具有货币时间价值的集值风险统计

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英文标题：
《Set-valued risk statistics with the time value of money》
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作者：
Fei Sun, Xiaozhi Fan, Weitao Liu
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The time value of money is a critical factor not only in risk analysis, but also in insurance and financial applications. In this paper, we consider a special class of set-valued risk statistics by introducing the time value of money. In fact, the risk statistics established by this method is closer to financial reality than traditional ones. Moreover, this new risk statistic can be uesd for the quantification of portfolio risk. By further developing the properties related to these risk statistics, we are able to derive representation results for such risk.
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中文摘要：
货币的时间价值不仅在风险分析中是一个关键因素，在保险和金融应用中也是一个关键因素。本文通过引入货币的时间价值，研究了一类特殊的集值风险统计量。事实上，用这种方法建立的风险统计比传统方法更接近金融现实。此外，这种新的风险统计可以用于组合风险的量化。通过进一步开发与这些风险统计数据相关的属性，我们能够得出此类风险的表示结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Set-valued_risk_statistics_with_the_time_value_of_money.pdf (147.41 KB)

2022-6-14 15:41:59 上传

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关键词：风险统计 时间价值 Applications Differential Presentation

Noname手稿编号（将由编辑插入）集值风险统计与货币时间价值孙小志*范晓芝·刘卫涛摘要货币时间价值不仅在风险分析中是一个关键因素，在保险和金融应用中也是一个关键因素。在本文中，我们通过引入货币的时间价值来考虑一类特殊的集值风险统计量。事实上，用这种方法建立的风险统计比传统方法更接近金融现实。此外，这种新的风险统计可以用于投资组合风险的量化。通过进一步发展与这些风险统计数据相关的属性，我们能够得出此类风险的表示结果。关键词风险统计·集值·投资组合·时间值1引言风险研究是定量和理论研究中的热门话题，风险模型也引起了人们的广泛关注。风险的定量计算涉及两个问题：选择合适的风险模型和将风险分配给各个机构。这导致了对风险统计的进一步研究*相应的作者。武义大学数学与计算科学学院，江门529020，中国邮箱：fs un。sci@outlook.comXZ繁昌江勘测设计研究院，武汉430010，中国邮政：fanxiaozhi@cjwsjy.com.cnWT广州市城市战略研究所，广州市科学院，广州510410，中国电子邮箱：cyllwt@aliyun.com2在传统的风险统计研究中，平移不变性的性质否定了货币的时间价值。然而，正如EL Karouiiand Ravanelli（2009）所指出的，一旦利率存在任何形式的不确定性，平移不变性公理可能会失败，因为利率具有时间价值。

例如，当将m美元添加到未来位置X时，t=0时的资本需求减少不到m美元，因为货币价值可能会随时间增长。因此，从货币时间价值的角度研究风险统计更为合适。评估由多个财务状况组成的投资组合的风险。集值风险度量比标量风险度量更合适，尤其是在确定投资组合的资本要求时涉及多种不同货币的情况下。事实上，Hameland Heyde（2010）指出，量化投资组合的基本问题是如何根据多个参考工具评估多变量随机结果的风险，例如，如果监管机构接受多个货币的存款。如果必须为包括参考工具在内的资产之间的每笔交易支付交易成本，这一点尤为重要。集值风险度量的其他研究包括thoseof Hamel（2009）、Hamel et al.（2011）、Hamel et al.（2013）、Labuschagne andO Off wood Le Roux（201 4）、Farkas et al.（2015）、Molchanov和Cascos（2016）、Ararat et al.（201 7）、Deng和Sun（2020）、Sun和Dong（2021）及其引用。自然的集值风险统计可以被视为集值风险度量的实证（或基于数据）版本。从统计学的角度来看，一个随机变量的行为可以用它的观察值，即随机变量的样本来表征。Heyde et al.（2007）和Kou et al。

