泊松条件下的Leland-Toft最优资本结构模型

在第2节中，我们正式介绍了本文研究的主要问题。在第3节中，我们使用比例函数计算股权价值，在第4节中，我们确定了最佳障碍。第5节考虑两阶段问题，以获得最佳资本结构。第6节讨论了证实理论结果的数值例子。第7节对论文进行了总结。冗长的证明推迟到附录中。6 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKI2。问题公式集(Ohm, F、 P）是承载L'evy过程X=（Xt）t的完全概率空间≥0、假设企业资产负债表的价值按照指数L'evy过程演变，对于初始值V>0，Vt：=V eXt，t≥ 0、r>0为正无风险利率，0≤ δ<r公司投资者的总支付率。我们假设市场是完整的，这需要（e-（r）-δ） tVt）t≥0成为P-鞅。该公司的部分资金来源于具有固定负债的债务：对于某些给定的常数p，m>0，它以固定利率p发行新债务，到期负债为^1（s）：=me-ms.换句话说，在小时间间隔（t+s，t+s+ds）内到期的小时间间隔（t，t+dt）内发行的债务的面值大约由pД（s）dtds给出。假设在有限的过去，在0时持有的债务的面值在（s，s+ds）到期Z-∞pД（s）- u） 杜邦ds=pe-msds，（2.1），所有债务的面值为常量，P：=Z∞体育课-msds=pm。有关更多详细信息，请参见[29，38]。Let（Nλt）t≥0是速率λ>0且T：=（Tλn）n的独立泊松过程≥1其跳跃时间。假设破产在资产价值过程（Vt）的第一时间触发≥0低于给定级别VB>0:T-VB：=inf{S∈ T:VS<VB}（2.2）与约定inf = ∞.

在我们的模型中，更自然的假设是破产决策可以在时间零点做出。因此，我们修改了上述内容，并考虑了随机时间t-VB：=inf{S∈ T∪ {0}：VS<VB}=T-VB{V≥VB}。（2.3）（i）假设V≥ VBso使T-VB=T-VB。债务以固定利率ρ>0支付固定息票流，破产时间T时资产价值的固定分数0<α<1损失-VB。在此设置中，单位面值且到期日t>0的债务价值变为SD（V；VB，t）：=E“Zt∧T-VBe-rsρds#+Ee-rt{t<t-VB}+体育课e-rT公司-VBVT-VB（1- α） 1{T-VB<t}.（2.4）这里，第一个期限是在到期或破产之前累积的息票付款的总价值，而到期或破产是第一个期限；第二项是本金的价值；最后一项对应于剩余资产价值的1/P细分，如果破产，剩余资产价值将分配给单位面值的债券持有人。通过（2.1）和Fubini定理D（V；VB），将其积分，债务的总价值变为：=Z∞体育课-mtd（V；VB，t）dt=E“ZT-VBe-（r+m）t（Pρ+P）dt#+Ee-（r+m）T-VBVT-VB（1- α） 1{T-VB<∞}.利兰-托夫特最优资本结构模型根据泊松观察7关于企业价值，假设企业税率κ>0，且仅当Vt≥ VT对于某些给定的截止水位VT≥ 0（对于VT=0的情况，它始终是收益）。根据权衡理论（参见例[15]），企业价值为资产价值和税收优惠总价值之和减去破产损失价值，由V（V；VB）：=V+e“ZT得出-VBe-rt{Vt≥VT}Pκρdt#- αEe-rT公司-VBVT-VB{T-VB<∞}.（2.5）（ii）假设V<VBso T-VB=0 a.s。

