奇异衍生品的非参数定价与套期保值

让Z≤2.∈ GOhm（[0，T]；Rd）是几何粗糙路径，设``∈ T（（Rd）*) 是两个线性泛函。然后，h`，Z<∞ih`，Z<∞i=h\'tt\'，Z<∞i、 引理2.12（签名的唯一性，[BGLY16]）。让Z≤2.∈ GOhm（[0，T]；Rd）是年龄计量粗糙路径。它在[0，T]，Z上的签名<∞0，T，唯一确定Z≤2，最多三个类等效值（定义见[BGLY16，定义1.1]）。推论2.13。允许∈ Z≤2.∈ GOhm（[0，T]；Rd）是几何粗糙路径。假设存在一个线性函数`∈ T（2）（（Rd）*) 使t 7→ h`，Z≤20，ti是严格单调的。然后，签名Z<∞0，Tuniquely确定Z≤2.2.3超前滞后路径在我们的框架中，价格将由路径Z给出：[0，T]→ Rd，假设为几何粗糙路径，波动率hZi：[0，T]→ Rd×d.为了简单起见，读者可能会认为Z是半鞅，hZi是Z的二次变量，因为这包含在我们的框架中。定义2.14（超前-滞后路径）。超前-滞后路径是一对（Z≤2，hZi）带Z≤2.∈ GOhm（[0，T]；Rd）几何粗糙路径（定义2.8）和hZi：[0，T]→ Rd×dsuch hZi对称且Zll，≤2:=1，（Z，Z），ZZ公司-hZiZ+hZi Z∈ GOhm（[0，T]；R2d）是R2d上的几何粗糙路径。ZLL<∞将被称为超前-滞后路径（Z）的签名≤2，hZi）。附录A讨论了如何在实践中获得与半鞅或离散数据相关的超前-滞后路径及其特征。示例2.15。连续半鞅Z:[0，T]→ R导出几何粗路径Z≤2，如例2.9所示。该几何粗糙路径由某些Stratonovich迭代积分给出。Z≤2，与二次变化hZis，tof Zover[s，t]一起，产生超前-滞后路径（Z≤2，hZi）。[FHL16]中考虑了这种超前-滞后路径。

如引理3.11所示，如果价格过程是一个半鞅，那么半鞅的^o积分可以写成超前滞后过程的积分。3框架3.1市场为了简单起见，我们将考虑只有一个潜在风险集合的情况。然而，作者想强调的是，本文中的所有结果都可以很容易地扩展到多资产情况。在续集中，我们将通过R，X:[0，T]中的连续曲线对基础资产的（贴现）价格路径进行建模→ R、 我们将用bxt=（t，Xt）表示X的增大（如第18页所示）∈ R、 在不丧失一般性的情况下，我们将假设资产的初始价格为X=1。在我们的框架中，市场将由价格路径Bx给出：[0，T]→ R、 与波动性过程hbXi一起：[0，T]→ R2×2。半鞅的几乎所有路径：[0，T]→ 在这种情况下，波动过程HBxit就是Bx的二次变化。勾号数据也包含在该框架中，因为它会导致超前-滞后路径（[FHL16]）。然而，我们的方法是无模型的，因为我们不在价格路径上强加任何模型，也不假设它是半鞅的区域化。然而，为了简单起见，读者可能认为Xas是一个半鞅。现在，我们将介绍市场价格路径的精确定义。定义3.1（市场价格路径）。确定市场价格路径的空间，bOhmT:={bX<∞: X：[0，T]→ R是光滑的，X=1}dp-风险值 T（（R）），其中bxt：=（T，Xt）表示X，bX的增广<∞是Bx的签名，闭合在p变化距离下，【LCL07，定义1.5】。

