泊松条件下的Leland-Toft最优资本结构模型

首先我们注意到定理VII。[11]中的4，表示q≥ 0limλ→∞Φ（λ+r+m）Φ（λ+q）=1。（C.14）另一方面，恒等式（B.7）表示，对于VB>0，λΦ（r+λ）- Φ（r）∧（r，λ）（对数VB，对数VB）=Φ（r）VBVT如果VB/VT<1，Φ（r）+Rlog（VB/VT）H（r+λ）（y；Φ（r））dy如果VB/VT≥ 1，其中我们使用H（r+λ）（y；Φ（r））=exp（Φ（r）y）表示y≤ 此外，通过（3.5）中给出的H（r+λ）概率表达式的概率表达式，并使用支配收敛，我们得到了limλ→∞Zlog（VB/VT）H（r+λ）（y；Φ（r））dy=0。这与（C.14）一起给出了slimλ→∞λ+r+mΦ（λ+r+m）∧（r，λ）（log VB，log VB）=Φ（r）”VBVTΦ（r）∧ 1#.从备注3.1（1）和（C.14），我们可以得出结论，对于q≥ 0，λ+r+mΦ（λ+r+m）（1）- J（q，λ）（0；1））=λ+r+mΦ（λ+r+m）ψ（1）- qλ+q- ψ（1）Φ（q+λ）- 11- Φ（q）λ↑∞---→ψ(1) - 第一季度- Φ（q）。将这些与（4.2）相结合，我们得到（4.8）。C、 6。命题6.1的证明。修复t>0。让我们定义事件：={Nλt=1}={tλ≤ t、 tλ>t}={tλ≤ t、 S>t- Tλ}其中S：=Tλ- Tλ与参数λ呈指数分布。请注意E∩ {T-VB<t}={tλ≤ t、 VTλ<VB，S>t- Tλ}。（C.15）我们从分析（6.2）的分子开始。我们将其分解如下：f（t）：=EhP- (1 - α） VT公司-VBe-rT公司-VB{T-VB≤t} i=f（t）+f（t），（C.16）34 Z.PALMOWSKI，J.L.P'EREZ，B.A.SURYA和K。

YAMAZAKIwheref（t）：=EhP- (1 - α） VT公司-VBe-rT公司-VB{T-VB≤t} Ei，f（t）：=EhP- (1 - α） VT公司-VBe-rT公司-VB{T-VB≤t} Eci。这里，由（C.15）得出，因为S是一个独立的指数随机变量，参数λ，f（t）=EhP- (1 - α） VTλe-rTλ{Tλ≤t、 VTλ<VB，S>t-Tλ}i=EhP- (1 - α） VTλe-rTλe-λ（t-Tλ{Tλ≤t、 VTλ<VB}i=EhZtλe-λsP- (1 - α） Vs公司e-rse公司-λ（t-s） {Vs<VB}dsi=λe-λtEhZtP- (1 - α） Vs公司e-rs{Vs<VB}dsi和| f（t）|≤ （| P |+（1- α） VB）P{Nλt≥ 2} =o（t）as t↓ 求和，f（t）=λe-λtEhZtP- (1 - α） Vs公司e-rs{Vs<VB}dsi+o（t）。（C.17）另一方面，我们将（6.2）的分母变换如下：g（t）：=E1.- e-r（t∧T-VB）= 1.- e-rt+g（t）+g（t），其中g（t）：=E（e）-rt公司- e-rT公司-VB）1{T-VB≤t} E类和g（t）：=E（e）-rt公司- e-rT公司-VB）1{T-VB≤t} 欧共体.与f（t）和f（t）的计算类似，通过（C.15），g（t）=E（e）-rt公司- e-rTλ）1{Tλ≤t、 VTλ<VB，S>t-Tλ}= Ee-λ（t-Tλ）（e-rt公司- e-rTλ）1{Tλ≤t、 VTλ<VB}= λe-λtE中兴通讯（e-rt公司- e-rs）1{Vs<VB}ds,和g（t）≤ P{Nλt≥ 2} =o（t）。因此，把所有的部分放在一起，我们得到g（t）=1- e-rt+λe-λtE中兴通讯（e-rt公司- e-rs）1{Vs<VB}ds+ o（t）。（C.18）现在，从（C.17），（C.18），和中值定理，limt→0f（t）t=极限→0吨λe-λtEZt公司P- (1 - α） Vs公司e-rs{Vs<VB}ds+ o（t）= λP- (1 - α） 五{V<VB}，极限→0g（t）t=极限→0吨1.- e-rt+λe-λtE中兴通讯（e-rt公司- e-rs）1{Vs<VB}ds+ o（t）= r、 通过将前者除以后者，我们得到了索赔。泊松观测下的LELAND-TOFT最优资本结构模型35C。命题6.2的证明。

