随机因素风险模型的最优超额损失再保险

所有常数策略α的随机过程（Xαt，Yt）的马尔可夫发生器∈ [0, +∞) 由以下表达式给出：Lαf（t，x，y）=ft（t，x，y）+fx（t，x，y）rx+c（t，y）- q（t，y，α）+ b（t，y）fy（t，x，y）+γ（t，y）fy（t，x，y）++∞f（t，x- z∧ α、 y）- f（t，x，y）λ（t，y）dF（z，y）。（3.3）证明。对于任何f∈ C1,2b，将It^o公式应用于随机过程f（t，Xαt，Yt），我们得到如下表达式：f（t，Xαt，Yt）=f（0，Xα，Y）+tLαf（s，Xαs，Ys）ds+Mt，其中Lα在（3.3）和Mt中定义=tγ（s，Ys）fy（s，Xαs，Ys）dW（y）s+t型+∞f（s，Xαs- z∧ α、 Ys）- f（s，Xαs，Ys）m（ds、dz）- ν（ds，dz）.为了完成证明，我们必须证明{Mt}t∈[0，T]是{Ft}T∈[0，T]-鞅。第一学期，我们观察到tγ（s，Ys）fy（s，Xαs，Ys）ds公司< ∞,因为偏导数是有界的，并且使用假设（2.2）。对于第二项，可以使用f的有界性和条件（2.6）。备注3.1。由于偶（Xαt，Yt）是一个马尔可夫过程，所以任何马尔可夫控制的形式都是αt=α（t，Xαt，Yt），其中α（t，X，y）表示一个合适的函数。通过用αtin（3.3）替换α，可以很容易地获得与一般马尔可夫策略相关的生成器Lαf（t，x，y）。为了简化优化问题，我们给出了一个初步结果。备注3.2。让g：R→ [0, +∞) 是g（0）=0的可积函数。对于任何α∈ [0, +∞), 以下等式成立：+∞g（z∧ α） dF（z，y）=αg′（z）’F（z，y）dzy∈ R、 其中'F（z，y）。=1.- F（z，y）。事实上，通过部件集成，我们可以得到+∞g（z∧ α） dF（z，y）=αg（z）dF（z，y）++∞αg（α）dF（z，y）=g（α）F（α，y）- g（0）F（0，y）-αg′（z）F（z，y）dz+g（α）[1- F（α，y）]=-αg′（z）F（z，y）dz+αg′（z）dz=αg′（z）（1- F（z，y））dz。（3.4）现在让我们考虑ansatz v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） φ（t，y），这是由以下命题驱动的。提案3.1。

假设存在一个函数φ：[0，T]×R→ (0, +∞) 以下柯西问题的解决方案：φt（t，y）+b（t，y）φy（t，y）+γ（t，y）φy（t，y）+ηer（t-t） φ（t，y）-c（t，y）+infα∈[0,+∞)ψα（t，y）= 0，（3.5），最终条件φ（T，y）=1，y∈ R、 式中ψα（t，y）。=q（t，y，α）+λ（t，y）αeηzer（T-t） \'F（z，y）dz，α∈ [0, +∞). （3.6）然后函数v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） φ（t，y）（3.7）解决了（3.2）中给出的HJB问题。证据从表达式（3.7）我们可以很容易地验证eηxer（T-t） Lαv（t，x，y）=φt（t，y）- ηer（T-t） φ（t，y）c（t，y）- q（t，y，α）+ b（t，y）φy（t，y）+γ（t，y）φy（t，y）++∞eη（z∧α） er（T-t） φ（t，y）- φ（t，y）λ（t，y）dF（z，y）。根据备注3.2，取g（z）=eηzer（T-t）- 1，我们可以用更方便的方式重写最后一个积分：φ（t，y）λ（t，y）+∞eη（z∧α） er（T-t）- 1.dF（z，y）=φ（t，y）λ（t，y）αηer（T-t） eηzer（t-t） \'F（z，y）dz。现在，我们通过方程（3.6）定义ψα（t，y），得到以下等效表达式：eηxer（t-t） Lαv（t，x，y）=φt（t，y）- ηer（T-t） φ（t，y）c（t，y）+b（t，y）φy（t，y）+γ（t，y）φy（t，y）+ηer（t-t） φ（t，y）ψα（t，y）。以α为界∈ [0, +∞), 根据（3.5），我们在（3.2）中找到了PDE。（3.2）中的最终条件紧接着定义。前面的结果建议关注函数（3.6）的最小化，这是下一节的重点。最优再保险策略在本节中，我们研究以下最小化问题：infα∈[0,+∞)ψα（t，y），（4.1），其中ψα（t，y）：[0，t]×R→ (0, +∞) 定义见（3.6）。特别是，我们提供了最优再保险策略的完整特征。在续集中，我们假设0≤ F（z，y）<1（z，y）∈ [0, +∞) ×R.提案4.1。假设ψα（t，y）在α中是严格凸的∈ [0, +∞) 让我们定义一下 [0，T]×R如下：A=（t，y）∈ [0，T]×R |-q（t，y，0）α≤ λ（t，y）.

