随机因素风险模型的最优超额损失再保险

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英文标题：
《Optimal excess-of-loss reinsurance for stochastic factor risk models》
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作者：
Matteo Brachetta and Claudia Ceci
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study the optimal excess-of-loss reinsurance problem when both the intensity of the claims arrival process and the claim size distribution are influenced by an exogenous stochastic factor. We assume that the insurer\'s surplus is governed by a marked point process with dual-predictable projection affected by an environmental factor and that the insurance company can borrow and invest money at a constant real-valued risk-free interest rate $r$. Our model allows for stochastic risk premia, which take into account risk fluctuations. Using stochastic control theory based on the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we analyze the optimal reinsurance strategy under the criterion of maximizing the expected exponential utility of the terminal wealth. A verification theorem for the value function in terms of classical solutions of a backward partial differential equation is provided. Finally, some numerical results are discussed.
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中文摘要：
研究了当理赔到达过程的强度和理赔规模分布都受到外生随机因素影响时的最优超额损失再保险问题。我们假设，保险公司的盈余由一个标记点过程控制，该过程具有受环境因素影响的双重可预测预测预测，并且保险公司可以以不变的实值无风险利率（r$）借款和投资。我们的模型考虑了考虑风险波动的随机风险溢价。利用基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机控制理论，分析了终端财富期望指数效用最大化准则下的最优再保险策略。给出了一个关于倒向偏微分方程经典解的值函数的检验定理。最后，讨论了一些数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-14 11:32:08 上传

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关键词：因素风险 风险模型 再保险 Mathematical Quantitative

随机因素风险模型的最优超额损失再保险。*马特奥。brachetta@unich.itCeciC*cceci@unich.itAbstractWe研究当索赔过程的强度和索赔额分布都受到外生随机因素的影响时，最优超额损失再保险问题。我们假设，保险公司的盈余由一个标记点过程控制，该过程具有受环境因素影响的双重可预测预测预测，并且保险公司可以以恒定的实值无风险利率r借款和投资。我们的模型考虑了随机风险溢价，其中考虑了风险波动。利用基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机控制理论，分析了以终端财富的期望指数效用最大为准则下的最优再保险策略。提供了一个关于后向偏微分方程经典解的值函数验证定理。最后，讨论了一些数值结果。关键词：最优再保险、超额损失再保险、汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程、随机因素模型、随机控制。JEL分类代码：G220、C610。MSC分类代码：93E20、91B30、60G57、60J75.1。本文从保险人的角度出发，以终端财富的期望效用最大化为准则，分析了最优超额损失再保险问题。众所周知，再保险保单是非常有效的风险管理工具。事实上，通过风险分担协议，他们允许保险公司减少意外损失，稳定经营业绩，提高业务能力等。在最常见的安排中，比例损失和超额损失合同引起了人们极大的兴趣。

前者在【Irgens和Paulsen，2004年】【Liu和Ma，2009年】【Liang等人，2011年】【Liang和Bayraktar，2014年】【Zhu等人，2015年】【Brachetta和Ceci，2019年】以及其中的参考文献中进行了深入研究。这些文章对后者进行了研究：【Zhang等人，2007年】和【Meng和Zhang，2010年】中，作者证明了在破产概率最小化的标准下，超额损失政策的最优性，剩余过程由带漂移的布朗运动描述；在【Zhao等人，2013年】中，盈余过程采用Cram'er-Lundberg模型，有可能投资于Heston模型所代表的金融市场；在【Sheng等人，2014年】和【Li和Gu，2013年】中，风险资产由恒定方差弹性（CEV）模型描述，而盈余则分别由Cram'er-Lundberg模型及其差异近似值建模；最后，在【Li等人，2018年】中，作者研究了在剩余过程的离散近似下的稳健最优策略。所引用著作的共同点是潜在风险模型，即克拉姆·隆伯格模型（或其差分近似值）。在精算文献中，这是非常重要的*意大利基耶蒂佩斯卡拉大学经济系。参见【Lundberg，1903年】，【Schmidli，2018年】。重要性，因为它足够简单，可以执行计算。事实上，索赔到达过程是由具有恒定强度的泊松过程（或扩散模型中的布朗运动）描述的。然而，正如许多作者所注意到的那样（例如【Grandell，1991】，【Hipp，2004】），它需要推广，以便考虑所谓的规模波动和风险波动，即。

保单持有人数量的变化和潜在风险的修正。我们工作的主要目标是扩展经典风险模型，将索赔到达过程建模为一个标记点过程，该过程具有双重可预测投影，受外源性随机过程的影响。更准确地说，索赔到达过程的强度和索赔规模分布都受到Y的影响。由于这种环境因素，我们实现了对任何风险运动的合理现实描述。例如，在汽车保险中，我可以描述天气状况、路况、交通量等。所有这些因素通常都会影响事故概率和损坏大小。在【Liang和Bayraktar，2014】和【Brachetta和Ceci，2019】中，作者研究了最佳比例再保险，在这方面做出了一些值得注意的尝试。在前者中，作者考虑了一个马尔可夫调制的复合泊松过程，其（不可观测）