通过（3.5）和（3.7），我们可以写出，对于任何θ≥ 0和q≥ 0，J（q，λ）（y；θ）=λ+q- ψ(θ)H（q）（y；θ）-ψ(θ) - qλΦ（q+λ）- Φ（q）θ- Φ（q）H（q）（y；Φ（q+λ））.对于y 6=0，我们现在注意如下：（1）对于（i）y<0或（ii）y>0且X没有扩散分量的情况，我们有h（q）（y；Φ（q+λ））λ↑∞---→ 0（因为过程不会像[37]的练习7.6中那样向下爬行）和Φ（q+λ）-Φ（q）λ在λ>0截止点处有界（可通过ψ的凸性验证）。（2） 对于y>0且X具有扩散分量的情况，H（q）（y；Φ（q+λ））λ↑∞---→ Ey[e-qτ-{Xτ-=0}]和Φ（q+λ）-Φ（q）λλ↑∞---→ 0（因为ψ（θ）~σθasθ→ ∞ 其中σ是X的扩散系数）。因此，前面的参数暗示，对于y 6=0，limλ→∞J（q，λ）（y；θ）=H（q）（y；θ），θ≥ 假设J（q，λ）（y；θ）是随机向量（~T）的拉普拉斯变换-（λ） ，X~T-（λ） ）（其中我们用（λ）来说明对λ的依赖关系），通过L'evy连续性定理，我们得到了（▄T-（λ） ，X▄T-（λ） ）在分布上收敛到（τ-, Xτ-). 因此，使用Skorohod的表示定理（见[12]中的定理6.7）以及支配收敛，我们得到，对于V 6=VB，limλ→∞CSλ（t）=rPlimλ→∞Elog（V/VB）hP- (1 - α） VBeXT-(λ)e-rT-（λ） {T-(λ)≤t} iElog（V/VB）1.- e-r（t∧T-(λ))=rPElog（V/VB）hP- (1 - α） VBeXτ-e-rτ-{τ-≤t} iElog（V/VB）1.- e-r（t∧τ-)= CS（t）。附录D。

从[35]的定理2.7证明定理B.1，对于[0]上的任何Borel集A，∞), 在R上，和(-∞, 0]分别为ExhZτ-e-qt{Xt∈A} dti=扎赫-Φ（q）yW（q）（x）- W（q）（x）- y） idy，x≥ 0，（D.1）ExZ∞e-（q+λ）t{Xt∈A} dt公司=ZA“eΦ（q+λ）（x-y） ψ（Φ（q+λ））- W（q+λ）（x- y） #dy，x∈ R、 （D.2）ExhZτ+e-（q+λ）t{Xt∈A} dti=ZAeΦ（q+λ）xW（q+λ）(-y）- W（q+λ）（x- y）dy，x≤ 0（D.3），其中τ-定义于（3.4）和τ+：=inf{t≥ 0:Xt>0}。我们将证明z=0和computeg（x）：=ExhZT的结果-e-qth（Xt）dti，x∈ R、 一般情况如下，因为L'evy过程的空间同质性意味着RT-ze公司-qth（Xt）dt=前任-zRT-e-qth（Xt+z）dt对于x，z∈ R、 36 Z.PALMOWSKI、J.L.P'EREZ、B.A.SURYA和K.YAMAZAKIFor x∈ R、 根据强马尔可夫性质，g（x）=ExhZτ-e-qth（Xt）dti+Exhe-qτ-g（Xτ-)1{τ-<∞}i、 （D.4）特别是，对于x<0，再次通过强马尔可夫性质，g（x）=A（x）g（0）+B（x），其中，对于x≤ 0，A（x）：=Exhe-qτ+{τ+<Tλ}i=Exhe-（q+λ）τ+i=eΦ（q+λ）x，B（x）：=ExhZτ+e-qt{t<tλ}h（Xt）dti=Z-∞h（y）eΦ（q+λ）xW（q+λ）(-y）- W（q+λ）（x- y）dy.在这里，前者的第一个等式成立，因为Tλ是一个具有参数λ的独立指数随机变量，并且符合[37]的定理3.12。后者的第二个等式是（D.3）的结果。现在，到（3.5），Exhe-qτ-A（Xτ-)1{τ-<∞}i=H（q）（x；Φ（q+λ）），x∈ R、 对于（3.5）中定义的函数H（q）。此外，通过[52]中定理4.1的证明，我们得到了-qτ-B（Xτ-)1{τ-<∞}i=W（q）（x）Z-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy-Z-∞h（y）I（q，λ）（x，-y） dy.将这些替换为（D.4），然后应用（D.1）和[52]中的备注4.3，我们得到，对于所有x∈ R、 （D.5）g（x）=g（0）H（q）（x；Φ（q+λ））+W（q）（x）Z∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy-Z∞-∞h（y）I（q，λ）（x，-y） 另一方面，利用强马尔可夫性质，我们还可以写出eg（0）=E“E”ZTλE-qth（Xt）dt+1{Xtλ>0}Z▄T-Tλe-qth（Xt）dtTλ，（Xu）0≤u≤Tλ##=γ+γ，其中γ：=E“ZTλE-qth（Xt）dt#和γ：=E“E-qTλg（XTλ）1{XTλ>0}#。（D.6）我们将在下面计算γ和γ。

