奇异衍生品的非参数定价与套期保值

那么，给定任何交易策略θ∈ T，存在`∈ T（（R）*) 使得|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司|<∞[0，t]∈ K、 把一切放在一起：从最优套期保值到最优签名套期保值命题4.5和命题4.6的结果是以下定理，这正是为什么我们可以考虑最优线性签名问题（LSHP）而不是原始最优套期保值问题（LSHP）的原因。定理4.7。Leta：=infθ∈Tq（λT）EPF（bXLL<∞) - p-ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt是最优多项式套期保值问题（PHP）的上限。给定任意ε>0，存在一个紧集KεbOhmT、 f给出的线性签名支付∈ T（（R）*) anda线性签名交易策略由`∈ T（（R）*) 这样：1。P[Kε]>1- ε,2. |F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti |<εbXLL<∞∈ Kε，3|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司<∞∈ Kε和t∈ [0，T]，4。

|aε- a |≤ ε、 式中ε：=EPhf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTh`，bX<∞0，tidXt; Kε.也就是说，能够解决最优线性签名对冲问题（LSHP）提供了一种数值上可行的方法，可以找到最优多项式对冲问题（PHP）的最小化序列。4.3解决最优线性签名套期保值问题定理4.3与定理4.7提供了一种可实现的方法，用于数值逼近q次多项式P、anLq payoff F和初始现金P的最优套期保值策略。算法1：估计最优套期保值。参数：T>0：结束时间。P∈ R[x]：q次多项式∈ N、 F：Lqpayo餐厅。p∈ R： 初始资本。N≥ 2： 签名顺序。bXLL<∞: 市场价格路径。输出：估计`∈ T（bN/qc）（（R）*) 最佳套期保值。1获取有限数据集DbOhmT、 2将D转换为N阶截断签名的数据集，即DN：={bYLL，≤N0，T:bYLL<∞∈ D} 。3计算支付F（D） R、 4将线性回归应用于Dnvs F（D）以确定F∈ TN（（R）*) 因此，HF，bYLL，≤N0，Ti≈ F（bYLL<∞) 对于每个人来说<∞∈ D、 5估计预期签名EPhbXLL，≤N0，Ti。6找到优化问题的最小值MinimisedPTT（f- p - `4） ，EhbXLL，≤N0，接头`∈ T（bN/qc）（（R）*).7返回“”。有关流程的唯一信息是其预期签名。预期签名的作用类似于实值随机变量的矩，但在路径空间上——即在某些增长假设下，过程的预期签名决定了过程的规律【CL16】。

因此，最优对冲取决于预期特征的事实，本质上意味着它取决于价格路径动态的整体规律。由于明显的计算原因，我们无法处理整个预期签名–我们必须从定义签名顺序N开始∈ N并考虑到超前滞后过程E的相应截断特征[bXLL，≤N0，T]。我们将在第6节中说明，如果一个人能够获得足够的外来品的市场价格，就有可能推断出市场预期签名，即隐含的预期签名。换言之，在模型高速公路中解决最优线性特征对冲问题（LSHP）是可能的，而无需对基础价格动态施加任何模型。然而，如果希望在市场上强加一个特定的模型，则可以使用蒙特卡罗方法，甚至通过求解某个偏微分方程来计算预期的特征——参见【Ni12】。备注4.8。长度为n的单词和长度为m的单词的shu-file乘积是长度为m+n的单词之和。因此，在考虑截断签名e时，≤N0，T]和q次多项式P，（1）必须在`∈ T（bN/qc）（（R）*) ratherthan `∈ T（（R）*).一旦（1）被限制为签名订单N∈ N、 优化问题（1）被简化为寻找q次高维多项式的最小值。特别是在均值-方差最优套期保值问题中，多项式由P（x）：=x给出，求解（1）包括求解线性方程组。算法1描述了所提出的算法。我们提出一些实际的意见。可以使用公开可用的软件esig计算签名。另一个包是iisignature。

