Volterra-Heston模型下的均值-方差投资组合选择

否则，将所有财富投入无风险资产的琐碎策略可能会主导任何其他可接受的策略。据说MV问题对于C是可行的≥ xeRTrsdsif存在u（·）∈ 满足E[XT]=c的U。请注意，rt>0是确定性的，E[RTVtdt]>0。很明显，我们的问题对于anyc的可行性是有保证的≥ Xertrsdsb对[26，第6.1部分]中的证明稍作修改。由于问题（3.2）有一个约束，它等价于下面的最大-最小问题[28]。最大η∈Rminu（·）∈UJ（x；u（·））=E（XT）- （c）- η))- η、 （X（·），u（·））满足（3.1）。（3.3）设ζ=c- η并考虑（3.3）中的内部问题（3.4）。分钟（·）∈UJ（x；u（·））=E（XT）- ζ)- η、 （X（·），u（·））满足（3.1）。（3.4）有几种等效配方。4最优投资策略为了解决问题（3.4），我们引入了一个新的概率度量▄P byd▄PdPFt=exp- 2θZTVSD- 2θZtpVsdW1s, （4.1）其中随机指数是真鞅[3，引理7.3]。然后▄W1t，W1t+2θRt√Vsds是▄P下的一个新的布朗运动。因此，Vt=V+ZtK（t- s） （κφ- λVs）ds+ZtK（t- s） σpVsdBs，（4.2），其中λ=κ+2θρσ和dBs=ρdW1s+p1- ρdW2s。分别将▄E[·]和▄E[·| Ft]表示为▄P-期望和条件▄P-期望。~P下的正向方差是条件~P-预期方差：~E[Vs | Ft]，ξt（s）。下面的恒等式在[23，Proposition 3.2]中通过应用[3，引理4.2]得到了证明。ξt（s）=E[Vs | Ft]=ξ（s）+ZtλRλ（s- u） σpVudBu，（4.3），其中ξ（s）=1.-ZsRλ（u）duV+κφλZsRλ（u）du，（4.4），Rλ是λK的预解式，使得λK* Rλ=Rλ* （λK）=λK-Rλ。（4.5）如果λ=0，则解释Rλ/λ=K和Rλ=0。考虑随机过程，Mt=2 exphZTt2rs- θξt（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξt（s）dsi，（4.6），其中ψ（t）=ZtK（t- s）(1 - 2ρ）σψ（s）- λψ（s）- θds。

（4.7）引理A.4证明了（4.7）解的存在性和唯一性。过程M是应用定理4.3中平方完备性技术的关键，其灵感来自【27，26，31】。试探性地说，考虑M可以克服Volterra-Heston模型的非马尔可夫和非半鞅特性。M的构造基于以下观察结果。为了完成平方，我们需要一个辅助过程M作为额外的随机因子，它位于与半鞅下MVPortfolions的先前研究一致的位置。证明定理4.3的平方过程的完成表明M应满足（4.8）。然后，我们通过适当的变换将M与（4.13）中的条件期望联系起来。应用[3，方程（4.7）]中的指数变换公式，得到（4.6）。定理4.1。假设假设2.1成立且（4.7）在[0，T]上有唯一的连续解，则满足以下性质。(1). Mt本质上有界且0<Mt<2eRTtrsds，P-a.s。， t型∈ [0，T）。MT=2。（2）。将其^o引理应用于T上的M，然后应用于dmt=- 2rt+θVtMtdt+2θpVtU1t+U1tMtdt+U1tdW1t+U2tdW2t，（4.8），其中u1t=ρσMtpVtψ（T- t） ，（4.9）U2t=p1- ρσMtpVtψ（T- t） 。(4.10)(3).M=2 exphZT2rsds+κφZTψ（s）ds+VZT(1 - 2ρ）σψ（s）- λψ（s）- θdsi。（4.11）此外，对于分数核K（t）=tα-1Γ（α），表示分数积分为Iαψ（t）=K* ψ（t）。ThenM=2 exphZT2rsds+κφIψ（T）+VI1-αψ（T）i.（4.12）（4）。呃RTUitdt公司p/2i<∞ 对于p≥ 1，i=1，2。证据属性（1）。很容易看到Mt>0 in（4.6）。对于上限，如果1- 2ρ=0，noteRTtξt（s）ds>0，P-a.s.通过引理B.1，然后Mt<2eRTtrsds，P-a.s。。如果1-2ρ6=0，我们分类为1-2ρt=21-2ρexp2(1 - 2ρ）ZTtrsds~Ehexp- θ(1 - 2ρ）ZTtVsdsFti。

