随机因素风险模型的最优超额损失再保险

我们对

然而，即使对于无风险利率的正值，距离也不容忽视（见上图，r=0.05）。图4:EVP（红色）和VP（蓝色）下无风险利率对最优策略的影响。在图5中，我们研究了最优策略对时间范围变化的响应。这两个案例表现出相同的行为，这受到利率符号的强烈影响。事实上，如果r<0，保留水平会随着时间的推移而增加，而如果r>0，最佳策略会随着时间的推移而降低。图5:EVP（红色）和VP（蓝色）下的时间范围对最优策略的影响。最后，由于命题5.1，我们能够通过模拟Y的轨迹来数值近似值函数。图形结果（在VP下）如下图6所示。图6：初始时间的值函数v（0，x，y）。A、 附录命题2.1的证明。根据方程式（2.8），对于任何H（t，z）=HtA（z），且{Ht}t∈[0，T]任意非负{Ft}T∈[0，T]-可预测的过程和A.∈ B（[0+∞)) 我们得到了T+∞HtA（z）m（dt，dz）= En≥1HTn{Zn∈A} {Tn≤T}= ETHtλ（t，Yt）AdF（z，Yt）dt.自HTn{Tn≤T}是FT-n-可测量的随机变量（见[Br'emaud，1981]中的附录2，T4），用ut（A）=P[Zn]表示∈ A |英尺-] znft的条件分布-, 我们有T+∞HtA（z）m（dt，dz）= En≥1HTn{Tn≤T}P[Zn∈ A |英尺-n]=ETHtut（A）dNt= ETHtut（A）λ（t，Yt）dt.因此，以下等式成立THtut（A）λ（t，Yt）dt= ETHtλ（t，Yt）AdF（z，Yt）dt通过{Ht}t的任意性∈[0，T]和λ（T，Yt）的严格正性，我们最终得到A.∈ B（[0+∞)), ut（A）=AdF（z，Yt），dt×dP- a、 s。。B、 附录在本节中，我们推导公式（2.9）和（2.10）。

让我们用{Cαt}t表示∈[0，T]再保险人在T时的累积损失：CαT=t型+∞（z）- z∧ αs）m（ds，dz），t∈ [0，T]。回顾（2.5），通过示例2.1中的等式（2.9），我们可以很容易地检查任何策略{αt}t∈EVPE下的[0，T]tq（s，Ys，αs）ds= （1+θ）Et型+∞（z）- z∧ αs）λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds= （1+θ）Et型+∞（z）- z∧ αs）m（ds，dz）= （1+θ）E[Cαt]，对于一些安全荷载θ>0，即任何时间t∈ [0，T]预期保费包括预期损失加上额外（成比例）期限，即预期净收入。现在让我们关注示例2.2。根据VP，再保险保费应满足以下等式：Etq（s，Ys，αs）ds= E【Cαt】+θvar【Cαt】，（B.1）对于一些安全荷载θ>0。我们需要计算方差项。让我们介绍以下随机过程：Mαt=t型+∞（z）- αs）+m（ds、dz）- ν（ds，dz）, t型∈ [0，T]，表示（x- y） +=x- x个∧ y、 我们有thatvar[Cαt]=E[（Cαt）]- E【Cαt】=E|Mαt|+ Et型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds+ 2E类Mαtt型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds- E[Cαt]。表示方式Mαt Mαt的可预测协方差过程，使用备注2.1，我们最终得出Var[Cαt]=E[Mαt] +vart型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds= Et型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds+ 风险值t型+∞（z）- αs）+λ（s，Ys）dF（z，Ys）ds.在特殊情况下λ（t，y）=λ（t）和F（z，y）=F（z）（例如在Cram'er-Lundbergmodel下），对于任何常数策略α∈ [0, +∞) 上一个方程式将Var[Cαt]=Et型+∞（z）- α） +λ（s）dF（z）ds.将该公式推广到第2节中的模型，我们得到了表达式（2.10）。当然，会有一个近似误差，因为在我们的一般模型中，强度和粒度分布取决于随机因素。然而，这是精算文献中常见的程序。参考文献【Bass，2004】Bass，R.F.（2004）。带跳跃的随机微分方程。

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