Black-Scholes公式的级数表示

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英文标题：
《A series representation for the Black-Scholes formula》
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作者：
Jean-Philippe Aguilar
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We prove and test an efficient series representation for the European Black-Scholes call, which generalizes and refines previously known approximations, and works in every market configuration.
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中文摘要：
我们证明并测试了欧洲Black-Scholes调用的一个有效级数表示，它推广和细化了以前已知的近似，并且适用于每个市场配置。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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关键词：SCHOLES choles Holes Black chol

论文o2017A年11月2日，巴黎拉佩尔广场18号，模特部，Black Scholes公式Jean-Philippe AguilarBRED Banque Populaire的系列代表-75012 Jean-Philippe。aguilar@bred.frContentsI简介1II定价公式2I绿色函数法。3II作为复积分的买入价格。3III剩余总和。5IV Brenner Subrahmanyam和re-nement。7III数值试验8I收敛速度。8II系列与BS公式之间的比较。9IV结束语9A附录：梅林变换和残基10I一维梅林变换。10II多维梅林变换。11摘要（38），概括和定义了以前已知的近似值，适用于所有市场配置。关键词期权定价，Black-Scholes近似，Mellin变换，多维复分析。著名的Black-Scholes公式[5]V（S，K，r，σ，τ）=SN（d+）-Ke公司-rτN（d-) d±=σ√τlogSK+rτ±σ√走向K和到期时间τ（1）N（）期权τ=T-t、 如果市场条件由基础（现货）资产价格S、波动率σ和无风险利率r来描述。了解Black-Scholes公式是否可以近似为ARXIV:1710.01141v2【q-fin.PR】2017年10月27日II定价公式2一些简单术语是一个有趣的问题。

在资产处于“货币远期”的强烈假设下，这是Whens’Ke-rτ（2）[14]：V（S，K，r，σ，τ）\'0.4 Sσ√τ（3）这种近似在某些情况下可能有用，但有一些主要缺点：K=r=σ=τ=近似值（3）yieldsV（4000×e-0.01×1= 3960.2, 4000, 0.01, 0.2, 1) \' 3960 × 0.4 ×0.2√1=316.82（4），而通常的Black-Scholes公式（1）yieldsV（3960.2，4000，0.01，0.2，1）=315.45（5）（3）。（1） Skestrella在[]中注意到，Black-Scholes公式混合了两个强差分量（参数）在整个实轴上收敛，但精度较低。如Estrella所示，这会导致在参数值的合理范围内，（1）的泰勒级数发散的情况。Black-Scholes公式（1）的信息公式，适用于所有市场情况和canconverging系列（38）。这个级数的项非常简单且易于计算，收敛速度与σ一样快√τ很小，并且在任何情况下都是绝对收敛的。本文的结构如下：首先，我们推导了Europeancall定价的级数公式。起点是Black-Scholes偏微分方程解的格林表示；theproof使用了complex analysis股份有限公司的工具。我们在ATM正向情况下讨论了我们的公式，并表明它也构成了Brenner-Subrahmanyam近似的一个补充。在任何市场文献中，经过几次迭代后，结果都非常接近Black-Scholes公式。二、定价公式Black-Scholes模型是一个高斯模型，其中标的资产价格假设为DσI绿色函数方法3V（SKrσt）t带终端条件的部分微分方程（PDE）[5]：五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0吨∈ [0，T]V（S，K，r，σ，T=T）=[S- K] +（6）I。

众所周知，格林函数方法（参见Wilmott[]的经典教科书）是随着变量的变化x：=对数S+（r-σ） ττ：=T-tV（S、K、r、σ、t）：=e-rτW（x，K，r，σ，τ）（7）然后Black-Scholes PDE（6）恢复到扩散（或热）方程Wτ-σWx=0（8），其基本解（即格林函数）是热核：g（x，K，r，σ，τ）：=σ√2πτe-x2στ（9）在这组新变量中，终端条件变成初始条件：W（x，K，r，σ，τ=0）=[ex-K] +（10）因此，通过格林函数的方法，我们知道我们可以表示W asW（x，K，r，σ，τ）=+∞Z-∞[前+后-K] +g（y，K，r，σ，τ）dy（11）返回初始变量（我们保留到期时间τ的符号）：V（S，K，r，σ，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r-σ） τ+y-K] +σ√2πτe-y2στdy（12）II。

