Volterra-Heston模型下的均值-方差投资组合选择

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英文标题：
《Mean-variance portfolio selection under Volterra Heston model》
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作者：
Bingyan Han and Hoi Ying Wong
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Motivated by empirical evidence for rough volatility models, this paper investigates continuous-time mean-variance (MV) portfolio selection under the Volterra Heston model. Due to the non-Markovian and non-semimartingale nature of the model, classic stochastic optimal control frameworks are not directly applicable to the associated optimization problem. By constructing an auxiliary stochastic process, we obtain the optimal investment strategy, which depends on the solution to a Riccati-Volterra equation. The MV efficient frontier is shown to maintain a quadratic curve. Numerical studies show that both roughness and volatility of volatility materially affect the optimal strategy.
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中文摘要：
基于粗糙波动率模型的经验证据，本文研究了Volterra-Heston模型下的连续时间均值方差（MV）投资组合选择。由于模型的非马尔可夫和非半鞅性质，经典的随机最优控制框架不能直接应用于相关的优化问题。通过构造一个辅助随机过程，我们得到了最优投资策略，该策略依赖于Riccati-Volterra方程的解。MV有效前沿保持二次曲线。数值研究表明，波动率的粗糙度和波动率都会对最优策略产生重大影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Mean-variance_portfolio_selection_under_Volterra_Heston_model.pdf (2.39 MB)

2022-6-14 14:44:28 上传

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关键词：volterra 投资组合选择 投资组合 Volt sto

Volterra-Heston模型下的均值-方差投资组合选择Bingyan Han*王海英+2020年1月24日摘要基于粗糙波动率模型的经验证据，本文研究了Volterra-Heston模型下的连续时间均值方差（MV）投资组合选择。由于模型的非马尔可夫和非半鞅性质，经典的随机最优控制框架不能直接应用于相关的优化问题。通过构造一个辅助随机过程，我们得到了最优投资策略，它依赖于Riccati-Volterra方程的解。MV效率边界显示为保持二次曲线。数值研究表明，波动率的粗糙度和波动率都会对最优策略产生重大影响。关键词：均值-方差投资组合、Volterra-Heston模型、Riccati-Volterra方程、粗糙波动率。数学学科分类：93E20、60G22、49N90、60H10.1简介研究粗糙波动率模型的兴趣越来越大【15、11、20】。粗糙波动率模型是一种随机波动率模型，其轨迹在H¨older正则性方面比标准布朗运动的路径更粗糙。具体而言，当H¨olderregularity小于1/2时，随机路径被视为粗糙路径。粗糙度与赫斯特参数H密切相关。本文主要关注Volterra-Heston模型，该模型的概率表征不涉及粗糙路径理论[11]。粗糙波动率模型很有吸引力，因为它们只需几个额外的参数就能很好地捕捉历史波动率和隐含波动率的动态。通过对高频数据的已实现挥发度时间序列的研究，估计赫斯特参数h接近0.1，远小于标准布朗运动的0.5。

赫斯特参数用于反映时间序列的记忆性，并与分数布朗运动（fBM）的彻底性相关。H越小，时间序列模型越粗糙。因此，实证结果表明，与标准布朗运动相比，波动性的实现路径更为粗糙。尽管之前的研究发现，已实现波动率序列具有长记忆特性，但[15]表明，粗糙波动率模型可以产生长记忆的推断。然而，带有小Hurst参数的模拟路径与实际路径相似。粗糙波动率模型还可以更好地捕捉隐含波动率表面的期限结构，尤其是对于到期日为零时ATM倾斜的爆发。更准确地说，设σBS（k，τ）为期权的隐含波动率，其中k为对数货币，τ为到期时间。到期时的ATM偏差τ由φ（τ）定义，σBS（k，τ）kk=0。(1.1)*香港中文大学统计系，香港，byhan@link.cuhk.edu.hk+香港中文大学统计系，香港，hywong@cuhk.edu.hkSee例如，牛津曼学院的realized library位于https://realized.oxford-man.ox.ac.uk/dataEmpirical有证据表明，当τ↓ 然而，传统的波动率模型（如Heston模型[21]）产生了一个小τ的恒定ATM偏差。如果波动率由分数布朗运动建模，则ATM偏斜具有无症状性质【14】，φ（τ）≈ τH-1/2，当τ↓ 0，（1.2），其中H是赫斯特参数。粗略波动率模型可以通过简单地调整H来很好地适应爆炸。最近的进展为粗略波动率模型提供了优雅的理论基础。