（4.2）如果方程式-q（t，y，α）α=λ（t，y）eηαer（t-t） \'\'F（α，y）（4.3）允许（0+∞) 对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A，用α（T，y）表示，那么最小化问题（4.1）允许唯一解α*（t，y）∈ [0, +∞) 由α给出*（t，y）=0（t，y）∈ A^α（t，y）（t，y）∈ [0，T]×R\\A.（4.4）证明。函数ψα（t，y）在α中是连续的∈ [0, +∞) 定义（见假设2.1）和任何（t，y）∈ [0，T]×R其导数由以下表达式给出：ψα（t，y）α=q（t，y，α）α+λ（t，y）eηαer（t-t） \'F（α，y）。（4.5）由于ψα（t，y）在α中是凸的∈ [0, +∞) 根据假设，if（t，y）∈ 雅典娜ψ（t，y）α≥ 0，然后是α*（t，y）=0，因为导数ψα（t，y）α在α中增加，在（0+∞). 否则，如果（t，y）∈ [0，T]×R\\n然后ψ（t，y）α<0和α*（t，y）与ψα（t，y）的唯一驻点重合，即^α（t，y）∈ (0, +∞). 让我们注意到它是通过假设存在的，并且它是唯一的，因为ψα（t，y）是严格凸的。根据前面的命题，我们观察到λ（t，y）是保险人的一个重要阈值：只要完全再保险的边际成本在区间（0，λ（t，y）]内，最佳选择就是完全再保险。不幸的是，检验ψα（t，y）在α中是否严格凸并不总是容易的∈ [0, +∞)或者不是。在下一个结果中，这样的假设被放宽，而需要（4.3）的解的唯一性。提案4.2。假设方程（4.3）允许唯一解^α（t，y）∈ (0, +∞)对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A.此外，让我们假设q（t，y，^α（t，y））α> -λ（t，y）eη^α（t，y）er（t-t）\'F（α（t，y），y）z（t，y）∈ [0，T]×R\\A.（4.6）那么最小化问题（4.1）允许唯一解α*（t，y）∈ [0, +∞) 由（4.4）给出。证据回顾命题4.1的证明，如果（t，y）∈ 雅典娜ψ（t，y）α≥ 0和α*（t，y）=0。

对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A，假设存在唯一的驻点α（T，y）∈ (0, +∞).通过简单计算，使用（4.6），我们注意到ψ^α（t，y）α> 0，因此^α（t，y）是唯一的极小值，这就完成了证明。下一个结果涉及（4.3）解的存在性。特别是，有必要要求索赔额分布为重尾分布，这是非人寿保险中的一个相关案例（见【Rolski等人，1999年，第2章】），再加上再保险费的技术条件。提案4.3。假设再保险保费q（t，y，α）等于limα→+∞q（t，y，α）α=l∈ 兰德从这个意义上讲，索赔规模分布是重尾的：+∞ekzdF（z，y）=+∞ k>0，y∈ R、 然后，对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\A，方程（4.3）至少允许（0+∞).证据重尾分布的以下性质是我们假设的一个众所周知的含义：limz→+∞ekz？F（z，y）=+∞ k>0，y∈ R、 因此，根据方程式（4.5），对于任何（t，y）∈ [0，T]×R\\Alimα→+∞ψα（t，y）α=limα→+∞q（t，y，α）α+λ（t，y）eηαer（t-t） \'F（α，y）= +∞.另一方面，我们知道ψ（t，y）α< 0 （t，y）∈ [0，T]×R\\A.因此，ψα（t，y）α在α中连续∈ [0, +∞), 存在^α（t，y）∈ (0, +∞) 诸如此类ψ^α（t，y）α= 0.现在我们将注意力转向命题4.1的另一个重要假设，即ψα（t，y）的凸性。读者可以很容易地看到，再保险保费凸性起着核心作用。提案4.4。假设再保险保费q（t，y，α）在α中是凸的∈ [0, +∞) andF（z，y）=（1- e-ζ（y）z{z>0}对于某些函数ζ（y），使得0<ζ（y）<ηmin{erT，1}y∈ R、 那么（3.6）中定义的函数ψα（t，y）在α中是严格凸的∈ [0, +∞).证据