领先滞后市场价格路径的空间由B定义OhmLLT：={bXLL<∞: （bX≤2，hbXi）是超前-滞后路径，X=1} T（（R）），其中bxll<∞表示与（bX）关联的超前-滞后路径的签名≤2，hbXi），定义见定义2.14。GivenbXLL<∞∈bOhmLLT，我们用BX表示<∞∈bOhm项目编号：<∞tob公司OhmT、 到目前为止，我们尚未对市场实施任何概率措施。我们只介绍了形成市场的路径空间，bOhmLLT公司。在第4节中，我们将根据某些交易策略在市场中的表现来评估它们，我们将使用概率度量。为此，我们现在将定义市场路径上的概率空间。然而，本文中的大多数结果并不依赖于概率测度。定义3.2。考虑Borelσ-代数B（BOhmLLT），并通过F={Ft}t定义∈[0，T]价格路径X生成的过滤。设P为（b）上的概率度量OhmLL，B（BOhm使E[bXLL，≤N] 对所有人都是有限的N∈ N、 然后，我们将考虑完整的过滤概率空间（bOhmLLT，B（BOhmLLT），F，P）。我们不会在价格上假设任何特定的模型——从这个意义上说，我们的方法是无模型的。然而，人们可能有兴趣在市场上强加一个特定的模型，例如某个半鞅X：[0，T]→ R、 如例2.15所述，我们可以将半鞅与超前滞后路径（bX）相关联≤2，hbXi），其中hXi是X和bx的二次变化≤2是X的2级签名（在示例2.9中介绍）。然后，我们考虑概率空间（bOhmLLT，B（BOhmLLT），F，P），坐标过程X：[0，T]→ R是一个波动率由Bx的二次变化给出的半鞅，即hbXi。备注3.3。

假设E[bXLL，≤所有N都存在N0，T]∈ N是非常温和的，它是有限维随机变量的“所有阶矩存在”陈述的有限维版本。3.2付息函数金融衍生工具根据付息函数给出，付息函数取决于标的资产。现在，我们将对支付函数进行精确定义。定义3.4（支付功能）。支付被定义为Borel可测量函数BOhmLLT公司→ R、 A付款F:bOhmLLT公司→ R被称为q的Lq支付≥ 1如果E[| F | q]<∞.上述定义基本上将支付函数定义为任何FT可测量的随机变量。财务上的解释是，给定价格路径的实现，衍生工具的持有人支付F:bOhmLLT公司→ R为F（bXLL<∞) 在时间T。示例3.5。支付函数的示例包括欧洲期权、美国期权、亚洲期权、回望期权、障碍期权、期货、方差掉期、剪贴期权等。本文将广泛使用的一类重要支付函数是线性签名支付函数（[PA18]）：定义3.6（线性签名支付）。我们说a payoff F：bOhmLLT公司→ R是线性签名支付函数是否存在线性函数f∈ T（（R）*) 这样F（bXLL<∞) = hf、bXLL、<∞0，Ti。这些签名支付将发挥与Arrow Debreu primitive securities类似的作用。正如我们将看到的，路径依赖的奇异支付可以很好地近似于这些线性签名支付。请注意，由于签名被定义为路径上的某些迭代积分，因此线性签名支付有效地包含了所有动态对冲策略的损益。因此，在某种程度上，线性签名支付的类别很大，它们形成了一系列原始证券，这并不奇怪。示例3.7。

现在，我们将给出几个Payoff的示例，这些示例完全可以写成线性签名Payoff。回想一下第2.1.1节中介绍的单词表示法。让K∈ R、 并设置f=（1- K） + 2、然后，hf，bXLL<∞0，Ti=1- K+XT- X=XT- K、 换句话说，签名付款是交割价格为K.2的远期合约。让K∈ R、 设置f=（1- K） +然后，hf，bXLL<∞0，Ti=1- K+TRT（Xs-十） ds=TRTXSD- K、 因此，亚洲远期也是s.3.3交易策略的标志性支付。鉴于当时对价格路径的观察，交易策略规定了交易者每次必须持有的头寸。此外，这必须以非预期的方式进行——换句话说，交易员可以基于过去进行交易，但不能基于未来。这一想法体现在下面的交易策略定义中。定义3.8。定义∧T：=St∈[0，T]bOhmt、 这是一定距离的度量空间。交易策略的空间由T（λT）：=C（λT；R）定义。我们还用以下可积条件表示byTq（λT）交易策略空间：Tq（λT）：=θ ∈ T（λT）：EZTθ（bX|<∞[0，t]）dXtq< ∞.备注3.9。空间∧是所有停止路径的签名空间。融资上下文中的[CF13；AC17；Gal94；BCC+16]和[Dup09；BCH+17；Rig16]讨论了类似的空间。从直觉上看，定义3.8中的交易策略空间基本上包括与X产生的过滤相关的所有非预期过程。这再次强调了融资中的关键条件，即只允许根据过去进行交易。我们现在将定义交易策略空间的一个重要子空间，即线性签名交易策略空间。定义3.10（线性签名交易策略）。

