奇异衍生品的非参数定价与套期保值

因此，为了说明本节所述方法的可行性，我们进行了一个数值实验，我们假设我们得到了许多衍生产品的外源（合成）价格。值得一提的是，一致市场价格的结果与合成数据的结果相似。在这个实验中，这些价格来自赫斯顿模型，这对交易者来说是完全未知的。换言之，虽然我们已经从aspeci fic模型中得出了支付价格，但代理人或交易员完全不知道，她能利用的唯一信息是对一系列衍生品价格的了解。这类似于现实生活中的情况，交易员能够观察各种类型的市场价格图1：使用隐含的预期签名预测的市场价格，以及真实的市场价格。预测非常准确，Rof为0.99994。但对市场动态一无所知。根据赫斯顿模型，我们使用2%的利率模拟了150笔到期日为1年的付款的价格。我们考虑的支付类型是欧洲期权、限制期权和方差掉期（每种类型考虑50种支付）。我们将150个导数集分为75个导数的训练集和75个导数的测试集。选择数据集的大小以及支付类型，使数据集与市场共识提供商提供的数据集相似。按照第6.1节中提出的程序，我们使用训练集来推断贴现的隐含预期签名。所考虑的截断签名的顺序为N=5。然后，我们使用计算出的贴现隐含期望符号来预测测试集中衍生品的市场价格。然后将这些预测价格与实际市场价格进行比较。结果如图1所示。

市场价格的预测似乎相当准确，Rof为0.99994。注意，对于任何风险中性度量Q，我们已经, ZTEQhbXLL，≤N0，接头=ZT。因此，我们可以根据折扣后的隐含签名来估计折扣因子zt。根据我们的数据集，我们得到了估计值ZT≈ 0.9802966. 这导致对短期利率的估计- 日志ZT≈ 1.9900%，非常接近实际使用的空头利率2%。6.3隐含预期签名套期保值我们获得隐含预期签名并验证其在获得异国支付的市场价格时的准确性后，我们继续在不同支付上应用算法1和该隐含预期签名。在所有情况下，我们通过取多项式P（x）：=xin算法1来考虑均值方差套期保值问题，初始资本pwas设置为每个衍生产品的市场价格。签名顺序设置为5，如第6.2节所示。使用每日再平衡。鉴于赫斯顿模型是不完整的，我们只允许每日再平衡，我们知道，一般来说，完美的对冲是不可能的。图2显示了对冲投资组合对应于各种支付的损益。7对合成数据的实验我们的方法本质上是无模型的，在这个意义上，我们不假设任何特定的市场动态模型，除了价格路径遵循连续半鞅。所需的唯一信息是预期签名，如第6节所示，可根据外来衍生品的市场价格进行估计。然而，在某些情况下，人们确实希望在价格路径上强加一个模型。例如，当市场动态由银行的一个内部模型给出时，银行可能想学习如何对冲异国情调的回报。

如第4.3节所述，如果将特定模型用于市场动力学，则可以估计预期的特征，因此可以应用本文提出的方法。在本节中，我们将在广泛的示例中实施拟议的方法，以展示该方法对不同市场模型的有效性。我们将在第7.1节中首先考虑一个玩具示例，该示例在一个完整的市场中有一个简单的支付，以便比较签名对冲策略和（已知的）复制策略。（a） 普通期权（b）障碍期权（c）亚洲期权（d）方差掉期图2：使用隐含预期签名获得的各种支付的对冲投资组合的损益。然后，在第7.2节中，我们将在不完全市场中实施我们的路径依赖支付方法。在第7.3节中，我们将考虑指数套期保值问题，最后在第7.4节中，我们将研究交易成本下的套期保值问题。7.1玩具示例首先，我们考虑了一个简单的情况，即我们假设X遵循Black-Scholesmodel，我们想用Payoff F（bXLL<∞) = XTat终端时间T。在这种模式下，这种回报是可以实现的，因此我们应该能够对其进行完美的对冲。鉴于我们可以明确地确定复制策略应该是什么——这是增量对冲——这个例子将有助于确定optimalsignature策略是否与复制策略匹配。我们为多项式P（x）：=x实现了算法1，因此我们正在考虑均值-方差套期保值问题。初始资本pwas被视为支付的风险中性价格，签名订单被设置为8。我们将饱和度固定为1年（T=1），并假设每日再平衡。图3显示了最佳套期保值策略（即。