回顾表达式（3.6），有必要证明以下项的凸性：αeηzer（T-t） \'F（z，y）dz。为此，让我们计算它的二阶导数：eηαer（T-t）ηer（T-t） \'F（α，y）+\'F（α，y）z.现在括号中的术语是ηer（T-t） e类-ζ（y）α- ζ（y）e-ζ（y）α>0t型∈ [0，T]。证明是完整的。根据命题2.1，上述索赔规模分布的假设可以理解为假设索赔呈指数形式有条件地分布到Y。E、 g.如果q在α中是凸的。4.1. 期望值原理现在我们研究示例2.1中引入的期望值原理的特例。提案4.5。在EVP（见等式（2.9））下，最优再保险策略α*（t）∈[0, +∞) 由α给出*（t） =e-r（T-t） 对数（1+θ）η，t∈ [0，T]。（4.7）证明。使用备注3.2，我们可以将方程（2.9）改写如下：q（t，y，α）=（1+θ）λ（t，y）+∞z dF（z，y）-α′F（z，y）dz.因此，我们有q（t，y，α）α= -（1+θ）λ（t，y）(R)F（α，y）α ∈ [0, +∞).对于α=0，我们有ψ（t，y）α=q（t，y，0）α+λ（t，y）<0（t，y）∈ [0，T]×R，因此A= 根据命题4.1，极小值属于（0+∞). 现在我们寻找静态点，即方程（4.3）的解，在这种情况下如下：（1+θ）λ（t，y）(R)F（α，y）=λ（t，y）eηαer（t-t） \'F（α，y）。（4.8）通过求解该方程，我们得到了（4.7）给出的唯一解。为了证明它与（4.1）的唯一极小值一致，有必要证明Ψα*（t） （t，y）α> 0.为此，请注意Ψα*（t） （t，y）α=q（t，y，α*（t） （）α+λ（t，y）eηα*（t） er（t-t）ηer（T-t） \'\'F（α*（t） ，y）+\'\'F（α*（t） ，y）z> -（1+θ）λ（t，y）\'\'F（α*（t） ，y）z+λ（t，y）eηα*（t） er（t-t）\'\'F（α*（t） ，y）z=0。证明是完整的。备注4.1。公式（4.7）由【Zhao等人，2013年】发现（见方程式3.31，第508页）。我们指出，这是一种完全确定的策略。