那么，D（V；VB）=V（V；VB）=（1- α） V.（2.6）问题是寻求最佳破产水平VB≥ 使权益价值最大化的0，E（V；VB）：=V（V；VB）- D（V；VB），（2.7）受有限责任约束，E（V；VB）≥ 0，V≥ VB，（2.8）如果存在此类级别。在这里，VB=0意味着破产时，有限责任约束对所有V>0的情况都是不理想的。注意，当V<VB时，则（2.6）给出E（V；VB）=0.3。权益价值的计算假设从现在起（Xt）t≥0是一个频谱负的L'evy过程，即一个没有正泵的L'evy过程。我们用ψ（θ）表示：=对数EeθX, θ ≥ 0（3.1）其拉普拉斯指数与右逆Φ（q）：=sup{s≥ 0：ψ（s）=q}，q≥ 0.(3.2)3.1. 缩放功能。整体分析的出发点是引入所谓的q尺度函数W（q）（x），其中q≥ 0和x∈ R.它在几乎所有已知的谱负L′evy过程的函数恒等式中都是不变的；有关此功能的起源，请参见Zolotarev【58】和Tak\'acs【57】。有关详细审查，请参见[38，35]。修复q≥ q尺度函数W（q）是从R到[0]的映射，∞) 它在负半直线上取零，而在正半直线上，它是一个连续且严格递增的函数，使用拉普拉斯变换：Z∞e-θxW（q）（x）dx=ψ（θ）- q、 θ>Φ（q）。（3.3）还应确定第二尺度函数：Z（q）（x；θ）：=eθx1+（q- ψ（θ））Zxe-θzW（q）（z）dz, x个∈ R、 θ≥ 0、特别是x∈ R、 设Z（q）（x）：=Z（q）（x；0），对于λ>0，Z（q）（x；Φ（q+λ））=eΦ（q+λ）x1.- λZxe-Φ（q+λ）zW（q）（z）dz.在下一节中，我们看到权益价值（2.7）可以用尺度函数W（q）和Z（q）来表示。8 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKI3.2。相关函数标识。

对于y∈ R、 设Pybe为条件概率，在此条件下，谱负L'evy过程的初始值为X=y。根据[38]中的方程式（4.5）（也可参见Emery[26]和[8，公式（3.19）]，第一次通过时间（3.4）τ的联合拉普拉斯变换-:= inf{t≥ 0:Xt<0}和Xτ-由以下标识符yh（q）（y；θ）给出：=Eye-qτ-+θXτ-{τ-<∞}= Z（q）（y；θ）-ψ(θ) - qθ- Φ（q）W（q）（y），（3.5），其中y∈ R、 θ≥ 0和q≥ 对于泊松观测情况，也得到了类似的结果。回想一下T：=（Tλn；n≥ 1） 是独立泊松过程的跳跃时间集。我们定义-z： =inf{S∈ T:XS<z}，z∈ R、 （3.6）根据[1]中定理3.1的方程式（14），对于θ≥ 0和y∈ R、 J（q，λ）（y；θ）：=Eye-qT-+θX▄T-{T-<∞}=λλ+q- ψ(θ)Z（q）（y；θ）- Z（q）（y；Φ（q+λ））ψ（θ）- qλΦ（q+λ）- Φ（q）θ- Φ（q）=h1-(ψ(θ) - q） （θ- Φ（q））（Φ（λ+q）- θ） （λ+q- ψ（θ））iZ（q）（y；θ）-(ψ(θ) - q） （θ- Φ（q））（Φ（λ+q）- Φ（q））（λ+q- ψ(θ))Z（q）（y；Φ（λ+q））- Z（q）（y；θ）.（3.7）备注3.1。（1） 我们有j（q，λ）（0；1）=λλ+q- ψ(1)-ψ(1) - qλ+q- ψ（1）Φ（q+λ）- Φ（q）1- Φ（q）=1-ψ(1) - qλ+q- ψ（1）Φ（q+λ）- 11- Φ（q）>0，J（q，λ）（0；0）=λ+q-qλ+qΦ（q+λ）- Φ（q）Φ（q）=1-qλ+qΦ（q+λ）Φ（q）>0，其中正性由J（q，λ）的概率表达式保持，如（3.7）所示。（2） 我们有j（q，λ）（y；θ）<1，q>0，θ≥ 0，y∈ R、 （3.8）为了看到这一点，通过指数随机变量的无记忆性，我们可以写出，对于一些独立指数随机变量eλ，X小于零的第一个观测时间是τ-+ eλ，因此￠T-从下方以指数随机变量为界。此外，我们必须有X▄T-≤ 0 Py-a.s。