复制策略）和算法1提供的签名对冲策略。正如我们所看到的，这两种策略非常匹配。当我们考虑复制和签名策略的损益时（见图4），我们发现它们的性能非常相似。7.2赫斯顿模型上的路径依赖支付我们现在考虑赫斯顿模型上的路径依赖支付，这是不完整的。我们采用的支付方式是亚洲期权、障碍看涨期权、回望期权和方差WAP。如前一节所述，我们考虑了到期日为1年的均值-方差套期保值问题，并将pto设置为每个支付的风险中性价格。同样，我们考虑的签名订单是8。图5显示了套期保值投资组合在到期时的损益以及每日的再平衡。理想情况下，将对收益进行完美对冲，以便图3中对冲组合的损益：签名对冲和Black-Scholes模型两种实现的最优对冲。将等于零。然而，鉴于赫斯顿模型不完整，我们正在考虑每日再平衡，这通常是不可能的。7.3指数套期保值如果我们改变交易者的风险偏好以惩罚损失而不是利润，我们可以考虑指数套期保值问题，而不是均值-方差套期保值问题。根据第5.1节，我们估计x 7→ 经验值(-λx）通过多项式。然后，我们解决了亚式期权支付的最优线性签名套期保值问题。请注意，该支付不是a.s.有界的，因此不满足第5.3条的假设。然而，我们可以通过假设payoff在[-M、 M]，对于足够大的M>0。签名对冲策略的性能如图6所示，其中考虑了风险参数λ=0.25。

请注意，该风险参数改变了图5a中的损益表，反映了交易员风险偏好的变化。7.4交易成本为了研究交易成本的影响，我们考虑了支付（bXLL<∞) = 第7.1节研究的XT。我们在图4中添加了固定的二次交易成本（定义5.5）：复制和签名对冲策略的损益。α = 10-6我们比较了通过求解（5）得到的签名对冲策略的性能。图7显示，当交易成本增加时，复制对冲策略的损益大幅下降，而签名对冲策略的损益受这些交易成本的影响较小。8结论在本文中，我们介绍了一系列原始证券，称为签名支付（定义3.6）。按照阿罗·德布鲁的精神，这些支付与其他奇异的、路径依赖的衍生品近似。由于签名支付被定义为某些迭代积分的线性组合，因此所有签名衍生工具系列包含了关于所有可能动态交易策略损益的大量信息。在第4节中，我们展示了这些签名支付可用于将原始难以解决的最优套期保值问题（PHP）简化为多项式优化问题，该问题在数值上很容易解决，（1）。关于基础过程的唯一信息（a）亚洲期权（b）障碍期权（c）回望（d）方差掉期图5：赫斯顿模型下套期组合的损益。实现这一点所需的是其预期签名——在使用风险中性度量的情况下，这相当于知道所有签名支付的价格。

此外，我们的方法本质上是无模型的——我们不需要对市场动态强加任何特定的模型。我们还证明，我们的方法可以在实践中使用，通过使用隐含的预期签名，从市场数据中定价和对冲某些收益（第6节）。在第7节中，我们还探讨了在使用特定市场模型时，我们的方法为不同支付函数所产生的最佳套期保值策略。图6：通过解决指数对冲问题获得的亚洲期权对冲投资组合的损益。图7：F（bXLL<∞) = XT具有固定的二次交易成本。披露声明意见和估计构成我们截至本材料日期的判断，仅供参考，如有更改，恕不另行通知。本材料并非摩根大通研究部的产品，因此，未按照促进研究独立性的法律要求编制，包括但不限于禁止在传播投资研究之前进行交易。本材料不作为购买或销售任何金融产品或服务的研究、建议、建议、服务或招揽，也不以任何方式用于评估参与任何交易的优点。这不是一份研究报告，也不打算这样做。过去的表现并不代表未来的结果。请咨询您自己的顾问，了解法律、税务、会计或任何其他方面，包括您特定情况下的适用性影响。

