风险度量和过滤的逐步扩大：BSDE方法

在本节中，我们假设定理2.3和2.5的假设有效。（a） 零一定律：适用于所有t∈ [0，T]和所有A∈ Gt：ρt（ξ1A）=1Aρt（ξ），ξ∈ L∞（GT）。（b） 平移不变性：适用于所有t∈ [0，T]和所有η∈ L∞（Gt）：ρt（ξ+η）=ρt（ξ）- η, ξ ∈ L∞（GT）。（c） 正均一性：适用于所有t∈ [0，T]和所有λ∈ L∞（Gt），λ≥ 0：ρt（λξ）=λρt（ξ），ξ∈ L∞（GT）。（d） 单调性：对于所有ξ，η∈ L∞（GT），带ξ≤ η： ρt（ξ）≥ ρt（η），t∈ [0，T]。（e） 凸度：对于所有ξ，η∈ L∞（GT）和所有α∈ [0，1]：ρtαξ + (1 - αη) ≤ αρt（ξ）+（1- α） ρt（η），t∈ [0，T]。（f） Fatou性质：对于任意序列（ξn）n∈N L∞（GT）和ξ∈ L∞（GT）使得ξn→ ξ： ρt（ξ）≤ lim信息→∞ρt（ξn），t∈ [0，T]。（g） 时间一致性：对于任何g-停止时间σ≤ T和ξ∈ L∞（GT）：ρt（ξ）=ρt-ρσ(ξ), t型≤ σ.提案3.1。（2.13）中定义的动态风险度量ρ满足以下特性：（a）如果eitherg（t，0，0，0）=0，P-a.s.，对于所有t∈ [0，T]，或ρ和ρ都满足此性质。（b） 如果g不依赖于y或者ρ和ρ都满足这个性质，则平移不变性。（c） 正均一性，如果g相对于（y，z，u）正均一，P-a.s.，对于所有t∈ [0，T]，或ρ和ρ都满足此性质。零作为进程g的最后一个参数，表示B（E）上的相同null函数。风险措施、扩大过滤和BSDES 13Proof。我们将只证明属性（a），因为其他属性可以用类似的参数显示。让我们来确定∈ [0，T]，A∈ GT和ξ∈ L∞（GT）。我们首先作一些初步评论。由于X：=ξ1Ais GT可测且1Ais GT可测，从引理2.1我们立即得到：X=XT<τ+X（τ，ζ）1T≥τ、 A=It<τ+I（τ，ζ）1t≥τ、 其中X、X、I、I的定义如（2.3）所示。由于1At<τ=It<τ，在事件{t<τ}上，随机变量必须取0或1，因此如果我们定义：A：={ω∈ Ohm: I（ω）=1}∈ Ft，我们得到1At<τ=1At<τ。

同样，定义：A：={ω∈ Ohm: I（ω，τ（ω），ζ（ω））=1}∈ Ht，我们得到1At≥τ=1At≥τ. 因此，由于{T<τ} {t<τ}，A=1At<τ+1At≥τ==> ξ1A=Xz}{ξAT<τ+ξ（τ，ζ）1A{z}X（τ，ζ）T≥τ.如果ρ和ρ都满足零一定律，那么：ρt（X）=ρt（ξA）=1Aρt（ξ），ρt（X（τ，ζ））=ρt（ξ（τ，ζ）1A）=1Aρt（ξ（τ，ζ）），ρt（ξ1A）=ρt（X）=ρt（X）1t<τ+ρt（X（τ，ζ）1t≥τ=1Aρt（ξ）1t<τ+1Aρt（ξ（τ，ζ））1t≥τ=1Aρt（ξ）1t<τ+1Aρt（ξ（τ，ζ））1t≥τ=1Aρt（ξ）。如果g（t，0，0，0）=0，P-a.s.，对于所有t，还需要证明零一定律也成立∈ [0，T]。现在，考虑对（\'Y，\'Z）和（\'Y（θ，e），\'Z（θ，e）），对于任何（θ，e）∈ R+×E，即具有终端条件的布朗BSDE（2.6）和（2.5）的解-ξ和-ξ（θ，e）。让我们定义：^Y：=1A'Y'Z：=1A'Z^Y（θ，e）：=1A'Y（θ，e）^Z（θ，e）：=1A'Z（θ，e），如果g（s，0，0，0）=0，P-a.s.