x- λhΦ（r）eΦ（r+λ）x- eΦ（r）xΦ（r+λ）- Φ（r）-Z∞eΦ（r+λ）x- e-txt+Φ（r+λ）u（r）（dt）i。现在，将（3.5）中的上述表达式替换为h（r）（x；Φ（r+λ））=Z（r）（x；Φ（r+λ））-λΦ（r+λ）- Φ（r）W（r）（x）=eΦ（r+λ）x- λhΦ（r）eΦ（r+λ）x- eΦ（r）xΦ（r+λ）- Φ（r）-Z∞eΦ（r+λ）x- e-xtt+Φ（r+λ）u（r）（dt）i-λΦ（r+λ）- Φ（r）hΦ（r）eΦ（r）x-Z∞e-txu（r）（dt）i=eΦ（r+λ）xA+B（x），其中：=1-λΦ（r）Φ（r+λ）- Φ（r）+Z∞λt+Φ（r+λ）u（r）（dt），B（x）：=λZ∞e-xt公司Φ（r+λ）- Φ（r）-t+Φ（r+λ）u（r）（dt）。因为limx→∞B（x）=0，通过单调收敛和limx→∞H（r）（x；Φ（r+λ））=0根据概率表达式（3.5），我们必须使A=0。因此，H（r）（x；Φ（r+λ））=B（x）及其导数变为xH（r）（x；Φ（r+λ））=B（x）=-λZ∞te公司-xt公司Φ（r+λ）- Φ（r）-t+Φ（r+λ）u（r）（dt）<0，其中负性保持不变，因为Φ（r+λ）>Φ（r）>0，因此被积函数始终为正。这表明了这一主张。现在假设VT=0，使V（V；VB，P）=V+E“ZT-VBe-rtPκρdt#- αEe-rT公司-VBVT-VB{T-VB<∞}.泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型15由命题3.1和恒等式（4.2）确定，最优障碍V*对于情况V，B（P）由E（VB；VB，P）=0的根给出*B（P）>0，其中e（VB；VB，P）=VB+Pκρr（1- J（r，λ）（0；0））- αVBJ（r，λ）（0；1）-Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））- (1 - α） VBJ（r+m，λ）（0；1）。（5.2）回想一下，通过（4.3）和p=mP，V*B（P）=0<==> limVB↓0E（VB；VB，P）≥ 0<==>κρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-ρ+mλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）≥ 0，它不取决于P的值。

因此，V的标准*B（P）=0与P的选择无关。（1） 首先考虑情况κρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-ρ+mλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）≥ 0以便V*B（P）=0，对于P>0的任何选择。在这种情况下，V（V；V*B（P，P）=V（V；0，P）=V+Pκρr，这在P中是线性的（因此是凹的）。（2） 假设κρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-ρ+mλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）<0，以便V*B（P）>0与P的选择无关。因为p=p m，通过求解E（VB；VB，p）=0和（5.2），V*B（P）=-Pκρr（1- J（r，λ）（0；0））-Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））1- αJ（r，λ）（0；1）- (1 - α） J（r+m，λ）（0；1）=εP，其中ε：=-κρr（1- J（r，λ）（0；0））-ρ+mr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））1- αJ（r，λ）（0；1）- (1 - α） J（r+m，λ）（0；1）>0。现在，如（3.10）和命题3.1所示，企业价值由V（V；V）给出*B（P），P）=V+Pκρr1.- J（r，λ）logVV*B（P）；0- αV*B（P）J（r，λ）logVV*B（P）；1.= V+Pκρr1.- J（r，λ）logVεP；0- αεPJ（r，λ）logVεP；1..区分上述表达式并使用引理C.1和C.2（在附录中），我们得到PV（V；V*B（P），P）=κρr1.- J（r，λ）logVεP；0-κρλ+rΦ（r+λ）- Φ（r）Φ（r）Φ（r+λ）H（r）logVεP；Φ（r+λ）- αεψ(1) - rλ+r- ψ（1）Φ（r+λ）- Φ（r）1- Φ（r）（Φ（r+λ）- 1） H（r）logVεP；Φ（r+λ）.（5.3）这里通过ψ在[0]上的凸性，∞), 系数ψ（1）-rλ+r-ψ（1）Φ（r+λ）-Φ（r）1-Φ（r）（Φ（r+λ）- 1） 是积极的。首先，映射x 7→ J（r，λ）（x；0）=Ex[e-rT-{T-<∞}] = E【E】-rT--x{T--x个<∞}] 正在减少，因为▄T--xis在x中增加。另一方面，引理5.1表明映射x 7→ H（r）（x；Φ（r+λ））也在减小。16 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.Yamazaki利用这些事实和（5.3）我们可以得出结论PV（V；V*B（P），P）在P中减少，因此企业价值V（V；V*B（P），P）是P的凹函数。总之，我们有以下几点。定理5.1。