hencewe有（3.8）。为了写出权益值，我们得到了∧（r，λ）（y，z）：=Ey“zT的表达式-ze公司-rt{Xt≥对数VT}dt#，y，z∈ R、 （3.9）在附录B中，我们得到了在▄T时终止的预解测度-zand将以下结果作为推论。泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型9命题3.1。固定y、z∈ R、 对于VT>0，我们有∧（R，λ）（y，z）=z（R）（y- zΦ（r+λ））Φ（r+λ）- Φ（r）λ×Φ（r）Z（r+λ）（Z- 记录VT；Φ（r））-λΦ（r）W（r+λ）（z- 日志VT）- W（r+λ）（y- log VT）1{z>log VT}- W（r）（y）- 日志VT）1{z≤log VT}+λ1{z>log VT}Zy-zW（r）（y）- z- u） W（r+λ）（u+z- log VT）du，其中W（q）（y）：=所有q>0和y的RyW（q）（u）du∈ R、 对于VT=0，我们有∧（R，λ）（y，z）=（1- J（r，λ）（y- z0））/r.3.3。用比例函数表示权益价值。使用第3.2节中的恒等式，权益值（2.7）可以写成如下。这里，我们重点讨论VB>0的情况。（4.4）后面给出了VB=0的情况（我们将看到，仅需要考虑VT=0的情况）。首先由（3.7）可知，对于q=r和q=r+m，Ee-qT-VBVT-VB{T-VB<∞}= VBJ（q，λ）logVVB；1.和Ee-qT-VB{T-VB<∞}= J（q，λ）logVVB；0.此外，根据（3.9），E“ZT-VBe-rt{Vt≥VT}dt#=∧（r，λ）（对数V，对数VB）。因此，我们可以写（V；VB）=Pρ+pr+m1.- J（r+m，λ）logVVB；0+ (1 - α） VBJ（r+m，λ）logVVB；1.,V（V；VB）=V+Pκρ∧（r，λ）（对数V，对数VB）- αVBJ（r，λ）logVVB；1.,（3.10）因此，通过取其差值，权益价值isE（V；VB）=V+Pκρ∧（r，λ）（log V，log VB）- αVBJ（r，λ）logVVB；1.-Pρ+pr+m1.- J（r+m，λ）logVVB；0- (1 - α） VBJ（r+m，λ）logVVB；1..(3.11)4. 最佳屏障利用方程式（3.7）和命题3.1确定（3.11）中给出的权益价值E（V；VB），我们准备好找到最佳屏障V*B最大化它。我们在这篇文章中的目标是证明最优的barrieris V*B如此（V*B五、*B） =0，（4.1）10 Z.PALMOWSKI，J.L.P'EREZ，B.A。

SURYA和K.YAMAZAKIif存在，其中，根据（3.11）和备注3.1（1），对于VB>0，E（VB；VB）=VB+Pκρ∧（r，λ）（log VB，log VB）- αVBJ（r，λ）（0；1）-Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））- (1 - α） VBJ（r+m，λ）（0；1）=VB[1- αJ（r，λ）（0；1）- (1 - α） J（r+m，λ）（0；1）]+Pκρ∧（r，λ）（log VB，log VB）-Pρ+Pλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）。(4.2)4.1. 存在我们首先展示了V存在的条件*b满足（4.1）。为此，我们展示了以下结果：；附录C.1中给出了证明。引理4.1。映射z 7→ ∧（r，λ）（z，z）在r上不随limitlimz递减↓-∞∧（r，λ）（z，z）=如果VT>0，则为0；如果VT=0，则为λ+rΦ（r+λ）Φ（r）。图2：。VB7的绘图→ E（VB；VB）表示VT=0、10、20，100、实线表示VT=0，虚线表示其他情况。V处的点*用圆圈表示。左图基于第6节案例B中设置的参数（VT除外），并实现V*B> 所有情况下均为0。右图基于相同的参数，除了我们设置κ=0.9999、m=10、ρ=0.2和λ=0.1以实现V*当VT=0时，B=0。这个引理引出以下命题。有关数字说明，请参见图2。提案4.1。映射VB7→ E（VB；VB）严格地在（0，∞) 限值：limVB↓0E（VB；VB）=-Pρ+Pλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）如果VT>0，Pκρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-Pρ+Pλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m），如果VT=0，limVB↑∞E（VB；VB）=∞.泊松观测下的LELAND-TOFT最优资本结构模型11证明。根据备注3.1（2），我们有1- αJ（r，λ）（0；1）- (1 - α） J（r+m，λ）（0；1）>0。由此引理4.1和因为z 7→ ∧（r，λ）（z，z）是非递减且有界的，鉴于（4.2）的第二个等式，该主张是直接的。