对于任何s∈ [0，T]，则：在{s<τ}g（s，0，0，0）=0，在{s≥ τ} g（s，0，0，0，τ，ζ）=0。但是，我们可以选择函数和gso∈ [0，T]，g（s，0，0，0）=0和g（s，0，0，0，τ，ζ）=0，P-a.s。实际上，对于任何∈ [0，T]，（θ，e）∈ R+×E，as：△g（s，y，z，u）=（g（s，y，z，u），对于（y，z，u）6=（0，0，0），否则，△g（s，y，z，u，θ，E）=（g（s，y，z，u，θ，E），对于（y，z，u）6=（0，0，0），否则，14 A.CALVIA和E.ROSAZZA Gianin因此，有两种可能的情况：o对于{t<τ}我们有这两种情况上述讨论中的ρt（ξ）=ρt（ξ），ρt（ξ1A）=ρt（ξA）。如果我们在这个事件上比较术语1Aρt（ξ）和ρt（ξA）作为其各自BSDE的解，我们得到：Aρt（ξ）=-ξA+ZTtAg（s，\'Ys，\'Zs，\'Ys（s，·））-(R)Ys）ds-ZTtA？ZsdWsρt（ξA）=-ξA+ZTtg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））- Ys）ds-ZTtZsdWs。如果我们取Y=^Y，Y（·，·）=^Y（·，·）和Z=^Z，那么我们得到两条右手边是a.s.相等的。

事实上，在事件中，Awe在两个r.h.s.上具有相同的方程式，而在Ohm \\ Awe有（回想1At<τ=1At<τ）：0=ZTtg（s，Ys，Zs，Ys（s，·））- Ys）ds-ZTtZsdWs=ZTtg（s，0，0，0）ds=0。所以这对（^Y，^Z）是具有终端条件的布朗BSDE（2.6）的解-ξA，因此ρt（ξA）=1Aρt（ξ），最后ρt（ξ1A）=1Aρt（ξ）关于{t≥ τ}根据上述讨论，我们得到ρt（ξ）=ρt（ξ（τ，ζ）），ρt（ξ1A）=ρt（ξ（τ，ζ）1A。如果我们在此事件上比较术语1Aρt（ξ（τ，ζ））和ρt（ξ（τ，ζ）1A）作为其各自BSDE的解，我们得到：Aρt（ξ（τ，ζ））=-ξ（τ，ζ）1A+ZTtAg（s，\'Ys，\'Zs，0，τ，ζ）ds-ZTtA？Zs（τ，ζ）dWsρt（ξ（τ，ζ）1A）=-ξ（τ，ζ）1A+ZTtg（s，Ys，Zs，0，τ，ζ）ds-ZTtZs（τ，ζ）dWs。如果我们取Y（·，·）=^Y（·，·，·）（如前）和Z（·，·）=^Z（·，·，·），那么我们得到的是，两条右手边是a.s.相等的。事实上，在事件中，Awe在两个r.h.s.上具有相同的方程式，而在Ohm \\ Awe有：0=ZTtg（s，Ys，Zs，0，τ，ζ）ds-ZTtZs（τ，ζ）dWs=ZTtg（s，0，0，0，τ，ζ）ds=0。所以这对（^Y，^Z）是具有终端条件的布朗BSDE（2.5）的解-ξ（τ，ζ）1A，因此ρt（ξ（τ，ζ）1A）=1Aρt（ξ（τ，ζ）），最后ρt（ξ1A）=1Aρt（ξ）。将两个不相交事件上证明的事实放在一起，并回顾1At<τ=At<τ，我们得到了所需的性质。备注3.1。零一定律意味着动态风险度量ρ是标准化的，即ρt（0）=0表示所有t∈ [0，T]。此外，如果g不依赖于y，即g（t，y，z，u）=g（t，z，u）和g（t，0，0）=0，P-a.s.，对于所有t∈ [0，T]，那么ρ不仅满足平移不变性和零一定律的性质，而且在[12，34]的意义上也是过滤一致的条件g-期望。然而，回顾一下，通常ρ和ρ分别不是由g和g条件期望引起的（cfr备注2.4）。提案3.2。