首先，观察γ=EZ∞{t<tλ}e-qth（Xt）dt= EZ∞e-（q+λ）th（Xt）dt.对于γ，通过（D.2），我们可以写出γ=λEhZ∞e-（q+λ）sg（Xs）1{Xs>0}dsi=λψ（Φ（q+λ））Z∞e-Φ（q+λ）yg（y）dy，（D.7），我们将使用（D.5）中的g表达式来计算。首先，根据[52]中的身份（A.8），我们有∞e-Φ（q+λ）yZ（q）（y；Φ（q+λ））dy=ψ（Φ（q+λ））λ，（D.8）泊松观测条件下的LELAND-TOFT最优资本结构模型37，而（3.3）给出了∞e-Φ（q+λ）yW（q）（y）dy=λ-1和henceZ∞e-Φ（q+λ）yH（q）（y；Φ（q+λ））dy=ψ（Φ（q+λ））λ-Φ（q+λ）- Φ（q）。同样，通过[52]中定理4.1的证明，我们得到了∞e-Φ（q+λ）yZ∞-∞h（z）I（q，λ）（y，-z） dzdy=ψ（Φ（q+λ））λEZ∞e-（q+λ）th（Xt）dt.在（D.7）中替换这些，并借助（D.5），γ=g（0）λψ（Φ（q+λ））hψ（Φ（q+λ））λ-Φ（q+λ）- Φ（q）i- EZ∞e-（q+λ）th（Xt）dt+ψ（Φ（q+λ））Z∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy。现在将γ的计算值代入（D.6）中，我们得到（0）=g（0）-λΦ（q+λ）- Φ（q）g（0）ψ（Φ（q+λ））+ψ（Φ（q+λ））Z∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy，因此，求解g（0），我们得到g（0）=Φ（q+λ）- Φ（q）λZ∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy。将其替换回（D.5），我们得到g（x）=Z（q）（x；Φ（q+λ））Φ（q+λ）- Φ（q）λZ∞-∞h（y）h（q+λ）(-yΦ（q））dy-Z∞-∞h（y）I（q，λ）（x，-y） dy.因此，根据需要，预解密度由（B.3）给出。参考文献[1]Albrecher，H.，Ivanovs，J.，Zhou，X.：在泊松到达时间观察到的L'evy过程的出口恒等式。Bernoulli 221364–1382（2016）[2]Albrecher，H.，Ivanovs，J.：与连续andPoisson观测下的L'evy过程的退出问题相关的非常简单的恒等式。斯托赫。过程应用程序。127（2），643–656（2017）[3]Alili，L.，Kyprianou，A.E.：关于L'evy过程的第一段、美国放置和粘贴原则的一些评论。安。应用程序。概率。15（3），2062–2080（2005）[4]Asmussen，S.，Avram，F.，Pistorius，M.R.：指数阶段类型L’evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。斯托赫。过程应用程序。