J、 P.Morgan对本文件中信息的质量、准确性或完整性，以及对本材料的任何依赖或使用，不承担任何责任或义务。重要信息披露请访问：www.jpmorgan。com/披露。附录A超前-滞后路径：实际考虑在本附录中，我们将讨论如何计算离散数据以及半鞅的超前-滞后路径的一些实际考虑。设D={ti}ni=0 [0，T]是一个有限分区，设Z:D→ Rdbe离散路径。Z的超前-滞后转换定义如下。定义A.1。【超前滞后转换，【FHL16，定义2.1】]与D相关的Z的超前滞后转换是二维分段线性路径ZD，LL：=图8：价格路径的超前滞后转换。左侧的图显示了路径的超前和滞后分量，右侧的图显示了与超前分量相对应的滞后分量。（ZD，b，ZD，f）：[0，T]→ R2dde由ZD，LLt定义：=Ztk，Ztk+1, t型∈2k2nT，2k+12nT,Ztk，Ztk+1+2（t- （2k+1））Ztk+2- Ztk+1, t型∈h2k+12nT、2k+3/22nT,Ztk+2（t- （2k以上）Ztk+1- Ztk公司, Ztk+2, t型∈h2k+3/22nT，2k+22nT.分量ZD，bis是滞后分量或后向分量，而ZD，fis是超前分量或前向分量。通过获取该分段线性路径的签名，我们得到了超前-滞后路径ZD，LL<∞.超前-滞后转变区分了过去和未来所扮演的角色。这是通过跟踪最近的过去（滞后部分）和最近的未来（领先部分）来实现的。为了直观地了解超前-滞后转换是什么，图8显示了特定价格路径的超前-滞后转换。

顾名思义，领先组件领先于滞后组件。现在，让Z：[0，T]→ Rdbe是一个具有二次变化hZi的连续半鞅。如例2.15所述，这会导致超前-滞后路径（Z≤2，hZi），其签名为ZLL<∞. 下面的引理提供了一种计算半鞅超前滞后路径签名的方法：可以对半鞅进行采样，计算相应离散路径的超前滞后变换，然后找到其签名。引理A.2。[[FHL16，定理4.1]]设Z:[0，T]→ Rdbe是连续半鞅。对于每个有限分区D [0，T]，用ZD表示相应的超前-滞后变换，用ZD，LL表示<∞其签名（定义A.1）。让ZLL<∞是超前-滞后路径（Z）的签名≤2，hZi）与半鞅有关（定义2.14）。那么，ZD，LL<∞-→ ZLL<∞概率为| D |→ 0在p变化距离下取限值（见[FHL16]）。附录B ProofsLemma B.1（扰动粗糙路径的签名）。让X∈ GOhmp（[0，T]，Rd）是具有p的prough路径∈ [2，3），并设Д：C（[0，T]；so（d））为有界变化。确定二级扰动Y：=X+Д∈ GOhmp（[0，T]；Rd）。定义z：=X，z：=Д。GivenI=我。ik∈ {1，2}k，letaIs，t：=Zs≤u≤...≤英国≤tdziu公司 . . .  dzikuk。然后，对于每个N≥ 1 Y的N级签名由Yn=XkXI=i给出。。。ik∈{1,2}ki++ik=NaI。证据如果N=1，则将上述总和减少为a（1）=RTdX0，t=X0，t=Y0，t，这样该定理成立。假设该语句对于N为true- 1.

