Volterra-Heston模型下的均值-方差投资组合选择

考虑一种现实情况，即投资者为给定的隐含效用面校准赫斯顿模型和粗糙赫斯顿模型的两组参数。我们对比了校准参数得出的两种策略。图（3c）显示了最佳财富量π*通过提升Heston进近【1】获得图（3b）中Vtin的一条模拟路径。假设2.5在图3中的设置下成立。图（3a）绘制了At=θ+ρσψ（T-t） 。此外，ζ*= 30.7458对于粗糙的Hestonmodel和ζ*= 经典Heston车型为21.6351。拉夫赫斯顿模型下的最优策略始终建议持有更多股票。我们强调，这是所有模拟运行中的一种持续现象，并不限于图（3c）中的特定现象。事实上，图（4a）-（4b）显示了这些策略的平均值和置信区间。在整个投资期内，拉夫赫斯顿战略具有更大的价值。可以用图（3a）和ζ来解释*报道。粗糙的赫斯顿投资者的Atζ更大*但是一个较小的At。此外，图（4c）表明，粗略赫斯顿策略的平均终端财富更接近目标c=1.1163。最后，我们强调，图（3c）和图（4a）-（4b）与图（2a）-（2b）不一致，因为图（3c）中的两种策略的平均回归率和vol的vol是不同的。详见【1，表6】和【1，表4】。最近，有人提出了一种交易策略，即买入最粗糙的股票，卖出最平淡的股票。这种无模型战略旨在投资多种资产。尽管我们考虑一种具有特定模型的单一风险资产，但将其与我们的战略进行比较仍然很有趣。注意，对于较小的α，库存更粗糙。图（2a）-（2b）表明，α不是决定股票投资的唯一因素。

[18]中的交易理念与图（2b）一致，因为最佳投资头寸u*α越小，则越大。然而，图（2a）中出现了不一致。事实上，如果我们使用VVIX指数作为vol of vol的代理，那么2007年、2008年、2010年和2015年的vol of vol似乎更大。如图3所示，2005年、2007年、2008年、2010年和2014年的buy-rough-sellsmooth策略的表现要好于其他年份。这种一致性表明，当0 50 100 150 200 250次（天）0.4000.4050.4100.4150.4200.4250.4300.435atrougheston（a）在0 50 100 150 200 250次（天）0.0120.0140.0160.0180.0200.0220.024Vt（b）挥发性0 50 100 150 200 250次（天）910111213π*rougheston（c）π*图3：赫斯顿和粗略赫斯顿模型下的投资策略。文[1]用提升的赫斯顿模型模拟了方差过程。模拟参数见【1，方程式（23）和（26）】，α=0.6。这条路径比经典的赫斯顿模型更为粗糙。此外，我们还实现了股票过程的Euler格式。模拟以250个时间步运行一年，相当于一年250个交易日。赫斯顿模型下的投资者使用[1，表6]中的校准参数来实施最优策略，α=0.59973346为校准值。investorunder-rough-Heston模型使用了[1，表4]。我们设置x=1，r=0.01，θ=0.4，T=1，c=xe（r+0.1）T=1.1163。（a） u型*在粗糙的Hestonmodel（b）u下*根据赫斯顿模型（c），财富图4：战略和财富统计。基于3000条模拟路径，实线绘制平均值和阴影区域是自举估计的95%置信区间。赫斯顿模型表明，投资越多，最终财富越接近预期值c=1.1163。

参数如图3所示。考虑粗糙度。在未来的研究中，测试基于粗糙度和vol-of-vol的策略的性能是很有意思的。在图（5a）-（5b）中，显示了α和预期财富水平c的不同值的有效边界。它们之间的关系很清楚，如果α减小，最优财富的方差会减小，因为当α减小时，Md减小，Var[X*T] （4.32）中是M的递增函数。我们还验证了图（5a）-（5b）中设置的假设2.5。6结论据我们所知，这是首次研究粗糙随机环境下连续时间马科维茨均值方差投资组合选择问题。我们特别关注Volterra-Heston模型。通过推导最优策略和有效边界，我们进一步了解了粗糙度对其的影响。未来有许多可能的研究方向。自然因素是效用α0.50.60.70.80.91.0E[X*T]1.11.21.31.41.51.61.7Var[X*T]5101520（a）有效前沿0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0α246810Var[X*T]c=1.2c=1.3c=1.4c=1.5（b）Var[X*T] 在不同的期望值下，图5：有效边界和方差图。粗糙度参数α∈ [0.5, 1]. Weset r=0.03，V=0.04，x=1，φ=0.3，σ=0.03，κ=0.1，θ=0.6，ρ=-0.7，T=1，和c∈ [xe（r+0.01）T，xe（r+0.5）T]。MV准则的最大化和时间不一致性。

此外，我们的研究议程中已经包含了带有粗糙波动性的模型模糊性。致谢作者要感谢两位匿名推荐人和编辑的仔细阅读和宝贵评论，这大大改进了手稿。Riccati-Volterra方程的解为了证明Riccati-Volterra方程解的存在性和唯一性，我们首先用更一般的假设重新表述了最近专著[5]中的以下结果。证明的基本思想是Picard迭代。定理A.1。假设核K（·）是有界的或是带α的分数核∈ (0, 1). Letc、c、cbe常数。然后存在δ>0，使得f（t）=ZtK（t- s）c+cf（s）+cf（s）ds（A.1）在[0，δ]上有唯一的连续解f。证据注意二次函数是局部Lipschitz；然后根据[5]中的定理3.1.2和定理3.1.4，该权利要求成立。然而，定理A.1中的δ并不明确。如果施加更多的假设，结果就会更为严格。我们首先研究（2.8）中的g（a，t）。基于【16，定理A.5】，我们得到了引理A.2。假设假设2.1成立，k- 2aσ>0。然后（2.8）有一个唯一的全局连续解。此外，0<g（a，t）≤ r（t）<w*,  t>0，（A.2），其中w*,κ-√κ-2aσσ和r（t），Q-1.RtK（s）ds; 也就是说，Q的反函数，givenbyQ（w）=Zwdua- κu+σu.（A.3）证明。为了应用[16，定理A.5]中的结果，我们定义h（w）=A- κw+σw。然后H（w）满足[16]中的假设A.1，其中wmax、κσ和w*如上所述。该权利要求源自【16，定理A.5（c）】和A（t）≡ 在他们的定理中为0。对于特定分数核K（t）=tα-1Γ（α），[10，定理3.2]得到了以下严格结果，证明基于Hawkes过程的标度极限。引理A.3。