我们注意到隐含波动率的鞅展开公式【14】、fBM的渐近分析【14，第3.3节】、粗糙Heston模型的微观结构基础，通过缩放Oper-Hawkes过程的极限【9】、粗糙Heston模型的闭合形式特征函数直至分数Riccati方程的解【11】，以及粗糙Heston模型下期权的套期保值策略【10】。在本文中，我们对a ffne-Volterraprocesses【3】特别感兴趣，因为这些模型将粗糙赫斯顿模型【11】作为特例。将[11]中的特征函数推广到Riccati-Volterra方程[3]中的指数变换公式。【23】中的金融问题采用了一种新的Volterra过程。此外，在[20]中引入了赫斯顿模型的另一种粗略版本，由此导出了一些渐近结果。虽然粗糙波动率文献侧重于期权定价，但只有少数工作有助于拓扑组合优化，如[12、13、4]。他们都考虑效用最大化。据我们所知，这是第一篇在粗糙随机环境下考虑均值-方差（MV）投资组合选择的论文。马科维茨开创性的投资组合选择MV准则是现代投资组合理论的基石。我们不能给出与这项诺贝尔奖获得者工作相关的研究成果的完整列表，但要提到连续时间环境中的贡献【36、27、26、6、22、31】作为重要参考。1.1主要贡献我们以合理的方式制定Volterra-Heston模型下的MV投资组合选择。正如[3，23]所指出的，Volterra-Heston模型（2.6）-（2.7）在弱解中具有唯一性，但其路径唯一性通常仍然是一个悬而未决的问题。

这迫使我们在满足通常条件的一般过滤F下考虑MV问题，但可能不是布朗运动产生的增强过滤。类似的一般设置也出现在[22]中。我们强调，概率基础和布朗运动在第3节的问题中始终是固定的。因此，我们的公式仍然被认为是天文公式，因为过滤概率空间和布朗运动不是控制的一部分。在这样一个问题公式下，我们在第4节构造了一个辅助随机过程，通过平方完成来解决MV投资组合选择问题。定理4.1给出了MTA的几个性质，这是本文的主要结果。与[11，10，3]一样，我们也遇到了一些困难，因为Volterra-Hestonl模型（2.6）-（2.7）的非马尔可夫和非半鞅结构。受[3，11]中指数公式的启发，该过程基于适当替代度量下的远期方差。定理4.3给出了最优投资策略的显式解。在粗糙赫斯顿模型下，我们研究了粗糙度对最优投资策略的影响*. 最近，有人提出了一种利用粗糙度信息的交易策略[18]。该策略做多最粗糙的股票，做空最平滑的股票。这种策略的过度回报并没有通过标准因子模型（如CAPMmodel和Fama-French模型）得到充分解释。我们在MV设置下检查此交易信号。我们的理论预测，在波动性不同的情况下，粗糙度对投资策略的影响是相反的。我们还讨论了有效边界上的粗糙度效应。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了Volterra-Heston模型和一些有用的性质。

我们讨论了一个相关的Riccati-Volterra方程。然后，我们在第3节中公式化了MV投资组合选择问题，并在第4节中明确解决了它。第5节给出了数值澄清。第6节总结全文。附录A总结了Riccati-Volterra方程解的存在性和唯一性。附录B证明了定理4.1中的辅助结果。2 Volterra-Heston模型我们的问题是在给定的完全概率空间下定义的(Ohm, F、 P），过滤系数为{Ft}0≤t型≤t满足通常条件，支持二维布朗运动W=（W，W）。过滤F不一定是W产生的强化过滤；因此，它可以是严格意义上更大的过滤。这种考虑不同于之前的一些研究，如【27、26、31】，但与【22】在一般过滤条件下的MV套期保值问题一致。这一考虑很重要，因为随机Volterra方程（2.6）-（2.7）只有唯一的定律弱解，但其强唯一性在总体上仍然是一个悬而未决的问题。回想一下，对于随机微分方程，如果X适用于W产生的增强过滤，则称为强解，否则称为弱解。对于aweak解，驱动布朗运动W也是解的一部分【30，第九章】。因此，不能简单地选择F作为W生成的增强过滤，因为构建（2.6）-（2.7）的解决方案可能需要额外的信息。为了继续，我们引入了内核K（·）∈ Lloc（R+，R），其中R+={x∈ R | x≥ 0}，并根据[3，23]在整篇文章中做出以下长期假设。函数f在（0，∞), 如果在（0，∞) 以及(-1） kf（k）（t）≥ 对于所有t>0且k=0，1，…，均为0。。。。假设2.1。K在（0，∞).