线性符号阅读策略的空间由tsig（λT）：={θ给出∈ T（λT）|` ∈ T（（R）*) 这样θ（bX|<∞[0，t]）=h\'，bX<∞0，tibX公司|<∞[0，t]∈ ∧T}。事实证明，在某种意义上，交易策略可以通过签名交易策略任意逼近。因此，如果要在T（λT）中寻找最优交易策略，可以在Tsig（λT）中寻找最优交易策略。这将在以后更加精确。给定交易策略θ∈ T，与之相关的损益（P&L）由Tθ（bX）给出的粗路径积分（见[LCL07]）给出|<∞[0，t]）dXt。在半鞅的特殊情况下，该积分与经典的It^o积分一致–参见[FHL16]。例如，我们有以下引理，根据该引理，线性签名交易策略的半鞅的It^o积分是超前滞后路径签名上的线性函数。引理3.11。设X是d维连续半鞅。让`∈ T（（R）*).那么，我们有：ZTh\'，bX<∞0，tidXt=h`4，bXLL<∞0，Ti，其中积分的意义为^o，表示法为\'4∈ T（（R）*) 指与`相关的单词与字母4（在第2.1节中介绍）和Bxll的连接<∞0，这是（4维）超前-滞后过程的特征，如定义2.14所述。因此，在半鞅（见[FHL16]）和线性签名交易策略的特殊情况下，用粗糙路径积分定义的交易策略的性能与经典的It^o积分定义一致，前面的引理指出，盈亏（定义为针对半鞅的It^o积分）是超前-滞后路径特征的线性函数。4最优套期保值在本节中，我们研究以下最优多项式套期保值问题。定义4.1（最优多项式套期保值问题）。

让P∈ R[x]是q次多项式∈ N、 设F为Lq Payoff，在终端时间支付金额（bXLL<∞) 使用BXLL<∞∈bOhmLLT公司。让p∈ R初始资本。相关的最优多项式对冲问题（PHP）是为：infθ找到一个最小化序列∈Tq（λT）EPF（bXLL<∞) - p-ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt. （PHP）在P（x）：=x的特殊情况下，（PHP）是经过充分研究的平均方差最优套期保值问题的形式（[Sch10；DR91；Sch92；DMKR95]）。用多项式P来编写最优控制将允许我们将（PHP）扩展到指数效用函数。我们的目标是提供一种数值方法，为最优套期保值问题找到一个最小化序列。我们将通过研究问题的线性化版本来解决（PHP）。正如我们将在第4.2节中看到的，解决这个子问题将有助于解决原始套期保值问题（PHP）。4.1问题（PHP）的签名线性化将通过解决以下优化子问题来解决：定义4.2（最优线性签名对冲问题）。让P∈ R[x]是q次多项式∈ N、 让f∈ T（（R）*) 并考虑相关的线性f-signaturepayo ff（定义3.6）。将最优线性特征对冲问题（LSHP）定义为为为INF找到一个最小化序列`∈T（（R）*)EPhf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTh`，bX<∞0，tidXt. （LSHP）正如我们将在第4.2节中看到的，能够求解（LSHP）将有助于求解（PHP）。另一方面，（LSHP）可以重写为一个更简单的优化问题，在数值上更容易解决：定理4.3。让f∈ T（（R）*) 和p∈ R、 让P∈ R[x]是一个单变量多项式。然后，最优线性签名对冲问题（LSHP）的解由以下多项式优化问题的解给出：inf`∈T（（R）*)DPtt（f- p - `4） ，EhbXLL<∞0，平局。