买入价格作为一个复杂的积分让我们引入符号sz：=σ√τ，[log]：=logSK+rτ（13），然后我们可以写：[Se（r-σ） τ+y-K] +=K[e[对数]-z+y-1] +（14）II将买入价格作为复积分4，并将价格（12）改写为：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ√2π∞Zz公司-[日志]（e[日志]-z+y-1） ze公司-y2zdy（15）（15）（50）附录和[8，6]或任何关于积分变换的专著）：ze-y2z=zc+i∞Zc公司-我∞Γ（t）y2z-tdt2iπ（c>0）（16）因此我们有：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ√2πc+i∞Zc公司-我∞tΓ（t）∞Zz公司-[日志]（e[日志]-z+y-1） y型-2tdy z2t-1dt2iπ（17）在y积分中按部分积分得到：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ√2πc+i∞Zc公司-我∞tΓ（t）2t-1.∞Zz公司-[日志]e[日志]-z+yy1-2tdy z2t-1dt2iπ（18）见附录（50）：e[对数]-y+y=c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）[日志]-z+y-tdt2iπ（c>0）（19）因此，买入价为：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ√2π×c+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tt2t-1Γ（t）Γ（t）∞Zz公司-[日志]y1-2吨[日志]-z+y-tdy z2t-1dt2iπ∧dt2iπ（20）y积分是Bêta积分[1]的特例，等于：∞Zz公司-[日志]y1-2吨[日志]-z+y-tdy公司=z-[日志]2.-2吨-tΓ（1- t） Γ(-2+2t+t）Γ（2t-1） （21）Re（t）<Re（t+t）>（20）（t-)Γ（t-) = γ函数的Γ（t）公式[1]：Γ（t）Γ（2t）=21-2吨√πΓ（t+）（22）III剩余和5我们得到：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ×c+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-t型-tΓ（t）Γ（1-t） Γ(-2+2t+t）Γ（t+）z-[日志]2.-2吨-tz2t-1dt2iπ∧dt2iπ（23）III.剩余总和让我们介绍一下符号ST：=ttc：=复写的副本dt：=dt∧dt（24）与复微分2型ω=(-1)-t型-tΓ（t）Γ（1-t） Γ(-2+2t+t）Γ（t+）z-[日志]2.-2吨-tz2t-1dt（2iπ）（25）那么我们可以将买入价格写在以下形式下：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτZc+iRω（26），其中c位于双Mellin-Barne积分（23）的收敛多面体中P={t∈ C、 与微分形式（25）相关的Re（2t+t）>2，Re（t）>0，Re（t）<1}（27）C（66）数量（见附录中的定义（58））为： =2.- 11- 1 + 1=（28）且容许半平面为∏:=nt公司∈ C、 Re公司( .

t） <.欧氏标量积意义下的co（29）。因此，该半平面位于直线T=-t+c+c（30）在该半平面中，圆锥体∏如图1所示，由∏定义：=nt∈ C、 Re（t）≤ 0，Re（2t+t）≤ 2o（31）包含并兼容两个除数族D=nt∈ C-2+2t+t=-n、 n个∈ 节点=nt∈ C、 t=-n、 n个∈ No（32）III剩余求和6DΓ(-+t+t）DΓ（t）D∩ D∏（26）。Γ(-+奇异集D的t+t）Γ（t）元∩ D、 我们改变变量：（u：=-2+2t+tu：=t-→t=（2+u-u） t=udt∧dt=du∧du（33），所以在这个新的配置中ω读ω=(-1)-uu公司-u-1Γ（u）Γ（1-u） Γ（u）Γ（1+u-u+1）z-[日志]-uzu公司-u+1du2iπ∧du2iπ（34）DDΓ（u）Γ（u）（uu）=(-n-m） 纳米∈ Nsingularity（48），我们可以写ω~（u，u）→(-n-m）(-1)-u型(-1） n+mn！m！u-u-1Γ(1 - u） Γ（1+u）-u+1）z-[日志]-uzu公司-u+1du2iπ（u+n）∧du2iπ（u+m）（35），因此，根据柯西公式，残留物为：Res（u=-n、 u=-m） =(-1） nn型-m级-1.-1n！Γ（1+m-n+1）z-[日志]新西兰元-n+1（36）IV Brenner-Subrahmanyam和re-nement 7b根据留数定理（66），整个锥中的留数之和等于积分（26）：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ∞∑n、 m=0(-1） nn型-m级-1.-1n！Γ（1+m-n+1）z-[日志]新西兰元-n+1（37）米→ m+Z：=Z√=σ√τ√我们最终得到：【log】：=logSK+rτZ：=σ√τ√通过绝对收敛的二重级数：V（S，K，r，σ，τ）=Ke-rτ∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ（1+m-n）Z-[日志]新西兰元-n（38）IV.Brenner Subrahmanyam和re-nementBy【log】的定义，ATM前向配置意味着：S=Ke-rτ==> [对数]=0（39）在这种情况下，系列（38）变为SV（S，K，r，σ，τ）=S∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ（1+m-n） Zn+m（40）这个级数现在是Z的正幂级数。

