风险度量和过滤的逐步扩大：BSDE方法

它认为：（a）对于任何t≥ 0，当且仅当随机变量ξ（ω）=ξ（ω）1t<τ（ω）+ξ（ω，τ（ω），ζ（ω））1t≥τ（ω），对于某些Ft可测随机变量ξ和一类Ft B（R+） B（E）可测随机变量ξ（·，θ，E），θ∈ [0，t]，e∈ E、 （b）过程Y=（Yt）t≥0是G-可预测的当且仅当其形式为YT=Ytt时≤τ+Yt（τ，ζ）1t>τ，t≥ 0，其中Y∈ PFA和Y∈ PF（R+，E）。在密度假设下，也可以对可选过程进行类似的分解。引理2.2（[35，引理2.1]和[41，Th.7.5]）。任意G-可选进程Y=（Yt）t≥0可分解asYt=Ytt<τ+Yt（τ，ζ）1t≥τ、 t型≥ 0，（2.1），其中Y∈ OFand Y∈ 共个R+，E.备注2.3。正如巴洛（Barlow）的一个著名例子所示（见[4，41]），方程式（2.1）（在[41]中称为可选拆分公式）通常无效。为了对这一主题进行深入研究，我们请读者参阅[41]，其中分析了（2.1）的各种条件。2.2. 带跳跃的BSDE。现在，我们介绍由维纳过程W驱动的BSDE，以及以下R+×E上的随机度量u：uω; （0，t）×B:= 1τ(ω)≤tζ（ω）∈B、 t>0，B∈ B（E），ω∈ Ohm.这种随机微分方程称为BSDEJ（带跳跃的BSDE的缩写）。本小节中包含的所有结果（命题2.7除外）均已在[29]中得到证明，因此，为了读者的方便，我们将在无需证明的情况下予以说明。我们还指出，在[29]中采用的密度假设的较弱版本下，所有这些都是有效的，即假设（τ，ζ）的Ft条件定律相对于R+×e上的勒贝格测度都是绝对连续的。我们首先需要引入我们将在其中寻找BSDEJ解的空间。6 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINoS∞G【a，b】（分别为∞F[a，b]）是实值过程Y的集合∈ 项目（分别为。

Y∈ProgF），因此：kY kS∞【a，b】：=ess supω∈Ohm, t型∈[a，b]| Yt（ω）|<∞.o LG[a，b]（resp.LF[a，b]）是Rd值过程Z的集合∈ PG（分别为Z∈ PF）如图所示[a，b]：=EZba | Zt | dt< ∞.o L（u）是实值E索引过程U（·）的集合∈ PG等thatkUkL（u）：=E中兴通讯| Us（e）|u（ds de）< ∞.我们的BSDEJ解决方案将是三重的（Y、Z、U）∈ S∞G[0，T]×LG[0，T]×L（u）满足yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs，Us（·））ds-ZTtZsdWs-ZTtZEUs（e）u（ds-de），t∈ [0，T]，（2.2），其中：oξ是GT可测量的随机变量。og:Ohm ×[0，T]×R×Rd×B（E）→ R是P（G） B（R） B（Rd） BB（E）-可测量地图。注意，从引理2.1中，我们得到了ξ和g的以下分解：ξ=ξT<τ+ξ（τ，ζ）1T≥τ、 （2.3）g（t，y，z，u）=g（t，y，z，u）1t≤τ+g（t，y，z，u，τ，ζ）1t>τ。（2.4）定理2.3（存在定理，[29，Th.3.1]）。假设所有（θ，e）∈ R+×E theBrownian BSDEYt（θ，E）=ξ（θ，E）+ZTtg（s，Ys（θ，E），Zs（θ，E），0，θ，E）ds-ZTtZs（θ，e）dWs，θ∧ T≤ t型≤ T、 （2.5）允许解决方案Y（θ，e），Z（θ，e）∈ S∞F[θ∧ T、 T]×LF[θ∧ T、 ，且布朗BSDEYT=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））- Ys）ds-ZTtZsdWs，0≤ t型≤ T、 （2.6）允许一个解（Y，Z）∈ S∞F[0，T]×LF[0，T]。此外，假设对（Y，Z）是这样的∈ ProgF程序R+×E和Z∈ PF公司R+×E.如果这些解决方案满足YKYKS∞[0，T]<+∞, （2.7）sup（θ，e）∈R+×EkY（θ，e）kS∞[θ∧T、 T]<+∞ （2.8）EZR+×EZθ∧T | Zs | ds+ZTθ∧T | Zs（θ，e）| dsγT（θ，e）dθde< +∞, （2.9）风险措施、扩大过滤和BSDES 7然后BSDEJ（2.2）接受解决方案（Y、Z、U）∈ S∞G[0，T]×LG[0，T]×L（u）由下式给出Yt=Ytt<τ+Yt（τ，ζ）1t≥τ、 Zt=Ztt<τ+Zt（τ，ζ）1t≥τ、 Ut（·）=Ut（·）1t<τ=hYt（t，·）- Ytit<τ。（2.10）这个结果很大程度上依赖于每个布朗BSDE都允许一个解的假设。文献中研究了几个案例来确保这一事实，其中我们将介绍二次案例。