（1） 优化问题（1）有两个部分。首先，有一个线性函数，它取决于控件`∈ T（（R）），我们正在对其进行优化，但不取决于价格路径X。第二个组件是lead-lagprocess EhbXLL的预期签名<∞0，Ti，这显然取决于价格路径X，但不依赖于控件。请注意，如果使用风险中性度量而不是真实世界概率度量，了解预期签名就等于了解所有签名支付的价格。到目前为止，我们尚未对价格路径X或波动率hXi做出任何假设。因此，关于最优对冲exoticderivative的过程，唯一需要的信息是对应于基础资产的超前-滞后路径的预期特征。在第6.1节中，我们将看到，可以通过无模型的方式从奇异衍生品的市场价格中推断出隐含的预期特征，因此，不必在价格路径上使用任何模型。然而，如果要假设价格过程的特定模型（例如特定It^o过程或半鞅），则可以使用蒙特卡罗方法或在某些情况下通过求解aPDE来计算预期符号。第4.3节将对此进行更详细的讨论。定理4.3的一个结果是以下推论，它给出了线性签名支付可实现或可复制的充分条件。推论4.4。让f∈ T（（R）*). 假设f的形式为f=p +NXn=0Xw=i。。。inij公司∈{1,2}λwi。其中，N∈ N和p，λw∈ R、 然后，f是可达到的，并且通过线性签名交易策略T 7给出了最优套期保值策略→NXn=0Xw=i。。。inij公司∈{1,2}λwDi。

英寸，bX<∞0，tE。4.2一般最优套期保值问题优化问题（1）提供了一种计算（LSHP）中最优套期保值的可实施方法–例如，在均值方差套期保值的情况下，其中P（x）：=x，优化问题（1）被简化为寻找高维二次多项式的全局最小值，反过来，通过求解某个线性方程组就可以很容易地找到它（有关实际中数值求解（LSHP）的讨论，请参见第4.3节）。然而，最终目标是解决（PHP）中所示的最优套期保值问题。在下文中，我们证明了为什么我们可以替换一般支付函数F:bOhmLLT公司→ R有签名支付，以及为什么我们可以将交易策略的类别从TQ（∧T）限制到Tsig（∧T）。这一节以定理4.7为高潮，它允许我们考虑可处理的最优套期保值问题（LSHP）（因此（1）），而不是原始的非线性、难以解决的问题（PHP）。关于为什么解算（LSHP）足以解算（PHP）的详细说明，请参见附录C。从Payoff到签名Payoff sArrow Debreu securities是指在市场出现某种状态时支付1的证券，而不是其他任何证券。因此，外来衍生品可以分解为此类证券的线性组合——换句话说，Arrow Debreu证券是构建所有其他证券的原始证券。以类似的方式，定义签名（定义2.7）的迭代积分是原始证券，因为其他奇异的、路径相关的支付可以通过此类迭代积分的线性组合很好地近似。实际上，它们是基础证券，其他证券都是从这些基础证券中构建出来的。

此外，鉴于signaturepayo ffs被定义为某些迭代积分的线性组合，它们包含了关于所有可能动态交易策略损益的大量信息。这在以下命题（【PA18，定理4.1】）中得到了精确的证明。提案4.5。让F:bOhmLLT公司→ R是一种持续的支付。给定任意ε>0，存在一个紧集KεbOhmT（不依赖于F）和F∈ T（（R）*) 这样：1。P[Kε]>1- ε,2. |F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti |<εbXLL<∞∈ Kε。换言之，存在一个大的紧集——很大的意义是，我们观察到的所有价格路径都存在于该紧集上，因此在紧集上，所有连续的支付都像签名支付。作者想强调，命题4.5中的线性函数f不依赖于基础资产的任何模型。事实上，这是一个无模式的路径密度结果，不需要任何概率结构。命题4.5中概率测度P的唯一作用是提供大紧集的概念，即第1点。在提案4.5中。从交易策略到签名交易策略在第3.3节中，我们定义了交易策略的空间T（直观上由所有适应的过程组成）以及签名交易策略的子空间Tsig T与签名支付类似，签名交易策略的空间很大，因为它们可以很好地近似任意交易策略：命题4.6。让K ∧t为紧集。