有γ∈ （0，2），使得Rhk（t）dt=O（hγ）和Rt（K（t+h）- K（t））dt=O（hγ），每t<∞.卷积K* L和L* 对于R+上的可测核K和局部有界变化的测度L+R，K定义为（K* 五十） （t）=Z[0，t]K（t- s） L（ds）和（L* K） （t）=Z[0，t]L（ds）K（t- s） （2.1）在适当条件下t>0。如果可能，通过右连续性将积分扩展到t=0。如果F是R+上的函数，则设（K* F）（t）=ZtK（t- s） F（s）ds。（2.2）设W为一维连续局部鞅。K和Wis之间的卷积定义为（K* dW）t=ZtK（t- s） dWs。（2.3）R+上的测度L称为K的第一类预解式，ifK* L=L* K≡ id.（2.4）在假设2.1中规定的完全单调性假设下，第一类预解的存在性如【19，定理5.5.4】所示。【19，定理5.5.5】给出了存在的替代条件。核R被称为K ifK的预解式或第二类预解式* R=R*K=K- R、 （2.5）【19，定理2.3.1】中的预解式始终存在且唯一。这些定义的进一步性质见【19，3】。虽然对于更高维度和矩阵形式，可以定义相同的概念，但我们必须考虑scalarcase。一旦c>0，α，表1中总结的常用核函数[3]满足假设2.1∈ （1/2，1）和β≥ 0.K（t）R（t）L（dt）常数c ce-反恐委员会-1δ（dt）分数（幂律）ctα-1Γ（α）ctα-1Eα，α(-ctα）c-1吨-αΓ(1-α） DTE指数ce-βtce-βte-反恐委员会-1（δ（dt）+βdt）表1：第二类和第一类核K及其分解式R和L的示例。Eα，β（z）=P∞n=0znΓ（αn+β）是Mittag–Le-fluer函数。其特性见【11，附录A1】。常数c 6=0。Volterra-Heston模型中的方差过程定义为vt=V+κZtK（t- s） （φ- Vs）ds+ZtK（t- s） σpVsdBs，（2.6），其中dBs=ρdW1s+p1- ρdw2s和V、κ、φ和σ是正常数。

股票价格与方差之间的相关ρ也是常数。如【15】所述，隐含波动率表面的总体形状没有显著变化，这表明考虑参数独立于股价和时间的方差过程仍然是可以接受的。当K（t）=tα时，[11，10]中的粗糙Heston模型成为（2.6）的特例-1Γ(α).采用[20]中研究的赫斯顿模型的另一个粗略版本来研究功率效用最大化[4]。在【3】和【24、6、35、32】之后，假设风险资产（股票）价格STI遵循DST=St（rt+θVt）dt+StpVtdW1t，S>0，（2.7），确定性有界无风险利率rt>0，常数θ6=0。风险的市场价格或风险溢价由θ给出√Vt.无风险利率rt>0是市场上可用的阿里斯克无风险资产的回报率。我们从[3，定理7.1]得到存在唯一性结果，并将其重述如下。定理2.2。（[3，定理7.1]）在假设2.1下，对于任何初始条件（S，V），随机Volterra方程（2.6）-（2.7）具有唯一的定律R+×R+-值连续弱解∈ R+×R+。备注2.3。我们的模型（2.6）-（2.7）是在物理度量下定义的，而[3，等式（7.1）-（7.2）]的期权定价模型是在零风险无利率的风险中性度量下定义的。然而，证明几乎是相同的，因为a ffne结构是由V决定的，Sis是由V决定的。备注2.4。对于强唯一性，我们提到[2，命题B.3]作为与核K相关的结果∈ 具有光滑核的某些Volterra积分方程的C（[0，T]，R）和[29，命题8.1]。然而，（2.6）-（2.7）的强唯一性对于奇异核是开放的。对于弱解，可以根据需要自由构造布朗运动。