109（1），79–111（2004）[5]Avanzi，B.，Tu，V.，Wong，B.：关于具有扩散的对偶模型中的最优周期红利策略。保险数学。经济学。55210–224（2014）[6]Avanzi，B.，Cheung，E.C.，Wong，B.，Woo，J.K.：关于双重模型中的定期股息壁垒策略，并持续监控偿付能力。保险数学。经济学。52，98–113（2013）[7]Avram，F.，Kyprianou，A.E.，Pistorius，M.R.：光谱负L'evy过程的退出问题和（加拿大化）俄罗斯期权的应用。安。应用程序。概率。14（1），215–238（2004）【8】Avram，F.，Palmowski，Z.，Pistorius，M.：关于谱负L'evy过程的最优红利问题。安。应用程序。概率。17（1），156–180（2007）38 Z.PALMOWSKI，J.L.P\'EREZ，B.A.SURYA和K.YAMAZAKI【9】Avram，F.，P\'EREZ，J.L.，YAMAZAKI，K.：具有以下巴黎反射和以上经典反射的光谱负L\'evy过程。斯托赫。过程应用程序。128（1），255–290（2018）[10]Baurdoux，E.J.，Pardo，J.C.，P'erez，J.L.，Renaud J.F.：Gerber–巴黎破产时的Shiu分布，用于列维保险风险流程。J、 应用程序。概率。53572-584，（2016）[11]Bertoin，J.：列维过程。剑桥大学出版社，（1996）[12]Billingsley，P.：概率测度的收敛。John Wiley&Sons，Inc.（1999）【13】Bielecki，T.R.，Rutkowski，M：信用风险：建模、估价和对冲。Springer Science&Business Media，（2013）[14]Black，F.，Cox，J.：《公司证券估值：债券契约条款的一些影响》。J、 《金融学》31351–367（1976）[15]Brealey，R.A.，Myers，S.C.：《公司金融学原理》。McGraw-Hill，纽约，（2001）[16]Brennan，M.，Schwartz，E.：《企业所得税、估值和最优资本结构问题》。J.Business51103–114（1978）[17]布罗迪，M.，切尔诺夫，M.，桑达雷桑，S.：存在第7章和第11章时的最佳债务和股权价值。J

《金融》，62（3），1341–1377（2007）[18]卡尔，P.：随机化和美国看跌期权。修订版。财务部。螺柱。，11（3），597–626，（1998）[19]Carr，P.，Geman，H.，Madan，D.B.，Yor，M.：《资产回报的详细结构：实证调查》。J、 《商业》，75（2），305-332，（2002）[20]Chen，N.，Kou，S.G.：《信贷利差、最优资本结构和内生违约和跳跃风险的隐含波动率》。数学《金融》，19（3），343–378（2009）[21]切斯尼，M.，让布兰科·皮克，M.，约尔，M.：布朗远足和巴黎障碍期权。高级应用程序。概率。29（1），165–184（1997）[22]Cont，R.，Tankov，P.：带跳跃过程的金融建模。Chapman&Hall，（2003）[23]Duf fie，D.，Lando，D.：会计信息不完整的信用利差期限结构。《计量经济学》69633–664（2001）[24]杜普伊斯，P.Wang，H.：《随机干预时间下的最优停止》。高级应用程序。概率。34（1），141–157（2002）[25]Egami，M.，Yamazaki，K.：光谱负L'evy过程的标度函数相位类型拟合。J、 计算机。应用程序。数学264，1–22（2014）[26]Emery，D.J.：光谱正L'evy过程的退出问题。高级应用程序。概率。5498–520（1973）[27]Francois，P.，Morellec，E.：《资本结构和资产价格：破产程序的一些影响》。J、 商业77（2），387–411（2004）[28]Frank，M.Z.，Goyal，V.K.：债务的权衡和优序理论。135–202，《实证企业融资手册》。Elsevier（2008）[29]Hilberink，B.，Rogers，L.C.G.：《最优资本结构和内生违约》。金融斯托克。6237–263（2002）[30]Ivanovs，J.：单边马尔可夫加性过程和相关退出问题，阿姆斯特丹大学博士论文，（2011）[31]Ju，N.，Parrino，R.，Poteshman，A.M.，Weisbach，M.S.：马和兔子？权衡理论与最优资本结构。J、 财务部。数量。肛门。