这种情况在【30】中首先进行了分析，并应用于【29】中讨论的BSDEJ。提案2.4（[29，提案3.1]）。假设，连同密度假设，我们有：（a）随机计数度量u的补偿器λt（e）dt de使得过程REλt（e）det型≥0是有界的。（b） 终端条件ξ是有界的，即存在C>0，使得|ξ|≤ C、 P-a.s.（C）生成器g在z中是二次的，即存在K>0，因此，对于所有（t，y，z，u）∈[0，T]×R×Rd×B（E），| g（T，y，z，u）|≤ K1+| y |+kzk+ZE | u（e）|λt（e）de.（d） 对于任何R>0，存在一个函数ωRsuch，limε→0ωR（ε）=0和| gt、 y，z，（u（e）- y） e类∈E- g级t、 y，z，（u（e）- y） e类∈E| ≤ ωR（ε），对于所有t∈ [0，T]，y，y∈ R、 z，z∈ Rd，u∈ B（E）使得| y |，| y |，kzk，kzk≤ R和| y- y |+kz- zk公司≤ ε.然后BSDEJ（2.2）承认了一个解决方案。在说明比较定理之前，让我们先介绍以下内容。oξ, ξ ∈ L∞（GT）。og、 g:Ohm×[0，T]×R×Rd×B（E）→ R、 两个P（G）B（R）B（Rd）BB（E）-可测量地图（g，g）和（g，g），g和g的分解，如（2.4）所示（Y，Z，U）和（Y，Z，U）分别由（g，ξ）和（g，ξ）给出的具有成对驱动/终端条件的BSDEJ（2.2）的解（Y，Y）（分别为（Z，Z），（U，U），（Y，Y），（Z，Z），（U，U）），Y的分解（分别为Z，U，Y，Z，U）。oG（t，y，z）：=G（t，y，z，Yt（t，·））- y） ，G（t，y，z）：=G（t，y，z，Yt（t，·）- y） .oG（t，y，z）：=G（t，y，z，0），G（t，y，z）：=G（t，y，z，0）。我们需要以下定义：定义2.1（[29，定义4.1]）。我们说驱动程序f：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ 对于任意有界G-停止时间ν，布朗BSDE的R-满足比较定理≥ ν、 任何驱动程序f：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R和任意Gν-可测随机变量X，X8 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINsuch，f≤ 风扇X≤ X（分别为f≥ 风扇X≥ 十） ，我们有Y≤ Y（分别为。

Y≥ Y） 在[ν，ν]上，其中（Y，Z），（Y，Z）是S中的解∞G[0，T]×LG[0，T]到BSDE：Yt=X+Zνtf（s，Ys，Zs）ds-ZνtZsdWs，t∈ [ν，ν]，Yt=X+Zνtf（s，Ys，Zs）ds-ZνtZsdWs，t∈ [ν, ν].为了说明比较定理和本文的所有剩余结果，我们需要所谓的浸入假设，也称为假设（H），才能生效。假设2.2（浸入假设）。过滤F浸入过滤Gunder P中，即任何（P，F）-鞅都是（P，G）-鞅。例如，在[1，命题3.6（b）]中给出了浸没特性的表征。定理2.5（比较定理[29，Th.4.1]）。假设ξ≤ ξ、 P-a.s.此外，假设所有（t，y，z）∈ [0，T]×R×RdG（T，y，z）≤ G（t，y，z），P-a.s.，G（t，y，z）≤ G（t，y，z），P-a.s.，驱动程序G，Gor，G满足了布朗BSDE的比较定理。另外，如果{t>τ}上的Ut=Ut=0，那么我们得到了thatYt≤ Yt，t∈ [0，T]，P-a.s.此外，这个结果作为存在的结果，不能直接使用，因为（2.6）型布朗BSDE的驱动条件取决于（2.5）型布朗BSDE的解。然而，可以通过定理2.5给出一个例子，说明BSDEJ（2.2）的解的唯一性。它是在[29]中发展起来的，并基于[9]中给出的带有凸生成器的二次BSDE的比较定理。定理2.6（[29，Th.4.2]）。