假设VT=0，满足假设5.1。（1）如果κρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-ρ+mλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）≥ 0，然后V*B（P）=0，对于所有P>0，我们有V（V；V*B（P，P）=V+Pκρr.（2），否则，V*B（P）=εP>0，对于所有P>0和V（V；V*当V＞0.6时，B（P），P）在P中是凹的。数值示例在本节中，我们通过一系列数值示例证实了前面几节中获得的分析结果。此外，我们还数值研究了观察率λ对最优解的影响，通过考虑（5.1）中考虑的两阶段问题获得了最优杠杆率，并分析了信用利差的行为。在本节中，我们使用r=7.5%、δ=7%、κ=35%、α=50%作为[29、38、39、40]中所述问题的参数。此外，除非另有说明，否则我们设定ρ=8.162%，m=0.2，这在[20]中使用，P=50，λ=4（平均每年四次）。对于税收阈值，我们设置vt=Pρ/δ（6.1），如【38】所述，也如【29，40】所示。根据选择（6.1），必须VT>0，因此V*B> 0如第4.1节所述。对于过程（Xt）t≥0，我们使用布朗运动和具有i.i.d.超指数跳跃的复合泊松过程的混合物：Xt=ut+σBt-PNti=1Ui，t≥ 0，其中（Bt）t≥0是标准布朗运动，（Nt）t≥0是强度为γ和（Ui）i的泊松过程≥1采用概率为1的指数随机变量，速率βi>0≤ 我≤ m、 这样PMI=1pi=1。注意，这满足假设5.1中给出的完全单调条件。相应的拉普拉斯指数（3.1）则变为ψ（s）=us+σs+γmXi=1piβiβi+s- 1., s≥ 这是相位型L'evy过程[4]的特例，其标度函数有一个显式表达式，写为指数函数之和；参见例如[25，35]。

特别是，我们考虑以下两个参数集：情况A（无跳跃）：：σ=0.2，u=-0.015, γ = 0;情况B（有跳跃）：：σ=0.2，u=0.055，γ=0.5，（p，p）=（0.9，0.1），和（β，β）=（9，1）。这里，选择u以使鞅性质ψ（1）=r- 满足δ=0.005。在案例B中，跳跃大小UModel包括小跳跃和大跳跃（参数9和1），概率分别为0.9和0.1。6.1. 最优性。在上述参数设置下，我们首先确认建议屏障V的最优性*B满足E（V*B五、*B） =0。因为映射VB7→ E（VB；VB）（在（4.2）中给出）是单调递增的（见命题4.1），V的值*Bis由经典的二分法计算。相应的资本结构由（3.10）和（3.11）计算得出。在图3的顶部，对于案例A和B，我们绘制了V 7→ E（V；V*B） 以及V 7→ E（V；VB）表示VB6=V*B、 在此，我们确认定理4.1：V级*B说明了有限责任约束（2.8），以及在泊松观测值小于17 V的情况下，LELAND-TOFT最优资本结构模型的任何级别*Bviolates（2.8），而vb大于V*B、 E（V；VB）以E（V；V）为主*B） 。图3.6.2还绘制了相应的债务和公司价值。λ对权益价值的敏感性。我们现在开始研究最优破产壁垒和股权价值对观察率λ的敏感性。在图4的左图中，我们展示了股权价值E（·；V*B） 对于λ的各种值以及经典（连续观测）情况，如【29，38】所述。我们看到最佳势垒V*Bis在λ中递减，并收敛到经典情况下的最佳势垒，如VB。

这证实了备注4.1。我们还证实了E（V；V）的收敛性*B） ，对于每个起始值V，与经典情况相比，例如▄E（V；▄VB）。另一方面，E（V；V）的单调性*B） 关于λ失效。当V很小时，λ值越小，权益价值越高，但V值越大，权益价值不一定越高。为了研究这一点，我们在图4的底图中显示了差值E（V；V*（B）-E（V；▄VB）。我们还观察到案例A和案例B之间的差异——在案例A中，当V较大时，λ的较低值明显达到较高的权益价值，而在案例B.6.3中，这一点并不明确。分析破产时间和破产时的资产价值。虽然已证实势垒为V级*λ中的双单调，不清楚（T）的分布-五、*B、 VT公司-五、*B） λ的变化。这里，利用联合拉普拉斯变换（q，θ）7的优点→ J（q，λ）（·；θ）如（3.7）所示，我们数值计算了随机变量T的密度和分布-五、*波段VT-五、*b对于每个λ。我们还通过反转（q，θ）7得到了经典情况下的结果→ H（q）（·；θ）如（3.5）所示。对于拉普拉斯反演，我们采用Gaver Stehfest算法，Kou和Wang[32]建议使用该算法（其收敛结果也见Kuznetsov[36]）。该算法易于实现，只需要实值。虽然一个主要挑战是处理涉及大量数据的案例，但我们的案例可以在标准Matlab环境中以双精度轻松处理。在我们的例子中，尺度函数W（q）用eΦ（q）x和e的线性和表示-ξi，qx，1≤ 我≤ n（情况A中n=1，情况B中n=3），其中Φ（q）如（3.2）所示，且-ξi，qareψ（·）=q的负根。