这一事实与执行副总裁的使用而非基础模型的使用密切相关；事实上，在【Zhao等人，2013年】中，作者考虑了EVP下的Cram'er-Lundberg模型。从经济学的角度来看，通过等式（4.7）可以很容易地表明，最优留存水平随着利率和风险规避而降低；相反，再保险人的安全负荷在增加。此外，到期时间的敏感性取决于r的符号。（4.7）的另一个相关方面是，它独立于索赔规模分布。在作者看来，这个结果似乎很不现实。事实上，任何超额损失合同的认购人都强烈担心可能发生的极端事件，因此预计索赔分配将发挥重要作用。事实上，在【Brachetta和Ceci，2019年】以及其中的参考文献中，EVP下的最佳比例保险证明是确定性的4.2，这并不奇怪。方差溢价原则本小节旨在推导方差溢价原则下的最优策略（参见示例2.2）。提案4.6。假设ψα（t，y）在α中是严格凸的∈ [0, +∞) 安德利姆兹→+∞eηmin{erT，1}z'F（z，y）=l，（4.9），对于某些l>0（最终l=+∞).在VP（见等式（2.10））下，最优再保险策略α*（t，y）是以下方程式的唯一解：eηαer（T-t） +2θα- 1.\'F（α，y）=2θ+∞αz dF（z，y）。（4.10）证明。证明基于命题（4.1）。通过方程式（2.10），我们得到其导数：q（t，y，α）α=λ（t，y）(R)F（α，y）（2θα- 1) - 2θλ（t，y）+∞αz dF（z，y）。很明显，（4.2）中定义的集合是空的，因为对于任何（t，y）∈ [0，T]×R-q（t，y，0）α=λ（t，y）(R)F（0，y）+2θλ（t，y）+∞z dF（z，y）>λ（t，y）。因此，极小值应与ψα（t，y）的唯一驻点重合，即。

（4.10）的解决方案。为了证明这一点，我们需要确保（4.10）的解的存在。为此，我们注意到ψ（t，y）α= -2θλ（t，y）+∞z dF（z，y）<0。另一方面，对于α→ +∞, 通过（4.9），我们得到limα→+∞ψα（t，y）α=λ（t，y）limα→+∞eηαer（T-t） +2θα- 1.\'F（α，y）- 2θ+∞αz dF（z，y）> 因此，通过ψα（t，y）的连续性，存在一个点α*∈ (0, +∞) 因此Ψα*（t，y）α= 0. 这样的解是唯一的，因为根据假设，ψα（t，y）是严格凸的。与命题4.5相反，命题4.6中给出的最佳保留水平仍然取决于

此时α*（t，y），函数ψα（t，y）是严格凸的，因为Ψα*（t，y）α= -ζ（y）Ψα*（t，y）α+λ（t，y）e-ζ（y）α*ηer（T-t） eηα*er（T-t） =λ（t，y）e-ζ（y）α*ηer（T-t） eηα*er（T-t） >0。因此α*（t，y）是命题4.4中唯一的极小化子。与方程（4.7）相反，显式公式（4.11）保持对托氏因子Y的依赖性。此外，以下结果是正确的。备注4.3。假设F（z，y）=（1- e-ζ（y）z{z>0}对于某些函数ζ（y），使得ζ（y）>0y∈ R、 我们考虑两种不同的再保险安全负荷θEVP，θVP>0，分别参考EVP和VP。此外，让我们用α表示*EVP（t）和α*VP（t，y）EVP和VP下的最佳保留水平，分别在方程（4.7）和（4.11）中给出。这很容易证明t型∈ [0，T]α*VP（t，y）> α*执行副总裁（t）y：ζ（y）<2θVPθEVP≤ α*EVP（t）另有规定。从实际角度来看，只要随机因素波动导致比率参数ζ（y）高于阈值2θVPθEVP，通过预期值原则评估的最佳保留水平就会大于方差原则。验证定理定理5.1（验证定理）。假设φ：[0，T]×R→ (0, +∞) 是有界经典解φ∈ C1,2（（0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）到柯西问题（3.5），这样φy（t，y）≤ C（1+| y |β）（t，y）∈ [0，T]×R，（5.1）对于某些常数β，C>0。那么函数v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） φ（t，y）（见方程式（3.7））是方程式（3.1）中的值函数。作为副产品，战略α*t、 =α*建议4.1中描述的（t，Yt）是一种最优控制。证据根据命题3.1，方程式（3.7）中定义的函数v（t，x，y）解决了HJB问题（3.2）。

