风险度量和过滤的逐步扩大：BSDE方法

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英文标题：
《Risk measures and progressive enlargement of filtration: a BSDE approach》
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作者：
Alessandro Calvia and Emanuela Rosazza Gianin
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We consider dynamic risk measures induced by Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) in enlargement of filtration setting. On a fixed probability space, we are given a standard Brownian motion and a pair of random variables $(\\tau, \\zeta) \\in (0,+\\infty) \\times E$, with $E \\subset \\mathbb{R}^m$, that enlarge the reference filtration, i.e., the one generated by the Brownian motion. These random variables can be interpreted financially as a default time and an associated mark. After introducing a BSDE driven by the Brownian motion and the random measure associated to $(\\tau, \\zeta)$, we define the dynamic risk measure $(\\rho_t)_{t \\in [0,T]}$, for a fixed time $T > 0$, induced by its solution. We prove that $(\\rho_t)_{t \\in [0,T]}$ can be decomposed in a pair of risk measures, acting before and after $\\tau$ and we characterize its properties giving suitable assumptions on the driver of the BSDE. Furthermore, we prove an inequality satisfied by the penalty term associated to the robust representation of $(\\rho_t)_{t \\in [0,T]}$ and we discuss the dynamic entropic risk measure case, providing examples where it is possible to write explicitly its decomposition and simulate it numerically.
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中文摘要：
我们考虑了在扩大过滤设置时由倒向随机微分方程（BSDE）引起的动态风险度量。在固定概率空间上，我们给出了一个标准的布朗运动和一对随机变量$（\\tau，\\zeta）\\in（0，+\\infty）\\乘以E$，以及$E\\subset\\mathbb{R}^m$，它们扩大了参考过滤，即由布朗运动生成的过滤。这些随机变量在财务上可以解释为默认时间和相关标记。在引入由布朗运动驱动的BSDE和与$（\\tau，\\zeta）$相关的随机测度后，我们定义了由其解诱导的固定时间$t>0$的动态风险测度$（\\rho\\u t）{t\\in[0，t]}$。我们证明了$（\\rho\\u t）{t\\in[0，t]}$可以分解为一对风险度量，在$\\tau$之前和之后，我们刻画了它的性质，并对BSDE的驱动因素给出了适当的假设。此外，我们证明了与$（\\rho\\u t）{t\\in[0，t]}$的鲁棒表示相关的惩罚项满足的不等式，并讨论了动态熵风险度量情况，提供了可以显式编写其分解并进行数值模拟的示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：BSDE 风险度量 风险度 SDE Quantitative

风险度量和过滤的逐步扩大：BSDE方法Alessandro CALVIA和EMANUELA ROSAZZA GIANINAbstract。我们考虑了在扩大过滤设置时由倒向随机微分方程（BSDE）引起的动态风险度量。在固定概率空间上，我们给出了一个标准布朗运动和一对随机变量（τ，ζ）∈ (0, +∞) ×E，带E 这扩大了参考过滤，即由布朗运动生成的过滤。这些随机变量可以在财务上解释为默认时间和相关标记。在引入由布朗运动驱动的BSDE和与（τ，ζ）相关的随机测度后，我们定义了动态风险测度（ρt）t∈[0，T]，对于固定时间T>0，由其溶液诱导。我们证明了（ρt）t∈[0，T]可以分解为一对风险度量，在τ前后起作用，我们对其性质进行了表征，并对BSDE的驱动因素进行了适当的假设。此外，我们证明了一个不等式，该不等式由与（ρt）t的稳健表示相关的惩罚项满足∈[0，T]并且我们讨论了动态熵风险度量情况，提供了可以显式编写其分解并进行数值模拟的示例。关键词：风险度量、g预期、BSDE、过滤扩大。AMS 2010:60H30、91G80、60J75、60G44.1。简介风险度量在Artzneret al.（2）和Delbaen（13）的开创性论文中以公理化的方式引入，以量化财务头寸的风险。