然而，MVobjective仅取决于过程分布的数学期望。在续集中，我们将只使用（2.6）-（2.7）的解决方案的一个版本，并确定解决方案（S、V、W、W），因为其他解决方案具有相同的定律。以下条件使我们能够验证最优策略的可接受性。为了更精确地描述常数a，（4.23）给出了所需的显式有效大值。假设2.5。进出口商品aRTVsdsi<∞ 对于足够大的常数a>0。为了验证假设2.5在合理条件下成立，我们考虑了g（a，t）的RiccatiVolterra方程（2.8），如下所示：g（a，t）=ZtK（t- s）一- κg（a，s）+σg（a，s）ds。（2.8）引理A.2和A.3给出了（2.8）解的存在性和唯一性。定理2.6。假设假设2.1成立，并且Riccati-Volterra方程（2.8）在[0，T]上有唯一的连续解，则表达式aZTVsds公司i=exphκφZTg（a，s）ds+VZT一-κg（a，s）+σg（a，s）dsi<∞. （2.9）此外，将L表示为K的第一类预解，然后表示为表达式aZTVsds公司i=exphκφZTg（a，s）ds+VZTg（a，T- s） L（ds）i.（2.10）证明。注（2.8）中的g（a，t）对应于[3，方程（4.3）]，u=0，f=a。[3，定理4.3]显示了[3，方程（4.4）]和[3，方程（4.6）]之间的等效性。Fort=T，[3，等式（4.4）-（4.6）]中的表达式表明AZTVSDS=Y-σZTg（a，T- s） Vsds+σZTg（a，T- s） pVsdBs，（2.11），y=κφZTg（a，s）ds+VZT一- κg（a，s）+σg（a，s）ds。（2.12）由于g（a，·）在[0，T]上是连续的，因此有界，exp-σRtg（a，T- s） Vsds+σRtg（a，T- s）√VSDB是由[3，引理7.3]定义的鞅。因此，EhexpaZTVsds公司i=exp（Y）=exphκφZTg（a，s）ds+VZT一- κg（a，s）+σg（a，s）dsi。（2.13）注意K* L=id表示ZT一- κg（a，s）+σg（a，s）ds=ZTg（a，T- s） L（ds）。（2.14）结果如下。定理2.6恢复了Ehexp的相同表达式aRTVsdsiin【10，定理3.2】。

Westerss强调，证据绕过了霍克斯过程的使用。此外，我们还提到了[17]，作为相关参考，该文研究了粗糙赫斯顿模型中的瞬间爆炸。3均值-方差组合选择let ut，√Vtπtbe投资策略，其中π是投资于股票的财富量。然后是财富过程xtsatisfiesdxt=rtXt+θpVtutdt+utdW1t，X=X>0。（3.1）定义3.1。如果（1），则称投资策略u（·）是可接受的。u（·）为F自适应；(2). 呃RT公司|√Vtut | dti<∞ 和EhRT | ut | dti<∞; 和（3）。财富过程（3.1）有一个独特的解决方案【34，第1章，定义6.15】，具有P-a.s.连续路径。所有可接受的投资策略集表示为U.备注3.2。在条件（1）中，F可能严格大于布朗过滤ofW=（W，W），这意味着除了W之外的额外信息可用于构建容许策略。通常，u可以依赖于一个与W强P正交的局部P鞅。此类示例参见【22，定理3.1】中的对冲策略（3.6）。然而，我们的最佳策略u*结果只取决于方差V和布朗运动W，如图4.3所示。备注3.3。我们再次强调，潜在的概率空间和布朗运动不是我们控制的一部分。因此，我们的配方仍应被称为强配方。读者可以参考[34，第2章，第4节]来讨论随机控制问题的强公式和弱公式之间的区别。连续时间的MV投资组合选择问题如下。分钟（·）∈UJ（x；u（·））=E（XT）- c）,根据E[XT]=c，（X（·），u（·））满足（3.1）。（3.2）常数c是终端时间T的目标财富水平。我们假设c≥ xeRTrsdsfollowing【27、26、31】。