（2013）首先介绍了自然风险统计的类别，并得出了相应的表示结果。随后，Tian和Suo（2012）获得了凸风险统计的表示结果，Tian和Jiang（2015）获得了拟凸风险统计的相应结果。然而，所有这些风险统计都是通过样本来量化单个财务头寸（即随机变量）的风险。一个自然的问题是确定如何通过样本量化投资组合的风险，尤其是在投资组合中可能涉及不同种类的货币的情况下。本文的重点是一类新的具有货币时间价值的集值风险统计量，即基于公理化方法的现金次加性风险统计量。通过进一步发展与cashsub加性风险统计相关的属性，我们能够得出此类风险的表示结果。这一新的o类风险统计数据可以看作是Sun和Hu（2019）从经验（或基于数据）版本引入的那些数据的扩展。具有货币时间价值3货币时间价值现金子加性的集值风险统计数据两个风险统计数据之间的关系定义表示模型的结果示例基于数据的版本本文的其余部分组织如下。在第节中。2、我们简要介绍了一些产品。在第节中。3、阐述了现金亚加性风险统计的表示结果。在第节中。4、我们研究了现金次加性风险度量的替代数据库版本。最后，Sect。5讨论了本文的主要证明。2准备工作在本节中，我们简要介绍了本文中使用的一些准备工作。让d≥ 1是固定的正整数。空间Rd×n表示金融风险头寸集。

RDI的元素z，用z表示：=（z，···，zd）。Rd×nis的元素X用X表示：=（X，···，Xd）：=（x1,1，···，x1,1n，··，x1，l，···，x1，lnl，··，Xd，1，···Xd，1n，··，Xd，l，··，Xd，lnl）。Rd中的d×n维财务状况具有很强的现实意义。如果我们考虑现实情况，即投资者可以进入不同的市场，并在存在摩擦的情况下形成多资产组合，如交易成本、流动性问题、不可逆转的转让等，其正值为X，那么情况确实如此∈ Rd×nwe表示收益，而negative表示损失。不同场景中d维随机m向量d=（X，····，Xd）的行为表现为在这些场景中观察到或生成的不同数据，因为d的精确模型通常非常困难。在这里，我们假设总是存在l个场景。设njbe为jthscenario中D的样本量，j=1，···，l.Let4 Fei Sun*等人，n：=n+···+nl。更准确地说，假设D的行为由数据X=（X，···，Xd）的集合表示∈ Rn×···×Rn，其中Xi=（Xi，1，···，Xi，l）∈ Rn，Xi，j=（Xi，j，···，Xi，jnj）∈ Rnjis是与Xi相关的jthscenario相对应的数据子集。对于每个j=1、··、l、h=1、··、nj、Xjh：=x1，jh，x2，jh，···，xd，jh是与jthscenario中D的hthobservation相对应的数据子集，可以基于历史观测、根据模型模拟的假设样本或观测与模拟样本的混合。设K是RdK的闭凸多面体l锥，其中K Rd+其中Rd+：={（x，…，xd）∈ Rd；xi>0，1≤ 我≤ d} 和K∩ 研发部-=  其中Rd-:={（x，…，xd）∈ Rd；xi≤ 0, 1 ≤ 我≤ d} 。

