存在套利的Black-Scholes方程

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英文标题：
《The Black-Scholes Equation in Presence of Arbitrage》
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作者：
Simone Farinelli and Hideyuki Takada
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We apply Geometric Arbitrage Theory to obtain results in Mathematical Finance, which do not need stochastic differential geometry in their formulation. First, for a generic market dynamics given by a multidimensional It\\^o\'s process we specify and prove the equivalence between (NFLVR) and expected utility maximization. As a by-product we provide a geometric characterization of the (NUPBR) condition given by the zero curvature (ZC) condition. Finally, we extend the Black-Scholes PDE to markets allowing arbitrage.
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中文摘要：
我们应用几何套利理论来获得数学金融中的结果，这些结果在公式中不需要随机微分几何。首先，对于由多维It过程给出的一般市场动力学，我们指定并证明了（NFLVR）与预期效用最大化之间的等价性。作为副产品，我们提供了由零曲率（ZC）条件给出的（NUPBR）条件的几何特征。最后，我们将Black-Scholes偏微分方程扩展到允许套利的市场。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> The_Black-Scholes_Equation_in_Presence_of_Arbitrage.pdf (357.21 KB)

2022-6-14 14:09:38 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black chol

存在套利时的Black-Scholes方程：Farinlicore Dynamics GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006 ZurichEmail：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学Narashino校区信息科学高达系2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年10月13日摘要我们应用几何套利理论获得数学金融中的结果，数学金融中不需要随机微分几何。首先，对于由多维It^o过程的子类给出的一般市场动态，我们指定并证明了无免费午餐和消失风险（NFLVR）与预期效用最大化之间的等价性。作为一种副产品，我们提供了It^o过程子类的零曲率（ZC）条件给出的无无界Pro-fit-with-Bounded-Risk（NUPBR）条件的几何特征。最后，我们将Black-Scholes偏微分方程推广到允许套利的市场。关键词：N FLVR、NUPBR、几何套利理论、非线性Black-Scholes PDEAMS:91G80、53C07内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。42.2市场模型的几何重构：原语。62.3市场模型的几何重组：投资组合。72.4不同几何框架下的套利理论。82.4.1作为主要纤维束的市场模型。82.4.2 Nelson弱D-微分市场模型。102.4.3曲率套利。

123套利和效用204套利和衍生品定价264.1套利之前B缺乏Scholes偏微分方程。264.2修改后的Black-Scholes偏微分方程的近似解。295结论32A随机过程的广义导数331简介本文应用了一种称为几何套利理论（GAT inshort）的概念结构，以证明金融数学中的结果，这种结果在不使用随机微分几何的情况下是可以理解的，并扩展了众所周知的经典事实。因此，我们希望让数学金融界更广泛的公众能够接触到GAT。GAT用随机微分几何术语重新表述了经典的随机金融，以描述套利。GAT方法的主要思想包括对由基本金融工具构成的市场及其作为主要金融工具组合的期限结构进行建模。然后，该市场的金融特征（如无套利和均衡）以标准差异几何结构（如曲率）为特征，并与该基金会的自然联系相关联。在理论物理学中，主纤维束理论被大量利用，作为一种语言，通过提供一个不变的框架来描述物理系统及其动力学，可以最好地表述自然法则。

这些想法可以延续到数学金融和经济学。市场是一个金融经济系统，可以用一个适当的原则束来描述。一个类似于市场规律在数量变化下的不变性的原则可以被视为计量变化。Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下首次提出计量理论是描述经济的自然语言这一事实（[35]，[43]）。Ilinski（se e[27]和[28]）和Young[44]在对一些物理理论的分析中，提出将套利视为一个螺旋连接的曲率。独立地，[41]进一步发展了[15]开创性工作，并利用不同几何体的技术，在随机建模之前降低资产模型的复杂性。为什么套利建模很重要？无套利条件只是一个近似值，当我们考虑真实市场时，它是不完全满足的。非交易资产、交易频率低于2分钟的交易资产（参见[11]）或电力市场的情况就是如此，在电力市场中，我们不可能在任何给定时间完全清算投资组合，正如我们隐含的数学金融假设。长期以来，这一点已得到承认，近年来，允许病理案例以外的套利的市场建模取得了相关进展（见f.i.[23，38]）。数学金融模型的基准方法[21]允许套利，即使没有明确提及。本文的结构如下。