（2.13）中定义的动态风险度量ρ满足以下性质：（d）单调性。（e） 凸性如果g对（y，z，u）是凸的，P-a.s.，对于所有t∈ [0，T]，或ρ和ρ都满足这个性质。风险措施、扩大过滤和BSDES 15Proof。性质（d）很容易遵循定理2.5。为了证明性质（e），即凸性，让我们fixξ，η∈ L∞（GT），α∈ [0，1]和t∈ [0，T]。由于引理2.1，我们得到了：αξ+（1- α)η =αξ+ (1 - α)ηT<τ+αξ(τ, ζ) + (1 - α)η(τ, ζ)T≥τ、 式中，ξ、ξ、η、η的定义如（2.3）所示。如果ρ和ρ都是动态凸风险度量，那么紧接着ρ也是。现在，考虑对（\'Y，\'Z），（Y0，-ξ、 Z0，-ξ） 和（Y0，-η、 Z0，-η） ，这是具有终端条件的布朗BSDE（2.6）的解-[αξ+(1-α)η], -ξ和-η分别为。类似地，用（\'Y（θ，e），\'Z（θ，e）），（Y1，-ξ（θ，e），Z1，-ξ（θ，e））和（Y1，-η（θ，e），Z1，-η（θ，e））具有终端条件的布朗BSDE（2.5）的解-[αξ（θ，e）+（1-α） η（θ，e）]，-ξ（θ，e）和-η（θ，e）。让我们定义：^Y：=αY0，-ξ+ (1 - α） Y0，-η^Z：=αZ0，-ξ+ (1 - α） Z0，-η^Y：=αY1，-ξ+ (1 - α） Y1，-η^Z：=αZ1，-ξ+ (1 - α） Z1，-η如果g相对于（y，z，u）是凸的，P-a.s.，对于任何s∈ [0，T]，然后是gand gare等{s<τ}和{s≥ τ}。然而，与命题3.1的证明不同，我们不能保证我们能够选择gand gto为凸P-a.s.对于任何s∈ [0，T]。因此，我们必须区分三种可能的情况在{T<τ}（因此T<τ）上，ρT=ρT。

我们有：αρt（ξ）+（1- α） ρt（η）=-[αξ+ (1 - α） η]+ZTtαg（s，Y0，-ξs，Z0，-ξs，Y1，-ξs（s，·）- Y0，-ξs）+（1- α） g（s，Y0，-ηs，Z0，-ηs，Y1，-ηs（s，·）- Y0，-ηs）ds公司-ZTt公司αZ0，-ξs+（1- α） Z0，-ηsdWs=-[αξ+ (1 - α） η]+ZTtλ（s，Y0，-ξs，Y0，-ηs，Z0，-ξs，Z0，-ηs，Y1，-ξs（s，·）- Y0，-ξs，Y1，-ηs（s，·）- Y0，-ηs，α）+g（s，^Ys，^Zs，^Ys（s，·）-^Ys）ds公司-ZTt^zsdwsw其中λ几乎肯定是一个非负过程。因此，由于最后一个BSDE的驱动程序肯定大于或等于galmost，利用定理2.5我们得到：αρt（ξ）+（1- α） ρt（η）≥ ρt（αξ+（1- α)η). 最后：ρt（αξ+（1- α)η) ≤ρt（ξ）+（1- α） ρt（η）。o同样的结论也适用于{t≥ τ} （因此T≥ τ） 通过类似的论证。16 A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINoOn{t<τ≤ T}，ρT=ρT。