更准确地说，上述作者介绍了所谓的一致性风险度量，可以将其解释为存放资本保证金以覆盖头寸的风险，或者更好地解释为在认为不可接受的情况下，向头寸中添加最小现金金额以使其可接受。文献中提供了连贯性风险度量的若干扩展，既概括了给定的连贯性公理，又从静态框架转移到动态框架。从公理层面的推广开始，出于流动性原因，F"ollmer和Schied【20】以及Frittelli和Rosazza Gianin【23】引入了凸风险度量，用较弱的凸公理替换次加性和正同质性。一致性和凸性风险度量的进一步扩展也可以在[18，22]和其中的参考文献中找到。A、 CalviaLUISS“Guido Carli”，经济和金融部，viale Romania 32，00197，Roma（意大利）。电子邮件：acalvia@luiss.it.E.Rosazza GianinMilano Bicocca大学统计与定量方法系，via Bicocca degli Arcimboldi 8200126，Milano（意大利）。电子邮件：emanuela。rosazza1@unimib.it.This这项工作是在A.Calvia担任米兰比科卡大学统计和定量方法系博士后研究员期间完成的。2 A.CALVIA和E.ROSAZZA Gianin不同于第一部考虑单期模型的风险度量工作，引入了动态风险度量来评估时间范围之前任何时间的财务状况的风险，因此考虑了动态框架。Wang[43]的一项早期工作讨论了动态风险度量作为按时间索引的条件风险度量集合（本文也采用了这一概念），其中只考虑了有限概率空间。

随后，Riedel【37】、Roorda等人【38】（考虑有限概率空间）和Artzner等人【3】、Delbaen【14】（具有一般概率空间）的论文研究了离散时间集中的一致动态风险度量。Cheriditoet等人【11】、Detlefsen和Scandolo【16】、F"ollmer和Penner【19】分析了离散时间环境下的凸动态风险度量。在第一批讨论连续时间动态风险度量的工作中，我们可以引用Barrieu andEl Karoui【5】、Bion Nadal【7】、Rosazza Gianin【39】。动态风险度量的一个关键问题是跨时间关系，或者更好的是，风险度量的时间一致性，上述许多工作都涉及这个主题。可以使用多种方法来研究动态风险度量：其中一种方法是基于它们与反向随机微分方程（BSDEs，forshort）的紧密联系。这些随机方程从Pardoux和Peng[33]的主要论文开始就得到了广泛的研究，如今已成为数学金融领域一个成熟而有力的工具，如El Karoui等人[17]所示。动态风险度量和BSDE之间的联系源于彭（Peng）[34]提出的条件g-期望（或非线性期望）理论，该理论是通过维纳过程驱动的BSDE和生成器g的解引入的，Barrieu和El-Karoui[5]以及Rosazza Gianin[39]对这种联系进行了研究。在这些论文中，作者还研究了BSDE驱动程序g的性质与诱导动态风险度量的性质之间的关系，如平移不变性、次可加性和凸性等。此外，通过BSDE的流动特性，建立了诱导dynamicrisk测度的强时间一致性。

在Jiang[28]中，驱动因素g的条件被大大削弱，从而保留了关联动态风险度量的主要属性。Coquet等人关于非线性预期理论的另一篇重要论文【12】为回答以下问题提供了基础：在哪些假设下，可以找到驱动因素，从而使相关BSDE产生给定的动态风险度量？罗莎·贾宁（Rosazza Gianin）[39]在布朗过滤框架下的答案已被证明是肯定的。在这种情况下，还采用了g-期望理论，以便在适当的假设下，表示与动态风险度量相关的惩罚项（见Delbaen等人【15】），并研究El Karouiand Ravanelli【18】中的现金次加性风险度量。Royer【40】首先研究了由布朗运动和非独立泊松随机测度驱动的BSDE框架中的非线性期望，Quenez和Sulem【36】分析了动态风险测度与此类BSDE之间的联系。在这个框架中，也采用了g-期望理论，以便在适当的假设下表示与动态风险度量相关的惩罚项（参见Tang和Wei【42】，Laeven和Stadje【31】进一步将其推广到噪声源为布朗运动和独立实值标记点过程的情况）。本文的目的是进一步扩展BSDE诱导的动态风险度量结果，对其进行定义并研究其特性，包括时间一致性，BIRIT中介绍了早期的线性BSDE研究[8]。风险度量、过滤扩大和BSDE 3过滤扩大的框架以及BSDE驱动因素的一般假设。