（4.13）相当于表明▄Ehexp- θ(1 - 2ρ）ZTtVsdsFti（4.14）=exphZTt- (1 - 2ρ）θξt（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξt（s）dsi。表示∧ψ=（1）- 2ρ)ψ. 然后|ψ满足|ψ=K*σ~ψ- λ~ψ - (1 - 2ρ)θ. （4.15）因此，（4.14）适用于所有t∈ 【0，T】由【3，定理4.3】应用于|ψ。[3，定理4.3]中的鞅假设由[3，引理7.3]验证。如果1- 2ρ>0，然后▄Ehexp- θ(1 - 2ρ）RTtVsdsFti<1，P-a.s.，这意味着Mt<2eRTtrsds，P-a.s。。1.- 2ρ<0可以类似地讨论。证明了性质（1）。属性（2）。用适当的Zt表示Mt=2eZtin（4.6）。我们首先推导出dZt的方程。从（4.3）中，将It^o引理应用于时间t上的ξt（s），得到dξt（s）=λRλ（s- t） σpVtdBt.（4.16）然后DZT=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt公司- θZTtλRλ（s- t） σpVtdBtds+（1- 2ρ）σZTtψ（T- s） λRλ（s- t） σpVtdBtds=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt公司- θZTtσλRλ（s- t） dspVtdBt+（1- 2ρ）σZTtσψ（T- s） λRλ（s- t） dspVtdBt=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt+dBt·σpVtZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds。第二个等式由随机Fubini定理保证[33]。我们要求对（4.9）-（4.10）作出以下陈述。U1t=σρMtpVtZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds，（4.17）U2t=σp1- ρMtpVtZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds。（4.18）事实上，我们只需展示- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds=ψ（t-t） 。（4.19）虽然可以用与[3，引理4.4]相同的方式验证（4.19），但我们仍然在这里详细说明了一篇自包含论文的推导过程。AsZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds=ZT-th（1- 2ρ）σψ（T- t型- s）- θiλRλ（s）ds=(1 - 2ρ)σψ- θ*λRλ（T- t） ，我们有ztth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds公司- ψ（T- t）=(1 - 2ρ)σψ- θ*λRλ（T- t）- K*(1 - 2ρ)σψ- λψ - θ（T- t）=(1 - 2ρ)σψ- θ*λRλ- K（T- t） +λK*ψ（T- t） =- Rλ* K*(1 - 2ρ)σψ- θ（T- t） +λK*ψ（T- t） 。（4.7）导联toRλ的应用* ψ=Rλ* K*(1 - 2ρ)σψ- λψ - θ.

（4.20）因此，- Rλ* K*(1 - 2ρ)σψ- θ（T- t） +λK*ψ（T- t）=λK- Rλ- λK*Rλ* ψ（T- t） =0。这表明DZT=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt+U1tMtdW1t+U2tMtdW2t。（4.21）将It^o引理应用于Mt=2ezt，函数f（z）=2ezyieldsdMt=MtdZt+MtdZtdZt=Mt- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt+U1t+U2t2Mtdt+U1tdW1t+U2tdW2t=- 2rt+θVtMtdt+2θpVtU1t+U1tMtdt+U1tdW1t+U2tdW2t。属性（3）。Ytin[3，定理4.3]性质的证明表明- θξ（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξ（s）ds=ZT- θV+（κφ- λV）ψ（s）+（1- 2ρ）σψ（s）Vds。在分数核下，我们用部分积分来表示zt- θ- λψ（s）+（1- 2ρ）σψ（s）ds=I1-αψ（T）。（4.22）这样可以得到所需的结果。属性（4）。有必要考虑p>2的情况。当ψ（t）在[0，t]上是连续的且m等本质有界时，EhZTUitdtp/2i≤ CEh公司ZTVtdtp/2i≤ CZTE公司副总裁/2tdt公司≤ C支持∈[0，T]E副总裁/2t< ∞.最后一项由[3，引理3.1]定义。我们首先提出一个候选最优控制u*. 在下面的定理中，我们证明了u*以及相应X的可积性*. 定理4.2符合[27，26，31]的精神。最后，我们证明了u的最优性*在（4.24）中，根据定理4.3。定理4.2。假设假设2.1成立，并且（4.7）在[0，T]上有唯一的连续解。表示At，θ+ρσψ（T- t） 。假设假设假设2.5成立，常数a如下：a=maxn2p |θ| supt∈[0，T]|在|，（8p- 2p）支持∈[0，T]Ato，对于某些p>2。（4.23）考虑因素U*（t） =（θ+ρσψ（t- t） ）pVt（ζ*e-RTtrsds- 十、*t） ，（4.24），其中X*这是美国的财富过程*和ζ*= c- η*带η*=e-RTrsdsMx- e-RT2RSDSCM2- e-RT2rsdsM。（4.25）u*（·）在（4.24）中是允许的，并且X*u下方*（·）满意度∈[0，T]| X*t | pi<∞, （4.26）对于p≥ 1、此外，ζ*e-RTtrsds- 十、*t型≥ 0，P-a.s。， t型∈ [0，T]。（4.27）证明。

