具有货币时间价值的集值风险统计

我们现在只陈述他们的主要结果，省略了他们的证明。8 Fei Sun*等人关于32ρ：Rd×n的建议→ 在有函数的情况下，Tm是集值真闭凸风险统计量-α：（K1n）+∩ Rd×n+→ Tsuchthat对于任意X∈ Rd×n，ρ（X）=\\v∈ （K1n）+∩Rd×n+n- α（v）+Sv(-十） o，（3.3）其中SV(-十） ：={u∈ M：vtr（X+u1n）≥ 0}.尤其是，（3.3）对-α替换为-αminwith-αmin（v）：=cl[Z∈{X∈Rd×n:0∈ρ（X）}Sv（Z）。利用命题32，我们能够导出集值现金次加性风险统计的表示结果。定理31任意集值真闭现金次加性风险统计量Rin Rd×nHa的形式如下。对于任何X∈ Rd×n，R（X）=\\v∈ （K1n）+∩Rd×n+n- γ（v）+Sv(-十） o，（3.4）其中-γ：（K1n）+∩ Rd×n+→ TMandSv(-十） ：={u∈ M：vtr（XI{1}+u1n）≥ 0}.尤其是，（3.4）满足-γ替换为-γminwith-γmin（v）：=cl[Z∈{X∈Rd×n:0∈R（X）}Sv（Z）。4种基于数据的集值现金次级可加性风险度量的替代版本在这一部分中，我们为基于数据的现金次级可加性风险度量开发了另一个框架。这个框架与前一个有点不同。然而，几乎所有的配置文件都与上一节中的配置文件相同。因此，我们只陈述了相应的注释和结果，而省略了所有的证明和相关的解释。我们用FM替换M∈ Rd×nthat是Rd×n的一个线性子空间。我们还替换了K byeK∈ Rd×nthat是一个闭合凸x多面体圆锥体，其中Ek Rd×n+。关于toeK的偏序定义为X≤eKY，它将价值风险统计数据与货币的即时价值设置为9，表示Y- 十、∈埃克。表示EkFm：=eK∩fM由封闭凸多面体infM构成，内部为EFFMINFM。

我们表示TfM：={eAfM:eA=clco（eA+eKfM）}。我们首先回顾Chen和Hu（2017）中与基于数据的s值凸风险度量版本相关的公理。定义41基于集值数据的凸风险统计量是一个函数eρ：Rd×n→ TFM满足以下特性，C0归一化：eKfM eρ（0）和eρ（0）∩ -inteKfM=φ；C1单调性：对于任意X，X∈ Rd×n，X- 十、∈ Rd×n∩eK表示ρ（X） eρ（X）；C2平移不变性：对于任意X∈ Rd×nand z∈fM，eρ（X-z） =eρ（X）+z；C3凸性：对于任意X，Y∈ Rd×n，λ∈ [0，1]，eρ（λ（X）+（1-λ） Y） λeρ（X）+（1- λ） eρ（Y）。我们现在定义了基于集值数据的现金次级加性风险统计。定义42基于集值数据的现金次加性风险统计是一个函数：Rd×n→ t满足C0、C1、C3和以下特性。C4现金子可加性：对于任何X∈ Rd×nand z∈eKfM，eR（X+z）eR（X）- z oreR（X- z）我们有了更多的概念。任何pa ir（X，eu），其中X∈ Rd×nand eu∈fM，可以看作aeX的坐标∈ Rd×nin T：={0，1}，元素θ，eX（θ）：=XI{1}（θ）+euI{0}（θ）。（4.1）建议41，给定一个基于集值数据的现金次加性风险统计量，在Rd×nw中为0∈eR（0），我们定义了一个基于集值数据的风险统计eρ，如下所示。对于定义为（4.1）的任何EX，其中X∈ Rd×n，eu∈fM，eρ（eX）：=eR（X- eu）- eu。（4.2）那么eρ是一个基于集值数据的凸风险统计量，eρ（0）=0，eρ（XI{1}）=eR（X）。Chen和Hu（2017）研究了基于集值数据的凸风险统计的表示结果。我们现在陈述本节的主要结果。定理41任何基于集值数据的Rd×nHa中的适当闭式现金次加性风险统计量的形式如下。