它从n=0，m=1开始，如下所示：V（S，K，r，σ，τ）=SΓ（）Z+O（Z）（41），回顾Z=σ√τ√还有那个Γ（）=√π[1]，我们得到v（S，K，r，σ，τ）=S√2πσ√τ+O（στ）（42）为：√2π‘0.399’0.4（43）我们因此恢复了Brenner-Subrahmanyam近似（3）：V（S，K，r，σ，τ）=0.4 Sσ√τ+O（στ）（44）（40）σ√τ(38)σ√τ[对数]的幂出现。III数值试验8III。数值试验。收敛速度值得注意的是，在序列（38）中，只有前几个项起作用，并且序列（38）的部分项（K=r=σ=τ=τ）作为m序列，即表1和表2中的垂直列之和，到期时间τ为1或5年。我们观察到，在这两种情况下，收敛速度都很快。τ=1Y 1 2 3 4 5 6 70 315.978 39.602 4.213 0.396 0.034 0.003 0.0001-121.367-19.367-2.427-0.258-0.024-0.002-0.0002 14.839 3.720 0.594 0.074 0.008 0.001 0.0003 0-0.303-0.076-0.012-0.002-0.000-0.0004-0.116 0.005 0.001 0.000 0.000 0 0005 0 0.001 0-0.000-0.000-0.000-0.0006 0.001 0-0.000 0.000 0.000 0.000致电209.335 232.987 235.295 235.496 235.512 235.514 235.514（nm）S=K=r=σ=τ=Y-3在对级数中的极少数项求和之后。τ=5Y 1 2 3 4 5 6 7 8 90 678.845 190.246 45.256 9.512 1.810 0.317 0.052 0.008 0.0011-192.706-68.762-19.271-4.584-0.0964-0.183-0.032-0.005-0.0012 17.413 9.760 3.483 0.976 0.232 0.049 0.009 0.002 0-0.0003 0-0.588-0.330-0.118-0.033-0.008-0.002-0.000-0.0004-0.074 0 0.015 0.008 0.003 0.001 0.000 0.000 0.0005 0.002 0-0.000-0.000-0.000-0.000-0.000-0.000-0.0006 0.000 0-0.000 0.0000.000 0.000 0.000 0.000调用503.477 634.134 663.288 669.082 670.131 670.306 670.334 670.338 670.338表2：与表1中的参数集相同，但期限更长τ=5年。收敛速度稍慢，但仍然非常有效。（38）到期（1年和5年）。II系列与BS公式9II之间的比较。

系列与BS公式（38）之间的比较n=m=-6K=4000，r=1%，σ=20%。在货币（S=3800）中，τ=1Yτ=2Yτ=3Yτ=4Yτ=5YBlack-Scholes公式235.5135954 376.3907685 488.2564760 584.4538077 670.3385381系列（38），20（n，m）-在货币（S=400）τ=1Yτ=2Yτ=4Yτ=5YBlack-Scholes公式下迭代235.51359554 376.3907685 488.2564760 584.4538077 670.3385381 337.3327476 486.1060719 603.0304375 703.1314722 792.2680293系列（38），20（n，m）-迭代337.3327476 486.1060719 603.0304375 703.1314722 792.2680293货币（S=4200）τ=1Yτ=2Yτ=3Yτ=4Yτ=5YBlack-Scholes公式458.7930654 609.5901660 728.9304673 831.3409473 922.6298574系列（38），20（n，m）-迭代458.7930654 609.5901660 728.9304673 731.3409473 922.6298574IV。结语（38）更有趣的是，用于获得此结果的技术适用于更广泛的一类问题。变量y：V=ZPayo f×绿色f函数dy（45）技术适用。这类Lévy过程的情况尤其如此（Black Scholesprogress[3]）。附录：MELLIN变换和剩余10A。附录：MELLIN变换和剩余在这里简要介绍了本文中使用的一些概念。一维Albarnes积分理论在[12，13，2]中发展。I.一维MELLIN变换fr+f*定义byf*（s） :=∞Zf（x）xs-1dx（46）积分（46）收敛到的收敛区域{α<Re（s）<β}通常称为变换的基本条带，有时表示为<α，β>。2.