美国的财富过程*由（dX）给出*t型=rtX公司*t+θAtVt（ζ*e-RTtrsds- 十、*t）dt+At√Vt（ζ*e-RTtrsds- 十、*t） dW1t，X*= x、 （4.28）找到x的解决方案*, 定义YT（dYt=-rtYtdt公司- θ√VtYtdW1t+Ytp1- ρσψ（T- t）√VtdW2t，Y=M（ζ*e-RTRSD- x） 。（4.29）Ytis的唯一解由Yt=Yexph给出-Zt公司2rs+θVs+（1- ρ） σψ（T- s） Vs公司ds公司-ZtθpVsdW1s+Ztp1- ρσψ（T- s） pVsdW2si。It^o的引理yieldsX*t=ζ*e-RTtrsds-YtMt（4.30）作为财富过程的独特解决方案。实际上，dYtMt=hrtYtMt- θAtVtYtMtidt- AtpVtYtMtdW1t。（4.31）u的存在*也由解X的存在性保证*. 此外，YtMt=YMΦ（t），其中Φ（t），exphZt卢比-θAs+AsVs公司ds公司-ZtAspVsdW1si。年初至今/公吨≥ 0，（4.27）接自（4.30）。对于（4.26），请注意，通过Doob的最大不等式和[3，引理7.3]，Ehsupt∈[0，T]|Φ（T）| pi≤ CEhsupt公司∈[0，T]e-RtθASVSD2pi+CEhsupt∈[0，T]经验值-ZTASVSD-ZtAspVsdW1s2pi≤ CEhe2pRT |θAs | Vsdsi+CEhexp-ZTPASVSD-ZT2pAspVsdW1si、 第一项由假设2.5确定，常数a=2p |θ| supt∈[0，T]|在|。第二学期也是有限的。事实上，根据H¨older不等式和假设2.5，常数a=（8p- 2p）支持∈[0，T]At，Ehexp-ZTPASVSD-ZT2pAspVsdW1s我≤nEhe（8p-2p）RTAsVsdsio1/2出口- 8PZTASVDS- 4PZTAPSVSDW1sio1/2<∞.Ehsupt公司∈[0，T]| X*t | pi<∞ 已证明。关于u的可采性*, u*首先是F适应。

对于可积性，设1/p+1/q=1，p，q>1，我们得到ZT | pVtu*t | dt我≤ CEh公司ZT | AtVtΦ（t）| dt我≤ CEhsupt公司∈[0，T]Φ（T）ZTVtdt我≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^pnEhZTVtdt2^qio1/^q≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^p支持∈[0，T]EV2^qt1/q<∞andEhZT | u*t | dti≤ CEhZTAtVtΦ（t）dti≤ CEhsupt公司∈[0，T]Φ（T）ZTVtdti≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^pnEhZTVtdt^qio1/^q≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^p支持∈[0，T]EV^qt1/q<∞.上述两个不等式中的最后一项由[3，引理3.1]确定，取p=2^p。我们现在准备证明u*在（4.24）中是最优的，并推导出有效边界。定理4.3。假设定理4.2中的假设成立，则问题（3.2）的最优投资策略由（4.24）给出。此外，（4.24）在给定解（S，V，W，W）到（2.6）-（2.7）下是唯一的。X的方差*TisVar[X*T] =平方米- e-RT2rsdsM总工程师-RTRSD- x个. （4.32）证明。首先，我们考虑具有任意ζ的内部问题（3.4）∈ R、 表示ht=ζe-RTtrsds。对于任何可容许策略u，dMt（Xt），利用具有M性质的It^o引理并完成平方- ht）=（Xt）- ht）MtθVt+2（Xt- ht）θpVtU1t+（Xt- ht）U1tMt+2Mt（Xt- ht）θpVtut+2（Xt- ht）utU1t+Mtutdt公司+（Xt）- ht）U1t+2Mt（Xt- ht）utdW1t+（Xt- ht）U2tdW2t=Mthut+θpVt+U1tMt（Xt）- ht）idt+（Xt）- ht）U1t+2Mt（Xt- ht）utdW1t+（Xt- ht）U2tdW2t。当mt和htare有界时，EhRTUitdti<∞ 对于i=1，2，utis可容许，且x有P-a.s.连续路径，则随机积分（Xs- hs）U1s+2Ms（Xs- hs）美国dW1sandZt（Xs- hs）U2sdW2sare（F，P）-局部鞅。停车时间{τk}k=1,2，…的局部化序列不断增加，。。。使τk↑ k时为T→ ∞. 由{τk}k=1,2，。。。是真鞅。因此，E[Mτk（Xτk-hτk）]=M（x-h） +EhZτkMtut公司+θpVt+U1tMt（Xt）-ht）dti。（4.33）从（3.1）中，根据Doob的最大不等式和u（·），E[Xτk]的可容许性≤ Chx+EhZT | utpVt | dti+EHZTUTDII<∞.