例如，自2016年6月以来，欧洲中央银行（ECB）确定了负存款利率，即银行在ECB内隔夜存款的利息。现在是-0.4%. 因此，在我们的框架中，r∈ R、 我们指出，不存在由于缺乏风险资产而导致的一般性损失，因为只要保险和金融市场是独立的（这是非寿险的标准假设），最优再保险策略就只取决于无风险资产（见【Brachetta和Ceci，2019】及其参考文献）。因此，根据文献中的现有结果，最终可以获得最优投资策略。本文的组织结构如下：在第二节中，我们建立了模型假设并描述了最大化问题；在第三节中，我们推导了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程；在第四节中，我们研究了HJB推导所建议的候选最优策略；在第5节中，我们为验证参数提供了值函数的概率表示；最后，在第6节中，我们进行了一些数值模拟。2、模型制定网(Ohm, F、 P，{Ft}t∈[0，T]）是一个具有满足通常条件的过滤的完整概率空间，其中T>0是保险人的时间范围。我们通过一个标记点过程{（Tn，Zn）}n来模拟保险损失≥1具有受环境

，Zn是可测量的。

索赔到达过程Nt=m（（0，t）×[0+∞)) =n≥1{Tn≤t} 是一个具有{λ（t，Yt）}t的点过程∈[0，T]。现在我们将F（z，Yt）解释为索赔额的条件分布。有关标记点过程理论的详细信息，请参见[Br'emaud，1981]。该结果是[Ceci和Gerardi，2006]中命题2.4的扩展。提案2.1。n=1。和A.∈ B（[0+∞))P[锌]∈ A |英尺-] =AdF（z，Yt）dt×dP- a、 s。。特别是，这意味着P[Zn∈ A |英尺-n] =P[锌∈ A | FYTn]=AdF（z，YTn）a.s.，其中FT-nis由停止时间Tn:FT生成的σ-代数的严格过去-n： =σ{A∩ {t<τn}，A∈ 英尺，吨∈ [0，T]}。证据参见附录A。这意味着在我们的模型中，索赔到达强度和索赔规模分布都受到随机因素Y的影响。这是一个合理的假设；例如，不动产保险Y可以描述天气、路况、交通量等。有关该主题的详细讨论，另请参见【Brachetta和Ceci，2019年】。备注2.1。让我们观察一下，对于任何{Ft}t∈[0，T]-可预测和[0，D]-索引进程{H（T，z）}T∈[0，T]这样T+∞|H（t，z）|λ（t，Yt）dF（z，Yt）dt< ∞,流程MT=t型+∞H（s，z）m（ds、dz）- ν（ds，dz）t型∈ [0，T]原来是一个{Ft}T∈[0，T]-鞅。如果在附加项中T+∞|H（t，z）|λ（t，Yt）dF（z，Yt）dt< ∞,然后{Mt}t∈[0，T]是平方可积{Ft}T∈[0，T]-鞅和[Mt]=Et型+∞|H（s，z）|λ（s，Ys）dF（z，Ys）dst型∈ [0，T]。此外，{Mt}t的可预测协变量过程∈[0，T]的计算公式为Mt型=t型D | H（s，z）|λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds，即{Mt- Mt} t型∈[0，T]是{Ft}T∈[0，T]-鞅。在此框架中，我们定义了截至时间t的累计索赔额∈ [0，T]如下所示=n≥1Zn{Tn≤t}=t型+∞zm（ds，dz），保险准备金过程用t=R描述+TCSD- Ct，有关这些结果和其他相关主题，请参见。