指数函数的梅林变换定义为Euler Gamma函数：Γ（s）=∞Ze公司-xxs型-1dx（47）{Re（s）>}期望在每个负s=-n整数，其中允许奇异行为Γ（s）~s→-n个(-1） nn！s+nn∈ N（48）收敛条：f（x）=c+i∞Zc公司-我∞f*（s） x个-sds2iπc∈ （α，β）（49）尤其是对于指数函数，可以得到所谓的Cahen-Mellin积分：e-x=c+i∞Zc公司-我∞Γ（s）x-sds2iπc>0（50）4。当f*（s） 是线性变元Gamma函数乘积的比率：f*（s） =Γ（as+b）。Γ（ans+bn）Γ（cs+d）。Γ（cms+dm）（51）然后我们谈到梅林-巴恩斯积分，其特征量定义为 =n∑k=1ak-m级∑j=1cj（52）II多维梅林变换11f*（s） | s |→ ∞（49）f的解析延拓的余数求和*（s） 收敛条的右侧或左侧： < 0 f（x）=-∑Re（sN）>βResSNf*（s） x个-s > 0 f（x）=∑Re（sN）<αResSNf*（s） x个-例如，在Cahen-Mellin积分的情况下 = 1，因此：e-x个=∑Re（sn）<ResSn（s）x-s=∞∑n=0(-1） nn！xn（54），如指数函数的通常泰勒级数所预期的。二、多维Mellin transformsakcjCbkdjt：=ttc：=复写的副本当我们处理一个zc+iRω（55）类型的积分时，其中ω是一个复微分2形式，读取ω=Γ（a.t+b）。Γ（an.tn+bn）Γ（c.t+d）。Γ（cm.tm+bm）x-泰-tdt2iπ∧dt2iπx，y∈ R（56）由Gamma函数的奇异性诱导的奇异集dk：={t∈ C、 ak。tk+bk=-nk，nk∈ N}k=0。n（57）称为ω的除数。ω的特征向量定义为 =n∑k=1ak-m级∑j=1cj（58），容许半平面∏:= {t∈ C.t<.c} （59）2。让ρkin R，hk:C→ C是线性应用，∏kbe是∏k：={t型Cof的子集∈ C、 Re（hk（tk））<ρk}（60）Cis中的一个圆锥体，笛卡尔积∏=∏×∏（61），其中∏和∏为（60）型。

其面魟kare魟k：=∏kk=1，2（62）参考文献12及其可分辨边界或顶点为Π := φ∩ Д（63）<n<nD=∪nk=0Dkω两个子家族D：=∪nk=1DkD：=∪nk=n+1DkD=D∪ D（64）我们说圆锥∏ 与除数族D兼容的CI如果：-其可分辨边界为c；-每个除数和Dintersect最多有一张脸：Dk∩ ^1k= k=1，2（65）4。多维Mellin-Barnes积分的留数定理[，]：If 6=0，如果∏ Π是位于容许半平面内的相容锥，thenZc+iRω=∑t型∈Π∩（D）∩D） Restω（66），级数绝对收敛。残基可以理解为柯西残基的“自然”推广，即：Res“f（t，t）dt2iπtn∧dt2iπtn#=（n-1)!（n）-1)!n+n-2.田纳西州-1.田纳西州-1f（t，t）| t=t=0（67）参考文献[1]Abramowitz，M.和Stegun，I.，数学函数手册，1972年，多佛出版社[2]Aguilar，J.-Ph.，Représentation de Mellin Barnes et anomalie magnétique du muon，2008年，PhDThesis CPT-CNRS Marseille[3]Lévy稳定模型公式，arXiv:1609.00987[4]Brenner，M.和Subrahmanyam，M.G。，Black-Scholes模型中的期权估价和Hedginging的简单方法，1994年，《金融分析师杂志》，25-28[5]政治经济学，81637[6]Erdélyi，O.F.，Magnus，W.，Tricomi，G.，积分变换表，1954年，McGraw&Hill[7]1995年，纽约联邦储备银行，研究论文#9501参考文献13[8]理论计算机科学，1995，144，3-58[9]Grif fith，P.和Harris，J.，《代数几何原理》，1978年，Wiley&sons【10】diffusion，Physica A，449，（2016）pp.200–214【11】计算和应用数学，2005年，178年，321-331【12】Mellin Barnes积分的应用，1994年，数学方面，E26，233-241【13】Passare，M.，Tsikh，A.，Zhdanov，O.，多重Mellin Barnes积分作为Calabi Yaumanifolds时期，1997年，Theor。数学