最后，shu-forge product Indefinition 2.4的递归定义允许轻松高效的实现。一旦我们找到一个最小化线性泛函`∈ T（bN/qc）（（R）*), hedgingstrategy将由T 7提供→ h`，bX≤N0，tit型∈ [0，T]。5扩展在本节中，我们将讨论原始框架的一些扩展。不用说，这些扩展可以根据人们希望最优套期保值问题具有的特性进行组合。https://pypi.org/project/esig/https://github.com/bottler/iisignature5.1指数hedging通常，人们只对套期保值竞争策略和套期保值策略之间的不利差异感兴趣。换言之，我们希望对损失和收益进行惩罚。这可以通过考虑指数对冲问题来实现，在这个问题中，我们不是最小化对损益的多项式期望，而是用指数函数x 7替换多项式→ 经验值(-λx）对于某些风险参数λ>0。我们将首先介绍我们认为可能的交易策略空间。定义5.1（指数对冲的可接受交易策略）。确定可接受交易策略的空间∞（λT）：=θ ∈ T（λT）：ZTθ（bX|<∞[0，u]dxUI有界a.s。.我们现在可以将最优指数对冲问题定义如下：定义5.2（最优指数对冲问题）。设λ>0。设F是有界的payoff，设p∈ R、 相关的最优指数问题是：infθ∈T∞（λT）E经验值-λp+ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt- F（bXLL<∞)（2） 参数λ>0衡量交易者的风险承受能力：它越大，交易者对损失的承受能力越差。下面的命题表明，我们可以通过将最优套期保值问题（2）简化为形式上的最优套期保值问题（LSHP）来解决，该问题已在Section（PHP）中解决。提案5.3。

Leta：=infθ∈Tq（λT）E经验值-λp+ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt- F（bXLL<∞)是最优指数对冲问题的极限。如果任何ε>0，则存在多项式Pε∈ R[x]，紧集KεbOhmT、 由f给出的线性签名支付∈ T（（R）*) 以及由`∈ T（（R）*) 这样：1。Pεε→0--→ 经验值(-λ·）在紧集上一致，2。P[Kε]>1- ε,3. |F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti |<εbXLL<∞∈ Kε，4|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司<∞∈ Kε和t∈ [0，T]，5|aε- a |≤ ε、 式中ε：=EPεp+ZTh\'，bX<∞0，tidXt- hf、bXLL、<∞0，Ti; Kε.5.2半静态hedging在某些情况下，人们希望对冲一个收益F:bOhmLLT公司→ R、 可以使用（有限的）一篮子允许静态套期保值的衍生工具B={Gi}ki=0，以及可用于动态套期保值的基础资产X。换句话说，假设t=0，交易者必须在B篮子上形成一个投资组合，然后交易者可以在基础X上动态交易。例如，我们希望对冲的收益可能是一个奇异期权，B篮子可能是一篮子简单的普通期权。我们将假设∈ B、 是Lqpayo ff。此外，根据第4.1节和第4.2节，我们将假设F是F签名支付，gi是gi签名支付，F是gi签名支付∈ T（（R）*).如果我们允许半静态套期保值，则最优套期保值问题定义为：inf`∈T（（R）*)（βi）ki=1∈ΓE“Phf，bXLL<∞0，Ti- p-kXi=1βihgi，bXLL<∞0，Ti-ZTh`，bX<∞0，tidXt#其中Γ Rk确定B上可接受策略的区域。例如，如果不施加约束，可以选择Γ=Rk。另一方面，如果不允许卖空，人们会选择Γ=Rk+。