40（2），259–281（2005）[32]寇，S.G.，王，H.：跳跃扩散过程的首次通过时间。高级应用程序。概率。35（2），504–531（2003）[33]Kraus，A.，Litzenberger.H.：最优财务杠杆的状态偏好模型。J.Finance 28（4），911-922（1973）[34]库兹涅佐夫，A.，基普里亚努，A.E.，帕尔多，J.C.：亚纯L’evy过程及其函数恒等式。安。应用程序。概率。22（3），1101-1135，（2012）[35]Kuznetsov，A.，Kyprianou，A.E.，Rivero，V.：光谱负L'evy过程的尺度函数理论。L'evyMatters II，《斯普林格数学讲稿》，（2013）泊松观测下的LELAND-TOFT最优资本结构模型39【36】Kuznetsov，A.：关于Gaver–Stehfest算法的收敛性。暹罗J.数字。肛门。51（6），2984–2998（2013）[37]Kyprianou，A.E.：列维过程的波动与应用。Springer，Heidelberg（2014）[38]Kyprianou，A.E.，Surya，B.A.：《内生破产水平确定中的平滑和连续fit原则》。金融斯托克。11，131–152（2007）[39]Leland，H.E.：《公司债务价值、债券契约和最佳资本结构》。J、 《金融》491213–1252（1994）[40]Leland，H.E.，Toft，K.B.：《最优资本结构、内生破产和信贷利差的期限结构》。J、 《金融学》51987–1019（1996）[41]Leung，T.，Yamazaki，K.，Zhang，H.：最优多重停止的解析递归方法：Canadization和Phase type fitting。内景J.Thero。应用程序。《金融》，18（05），1550032，（2015）[42]Loeffen，R.L.：具有完全单调跳跃密度的谱负L'evy过程的终值最优股息问题。J、 应用程序。概率。46（1），85-98，（2009）[43]Loeffen，R.，Renaud，J.F.，Zhou，X.：具有应用的光谱负L'evyprocess在第一次通过之前的间隔占用时间。斯托赫。过程应用程序。

124（3），1408–1435（2014）[44]Long，M.，Zhang，H.：关于L'evymodels下单次和递归最优停止中阈值型策略的最优性。斯托赫。过程应用程序。在线提供（2018年）【45】Madan，D.B.，Seneta，E.：股票市场回报的方差gamma（VG）模型。J、 商业63（4），511-524，（1990）[46]默顿，R.C.：关于公司债务的定价：利率的风险结构。J、 芬南。经济学。29449–470（1974）[47]Modigliani，F.，Miller，M.：《资本成本、公司融资和投资理论》。《美国经济评论》（American EconomicReview 48267–297）（1958）[48]Moraux，F.：当违约阈值不是吸收障碍时，评估公司负债。EFMA 2002伦敦会议。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=314404或http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.314404（2002）[49]Noba，K.，P'erez，J.L.，Yamazaki，K.，Yano，K.：关于L'evy风险过程的最优定期股息策略。保险数学。经济学80，29–44（2018）【50】Pardo，J.C.，P'erez，J.L.，Rivero，V.M.：光谱负L'evy过程偏离零的偏移度量。安。Poincar\'e Probab研究所。统计学家。54（1），75–99（2018）[51]P'erez，J.L.，Yamazaki，K.：定期行使机会下的美国期权。统计概率。利特。135，92–101（2018）[52]P'erez，J.L.，Yamazaki，K.，Bensoussan，A.：光谱正L'evy过程的最佳定期补充政策。参见arXiv:1806.09216（2018）[53]Rodosthenous，N.，Zhang，H.：《击败欧米茄时钟：随机时间范围下负L'evy模型的最优停止问题》。安。应用程序。概率。28（4），2105-2140（2018）[54]Sims，C.A.：《理性疏忽的含义》。《货币经济学杂志》50（3），665–690（2003）【55】Surya，B.A.：勒维过程的最优停止和粘贴原则。

乌得勒支大学博士论文（2007）【56】Surya，B.A.，Yamazaki，K.：频谱负L'evy模型下具有规模效应的最优资本结构。埋葬J、 理论。应用程序。《金融学》17（2），1450013（2014）[57]Tak\'acs，L.：随机过程理论中的组合方法。Wiley，New York，（1966）[58]Zolotarev，V.M.：具有独立增量的一类过程的水平首次通过时间和在单位的行为。理论概率。应用程序。9, 653–664 (1964)