设K+为K的正对偶锥，即K+：={u∈ Rd：utrv≥ 任何v为0∈ K} ，其中utr表示u的转置。对于任何X=（X，…，Xd），Y=（Y，…，Yd）∈ Rd×n，X+Y代表（X+Y，…，Xd+Yd），aX代表（aX，…，aXd）代表a∈ R、 对于anyz：=（z，···，zd）∈ Rd，表示K1n：={（zn，zn，···，zdn）：z∈ K} a ndz1n：={（z，z，···，z）：z∈ R}∈ RN其中1n：=（1，···，1）∈ 注册护士。用（K1n）+表示K1nin的正对偶锥Rd×n，即（K1n）+：={w∈ Rd×n:wztr≥ 0表示任何z∈ K} 。K的偏序定义为≤Kb。因此，b- 一∈ K其中a，b∈ Rd和X≤K1nY表示Y- 十、∈ K1N此处X，Y∈ Rd×n.设M：=Rm×{0}d-mbe Rdfor 1的线性子空间≤ m级≤ d、 Hamel（2009）考虑了M的引入。表示M+：=M∩ Rd+其中Rd+：={（x，…，xd）∈ Rd；xi≥ 0, 1 ≤ 我≤ d} 。因此，监管机构只能接受第一批m参考工具中的保证金。表示KM：=K∩M乘闭凸多面体锥M，intkmin M的内部。我们表示TM：={A M:A=clco（A+KM）}和TM+：={A KM：A=clco（A+KM）}，其中，clco（A）表示A的闭凸包。Chen和Hu（2017）提出，集值凸风险统计是可以被视为集值风险度量的经验（或基于数据）版本的任何映射。与该集值凸风险状态ρ：Rd×n有关的公理→ t重新组织如下，A0正常化：KM ρ（0）和ρ（0）∩ -intKM=φ；A1单调性：对于任意X，Y∈ Rd×n，X- Y∈ k1乘以ρ（X）ρ（Y）；A2平移不变性：对于任何X∈ Rd×nand z∈ M、 ρ（X- z1n）=ρ（X）+z；A3凸性：对于任意X，Y∈ Rd×nandλ∈ [0，1]，ρ（λ（X）+（1- λ） Y）λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）。设D：=（D，···，Dd）∈ Rd×nbe特定货币X的随机贴现因子∈ Rd×n，即D的每一个元素都是[0，1]。

A函数ρ：Rd×n→ 如果domρ：={X，则称为正确∈ Rd×n：ρ（X）6=} 6=  对于所有X，ρ（X）6=M∈ domρ。如果图ρ是一个闭集值风险统计量，关于乘积拓扑，其时间值为5，单位为Rd×n×M，则称ρ为闭集值风险统计量。在fa c t中，对于常见的凸风险统计量，平移不变性在很大程度上被学者和实践者所接受。然而，正如EL Karouii和Ravanelli（2009）所指出的，虽然监管机构和金融机构今天确定并收集储备金额以覆盖未来的风险头寸，但平移不变性公理要求风险头寸和再服务金额以相同的数字表示。不幸的是，当利率是随机的时，这个过程是不合理的。隐含地，由于货币的时间价值，现金次加性比平移不变性公理更合适。在本文中，我们将导出一类新的具有货币时间价值的集值风险统计量。集值现金次加性风险度量的3个经验版本由于货币的时间价值是风险分析中的一个关键因素，我们将考虑集值风险统计的一个特殊类别，称为现金次加性风险统计。请注意，这些集值风险统计量是Sun和Hu（2019）提出的集值现金次加性风险度量的经验版本。在本节中，我们陈述了现金次加性风险统计的表示结果。

然而，我们的观点与陈和虎（2017）的观点不同。相反，我们从集值凸风险统计量和集值现金次加性风险统计量之间的关系开始。我们从与现金次级加性风险统计相关的axio ms开始。定义31集值现金次加性风险统计是集值函数R:Rd×n→ TMA满足A0、A1、A3和以下特性。A4现金ub可加性：对于任意X∈ Rd×nand z∈ 公里，R（X+z1n） R（X）- z或R（X- z1n） R（X）+z。在fac t中，集值现金次加性风险统计学家的cas h次加性源自货币时间价值的概念。一个基本原因是，当监管机构和金融机构决定并收集今天的保留金额以覆盖未来风险头寸时，现金可加性要求风险头寸和准备金金额以相同的数字表示。隐含地说，当未来头寸X增加m美元时，t=0时的资本要求减少不到m美元，因为货币价值可能会随着时间的推移而增长。在这种情况下，我们在贴现头寸中定义了se t值风险统计。定义32 Let D∈ Rd×nbe折扣系数。集值贴现风险统计量sayR是一种集值凸风险统计量，定义在贴现因子DX中，其中X∈ Rd×n.6 Fei Sun*等人。通过集值贴现风险统计，我们可以通过R（X）：=R（DX）定义集值凸函数。因为R是一个集值凸风险统计量，对于任何z∈ KM，我们有R（X+z1n）=R（DX+Dz1n） R（DX+z1n）=R（DX）- z=R（X）- z、 R的这个性质是由于货币的时间价值。