更准确地说，我们展示了如何从BSD中导出一个动态风险度量，其中驱动噪声由布朗运动和随机计数度量给出。更具体地说，为了简化说明，我们假设此随机度量是一个Diracdelta，集中在随机时间和相关随机标记给出的一对上。然而，可以将本研究中提供的所有参数推广到随机计数度量与标记点过程相关的情况，该过程在固定时间间隔内有无数个跳跃。就基本信息流而言，这种情况对应于布朗参考过滤的逐步扩大，其中包含随机事件在随机时间发生所带来的信息。例如，这可以描述金融市场中违约的存在以及连续违约之前、之间和之后风险度量的不同行为。从J.Jacod、T.Jeulin和M.Yor的开创性著作开始，文献中对过滤放大理论进行了深入研究（例如，参见[24、26、27]）。我们还请读者参考Aksamit和Jeanblanc【1】（以及其中的参考文献），了解关于扩大过滤理论及其在金融中的应用的最新情况。我们感兴趣的上述带跳跃的BSDE类是由Kharroubi和Lim在[29]中介绍的。在那里，作者证明了存在唯一结果，并将此类BSDE与跳跃连接到布朗BSDE系统。

该方法可以将为前一个BSDE提供解决方案的过程分解为相应的过程，这些过程是后一个过程在每对连续跳转时间之间的解决方案。在这里，我们证明了这些带跳跃的BSDE所产生的动态风险度量允许类似地分解为两个风险度量，一个在默认时间之前，另一个在默认时间之后。此外，我们证明，动态风险度量的标准属性由这些BSDE驱动因素的类似属性保证，并且最终，诱导的动态风险度量是时间一致的。从财务角度来看，将全球风险指标分解为不同的本地风险指标似乎是合理的。事实上，在故障时间之前和之后，应更新风险度量，以考虑新信息。先验地，没有理由强制要求风险度量保持不变。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了我们将要处理的参考文献和扩大的过滤，我们提供了本文的主要假设，并简要概述了在Kharroubi和Lim中引入跳跃的BSDE类的主要结果【29】。我们还证明了关于这些BSDE先验估计的一个新结果。然后，我们引入了这类BSDE引起的动态风险度量，并对这些动态风险度量进行了分解。第3节研究了这些风险度量的性质，包括时间一致性，而第5节研究了扩大过滤对其双重代表性的影响。

在第4节中，我们详细讨论了在逐步扩大的过滤上定义的动态熵风险度量：我们展示了如何明确构建这种类型的风险度量，指出在我们的框架下，可以在随机时间和随机标记提供的信息到达后，通过允许相关的风险容忍参数来更新它–或，同样，风险规避参数–tochange。我们还提供了封闭式公式和数值模拟，用于两种特定金融索赔的风险评估。特别是，如第4节所述，第一个索赔的结构只能在4 a.CALVIA和E.ROSAZZA GIANIN过滤的逐步扩大的框架内考虑，这再次说明了本工作中研究的动态风险度量的特征，据我们所知，文献中尚未考虑这些特征。1.1. 符号为了方便读者，我们在这里收集了本文中使用的所有相关符号和约定。符号R+是表示集合（0+∞). 我们表示区间（a，b）上的Byrbayer积分，对于a，b≥ 给定一个非空拓扑空间X，B（X）表示X上的Borelσ-代数，我们定义B（X）：={f:X→ R、 Borel可测量}；我们为这个空间配备了pointwiseconvergence拓扑。我们用M（A）表示可测空间上概率测度的集合(Ohm, A） 。给定某个概率空间上的过滤F，P（F）（resp.O（F），Prog（F））表示上的F-可预测（resp.F-可选，F-渐进）σ-代数Ohm × [0, +∞), i、 例如，由左连续（分别为右连续，渐进可测）过程生成的σ代数是Fadapted过程。F-可预测（resp.F-可选，F-渐进）进程的类别将由PF（resp.of，ProgF）表示。最后，符号PF（R+，E）（分别为。