还允许其他选择，包括流动性约束或B上其他更复杂、相互关联的约束。然后，半静态最优套期保值问题简化为以下内容。推论5.4。给定一篮子签名付款B={gi}ki=1和区域Γ Rk，半静态最优套期保值问题的解由IF的解给出`∈T（（R）*)（βi）ki=1∈Γ*Pttf-kXi=1βigi- p - `4.EhbXLL<∞0，Ti+。5.3增加交易成本不出所料，具有剧烈波动的线性签名交易策略将产生有限的交易成本。这可以通过考虑具有明确交易速度的线性签名交易策略来避免：T速度（λT）：=∧TbX|<∞[0，t]7→Zthv，bX<∞0，uidu | v∈ T（（R）*)=n∧TbX|<∞[0，t]7→ hv1，bX<∞0，ti | v∈ T（（R）*)o、 功能hv、bX<∞0，ti表示交易速度–即每次t时将买入或卖出的基础资产的金额。对于这种交易速度的选择，交易方在t时对资产的头寸将为beRthv，bX<∞0，uidu。因此，此类交易策略将是不同的，因此不会产生有限的交易成本。现在，我们将介绍Tspeed中交易策略的以下固定和比例二次成本。定义5.5（固定二次交易成本）。考虑交易速度v∈T（（R）*). 我们用强度α定义固定二次成本≥ v alongbXLL产生0<∞∈bOhmTasC固定α（v，bXLL<∞) := αZT | hv，bX<∞0，ui | du。定义5.6（比例二次交易成本）。考虑交易速度∈ T（（R）*).

强度为α的比例二次成本≥ v alongbXLL产生0<∞∈bOhm然后定义为α（v，bXLL<∞) := αZT | hv，bX<∞0，uiXu | du。然后，可以自然修改（LSHP）以包括固定的二次成本，infv∈T（（R）*)EPhf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTZHV，bX<∞0，uidu dXt+固定α（v，bX∞), （3） 或按比例交易成本，infv∈T（（R）*)EPhf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTZHV，bX<∞0，uidu dXt+Cpropα（v，bX∞). （4） 然后我们得到定理4.3的以下推论。推论5.7。固定二次交易成本（3）下最优套期保值问题的解由以下优化问题的解给出：infv∈T（（R）*)DPtt（f- p - v14+αvtt21），EhbXLL<∞0，平局。（5） 同样，INFV给出了按比例交易成本（4）下最优套期保值的解∈T（（R）*)DPtt（f- p - v14+α（v tt（2+))tt21），EhbXLL<∞0，平局。5.4流动性约束到目前为止，我们隐含地假设标的资产的市场是完全流动的：我们可以在任何给定的时间持有任何规模的多头或空头头寸。然而，对于某些资产来说，这种假设可能不现实，因此必须施加一定的流动性约束。我们将通过对第5.3节中介绍的交易速度施加一定的有界条件来实现。更具体地说，我们将考虑所有交易速度v∈ T（（R）*) 这样kvk≤ M、 对于某些非流动性常数M≥ 0。例如，可以根据资产的历史数据估计此参数。在流动性约束下，无约束最优套期保值问题（LSHP）转化为以下内容：定义5.8（具有流动性约束的最优套期保值问题）。给定非流动性常数M≥ 0，以下问题被定义为具有流动性约束M的最优套期保值策略：infv∈T（（R）*)kvk公司≤我Phf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTZHV，bX<∞0，uidu dXt.