第2节回顾了经典的随机金融和几何滴定理论，总结了[12]，其中GAT利用了[40]、[9]、[10]、[20]、[42]和[24]中随机微分几何的形式背景，获得了严格的数学基础。套利被视为代表市场的主捆绑的曲率，它定义了与之相关的套利数量。零曲率条件是一个弱于无零风险免费午餐的条件（NFLVR）。在引入其他假设的情况下，它变得等效。例如，一个资产价格为It^o过程的市场。一般来说，零曲率条件源自无无界有界风险利润（NUPBR）条件，如我们在第3节中所述，我们分析了rbitrage与预期效用最大化之间的关系。证明了It^o过程的一个子类的等价性。在第4节中，GAT被用于在允许套利的市场情况下批准Black-Scholes偏微分方程的扩展。第5节总结，附录A回顾了Nelson的储蓄衍生品。2几何套利理论背景在这一节中，我们解释了文献[12]中介绍的几何套利理论的主要概念，并参考了这些概念的证明和其他示例。由于差异几何思想在数学金融界并不普遍，我们详细解释了资产模型作为带连接的主束的重新表述，其曲率可以视为轨道的度量。与[12]相比，提供了新的结果和更多的教学结果。2.1经典市场模型在本小节中，我们将总结经典设置，将在第2.4节不同几何术语中重新表述。

我们基本上遵循[26]和最终参考文献[7]。我们假设连续时间交易，交易日期集为[0+∞[.这一假设足够普遍，可以嵌入有限和有限离散时间的情况，以及连续时间内具有有限原点的情况。请注意，虽然真实世界中的交易确实只发生在离散时间，但这些都不是先验的，实际上可以是时间连续统中的任何点。这激发了连续时间随机函数的技术效应南希。不确定性通过过滤概率空间进行建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率度量，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增子σ-代数族∞以及(Ohm, A.∞, P） 是一个概率空间。假设过滤A满足通常条件，即右连续性：对于所有t∈ [0, +∞[.oA包含A的所有空集∞.市场由j=1、…、指数为的众多资产组成，N、 其名义价格由向量值半鞅S给出：[0+∞[×Ohm → Rn由（St）t表示∈[0,+∞[适用于过滤A.存储过程s（Sjt）t∈[0,+∞[描述了第j个资产在t时的价格，即t=0时的现金单位。更精确地说，我们假设存在第0个资产，即现金，一个严格正半鞅，它根据St=exp（Rtdu ru）演化，其中可积半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率：人们总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会不时发生变化。因此，现金账户被视为本地无风险资产，而不是其他风险资产。

在下文中，我们将主要利用不计算的价格，定义为^Sjt：=Sjt/St，以当前现金单位表示资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。但是，在我们的案例中，必须至少有一项严格为正的资产，即现金。如果我们想通过选择其他资产而不是cas h作为参考来重新规范价格，即通过将其设定为我们的数字，那么该资产必须具有严格的正向定价过程。更准确地说，通用数字是一种资产，其名义价格由严格正随机过程（Bt）表示∈[0,+∞[，这是一个原始资产的组合j=0，1，2，…，N。原始资产的贴现价格a再由semima rtingales^Sjt=Sjt/Bt表示。我们假设没有交易成本，允许卖空。请注意，交易成本的存在可能是对现实模型的严重限制。过滤A不一定由价格过程（St）t生成∈[0,+∞[：允许价格以外的其他信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤A。让v为正实数。v-容许策略x=（xt）t∈[0,+∞[是一个S-可积可预测过程，其It^o integralRtx·dS≥ -v a.s.适用于所有t≥ 0，x=0。如果一个策略对某些v是v-容许的，则该策略是允许的≥ 定义1（套利）。让进程（St）[0+∞[是半鞅且（xt）t∈[0,+∞[采用可接受的自我融资策略。让我们考虑交易u p到时间T≤ ∞. 时间t的投资组合财富由Vt（x）：=V+Rtxu·dSu给出，我们用k表示L的子集(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。