也就是说，R以当前的数字表示，但以未来的数字表示未来的财务状况。我们现在介绍一个集值d现金次加性风险统计的特殊情况，它被称为基于集值凸损失的风险统计，参见Sun等人。(2018). 请注意，Chen等人（2018）和Cont等人（2013）研究了基于凸损失的风险度量的标量情况。以下定义源自Sun等人（2018）。定义33基于集值损失的风险统计是一种映射 : Rd×n→TM+满足以下特性。B0归一化：KM （0）和(0) ∩ -intKM=φ；B1现金损失：对于任何z∈ 公里，z∈ (- z1n）；B2单调性：对于任意X，Y∈ Rd×n，X- Y∈ K1nimplies（十） （Y）；B3损失相关性：对于任何X∈ Rd×n，（十） =（十）∧K1n0），其中x∧K1n0：=十、 X个/∈ K1n，0，X∈ K1n。B4凸性：对于任何λ∈ [0，1]和X，Y∈ Rd×n，（λX+（1- λ） Y）λ（十） +（1- λ)（Y）。备注31基于集值损失的风险统计从监管机构的角度出发。也就是说，监管机构几乎只关注投资损失，而不是收入。特别是，当我们只处理基于损失的风险时，相干和凸风险统计中的平移不变性公理将彻底失效。因此，基于损失的风险尤其令人感兴趣。我们认为基于服务水平s的集值风险统计量是集值现金次加性风险统计量的特例。实际上，对于任何X∈ Rd×n，z∈ KMandε∈ （0，1），我们有(1 - ε） X个- z1n= (1 - ε） X+ε(-zε）1n (1 - ε)（十） +ε(-zεn） (1 - ε)（十） +z，其中最后一次包含是由于现金损失的性质。因此，通过ε的任意性，我们得出结论（十）- z1n） （十） +z.具有货币时间价值的集值风险统计7这表明 满足物业A4的要求。

因此 是c ash次加法。接下来，我们介绍一个基于集值损失的风险统计示例，称为dAV@Rloss。请注意，Hamel等人（2013）首次引入了集值AV@R，他们还提供了表示结果，并证明它是一个集值一致风险度量。示例31（基于损失的平均风险值）对于任何X∈ Rd×nand 0<α<1，我们定义AV@RlossαasAV@Rlossα（X）=infz∈Rdnα(-（十）∧K1n0）| M+z）+- zo+Rm+。很明显，AV@rloss满足定义33的所有属性。SoAV@Rlossis是一个基于集值损失的风险统计，因此它也是现金子加性的。在fac t中AV@R已广泛应用于许多领域，包括银行经纪人。AV@Rlossis只是他集值现金次加性风险统计的实际应用之一。我们现在需要导出现金次加性风险统计的表示结果。任意对（X，u），其中X∈ Rd×nandu∈ M、 可以看作是aX的坐标∈ Rd×nin T：={0，1}，元素θ，X（θ）：=XI{1}（θ）+u1nI{0}（θ）。（3.1）对于任意X，Y∈ X=XI{1}+unI{0}和Y=Y I{1}+unI{0}，其中X，Y∈ Rd×n，u，u∈ M、 我们定义了asX的订单- Y∈ Y情况下的K1≤K1nX和u≤Ku。我们首先说明了集值凸ris k统计量和集值c ash次加性风险统计量之间的关系。在给定集值现金次加性风险统计量R的情况下，建议31，在Rd×nw中为0∈ R（0），我们定义了一个集值风险统计ρ，如下所示。对于任何定义为（3.1）的X∈ Rd×n，u∈ M，ρ（X）：=R（X- u1n）- u. （3.2）那么ρ是集值凸风险统计量，ρ（0）=0，ρ（XI{1}）=R（X）。在说明现金次加性风险统计的表示结果之前，应先调用集值凸风险统计的表示结果。Chen和Hu（2017）研究了se t值凸风险统计。