在引理5.1的证明中，eΦ（q）x的项在拉普拉斯变换J（q，λ）（·；θ）和H（q）（·；θ）中相互抵消。因此，即使q值很高，该算法也无需处理大量数据。参数θ也是如此。对于初始值V=100，我们在图5中绘制了T的密度和分布函数-五、*图6中的波段用于VT-五、*B对于图4中使用的相同参数集（请注意，V的值*b依赖于λ）。为了进行比较，在经典情况下（通过反转q，θ7计算→ 还绘制了H（q）（对数V；θ））。值得注意的是，在图6中，分布不是纯扩散的，而是事件发生的概率VT-五、*B=V*B严格肯定。特别是，对于案例A，VT-五、*B=V*文学士。s、 至少在我们的例子中，分布函数-五、*bapper在λ中是单调的，而它们不适用于VT-五、*B、 6.4。两阶段问题。现在我们考虑两阶段问题（5.1）。回想一下，如定理5.1所证实的，固定值V（V；V*对于VT=0的情况，B（P），P）在P中是凹的。这里，为了观察当VT>0时凹度是否成立，我们继续使用税收截止水平VTby（6.1）作为P的函数。18 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.Yamazaki案例A：股权价值V 7→ E（V；VB）案例B：股权价值V 7→ E（V；VB）案例A：债务价值V 7→ D（V；VB）案例B：债务价值V 7→ D（V；VB）案例A：固定值V 7→ V（V；VB）案例B：固定值V 7→ V（V；VB）图3。权益/债务/公司价值作为V on（VB，∞) 对于VB=V*B（实心）和VB=V*Bexp() （虚线）用于 = -0.5, -0.4, . . . , -0.1, 0.1, 0.2, . . . , 0.5. V=V的值由V=V的圆圈表示*B其中VB<V*B（分别为VB>V*B） 表示为up（分别为。

向下）-指向三角形。泊松观测下的LELAND-TOFT最优资本结构模型19案例A：V 7→ E（V；V*B） 案例B：V 7→ E（V；V*B） 案例A：V 7→ E（V；V*（B）-E（V；VB）情况B：V 7→ E（V；V*（B）-E（V；▄VB）图4。（顶部）权益价值E（V；V*B） （虚线）对于λ=1、2、4、6、12、52、365以及经典情况▄E（V；▄VB）（实心）。V=V时的相应值*用圆圈表示。（底部）差值E（V；V*（B）-对于同一组λ，E（V；~VB）。对于我们的数值结果，我们将V设为100，得到V*b对于从0到100运行的P（利用从0到1的P/V运行）。计算每个P和V对应的公司和债务价值*B=V*B（P），如图7所示。为了进行比较，还绘制了经典情况下的类似结果。这里，在所有考虑的情况下，都证实了P的凹度。关于λ的分析，至少在这些例子中，我们观察到每个P的公司和债务价值在λ中是单调的，并且收敛于经典情况下的值。此外，我们还可以看到，最佳面值P*λ减小并收敛到经典情况下的值。6.5. 信贷息差的期限结构。我们现在开始分析信贷利差。让VB>0成为固定的破产级别。信贷息差定义为票面金额超过无风险利率的部分，这是诱导投资者向公司贷款一美元直至到期时间t所需的。更准确地说，通过计算票面利率ρ*这使得单位面值（2.4）中定义的债务d（V；VB，t）的价值等于20 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKICase A:P（t-五、*B∈ dt）/dt案例B：P（T）-五、*B∈ dt）/dt情况A：P（T-五、*B≤ t） 案例B：P（t-五、*B≤ t） 图5：。