（4.34）然后Mτk（Xτk- hτk）由所有k的非负可积随机变量控制。将k发送到单位，通过控制收敛定理和单调收敛定理，我们导出[（XT- ζ） ]=M（x- h） +EhZTMtut公司+θpVt+U1tMt（Xt）- ht）dti。（4.35）因此，成本函数E[（XT- ζ） 当螺母=-θpVt+U1tMt（Xt）- ht）。（4.36）然后E[（XT- ζ） ]=M（x- h） 。u的唯一性*直接从（4.35）和MT>0，P-a.s.得出。， t型∈ [0，T]。要解决（3.3）中的外部最大化问题，请考虑j（x；u（·））=Mx个- （c）- η） e类-RTRSD- η. （4.37）一阶和二阶导数Jη=Mx个- （c）- η） e类-RTRSDe-RTRSD- 2η,Jη=Me-2RTRSD- 2<0，其中我们根据定理4.1使用了严格不等式M<2eRT2rsds。然后η的最佳值由（4.25）给出，从Jη= 0. Var[X*T] 通过J（x；u（·））与η的直接简化得到*.虽然Volterra-Heston模型在本质上是非马尔可夫和非半鞅的，但最优控制在本质上是非马尔可夫和非半鞅的*在（4.24）中，不依赖于整个波动路径。此外，股票中的最佳财富量π*t、 不直接取决于波动率值，而是通过参数和Riccati-Volterra方程（4.7）取决于波动率的粗糙度和动力学。如果我们让核K=id，那么很明显Volterra-Heston模型（2.6）简化为经典的Heston模型[21]。我们在定理4.2和定理4.3中的结果表明*在（4.24）中，即使在一般过滤F下也是最优的。它扩展了[6，32]中的相应结果，其中过滤被选为布朗过滤。作为合理性检查，以下推论验证了我们的解决方案简化为赫斯顿模型下的解决方案。推论4.4。考虑赫斯顿模型，即核K=id。假设定理4.2中的其他假设成立，则最优策略（4.24）与[6]中的相同。证据

在不丧失一般性的情况下，假设rt=0，如[6]所示。我们首先将（4.6）中的Mt/2与机会过程Ltin【6，方程（3.2）】匹配。注（4.5）中的预解式减少为Rλ（t）=λe-λtand（4.3）中的正向方差为ξt（s）=e-λ（s-t） Vt+κφλ1.- e-λ（s-t）. （4.38）因此，ZTtξt（s）ds=1- e-λ（T-t） λVt+κφλt- t型-1.- e-λ（T-t） λ！andZTtψ（T- s） ξt（s）ds=VtZTtψ（t- s） e类-λ（s-t） ds+κφλZTt1.- e-λ（s-t）ψ（T- s） ds。THNZTT公司- θξt（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξt（s）ds=w（T-t） Vt+y（t- t） ，（4.39），其中W（t-t） ，（1- 2ρ）σZTtψ（T- s） e类-λ（s-t） ds公司- θ1 - e-λ（T-t） λ，y（t- t） ，（1- 2ρ）σκφλZTt1.- e-λ（s-t）ψ（T- s） ds公司- θκφλT- t型-1.- e-λ（T-t） λ！。用t替换t- 对t求导得到˙w（t）=（1- 2ρ）σψ（t）- λ(1 - 2ρ）σZTT-tψ（t- s） e类-λ（s-T+T）ds- θe-λt=（1- 2ρ）σψ（t）- λw（t）- θ.与（4.7）相比，我们发现w（t）=ψ（t）。此外，˙y（t）=（1- 2ρ）σκφλZTT-tλe-λ（s-T+T）ψ（T- s） ds公司- θκφλ1.- e-λt= κφw（t）。y（t）和w（t）使用我们的符号满足[6，方程（A.1）-（A.4）]中相同的常微分方程。因此，Mt/2 in（4.6）降低为Ltin【6，方程式（3.2）】。考虑内部问题（3.4）。当H=ζ为常数时，最优套期保值中的项Д（x，H）[6，p.476]减少为ξ=0，a=（θ+ψ（T- t） ρσ）/St，V=ζ，x+Д（x，H）·S=x*t、 （4.40）很明显，最优策略是相同的。5数值研究在本节中，我们仅限于K（t）=tα的情况-1Γ(α), α ∈ （1/2，1），对于[11]中的拉夫赫斯顿模型。α=1恢复了经典的赫斯顿模型。我们考察了α对最优投资策略和有效前沿的影响。第一步是数值求解Riccati-Volterra方程（4.7）。在【11】之后，我们使用【7，8】中的分数亚当斯方法。这种数值方法的收敛性在[25]中给出。