现在，根据命题4.1，我们确定了候选最佳阈值V*B通常如下所示。（1） 对于VT>0和VT=0的情况，Pκρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-Pρ+Pλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）<0，我们设置V*B> 0使E（V*B五、*B） =0，其存在性和唯一性由命题4.1确定。（2） 对于VT=0且（4.3）Pκρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）的情况-Pρ+Pλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）≥ 0，我们设置V*B=0。案例五的债务/公司/股权价值*B> 0可通过（3.10）和（3.11）计算。对于案例V*B=0，其中VT=0，对于所有V>0，D（V；0）=EZ∞e-（r+m）t（Pρ+P）dt=Pρ+pr+m，V（V；0）=V+EZ∞e-rtPκρdt= V+Pκρr，因此（V；0）=V+Pκρr-Pρ+pr+m.（4.4）4.2。最优性。对于本节的其余部分，我们将显示以下主要结果之一。定理4.1。屏障V*对于最大化（2.7）服从（2.8）的问题，Bis最优。为了证明最优性，只需显示以下内容即可：（1）如果V*B> 0，每个阈值VB<V*B违反有限责任约束（2.8）。（2） 五*拥有比任何VB>V更高的股权价值*Bdoes。（3） 五*Bis可行。提案4.2。假设V*B> 0。对于VB<V*B、 有限责任约束（2.8）未得到充分证明。通过命题4.1中的（严格）单调性，因为E（V*B五、*B） =0（假设V*B> 0），对于VB<V，我们有E（VB；VB）<0*B 附录C.2给出了以下证明。提案4.3。对于V>VB>0，我们有VBE（V；VB）=-（Φ（r+m+λ）- Φ（r+m））H（r+m）logVVB；Φ（r+m+λ）L（对数V，对数VB）VB（4.5）12 Z.PALMOWSKI，J.L.P'EREZ，B.A.SURYA和K。

山崎，其中H（r+m）如（3.5）所示，对于x，z∈ R、 L（x，z）：=H（R）（x- zΦ（r+λ））H（r+m）（x- zΦ（r+m+λ））Φ（r+λ）- Φ（r）Φ（r+m+λ）- Φ（r+m）×α（1）- J（r，λ）（0；1））ez+PκρΦ（r+λ）- Φ（r）λZz-记录VT-∞H（r+λ）（y；Φ（r））dy！+(1 - α)(1 - J（r+m，λ）（0；1））ez-Pρ+pr+m（1- J（r+m，λ）（0；0））。附录C.3和C.4给出了以下结果的证明。提案4.4。假设VB>V*B≥ 0、我们有对于V>VB，VBE（V；VB）<0。因此，E（V；VB）<E（V；V*B） 对于所有V>VB。提案4.5。对于V>VB>0，我们有VE（V；VB）=1-VBVhVBE（V；VB）+αJ（r，λ）logVVB；1.+ (1 - α） J（r+m，λ）logVVB；1.i+PκρVR（r，λ）logVVB、logVTVB,其中R（R，λ）是（B.3）中给出的预解密度。提案4.6。我们有E（V；V*（B）≥ 所有V为0≥ 五、*B当V*B> 0，当V*B=0。换句话说，V*Bis可行。证据（i） 假设V*B> 0。因为R（R，λ）是预解密度，所以它是非负的。根据这一点以及命题4.4和4.5，对于V>V*B> 0，VE（V；V*B） =1-五、*BV公司VBE（V；V*（B）- αV*BVJ（r，λ）logVV*B1.- (1 - α） 五*BVJ（r+m，λ）logVV*B1.+PκρVR（r，λ）logVV*B、 日志VTV*B≥ 1.-五、*BVhαJ（r，λ）logVV*B1.+ (1 - α） J（r+m，λ）logVV*B1.我≥ 1.-五、*BV公司≥ 0，其中第二个不等式通过注释3.1（2）成立。