假设，连同密度假设和扩散假设，我们有：（a）随机计数度量u的补偿器λt（e）dt de使得过程REλt（e）det型≥0是有界的。（b） 适用于所有（t、y、u）∈ [0，T]×R×B（E），地图z 7→ g（t，y，z，u）是凸的。（c） 生成器g是关于y的Lipschitz，即存在L>0，使得| gt、 y，z，（u（e）- y） e类∈E- g级t、 y，z，（u（e）- y） e类∈E| ≤ L | y- y |，对于所有t∈ [0，T]，y，y∈ R、 z∈ Rd，u∈ B（E）。（d） 生成器g在z中是二次的，即存在K>0，这样，对于所有（t，y，z，u）∈[0，T]×R×Rd×B（E），| g（T，y，z，u）|≤ K1+| y |+kzk+ZE | u（e）|λt（e）de.（e） g（t，·，·，u）=g（t，·，·，0）表示所有u∈ B（E）和所有t∈ （τn∧ T、 T）]。然后BSDEJ（2.2）最多允许一个解决方案。我们在总结本小节时给出了一个结果，将布朗BSDE（2.5）和（2.6）的解的FirstComponent的先验估计与BSDEJ（2.2）的解的FirstComponent的估计联系起来。[29]中没有给出这一结果，这对于获得我们要研究的动态风险度量的连续性非常重要（见第3节）。风险措施、扩大过滤和BSDES 9提案2.7。让定理2.3和2.5的假设成立。设\'ξ，^ξ∈ L∞（GT），相关分解：’ξ=’ξT<τ+’ξ（τ，ζ）1T≥τ、 ξ=ξT<τ+ξ（τ，ζ）1T≥τ.用（\'Y，\'Z，\'U）（resp.（Y，^Z，^U））表示BSDEJ的解决方案，驱动程序g和终端条件ξ（resp.ξ），由（\'Y，\'Z）和（\'Y，\'Z）（resp.（Y，^Z）和（^Y，^Z））对定义，如（2.10）所示。此外，假设每个（θ，e）∈ [0，T]×E:k'Y-^YkS∞[0，T]≤ Kk′ξ-^ξkL∞,k’Y（θ，e）-^Y（θ，e）kS∞[θ，T]≤ K（θ，e）K’ξ（θ，e）-^ξ（θ，e）kL∞,（2.11）对于某些常数K，K（θ，e）>0。如果我们有M：=max{M，M}<+∞, 式中，m：=Kk？ξ-^ξkL∞,M： =sup（θ，e）∈[0，T]×EK（θ，e）k′ξ（θ，e）-^ξ（θ，e）kL∞,那么以下估计值成立：k'Y-^Y kS∞[0，T]≤ 2米。