读者可参考【11，第5.1节】了解有关程序的更多详细信息。在图（1a）中，当α在某些特定参数下变小时，ψ减小，接近于[11]中的校准结果，其中有一个额外的风险溢价参数θ。然而，一般来说，ψ在α中是单调的（见图（1b））。图（1a）-（1b）也证实了ψ≤ 1时为0- 2ρ>0.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t-30-25-20-15-10-50ψα=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（a）ψ，参数为[11]0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4t-0.010-0.008-0.006-0.004-在另一种设置下，0.0020.000ψα=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（b）ψ图1：不同α下ψ的曲线图。其他参数如下。在图（1a）中，vol的volσ=0.03，平均逆转速度κ=0.1，风险溢价参数θ=5，相关性ρ=-0.7，时间范围T=1。在图（1b）中，σ=0.04，κ=2.25，θ=0.15，ρ=-0.56，T=1.35。u之间的关系*α并不简单，可能会随着参数组合的不同而变化。我们强调，以下分析基于图中描述的参数设置。首先考虑图（1a）中的设置。有趣的是，α对u的影响*受到σ的显著影响。这可以用（4.24）来解释。如果股票和波动率之间的相关性ρ由于股票市场的杠杆效应而为负，θ+ρσψ（T- t） 将随着α的减小而增大，如图（1a）所示。不可逆，ζ*e-RTtrsds- 十、*t型≥ 0根据定理4.2。注释ζ*= c- η*=2c- e-RTrsdsMx2- e-RT2rsdsM。（5.1）Min（4.12）是α的增函数，因为ψ为负。然后ζ*在某些参数下，如果α较小，则会变小。因此，ζ*e-RTtrsds- 十、*tandθ+ρσψ（T- t） α减小时，向不同方向移动。如果σ很小，ζ*e-RTtrsds-十、*斜纹主导θ+ρσψ（T-t） 。然后u*将随着α变小而减小。

如果σ相对较大，θ+ρσψ（T-t） 将支配ζ*e-RTtrsds-十、*t、 然后u*α变小时增加。在图（1b）中的参数设置下，volσ的vol的上述影响也会出现，其中ψ在α中不是单调的。图（2a）-（2b）显示了最佳投资策略u*. 我们使用开源Python包Differin计算分数积分I1-α和Iin（4.12）。假设2.5在图（2a）-（2b）中的设置下得到验证。可用位置：https://github.com/differint/differint0.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4时间（年）2.742.752.762.772.78u*α=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（a）u*σ=0.040.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4时间（年）2.302.352.402.452.502.55u*α=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（b）u*σ=3时图2：最优策略u*α=0.6、0.7、0.8、0.9和1.0。在这两个子地块中，我们将初始财富x=1，无风险利率r=0.01，初始方差V=0.5，长期平均水平φ=0.04，预期最终财富c=xe（r+0.1）T。为简单起见，我们将Vt=0.5和x*t=1，对于所有时间t∈ [0，T]。其他参数与图（1b）相同，即κ=2.25，θ=0.15，ρ=-0.56，T=1.35。图（2a）-（2b）仅在体积σ的体积中有所不同。图（2a）-（2b）是敏感性分析，因为我们保持大多数参数不变，并改变其中一些参数。具体而言，使用常数vt和X*锡图（2a）-（2b）有以下解释。我们感兴趣的是最优控制通过α对赫斯特参数的敏感性。当其他参数固定时，如果我们观察到Vt=0.5和x*t=1 at t∈ [0，T]，图（2a）-（2b）说明了赫斯特参数对投资策略的边际影响。vt和X的常量值*皮重不是从已实现的路径。图（2a）-（2b）仅提供了α的边际影响；因此，我们在【1】中的设置下进行了进一步的数值分析。