因此，对于任何（t，x，y）∈ [0，T]×RLαv（s，XαT，X（s），Yt，y（s））≥ 0s∈ [t，t]，α∈ At，其中{Xαt，X（s）}s∈[t，t]和{Yt，y（s）}s∈[t，t]表示时间s时（2.12）和（2.1）的解∈[t，t]，从（t，x）开始∈ [0，T]×R和（T，y）∈ 分别为[0，T]×R。根据It^o的公式，我们得到v（T，XαT，X（T），Yt，y（T））=v（T，X，y）+TtLαv（s，Xαt，X（s），Ys）ds+MT，（5.2）带{Mr}r∈[t，t]由Mr定义=rtγ（s，Ys）vy（s，Xαt，X（s），Ys）dW（y）s+rt公司+∞v（s，Xαt，X（s）- z∧ α、 Ys）- v（s，Xαt，X（s），Ys）m（ds、dz）- ν（ds，dz）. （5.3）为了证明{Mr}r∈[t，t]是{Ft}t∈[0，T]-局部鞅，我们使用局部化参数，取τn.=inf{s∈ [t，t]| Xαt，X（s）<-n∨ |Ys |>n}，n∈ N、 读者可以很容易地检查{τN}N∈Nis是一个非递减的停止时间序列，如limn→+∞τn=+∞. 对于Mr的扩散项，使用假设（5.1）和（2.2），我们注意到T∧τntγ（s，Ys）vy（s，Xαt，X（s），Ys）ds公司= ET∧τntγ（s，Ys）e-2ηXαt，X（s）er（t-t）φy（s，Ys）ds公司≤ CnE公司T∧τntγ（s，Ys）ds< ∞ n∈ N、 其中Cn>0是一个常数，取决于N。对于跳跃项，根据条件（2.7）和2.1，我们得到T∧τnt+∞|v（s，Xαt，X（s）- z∧ α、 Ys）- v（s，Xαt，X（s），Ys）|ν（ds，dz）= ET∧τnt+∞e-ηXαt，X（s）（ez∧α- 1） φ（s，Ys）ν（ds，dz）≤CnET∧τnt+∞ezν（ds，dz）< ∞,其中▄Cn表示依赖于n的正常数。因此{Mr}r∈[t，t]原来是一个{Ft}t∈[0，T]-局部鞅与{τn}n∈Nis是它的本地化序列。现在，用T取（5.2）的期望值∧ τ在T的位置，我们得到e[v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T∧ τn））| Ft]≥ v（t，x，y）（t，x，y）∈ [0, ∧τn]×R，α∈ At，n∈ N、 让我们注意到e[v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T∧ τn））]≤Ce-2ηner（T-t）≤C，其中▄C>0是一个常数。因此，{v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T）∧ τn））}n∈Nis一致可积随机变量序列。

根据概率论的经典结果，它几乎肯定会收敛。利用{τn}n的单调性和有界性∈N、 连同{Xαt，X（s）}s的非爆炸∈[t，t]和{Yt，y（s）}s∈[t，t]（见（2.13）和（2.3）），取n的限值→ +∞ 我们得出结论，e[v（T，XαT，X（T），Yt，y（T））| Ft]=limn→+∞E[v（T∧ τn，Xαt，X（t∧ τn），Yt，y（T∧ τn））| Ft]≥ v（t，x，y）t型∈ [0，T]，α∈ 在作为副产品，自α*（t，y）在命题4.1中给出，实现了（4.1）中的最大值，我们得到了Lα*v（t，x，y）=0，重复上述计算，我们得到等式infα∈吃了e-ηXαt，X（t）| Yt=y= v（t，x，y），即α*t、 =α*（t，Yt）是最优控制。根据定理5.1，值函数（3.1）可以描述为解到偏微分方程（PDE）（3.5）的变换。然而，除了非常特殊的情况外，没有明确的表现主义。下面的结果通过费曼-卡克定理提供了概率表示。提案5.1。假设φ：[0，T]×R→ (0, +∞) 是有界经典解φ∈C1,2（（0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）到柯西问题（3.5），使得条件（5.1）完全满足。然后值函数（3.1）接受以下表示：v（t，x，y）=e-ηxer（T-t） E类e∫TtηeR（T-s）infα∈[0,+∞)ψα（s，Ys）-c（s，Ys）ds | Yt=y, （5.4）式中，ψα（t，y）是（3.6）中定义的函数。证据紧接着是定理5.1和φ（t，y）的Feynman-Kac表示。备注5.1。我们参考【Heath和Schweizer，2000】了解偏微分方程（3.5）解的存在性和唯一性。6、数值结果在本节中，我们展示了一些数值结果，主要基于命题4.5和4.7。