（2.12）证明。固定ξ，ξ∈ L∞（GT）。让我们定义setA：={（ω，θ，e）∈ Ohm ×[0，T]×E:max{supt∈[0，T]|年至今-^Yt |，支持∈[θ，T]| y（θ，e）-^Yt（θ，e）|}≤ M}。请注意∈ 英尺 B（R+） B（E）。让我们用▄表示Ohm:= {ω ∈ Ohm:ω, τ (ω), ζ(ω)∈A}∈ A、 我们有P（）Ohm) = 1，自，由于假设2.1P（）Ohmc） =E交流电ω, τ (ω), ζ(ω)= EE交流电ω, τ (ω), ζ(ω)| 英尺=Z[0，T]×EE交流电ω、 θ，eγT（θ，e）dθdeand，考虑到A和（2.11）的定义，我们有1Ac·, θ，eγT（θ，e）=0，P-a.s.，对于所有（θ，e）∈ [0，T]×E，因此P（~Ohmc） =0。由于过程Y和Y的分解，我们得到了所有t∈ [0，T]|年至今-^Yt |≤ |“”年初至今-^Yt | 1t<τ+| Yt（τ，ζ）-^Yt（τ，ζ）| 1t≥τ、 P-a.s.自▄Ohm 是一组完全P-测度，我们还得到：|(R)Yt-^Yt | 1t<τ≤ M、 |？Yt（τ，ζ）-^Yt（τ，ζ）| 1t≥τ≤ M、 P-a.s.，从何处开始-^Yt |≤ 2M，P-a.s.，适用于所有t∈ [0，T]，紧接着是索赔。10 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANIN2.3。BSDEJ提出的风险措施。本小节的目的是介绍通过BSDEJ（2.2）定义的过滤G的动态风险度量，并按照引理2.1的精神对其进行分解。在这一小节中，我们将在定理2.3和2.5的假设下，得到BSDEJ（2.2）解的存在性和唯一性。本文中，G-动态风险测度是G-条件风险测度族ρt:L∞（燃气轮机）→ L∞（Gt），带t∈ [0，T]。在[39]和[16]之后，我们将G-条件风险度量称为任何映射ρtsuch：（a）ρt:L∞（燃气轮机）→ L∞（Gt），对于所有t∈ [0，T]；（b） ρ是静态风险度量，即函数ρ：L∞（燃气轮机）→ R（c） ρT（ξ）=-ξ、 对于所有ξ∈ L∞（GT）。显然，我们对F和H动态和条件风险度量有类似的定义。众所周知（参见[5、18、36、39]），一类重要的动态风险度量是由BSDE引起的。

使用此表达式，我们的意思是，以下定义（需要立即验证）产生了一系列条件风险度量ρtas：ρt（ξ）：=Y-ξt，t∈ [0，T]，ξ∈ L∞（GT），（2.13），其中Y-ξ： =（Y-ξt）t≥0是具有终端条件的BSDEJ（2.2）解决方案的第一个组件-ξ. BSDEJ的驱动程序g在本节中是固定的，因此，为了避免不必要的繁重符号，我们省略了ρ对它的依赖性。很容易看出，由于（2.10），我们可以将ρ分解为两个动态风险度量，一个作用于事件{t<τ}，另一个作用于{t≥ τ }.提案2.8。在定理2.3和2.5的假设下，存在一个F动态风险测度ρ：=（ρt）t∈[0，T]和H-动态风险度量ρ：=（ρT）T∈[0，T]，使得（2.13）中定义的动态风险度量ρ允许以下分解：ρT（ξ）=ρT（ξ）1t<τ+ρTξ(τ, ζ)t型≥τ、 t型∈ [0，T]，ξ∈ L∞（GT）。（2.14）证明。让t∈ [0，T]和-ξ ∈ L∞（GT）固定，并让-ξ和-ξ如（2.3）所示。在定理2.3和2.5的假设下，BSDEJ（2.2）存在唯一解，由（2.10）中定义的三元组（Y，Z，U）给出。特别是：Yt=Ytt<τ+Yt（τ，ζ）1t≥τ、 t型∈ [0，T]。因为Yand Y（τ，ζ）是其各自布朗BSDE（2.6）和（2.5）的解（具有终端条件-ξ和-ξ（τ，ζ），我们可以定义任何t∈ [0，T]映射ρtandρtand很容易验证它们分别是F和H条件风险度量：ρT（ξ）：=Yt，ρT（ξ（τ，ζ））：=(R)ρT（ξ（τ，ζ））1t<τ+Yt（τ，ζ）1t≥τ.这里，’ρt:L∞（HT）→ L∞（Ht），t∈ [0，T]是一系列与指定相关的条件风险度量。随后立即进行（2.14）中提供的分解。备注2.4。