如果K（t）=tα-1Γ(α), α ∈ （1/2，1），然后是（2.8）中的g（a，t）满意度g（a，t）≤cσhκ+t-αΓ(1 - α） +σpa（t）- ai，（A.4），其中A（t）=2σκ+t-αΓ(1-α)常数c>0。换句话说，如果a<a（T），则满足假设2.5。接下来，我们研究（4.7）中的ψ（·）。如果满足定理a.1中的条件，则（4.7）在某个区间[0，δ]上有唯一的连续解。如果没有定理a.1，我们也有以下结果。引理A.4。假设假设假设2.1成立。(1). 如果1- 2ρ>0，则（4.7）具有唯一的全局连续解ψ∈ 当t>0时，Lloc（R+，R）和ψ<0。(2). 如果1- 2ρ=0，则（4.7）是线性的，并且在[0，T]上有唯一的连续解。(3). 如果1- 2ρ<0，进一步假设λ>0和λ+2（1- 2ρ)θσ> 0. 然后（4.7）有一个唯一的全局连续解。此外，w*1.- 2ρ<r（t）1- 2ρ≤ ψ（t）<0， t>0，（A.5），带“w”*=λ-√λ+2(1-2ρ）θσσ和\'r（t），\'Q-1.RtK（s）ds, 式中，Q（w）=Zwduσu- λu- (1 - 2ρ)θ. （A.6）证明。（1）中的权利要求源自【3，定理7.1】。连续性源于全局解的唯一性和[19，定理12.1.1]。（2）中的主张是经典的，可以在[5，定理1.2.3]中找到。对于（3），我们考虑|ψ=（1- 2ρ)ψ. 然后|ψ满足|ψ=K*σ~ψ- λ~ψ - (1 - 2ρ)θ. （A.7）定义（w）=σw- λw- (1 - 2ρ)θ. （A.8）然后“w”*是H（w）=0的唯一根(-∞, \'wmax]，\'wmax=λσ。【16】中的H（w）满足假设A.1。因此，[16，定理A.5（c）]与A（t）≡ 0表示（A.7）具有唯一的全局连续解，且0<ψ（t）≤ \'r（t）<\'w*,  t>0。（A.9）注ψ=（1）- 2ρ)ψ. 这将得到所需的结果。B正变积分的正性B.1。假设假设假设2.1成立。（4.3）中的正向方差ξt（s）满足每t∈ [0，T）.证明。

当rttξt（s）ds=~E【RTtVsds | Ft】且Vsis根据定理2.2为非负时，有必要显示RTtVsds>0，P-a.s。。给定t∈ [0，T），对于ω∈ Ohm 如果Vs（ω）在s中是连续的，我们假设rttvs（ω）ds=0。根据Vs（ω）的连续性，s的Vs（ω）=0∈ [t，t]。使用[3，定理3.5，方程（3.8）]中给出的参数，对于0<h<T-t、 我们有vt+h（ω）=V+ZtK（t+h- s） （κφ- λVs（ω））ds+ZtK（t+h- s） σpVs（ω）dBs（ω）+Zt+htK（t+h- s） （κφ- λVs（ω））ds+Zt+htK（t+h- s） σpVs（ω）dBs（ω）≥Zt+htK（t+h- s） （κφ- λVs（ω））ds+Zt+htK（t+h- s） σpVs（ω）dBs（ω）。（B.1）As Vs（ω）=0，s∈ [t，t+h]，然后vt+h（ω）≥ κφZt+htK（t+h- s） ds>0。（B.2）这一矛盾意味着RTTVSDS>0，P-a.s.，因此，索赔如下。参考文献【1】Abi Jaber，E.：提升赫斯顿模型。数量。《金融》，1-19（2019）[2]Abi Jaber，E.，El Euch，O.：《粗波动率模型的多因素近似》。西亚姆杰。金融数学。10309-349（2019）[3]Abi Jaber，E.，Larsson，M.，Pulido，S.：A ffne Volterra过程。安。应用程序。概率。293155-3200（2019）[4]B¨auerle，N.，Desmetre，S.：《分数和粗糙Heston模型中的投资组合优化》。arXiv预印本arXiv:1809.10716（2018）[5]Brunner，H.：《Volterra积分方程：理论与应用导论》（Vol.30）。剑桥大学出版社（2017）[6]Cern\'y，A.，Kallsen，J.：Heston相关模型中的均值-方差对冲和最优投资。数学《金融》，18，473-492（2008）【7】Diethelm，K.，Ford，N.J.，Freed，A.D.：分数微分方程数值解的预测-校正方法。非线性发电机。，29，3-22（2002）【8】Diethelm，K.，Ford，N.J.，Freed，A.D.：分数AdamMethod的详细误差分析。数字。Algorithms，36，31-52（2004）[9]El Euch，O.，Fukasawa，M.，Rosenbaum，M.：《杠杆效应和粗挥发性的微观结构基础》。

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