我们将证明它也适用于N≥ 2.【Lyo14，引理4.6】，Y≤Nsatis fies the rough differential equationdY≤N=dXi=1Y≤N eidYit，Y≤N=1∈ TN（Rd）。根据[FV10，定理12.16]，上述粗糙微分方程的解也是带有漂移项的粗糙微分方程的解≤N=dXi=1Y≤N eidXi+X1≤i<j≤dY公司≤N [ei，ej]di，j，Y≤N=1∈ TN（Rd），其中[ei，ej]：=ei ej公司- ej公司 eidenotes Lie括号。因此，Y的N级投影≤Nwill satisfyYNs，t=ZtsYN-1s，u dXu+X1≤i<j≤dZtsYN公司-2s，u [ei，ej]dаi，ju=ZtsYN-1s，u dXu+ZtsYN-2s，u dДubecauseД是反对称的。根据归纳假设，YN-1=XkXI=i。。。ik∈{1,2}ki++ik=N-1aI，YN-2=XkXI=i。。。ik∈{1,2}ki++ik=N-2aI。因此，YN=XkXI=i。。。ik∈{1,2}ki++ik=NaI，根据需要。引理3.11。设X是d维连续半鞅。让`∈ T（（R）*).那么，我们有：ZTh\'，bX<∞0，tidXt=h`4，bXLL<∞0，Ti，其中积分的意义为^o，表示法为\'4∈ T（（R）*) 指与`相关的单词与字母4（在第2.1节中介绍）和Bxll的连接<∞0，这是（4维）超前-滞后过程的特征，如定义2.14所述。证据对于d维路径Z，定义2d维路径Z：=（Z，Z），以及相应的签名Z<∞. 【FHL16】中显示，BXLL<∞是扰动粗糙路径Bxll的特征，≤2： =bX≤2+ψ，带ψs，t：=0-[十] s，t【X】s，t, 0≤ s≤ t型≤ T、 让N≥ 1、我们有ZTD\'，bX≤N0，TEdXt=ZTD\'，bX≤N0，tEo dXt公司-`,Z·bX≤N-10，u dbXu公司, X个·T型=`4，bX≤N+10，T-`4，ZTbX≤N-10，u dhbXiu公司.因此，我们必须证明D\'4，bXLL，≤N+10，TE=`4，bX≤N+10，T-ZTbX公司≤N-10，u dhbXiu公司. （9） 我们采用归纳法。如果N=1，我们有bxll，≤20，T=bX≤20，T+ψ0，T.自h\'4起，ψi=-D\'4，hbXiE，那么（9）对N=1成立。假设（9）对N成立，我们将证明它对N+1也成立。

根据归纳假设，（9）减少为：h′4，bXLL，N+20，Ti=`4，bXN+20，T-ZTbXN0，u dhbXiu公司.引理B.1，bXLL，N+20，T=XkXI=i。。。ik∈{1,2}ki++ik=N+2aI0，T。注意，h\'4，aIi仅在I=11时为非零。1 |{z}N+2和I=11。1 |{z}N2。因此，h`4，bXLL，N+20，Ti=h`4，aI0，Ti+h`4，aI0，Ti=`4，bXN+20，T+`4，ZTbXN0，u dψ0，u=bXN+20，T-ZTbXN0，u dhbXiu公司根据需要。定理4.3。让f∈ T（（R）*) 和p∈ R、 让P∈ R[x]是一个单变量多项式。然后，最优线性签名对冲问题（LSHP）的解由以下多项式优化问题的解给出：inf`∈T（（R）*)DPtt（f- p - `4） ，EhbXLL<∞0，平局。（10） 证据。根据引理3.11，（LSHP）将由：inf给出`∈HEP公司Phf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTh`，bX<∞0，tidXt= inf公司`∈HEPPPhf、bXLL、<∞0，Ti- p- h\'4，bXLL<∞0，Tii=inf`∈HEPPP高频- p - `4，bXLL<∞0，Tii（？）=inf公司`∈HEPhhPtt（f- p - `4） ，bXLL<∞0，Tii=inf`∈HDPtt（f- p - `4） ，EPhbXLL<∞0，TiE，其中（？）其次是松露产品特性（引理2.11）。提案5.3。Leta：=infθ∈Tq（λT）E经验值-λp+ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt- F（bXLL<∞)是最优指数对冲问题的极限。如果任何ε>0，则存在多项式Pε∈ R[x]，紧集KεbOhmT、 由f给出的线性签名支付∈ T（（R）*) 以及由`∈ T（（R）*) 这样：1。Pεε→0--→ 经验值(-λ·）在紧集上一致，2。P[Kε]>1- ε,3. |F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti |<εbX公司∈ Kε，4|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司<∞∈ Kε和t∈ [0，T]，5|aε- a |≤ ε、 式中ε：=EPεp+ZTh\'，bX<∞0，tidXt- hf、bXLL、<∞0，Ti; Kε.证据让我 R是一个紧区间，使得p+RTθ（bX|<∞[0，t]）dXt- F（bXLL<∞) ∈ Ia。s