OF（R+，E），ProgF（R+，E））表示索引进程的类Y，使得映射Ohm × [0, +∞) ×R+×E 3（ω，t，θ，E）7→ Yt（ω，θ，e）是P（F）B（R+）B（E）-可测量（分别为O（F））B（R+）B（E）-可测量，Prog（F） B（R+） B（E）-可测量）。2、扩大过滤、BSDE和相关风险措施2.1。设置问题。设T>0为固定时间范围，且(Ohm, A、 P）是完全概率空间，支持标准d维布朗运动W=（Wt）t≥0，一个随机变量τ，其值为R+，描述默认时间，以及一个关联标记，即一个随机变量ζ，其值为Rm的可测量子集e。我们表示byF=（Ft）t≥0 W生成的已完成自然过滤。更精确地说，我们设置ft：=σ（Ws：0≤ s≤ t）∨ N代表所有t≥ 0，其中N A是所有P–null集的集合。F起着参考过滤的作用，我们将利用来自默认时间和相关随机标记的信息来放大。我们将在以下基本假设下贯穿本文。假设2.1（密度假设）。对于任何t≥ 0，给定FTI的空气（τ，ζ）的条件分布相当于R+×E上的Lebesgue测度。特别是，存在严格正γ∈ PF（R+，E）使P(τ, ζ) ∈ C |英尺=ZCγt（θ，e）dθde，C∈ B（R+） B（E），t≥ 0、备注2.1。密度假设的重要性将在下文中广泛强调。首先，我们想强调的是，由于我们假设γ>0，我们的假设比Jacod的假设更强（也在[29]中采用），即R+×e上存在支配所有条件定律的非终结性测度。

它也比[10]中的（E）-假设稍微严格一些，即所有条件定律与（τ，ζ）定律相等。事实上，我们的假设暗示了（E）-假设，因为，应用富比尼-托内利定理并回顾γt（θ，e）是任意（θ，e）的F-鞅∈ R+×E（见[24，Lemme（1.8）]），我们有(τ, ζ) ∈ C= EE[1C（τ，ζ）| FT]= EZCγT（θ，e）dθde=ZCγ（θ，e）dθde.尤其是（τ，ζ）定律等效于R+×e上的勒贝格测度。风险测度、过滤放大和BSDES 5让我们定义所有≥ 0σ-代数的下列族：oDt：=σ（1τ≤s、 0个≤ s≤ t）∨ σ(ζ1τ≤s、 0个≤ s≤ t） ；oGt：=Ts>tFs公司∨ Ds公司.o Ht：=英尺∨ σ(τ, ζ).我们称G：=（Gt）t≥0逐渐增大的过滤和H：=（Ht）t≥0初始放大过滤。备注2.2。众所周知，（参见，例如，[10，25]），F G 在事件{t<τ}上，过滤gC与F一致，在事件{t}上，过滤gC与H一致≥ τ }. 这一事实将成为续集的基础。可以将任何Gt可测随机变量和Gpredictable过程分解为指数Ft可测随机变量和F可预测过程，其中指数由跳跃时间和相关随机标记给出。这些结果在[10，35]中给出（或者是它们的简单概括），为了读者的方便，我们在这里回忆它们。引理2.1（[10，Prop.2.8]和[35，引理2.1]）。