应用这一点和E（V*B五、*B） V时=0*B> 0，索赔立即生效。（ii）对于案例V*B=0回想一下，VT=0是必然的，因此通过（4.4）我们得到了（4.6）VE（V；0）=1>0。此外，根据备注3.1（1），由于q 7→ 从概率表达式来看，J（q，λ）（0；0）是非递增的，当m>0时，rλ+rΦ（r+λ）Φ（r）=1- J（r，λ）（0；0）≤ 1.- J（r+m，λ）（0；0）=r+mλ+r+mΦ（r+λ+m）Φ（r+m）。泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型13通过这个和回忆不等式（4.3），我们得到Pκρr-Pρ+pr+mr+mλ+r+mΦ（r+λ+m）Φ（r+m）≥Pκρλ+rΦ（r+λ）Φ（r）-Pρ+Pλ+r+mΦ（r+m+λ）Φ（r+m）≥ 因此，Pκρr-Pρ+pr+m≥ 0及其后LimV↓0E（V；0）=Pκρr-Pρ+pr+m≥ 0。（4.7）使用（4.6）和（4.7）完成证明。 定理4.1的证明现在，通过命题4.2、4.4和4.6，定理4.1的证明已经完成。备注4.1。直觉上，作为λ→ ∞, 预计最佳势垒将收敛到经典情况下的势垒，如[38]所示。为了证实这一说法，我们提供了以下结果：；其证明推迟至附录C.5。引理4.2。假设VT>0，让VB≥ 0已固定。我们有limλ→∞λ+r+mΦ（λ+r+m）E（VB；VB）=VBαψ(1) - r1级- Φ（r）+（1）- α)ψ(1) - （r+m）1- Φ（r+m）+PκρΦ（r）”VBVTΦ（r）∧ 1#-Pρ+PΦ（r+m）。（4.8）这与[38]中的恒等式（3.26）一致，其中最佳破产水平是（4.8）的右侧消失。5、两阶段问题我们现在通过解决[20、39、40]所研究的两阶段问题来获得最佳杠杆率，其中最终目标是选择使企业价值V最大化的P。

对于固定的V>0，这个问题可以用asmaxPV（V；V）来表示*B（P），P）（5.1），其中我们强调V和V的依赖关系*苯教P。在这个两阶段问题中，值得研究V（V；V）的形状*B（P），P）相对于P来确认它是否有唯一的最大化器。Chen和Kou【20】以双跳扩散为基础模型，假设VT=0，验证了连续观测案例中的凹度。在本节中，我们展示了在周期观测设置下，当VT=0且满足以下假设时的凹度。假设5.1。对偶过程的L'evy测度∏-X有一个完全单调的密度，即∏有一个密度π，其n阶导数π（n）对所有n都存在≥ 1和满意度(-1） nπ（n）（x）≥ 0，x>0。满足假设5.1的重要示例包括超指数跳跃扩散（作为[20]的推广）、方差伽马过程[45]、CGMY过程[19]以及亚纯L'evy过程[34]。为了展示这一主张，我们首先展示了以下属性。14 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKILemma 5.1。在假设5.1下，映射x 7→ H（r）（x；Φ（r+λ））正在减小。证据对于完全单调的情况，如[42]的定理2所述，标度函数允许theformW（r）（x）=Φ（r）eΦ（r）x-Z∞e-xtu（r）（dt），x≥ 0，对于某些特定测量值u（r）。