对于任何X∈ Rd×n，eR（X）=\\ev∈埃克+∩Rd×n+n- eγ（ev）+eSev(-十） o，（4.3）10孙飞等人在哪里-eγ：eK+∩ Rd×n+→ TfMandeSev公司(-十） ：={欧盟∈fM:evtr（XI{1}+欧盟）≥ 0}.尤其是，（4.3）满足-eγ替换为-eγminwith-eγmin（ev）：=cl[Z∈{X∈Rd×n:0∈eR（X）}Sev（Z）。5主要结果的证明在本节中，我们提供了第节中所述结果的所有证明。3、命题31的证明。很容易检查ρ（0）=0，ρ（XI{1}）=R（X），ρ满足A0的性质。接下来，我们推导出ρ满足A1、A2和A3的性质。单调性：对于anyX=XI{1}+unI{0}和Y=Y I{1}+unI{0}，其中X，Y∈ Rd×n，u，u∈ M带X- Y∈ K1n，则ρ（X）=R（X-un）-u R（X-un）-u R（Y-un）-u=ρ（Y），表明ρ是单调的。平移不变性：对于任何b∈ M、 X=XI{1}+u1nI{0}，其中X∈Rd×nandu∈ M，ρ（X+b1n）=ρ（X+b1n）I{1}+（u1n+b1n）I{0}= RX+b1n- （u+b）1n- u - b=R（X- u1n）- u - b=ρ（X）- 这表明ρ满足平移不变性。A3、凸性：对于任何λ∈ （0，1），X=XI{1}+unI{0}和Y=Y I{1}+unI{0}，其中X，Y∈ Rd×n，u，u∈ M、 ρ（λX+（1- λ） Y）=ρλX+（1- λ） Y型I{1}+λu+ (1 - λ)unI{0}= RλX+（1- λ） Y型-λu+ (1 - λ)un- λu- (1 - λ） u=Rλ（X- un）+（1- λ） （Y）- un）- λu- (1 - λ)u λR（X- un）+（1- λ） R（Y- un）- λu- (1 - λ） u=λρ（X）+（1- λ） ρ（Y），表明ρ是凸的。具有货币时间价值的集值风险统计11命题32的证明。参见Chen和Hu（2017）。定理31的证明。从位置31，我们可以用R定义Rd×nb中的se t值转换风险统计ρ，使得ρ（XI{1}）=R（X）表示任意X∈ Rd×n.实际上，为0∈ Rd，我们有XI{1}∈ Rd×n。

因此，根据命题32，R（X）=ρ（XI{1}）=\\v∈ （K1n）+∩Rd×n+n- α（v）+Sv(-XI{1}）o，其中-α：（K1n）+∩ Rd×n+→ TMandSv(-十） ：={u∈ M：vtr（X+u1n）≥ 0}.特别是-α可替换为-αminwhere-αmin（v）：=cl[Z∈{X∈Rd×n:0∈ρ（XI{1}}）Sv（ZI{1}）。我们现在表示teSv（X）：={u∈ M：vtr(-XI{1}+u1n）≥ 0}.因此，集值现金子加性风险统计R可以表示为asr（X）=\\v∈ （K1n）+∩Rd×n+n- γ（v）+Sv(-十） o，在哪里-γ：（K1n）+∩ Rd×n+→ t可替换为-γminwhere-γmin（v）：=cl[Z∈{X∈Rd×n:0∈R（X）}Sv（Z）。结论事实上，货币的时间价值是保险和金融应用中的一个关键因素。然而，在传统的风险统计研究中，货币的时间价值总是被忽视，即当未来头寸增加百万美元时，t=0时的资本需求仍然是百万美元。这显然与现实不符。因此，我们导出了一类新的风险统计量，称为集值现金次加性ris k统计量。然而，我们并没有对舒石和姚（2020）等外部分配模型进行理论分析。我们的结果从货币时间价值的角度提供了宏观模型。12 Fei Sun*等人参考文献1。Ararat C、Hamel AH、Rudloff B（2017）《集值差额和分歧风险度量》，arXiv:1405.4905v2【q-fin.RM】5月19日。2、Chen Y，Hu Y（2017）集值风险统计与情景分析，统计学家。概率。Lett，131，25-37.3。Chen Y，Sun F，Hu Y（2018）《投资组合投资者的一致和凸损失风险度量》，积极性，22（1），399-414.4。Cont R，Deguest R，He XD（2013）《基于损失的风险度量》，统计风险模型。，30(2),133-167.5. Deng X，Sun F（2020）《基于监管机构的投资组合风险统计》，离散。Dyn公司。纳特。Soc。内政部：10.1155/2020/70152676。EL Karouii N，Ravanelli C（2009）《现金次加性风险度量和利率模糊性》，数学。

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