在前面命题的开头部分提供的动态风险度量ρ和ρ的构造让人想起彭在[34]中介绍的g-条件期望。这里，布朗BSDE（2.5）和（2.6）的特殊结构不允许将这些动态风险度量分别识别为真正的g和g条件期望。例如，考虑过程Y（τ，ζ）仅在随机时间间隔[τ]上解BSDE（2.5）（使用风险度量、扩大过滤和BSDE 11（θ，e）=（τ，ζ∧ T、 因此，我们没有获得为所有T定义的ag条件期望∈ [0，T]。此外，考虑这样一个事实，即BSDE（2.6）的解（Y，Z）取决于B（E）值过程Ys（s，·）s≥0，即它与一系列索引过程交织在一起，这些过程为每个BSDE（2.5）提供解决方案，因为（θ，e）不同。备注2.5。根据（2.14）获得的动态风险度量ρ和ρ具有非常直观的财务解释。一方面，F-条件风险度量ρtquantifies时间t时与某些财务状况相关的风险∈ [0，T]在F给出唯一可用信息的世界中，即在T时间之前未发生违约。另一方面，条件风险度量ρT在T时间之前（或在T时间）发生违约的情况下对风险进行了预测，因此可用信息由H给出。风险度量被更新以考虑新信息。这一事实可以在第4节提供的示例中清楚地看到，在该示例中，我们展示了一个评估此特征的动态熵风险度量。在结束本节之前，我们想离题一点，解释如何逆转这种推理，即如何从一对合适的动态风险度量ρ和ρ构建G-动态风险度量。我们提供了两个这种构造的可能示例。

请注意，我们并没有在以下情况下假设所涉及的动态风险度量是由BSDE引起的。示例2.1。让我们得到一个F-动态风险度量ρ和一个H-动态风险度量ρ。然后，我们得到一个G-动态风险度量ρ定义：ρt（ξ）：=ρt（ξ）1t<τ+ρt（ξ（τ，ζ））1t≥τ、 t型∈ [0，T]，ξ∈ L∞（GT）。为了确保ρ是真正的G动态风险度量，唯一需要检查的微妙性质是ρt（ξ）是任何t的Gt可测随机变量∈ [0，T]和任何ξ∈L∞（GT）（立即验证其本质上是有界的）。请注意，由于ρ是假设的H动态风险度量，因此ρt（ξ（τ，ζ））是一个可测量的随机变量。因此，根据【10，第2.7款】中的（i），存在Ft B（R+）B（E）-可测量函数xt：Ohm×R+×E→ R使得ρt（ξ（τ，ζ））（ω）=xt（ω，τ（ω），ζ（ω））。因此，随机变量ρt（ξ）的形式为：ρt（ξ）=ρt（ξ）1t<τ+xt（τ，ζ）1t≥τ和引理2.1（a），它是Gt可测的。这个例子很有艺术性，因为它要求财务代理指定优先的H动态风险度量，即在最初扩大的过滤上定义的风险度量。然而，它是下一个示例的基础，我们认为下一个示例与应用程序更相关。示例2.2。让我们得到一个F-动态风险度量ρ和一个指数族非动态风险度量，即每个（θ，e）∈ R+×E，我们有一个F-动态风险度量ρθ，E。假设对于每个固定的t∈ [0，T]和x∈ L∞（FT）地图fxt:R+×E→ L∞（Ft）定义为fxt（θ，e）：=ρθ，et（x）是可测量的。然后，再次回顾[10，Prop.2.7]中的（i），我们得到一个H动态风险度量ρ定义：ρt（X）：=ρt（X（τ，ζ））：=fx（θ，e）t（θ，e）|（θ，e）=（τ，ζ），t∈ [0，T]，X∈ L∞（HT），其中x是FT B（R+） B（E）-可测函数，使得X=X（τ，ζ）。事实上，由于所涉及的可测性性质，我们得到了ρt（X）∈ L∞（Ht）；此外，12 A.CALVIA和E。

ROSAZZA GIANINρ（X）∈ R、 自fx（θ，e）起∈ R表示任何（θ，e）∈ R+×E，给定ρθ，eis和动态风险度量；最后，ρT（X）=-x（θ，e）|（θ，e）=（τ，ζ）=-x（τ，ζ）=-十、 最后，我们得到了一个G-dynamic风险度量，与前面的示例完全相同。这表明，除了违约前的F-dynamic风险度量之外，还可以通过指定任何可能的违约时间和违约标记的F-dynamic风险度量集合来确定所需的动态风险度量。这是一项可行且合理的要求：在任何可能的情况下，财务代理都必须指定她/他打算如何更新自己的风险度量，以捕获受某个违约事件影响的金融环境中的风险。3、G-动态风险度量的性质设ρ为（2.13）中定义的动态风险度量。本节的目的是调查我们在下文中收集的其财产（更多详细信息，请参见[5、7、14、16、39]）。对于F和H动态风险度量，可以很容易地重新表述这些属性，例如，每当提及分解中出现的动态风险度量ρ和ρ时（2.14）。