我们有：αρT（ξ）+（1- α） ρt（η）=αρt（ξ）+（1- α） ρt（η）=-[αξ+ (1 - α） η]+Zτtαg（s，Y0，-ξs，Z0，-ξs，Y1，-ξs（s，·）- Y0，-ξs）+（1- α） g（s，Y0，-ηs，Z0，-ηs，Y1，-ηs（s，·）- Y0，-ηs）ds公司-ZτtαZ0，-ξs+（1- α） Z0，-ηsdWs公司-αY1，-ξτ(τ, ζ) - Y0，-ξτ+ (1 - α)Y1，-ητ(τ, ζ) - Y0，-ητ+ZTταg（s，Y1，-ξs，Z1，-ξs，0，τ，ζ）+（1- α） g（s，Y1，-ηs，Z1，-ηs，0，τ，ζ）ds+ZTταZ1，-ξs（τ，ζ）+（1- α） Z1，-ηs（τ，ζ）dWs=-[αξ+ (1 - α） η]+Zτtλ（s，Y0，-ξs，Y0，-ηs，Z0，-ξs，Z0，-ηs，Y1，-ξs（s，·）- Y0，-ξs，Y1，-ηs（s，·）- Y0，-ηs，α）+g（s，^Ys，^Zs，^Ys（s，·）-^Ys）ds公司-Zτt^ZsdWs- （^Yτ（τ，ζ）-^Yτ）+ZTτλ（s，Y1，-ξs，Y1，-ηs，Z1，-ξs，Z1，-ηs，α）+g（s，^Ys，^Zs，0，τ，ζ）ds公司-ZTτ^Zs（τ，ζ）dWs=-[αξ+ (1 - α） η]+ZTt(R)λs+g（s，^Ys，^Zs，^Ys（s，·））-^Ys）ds公司-ZTt^zsdwsw其中λ几乎肯定是一个非负过程。因此，由于lastBSDE的驱动程序肯定大于或等于galmost，利用定理2.5，我们得到：αρt（ξ）+（1- α） ρt（η）≥ ρt（αξ+（1- α)η). 最后：ρt（αξ+（1- α)η) ≤ ρt（ξ）+（1- α） ρt（η）。综合目前分析的所有案例，我们得出ρ是一个动态凸风险测度。备注3.2。通常，对于ρ和ρ，类似于（a）-（e）的性质不能仅通过对g的假设来推导。

这是由于命题2.8证明中提供的这些动态风险度量的构造（另见备注2.4），以及关于g的任何假设都会反映在事件{t<τ}和{t≥ τ} 这应该通过仔细检查命题3.1和命题3.2的证明来证明。显然这不是问题，因为风险度量ρ和ρ出现在相应事件的分解（2.14）中。在下面的命题中，我们证明了动态风险度量ρ满足连续性，这意味着Fatou性质。提案3.3。让命题2.7的假设成立。考虑（2.13）中定义的动态风险度量ρ和ξn，ξ∈ L∞（GT），n∈ N、 对于任何t∈ [0，T]，我们得到以下连续性性质成立：ξn→ ξ、 在L中∞（燃气轮机）==> ρt（ξn）→ ρt（ξ），单位：L∞（Gt）。因此，（f）即Fatou地产也令人满意。风险措施、扩大过滤和BSDES 17Proof。让我们来确定∈ [0，T]，ε>0和a序列（ξn）n∈N L∞（Gt）使得ξn→ξ ∈ L∞（GT）。我们知道存在一个数nε∈ 使kξN- ξkL∞< 所有n的ε≥ nε，即|ξn- ξ|<ε，P-a.s.由于ξ和ξ的分解，我们可以首先显示存在ξ0，n，ξ和ξ1，n，ξ，使得|ξ0，n- ξ|<ε和ξ1，n（θ，e）- ξ（θ，e）|<ε表示所有（θ，e）∈ [0，T]×E。让我们把这个分解写成ξn=|ξ0，nT<τ+|ξ1，n（τ，ζ）1T≥τ、 ξ=|ξT<τ+|ξ（τ，ζ）1T≥τ、 ξn从何而来- ξ =ξ0，n-~ξT<τ+Иξ1，n（τ，ζ）-~ξ(τ, ζ)T≥τ=：￠δ0，nT<τ+￠δ1，n（τ，ζ）1T≥τ.设K>0为任意正常数，并定义ξ0，n，ξ和ξ1，n，ξ如下：ξ0，n：=△ξ0，n | |δ0，n |<ε+K1 | |δ0，n|≥ε、 ξ：=ξ|δ0，n |<ε+K1 |δ0，n|≥ε、 ξ1，n（θ，e）：=？ξ1，n（θ，e）1？δ1，n（θ，e）|<ε+K1？δ1，n（θ，e）|≥ε、 ξ（θ，e）：=°ξ（θ，e）1 |δ1，n（θ，e）|<ε+K1 |δ1，n（θ，e）|≥ε、 对于每个（θ，e）∈ [0，T]×E。