（6） 具有流动性约束的最优套期保值问题的解是一个约束优化问题：推论5.9。让M≥ 0是非流动性常量。INFV给出了具有流动性约束M的最优混合问题的解∈T（（R）*)kvk公司≤MDPtt（f- p - v14），EhbXLL<∞0，平局。5.5延迟套期保值假设交易者希望对冲支付F给出的某个衍生工具：bOhmLLT公司→ R、 其寿命为[0，T]。然而，交易者在时间t>0时，因此她不能遵循定理4.3提供的对冲策略。贸易商可以采取的最佳策略是什么？同样，根据第4.2节，我们将假设F是F的F签名支付∈ T（（R）*).然后，目标是解决以下最优套期保值问题：inf`∈T（（R）*)EPhf，bX<∞0，Ti- p-ZTh`，bX<∞0，tidXt英尺（7） 其中，PTI是可测量的，表示在时间t持有的现金。请注意，时间t `，bX<∞0，uidXu=ZTh\'，bX<∞0，uidXu-Zth`，bX<∞0，uidXu=h`4，bXLL<∞0，Ti- h\'4，bXLL<∞0，ti。然后我们得到：推论5.10。最优套期保值问题（7）的解，其中交易者在时间t>0时开始套期保值，由inf给出`∈HDPttf-pt+h\'4，bXLL<∞0，ti - `4.,bXLL<∞0，t EPhbXLL<∞t、 t型FtiE。（8） 换言之，交易者所要做的就是计算增广价格路径的领先滞后过程到时间t的签名，以及剩余区间的预期签名【t，t】，然后解决优化问题（8）。6根据市场数据定价和套期保值：数值实验在第4节中，我们表明，要解决最佳套期保值（PHP），考虑问题的线性化版本（LSHP）是很有效的。在定理4.3中，问题被简化为（1）。要解决（1），底层流程所需的唯一信息是其预期签名。

因此，人们可能会问一个有趣的问题，那就是是否有可能以某种方式估计市场预期的信号。在本节中，我们将研究如何使用市场数据来估计市场的预期特征。更具体地说，我们将表明，我们可以推断出与异国支付的市场价格相匹配的预期签名，即隐含的预期签名。因为我们将使用衍生产品的价格，所以我们将在风险中性的度量下工作，而不是在客观概率度量下工作。第6.2节和第6.3节将分别使用隐含预期签名来定价和对冲支付。6.1隐含预期特征在描述风险中性度量时，标的资产的波动率是一个相关的量。在某些情况下，波动性是为某些期权定价所需要知道的全部。然而，波动率本身只捕获了路径空间上风险中性度量的某些方面，并没有对其进行描述。如果试图确定风险中性指标，就需要一个更丰富的对象。结果表明，在某些条件下，预期签名完全表征了路径空间上的概率测度（[CL16]）。因此，只需知道度量的预期签名即可完成描述。让F:bOhmLLT公司→ R是一种在市场上可以观察到其价格的报酬。根据【PA18】和第4.5条，我们估算了支付F的价格：bOhmLLT公司→ R、 由ZTEQ[F（bXLL<∞)] 通过线性签名支付（定义3.6）：ZTEQ[F（bXLL<∞)] ≈ ZTD`，EQhbXLL<∞0，与`∈ T（（R）*).隐含波动率定义为使某些普通期权的模型价格与市场观察到的价格相匹配的基础资产的波动率。

同样，我们可以将隐含的预期签名定义为与奇异衍生品的观测价格相匹配的预期签名。隐含预期特征不仅捕获了隐含波动率，还捕获了风险中性度量的其他方面。此外，请注意，了解隐含预期签名等同于了解所有线性签名支付的价格。如果可以获得各种不同支付范围的市场价格，则可以利用此信息推断隐含预期签名。事实上，假设一个人可以访问payoffs Fi的{（Fi，pi）}族和市场价格pi。我们可以用一个近似的线性（截断的）序签名payoff替换每个payoff fib∈ N由函数“i”给出∈ TN（（R）*). 然后，一个有Ztd\'i，EQhbXLL，≤N0，领带≈ Pi对于每个i，可以应用线性回归来估计（贴现）隐含的预期签名ZTEQhbXLL，≤N0，Ti。6.2隐含预期签名的定价为了应用上一小节所述的程序，需要能够观察足够丰富的支付类别的市场价格。虽然某些Vanilla期权是交易所交易的，但大多数奇异的衍生品不是。因此，获取充足的外来衍生品的市场价格以诱导隐含的预期签名可能是一个挑战。然而，有多家数据提供商提供大量场外（场外）奇异衍生品的一致市场价格。这些价格反映了市场参与者的共识，可以将其视为这些衍生产品的市场价格。作者遵循了第6.1节中关于这些共识市场价格的程序，但数据提供商明确表示“（公布结果）不是（…）的允许使用案例数据”。