我们定义oC：=K- L+(Ohm, 第页）C：=C∩L∞(Ohm, 第页）\'\'C:L中C的闭合∞关于范数拓扑VV：=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值.o VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV型: V-容许自我融资策略的终端财富。让我∞+(Ohm, AT，P）是L中的正随机变量集∞(Ohm, AT，P）。我们说S满足o（NA），无套利，当且仅当C∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}（NFLVR），无风险消失的自由lu nch，当且仅当'C∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}（NUPBR），无无界pro-fit-with-bounded-ri sk，当且仅当某些V的VVTis在L中有界>0时。[6]和[30]阐述了这三种不同类型套利之间的关系，并证明了以下结果。定理2。（NF LV R）<=> （NA）+（NUP BR）。备注3。我们记得，如【6、30、32、31】所示，（NUPBR）相当于（NAA 1），即第1类无合意套利，相当于（NA 1），即第1类无套利。2.2市场模型的几何重构：Primitives我们将介绍第2.1节中介绍的市场模型的更一般表示，它更适合套利建模任务。定义4。规范是两个A-适应实值半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R称为减容剂，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、 它被称为期限结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为估值日期，t：{（t，s）∈ [0 , +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。几乎可以肯定的是，对于所有t，s，必须满足以下特性：≥ t型≥ 0; Pt，s>0，Pt，t=1。可在固定收入范围之外考虑债务和债务结构。

任意金融工具被映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是金融工具在时间t的价值，用一些数字表示。如果我们选择现金账户，第0个资产作为num'eraire，那么我们可以设置Djt：=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构：Pt，sis是指在时间t时（以时间t的贴现单位表示）到期日为s的合成零息债券在时间s时交付一单位金融工具的价值。它代表了与所选数量相关的远期价格的期限结构。我们指出，对于描述资产模型的定义和期限结构，没有唯一的选择。例如，如果一组衰减因子合格，那么我们可以将每个衰减因子乘以相同的半鞅，以获得另一组合适的衰减因子。当然，期限结构必须根据情况进行修改。术语“deflicator”显然受到精算数学的启发，并在[41]中首次引入。在当前上下文中，它指的是资产价值除以严格正半鞅（如果存在这种情况，则可以是国家定价，并按数字计算）。无需假设一个偏差是一个积极的过程。然而，如果我们想将资产计入我们的收入，那么我们必须确保相应的负债是一个严格的正随机过程。2.3市场模型的几何重构：投资组合我们现在想引入贴现率和期限结构的转换，以便对包含相同（或更少）随机信息的计量表进行分组。对于这一点，我们将考虑由相同指标建模的资产的确定性线性组合（例如，相同信用质量、不同利率的零债券）。定义5。

设π：[0+∞[-→ R是确定的现金流强度（可能是广义的）函数。它引起规范变换（D，P）7→ π（D，P）：=（D，P）π：=（Dπ，Pπ）通过公式化的πt：=DtZ+∞dhπhPt，t+h，Pπt，s：=Z+∞dhπhPt，s+hZ+∞dhπhPt，t+h。备注6。现金流强度π规定了债券现金流结构。按市场模型数字计算的债券价值由Dπt给出。按债券现值表示的债券未来远期价格的期限结构由Pπt，s.命题7给出。现金流向量引起的规范变换具有以下特性：（（D，P）π）ν=（（D，P）ν）π=（D，P）π*ν、 （1）其中* 分别表示两个现金流向量或强度的卷积积：（π* ν） t：=Ztdhπhνt-h、 （2）证明。我们可以观察到（Dπt）ν=DπtZ+∞dhνhPπt，t+h=DtZ+∞dhνhZ+∞duπuPt，t+h+u。通过改变变量v：=h+u，我们得到（Dπt）ν=DtZ+∞dvZvdhνhπv-h类Pt，t+v=（Dt）π*ν与（Dνt）π重合，证明了（1）的第一个分量。第二个组件可以类似地派生。两个不可逆规范变换的卷积是不可逆的。不可逆规范变换的不可逆演化是不可逆的。定义8。期限结构可以写为ins等值远期利率fde定义的asft的函数，s：=-行程Pt，s，Pt，s=expA-Zstdhft、h~a和RT：=lims→t+ft，s（3）称为短期利率。备注9。由于（Pt，s）t，sis是一个依赖于参数s的t-随机过程（半鞅）≥ t、 s-导数可以确定，上述表达式在经典和广义意义上具有路径意义。在广义意义上，任何ω都有一个D′导数∈ Ohm; 如果Pt，s（ω）是s的C函数，则这对应于经典的s-连续导数≥ 0和ω∈ Ohm.备注10。