很明显，ξ0，n- ξ|<ε和ξ1，n（θ，e）- ξ（θ，e）|<ε表示所有（θ，e）∈ [0，T]×E。此外，在事件{T<τ}上，我们有| |δ|<ε，因此ξ0，n=△ξ0，andξ=△ξ。关于事件{T的类似推理≥ τ} 我们得到：ξn=ξ0，nT<τ+ξ1，n（τ，ζ）1T≥τ、 ξ=ξT<τ+ξ（τ，ζ）1T≥τ.这意味着对于所有n≥ nεM<εmaxK、 sup（θ，e）∈[0，T]×EK（θ，e）,其中M是命题2.7中定义的常数。根据估算值（2.12），可以得出|ρt（ξn）- ρt（ξ）|≤ 2M<2εmaxK、 sup（θ，e）∈[0，T]×EK（θ，e）接着就是连续性。Fatou性质由刚刚证明的连续性所隐含。最后，我们将注意力转向本节开头列出的最后一个属性，即时间一致性。提案3.4。（2.13）满意度（g）中定义的动态风险度量ρ，即时间一致性。证据时间一致性的证明依赖于SDES解决方案的流动特性。可以用几乎相同的方式证明，在布朗或布朗加泊松情况下（参见，例如，[17]和[36]），BSDEJ（2.2）满足了这一点。更具体地说，我们有yξ，Tt=YYξ，Tσ，σT，T∈ [0，σ]，P-a.s.，其中，对于任何G-停止时间σ≤ T和任意ξ∈ Gσ，我们用（Yξ，σ，Zξ，σ，Uξ，σ）表示具有终端时间σ和终端条件ξ的BSDEJ的解。精确地说，通过设置Yξ，σT=ξ，Zξ，σT=18，将此解扩展到整个区间[0，T]，A.CALVIA和E.ROSAZZA GIANIN0，Uξ，σT=0∈ （σ，T）。请感兴趣的读者参考以上提供的参考文献，以获得关于流动特性证明的更多详细信息。由于（2.13）中给出了ρ的定义，可以立即看到流动特性包括ρT（ξ）=Y-ξ、 Tt=YY-ξ、 Tσ，σT=ρT(-ρσ（ξ）），t∈ [0，σ]，P-a.s.，即动态风险度量ρ是时间一致的。备注3.3。

需要注意的是，Flow属性也适用于BrownianBSDEs（2.5）和（2.6），因为我们假设它们各自的解存在唯一。更准确地说，与（2.6）相关的流动特性适用于任何F-stoppingtimeσ≤ T，与（2.5）相关的对应值适用于任何H停车时间σ∈ [τ，T]。这一事实对F和H动态风险度量ρ和ρ的时间一致性产生了有趣的影响，如（2.14）所示。一方面，由于任意G-停止时间也是anH停止时间，我们得到ρ满足任意G-停止时间σ的时间一致性性质∈ [τ，T]。另一方面，我们从[1，Cor.2.12]中知道，对于任何停止时间σ，都存在一个F-停止时间σ，使得σ∧ τ = σ∧ τ. 因此，ρ也满足任何G-停止时间σ的时间一致性特性∈ [0, τ ∧ T）。示例：熵ris k度量案例在本节中，我们提供了一个G-动态风险度量的示例。我们将首先明确分解，如（2.14）所示，并解释其财务含义。然后，我们将提供一个简单金融索赔的风险评估，并进行数值模拟。我们将引入一种特殊的G-动态熵风险度量，由形式（2.2）的BSDEJ导出。众所周知，熵风险度量与指数效用函数有关，即形式为u（x）=-γe-xγ，其中γ>0是金融机构的参数化建模风险容忍度（参见，例如，[5]）。在这里，我们使用这个参数来引入代理的风险规避（γ的倒数）对可能违约事件的依赖性。我们将特别假设，无论何时发生违约事件，代理都会变得更加厌恶风险，我们将量化她/他通过特定函数改变偏好的程度。为了实施我们的计划，首先让我们简化设置。