密度P（T-五、*B∈ dt）/dt和分布P（T-五、*B≤ t） （用点划线表示）对于λ=1、2、4、6、12、52、365，初始值V=100，和V*b如图4所示。经典情况也用实线表示。这些值是根据时间的对数绘制的。其中，信贷利差ρ*- r是在（2.4）byCSλ（t）=rPEh重新排列后给出的P- (1 - α） VTV-Be-rT公司-VB{T-VB≤t} iE1.- e-r（t∧T-VB）.（6.2）在显示数值结果之前，我们证明了以下分析极限。证明推迟到附录C.6和C.7。提案6.1。对于V 6=VB，我们有限制↓0CSλ（t）=λPP- (1 - α） 五{V<VB}。让CS（t）表示Hilberink和Rogers[29]中描述的经典情况下的信用利差。提案6.2。对于VB>0，V 6=VB，且t>0，我们有limλ→∞CSλ（t）=CS（t）。泊松观测下的LELAND-TOFT最优资本结构模型21案例A:P（VT-五、*B∈ dv）/dv案例B：P（VT-五、*B∈ dv）/dv案例A:P（VT-五、*B≤ v） 案例B：P（VT-五、*B≤ v） 图6：。密度P（VT-五、*B∈ dv）/dv和分布P（VT-五、*B≤ v） （用点划线表示）对于λ=1、2、4、6、12、52、365，初始值v=100，和v*b如图4所示。经典案例也用实线表示，其中，它对破产水平有正向影响。备注6.1。虽然理论上，信贷息差在命题6.1的限制范围内消失，但我们将在下文中看到，收敛速度可以通过选择X和λ来控制，并且可以变得非常缓慢，如图8所示。为了计算信用利差，我们遵循[29]中图6（见附录B）的程序。修正V和m。第一步是为选定的杠杆选择0≤ L≤ 1、债务面值^P≡^P（L）和^ρ=^ρ（L）满足D（V；^V*（B）≡ D（V；^V*B^P，^ρ）=^P，L=^P/V（V；^VB）≡^P/V（V；^VB；^P，^ρ），其中^V*当ρ=^ρ且P=^P时，为最佳破产水平。

对于这个计算，至少在我们的数值实验中，映射P 7→ 对于固定ρ，P/V（V；^VB；P，ρ）是单调递增的，因此根^P（ρ）解L=^P（ρ）/V（V；^VB；^P（ρ），ρ）是通过经典二分法获得的。此外，ρ7→ D（V；^V*B^P（ρ），ρ）-^P（ρ）也是单调的，因此所需的^P和^ρ是通过（嵌套）二分法获得的。22 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.Yamazaki案例A：企业价值案例B：企业价值案例A：债务价值案例B：债务价值图7。对于V=100的两阶段问题，公司价值（顶部）和债务价值（底部）作为杠杆P/V的函数。λ=1、2、4、6、12、52、365（虚线）的周期情况用虚线表示，经典情况对应实线。atP积分*/V由圆圈表示。对于每个杠杆L，在计算^P和^ρ后，第二步是获得每个到期日t>0的根ρ*= ρ*（t） 使得1=d（V；^V*B、 t）≡ d（V；^V*B、 t；ρ*) 式中（V；^V*B、 t；ρ） ：=E“Zt∧T-^V*是-rsρds#+Ee-rt{t<t-^V*B}+^PEe-rT公司-^V*BVT公司-^V*B（1- α） 1{T-^V*B<t}.排列由ρ给出*- r（对于每个到期日t）。右侧的期望值可以通过Gaver Stehfest算法通过反转q 7来计算→ J（q，λ）（·；θ）如（3.7）所示，θ=0，1。对于经典情况，可以通过反转q 7来计算→ H（q）（·；θ）。这里，我们再次考虑情况A和B的杠杆L=50、75。在表1中，列出了每个λ=1、2、4、6、12、52、365的^P、^ρ和^vb的计算值以及经典情况下的值。在图8中，我们绘制了泊松观察23下的LELAND-TOFT最优资本结构模型，案例A为L=50，案例B为L=50，案例A为L=75，案例B为L=75。图8。V=100时，信贷利差相对于到期日对数的期限结构。

λ=1、2、4、6、12、52、365（虚线）的周期情况用虚线表示，经典情况对应实线。关于每个λ的对数到期日的信贷利差。为了进行比较，我们还绘制了经典情况下的曲线图。对于每个成熟度，扩散在λ上似乎是单调的，并且收敛于经典情况下的扩散。关于信用利差限额，虽然在6.1号提案中已确认了收敛到零的周期性情况，但收敛速度在很大程度上取决于λ的选择和基础资产价格过程。在案例A中（没有负跳跃），很明显它会像经典案例一样迅速消失。另一方面，在案例B中（经典案例中的信用利差限额不会消失），对于较大的λ值，收敛速度非常慢。鉴于这些观察结果，通过选择负跳跃的资产价值和观察率λ，它能够实现现实的短期信贷利差行为。7、结论性意见我们研究了Leland-Toft最优资本结构模型的扩展，其中资产价值信息仅在独立泊松过程的跳跃时间更新。在资产价值遵循24 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K。