[巴斯，2004年]。其中，R>0是初始财富和{ct}t∈[0，T]是非负{Ft}T∈[0，T]-表示总保险风险保费的适配流程。在后半部分中，我们假设ct=c（t，Yt），对于可测函数c（t，y），ETc（t，Yt）dt< +∞.现在我们允许保险人购买超额损失再保险合同。通过本协议，保险人选择α保留水平∈ [0, +∞) 对于任何未来的索赔，保险人应对超过该阈值α的所有金额负责（例如，α=0表示完全再保险）。对于任何动态再保险策略{αt}t∈[0，T]，保险人的盈余过程由RαT=R给出+t（cs- qαs）ds-t型+∞（z）∧ αs）m（ds，dz），其中{qαt}t∈[0，T]是非负{Ft}T∈[0，T]-表示再保险费率的自适应流程。此外，我们假设以下假设成立。假设2.1。（超额损失再保险保费）让我们假设对于任何再保险策略{αt}t∈[0，T]相应的再保险保费过程{qαT}T∈[0，T]允许以下表示：qαT=q（T，Yt，αT）ω ∈ Ohm, t型∈ [0，T]，其中q（T，y，α）：[0，T]×R×[0+∞) → [0, +∞) 是α中的连续函数，具有连续的偏导数q（t，y，α）α,q（t，y，α）α中的α∈ [0, +∞), 这样1。q（t，y，α）α≤ 0表示所有（t，y，α）∈ [0，T]×R×[0+∞), 由于保险费相对于保护水平不断增加；2、q（t，y，0）>c（t，y）（t，y）∈ [0，T]×R，因为不允许分出额获得无风险的收益。在论文的其余部分，q（t，y，0）α应作为右导数。假设2.1形式化了过程{qαt}t的最低要求∈[0，T]为再保险保费。在接下来的示例中，我们简要回顾了最著名的保费计算原则，因为它们广泛用于解决最优再保险问题。

在附录B中，读者可以找到以下公式（2.9）和（2.10）的严格推导。示例2.1。最著名的保费计算原则是期望值原则（简称EVP）。基本推测是，再保险人评估其保费是为了弥补预期损失加上取决于预期损失的负荷。在我们的框架中，根据EVP，再保险保费由以下表达式给出：q（t，y，α）=（1+θ）λ（t，y）+∞（z）- z∧ α） dF（z，y），（2.9），对于某些安全荷载θ>0。示例2.2。另一个重要的保费计算原则是差异保费原则（缩写VP）。在这种情况下，再保险人的负担与损失的方差成比例。更正式地说，再保险保费接受以下表示：q（t，y，α）=λ（t，y）+∞（z）- z∧ α） dF（z，y）+θλ（t，y）+∞（z）- z∧ α） dF（z，y），（2.10），对于某些安全荷载θ>0。见【Young，2006年】。从现在起，我们假设以下条件：Eeη∫Ter（T-s） q（s，Ys，0）ds< +∞ （2.11）此外，保险人可以以固定利率r借贷资金∈ R、 更准确地说，每次盈余为正值时，保险人都会将其借出，并在R>0时获得利息收入（或在R<0时支付利息费用）；相反，当盈余为负时，保险人借款并支付利息费用（如果r<0，则获得利息收入）。在这些假设下，与给定策略α相关的总财富动态由以下SDE描述：dXαt=dRαt+rXαtdt，Xα=R.（2.12）。可以验证（2.12）的解由以下表达式给出：Xαt=Rert+ter（t-s）c（s，Ys）- q（s，Ys，αs）ds公司-t型+∞er（t-s） （z）∧ αs）m（ds，dz）。

（2.13）我们的目标是找到最佳策略α，以最大化终端财富的预期指数效用，即发行Pα∈AE1.- e-ηXαT= 1.- infα∈AEe-ηXαT,其中η>0是风险规避参数，A是所有可接受策略的集合，如下所述。定义2.1。我们用所有可容许策略的集合表示，即所有非负{Ft}t的类∈[0，T]-可预测过程αT。用符号Atwe表示同一类，仅限于从T开始的策略∈ [0，T]。备注2.2。观察条件（2.11）是否暗示Ee-ηXαT< +∞ α ∈ A、 事实上我们有e-ηXαT= Ee-ηRerT-η∫Ter（T-s）c（s，Ys）-q（s，Ys，αs）ds公司-η∫T∫+∞er（T-s） （z）∧αs）m（ds，dz）≤ Eeη∫Ter（T-s） q（s，Ys，0）ds.与通常的随机控制问题一样，我们关注相应的动力学问题：ess infα∈吃了e-ηXαt，X（t）| Ft, t型∈ [0，T]，（2.14），其中XαT，X（T）表示保险人从（T，X）开始的财富过程∈ [0，T]×R在T时评估。3、HJB公式为了解决优化问题（2.14），我们引入了值函数v:[0，T]×R→(0, +∞) 与之相关的isv（t，x，y）。=infα∈吃了e-ηXαt，X（t）| Yt=y. （3.1）该函数预计可解Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：infα∈[0,+∞)Lαv（t，x，y）=0（t，x，y）∈ [0，T]×Rv（T，x，y）=e-ηx（x，y）∈ R、 （3.2）其中，Lα表示与常数控制α相关联的偶（Xαt，Yt）的马尔可夫发生器。在下面的内容中，我们用C1,2b表示所有有界函数f（t，x，…，xn）的类，其中n≥ 1，有界一阶导数ft，fx、 ，f与空间变量相关的有界二阶导数fx、 ，fxn。引理3.1。设f:[0，T]×R→ R是C1,2b中的函数。