给出了一维布朗运动W=（Wt）t≥0和一个随机变量τ，其值为R+，用于描述故障时间。通常，我们用F=（Ft）t表示≥0 W生成的已完成自然过滤，称之为参考过滤。我们为所有人定义≥ 0σ-代数的下列族：oDt：=σ（1τ≤s、 0个≤ s≤ t） ；oGt：=Ts>tFs公司∨ Ds公司;我们称G：=（Gt）t≥0逐步扩大的过滤。我们假设τ是Cox过程的初始跳跃时间（参见，例如，[1，6]），F-随机强度λ=（λt）t≥λt=ν（Lt），t形式的0≥ 0，其中ν（x）=e-X和L=（Lt）t≥0满足SDEdLt=uLtdt+σLtdWt，u，σ>0固定参数。更准确地说，我们假设概率空间(Ohm, A、 P）足够丰富，支持一个独立于F的随机变量η，具有指数分布和平均值1，我们定义：τ：=inft型∈ R+：Ztν（Ls）ds≥ η.风险度量、过滤扩大和BSDES 19注意到，默认时间τ的这种构造，有时被称为规范，保证了密度假设（假设2.1）和浸没假设（假设2.2）都得到满足（见[1，引理2.25和引理2.28]）。这种基于强度的违约时间建模方法被称为信用风险建模中的简化方法。此外，以这种方式，随机计数度量u的G-补偿器λtdt具有G-随机性λ=（λt）t≥0由λt=λtt<τ给出，因此，给定我们的构造，λ是一个有界过程。我们假设BSDEJ（2.2）的驱动器g不依赖于（y，u），其形式为g（ω，t，z）=zf（t，τ（ω）），其中f（t，θ）=1，如果t≤ θ，γ（θ），如果t>θ，γ：R+→ （0，1）是一个可测量的函数，它在默认事件发生后给出风险容忍度参数。

请注意，其可能的值低于默认值之前的风险容差值，即1（当然，这只是一个常规值）。很明显，该驱动程序是P（G） B（R）-可测，因此它允许分解g（t，z）=g（z）1t≤τ+g（z，τ）1t>τ，其中g（z）=z，g（z，θ）=2γ（θ）z。此外，从命题2.4和定理2.6，我们得到了BSDEJ（2.2）的解（Y，z，U）的存在唯一性。特别是，这意味着存在唯一的解（Y，Z），并且，对于每个θ∈ R+，Y（θ），Z（θ）, 对于布朗BSDE：Yt=-ξ+ZTtg（Zs）ds-ZTtZsdWs，0≤ t型≤ T、 Yt（θ）=-ξ（θ）+ZTtg（Zs（θ），θ）ds-ZTtZs（θ）dWs，θ∧ T≤ t型≤ T、 更明确地说，我们getYt=log E[E-ξ| Ft]，0≤ t型≤ T、 （4.1）Yt（θ）=γ（θ）log E[E-ξ（θ）γ（θ）| Ft]，θ∧ T≤ t型≤ T、 （4.2）因此，如果我们定义G-动态风险度量ρT（ξ）：=Y-ξt，t∈ [0，T]，ξ∈ L∞（GT），从命题2.8我们得到，对于所有t∈ [0，T]ρT（ξ）=ρT（ξ）1t<τ+ρTξ(τ)t型≥τ、 ρt（ξ）=Yt，ρt（ξ（τ））=Yt（τ），在{t≥ τ}，注意ρ是过滤一致性（即，零一定律成立）、平移不变、单调、凸和时间一致的G-动态风险度量。可以立即看到，相同的属性适用于F-动态风险度量ρ，如果事件{t<τ}定义得当，也适用于H-动态风险度量ρ。由于[30]中关于二次BSDE的结果，可以证明ρ也满足Fatou性质。到目前为止，我们考虑的G-dynamic风险度量具有直观的财务含义：如果没有发生违约事件，财务代理使用参考熵风险度量，在20 a.CALVIA和E.ROSAZZA GIANINthis案例ρ中。如果发生违约，她/他会使用熵风险度量ρ来反映他/她的偏好变化，因为风险厌恶情绪增加。