奇异衍生品的非参数定价与套期保值

设Pε为exp的泰勒展开式(-λ·）围绕度数大的原点，所以kPε- 经验值(-λ·）kL∞（一） <ε。设KεbOhmP压缩为P[Kε]>1- ε和EP公司Pεp+ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt- F（bXLL<∞); Kcε< ε.获取`∈ T（（R）*), f∈ T（（R）*) 这样3。和4。暂缓，我们可以根据第4.5号提案和第4.6号提案进行。那么，我们有：EPεp+ZTh\'，bX<∞0，tidXt- hf、bXLL、<∞0，Ti- 经验值-λp+ZTθtdXt- F（bXLL<∞)≤EPεp+ZTh\'，bX<∞0，tidXt- hf、bXLL、<∞0，Ti- Pεp+ZTθtdXt- F（bXLL<∞)+EPεp+ZTθtdXt- F（bXLL<∞)- 经验值-λp+ZTθtdXt- F（bXLL<∞)=: (?) + (??)根据命题4.5和4.6，（？）<ε. 此外，因为kPε- 经验值(-λ·）kL∞（一） <ε，我们有（？？）<ε、 证明如下。推论5.7。固定二次交易成本（3）下最优套期保值问题的解由以下优化问题的解给出：infv∈T（（R）*)DPtt（f- p - v14+αvtt21），EhbXLL<∞0，平局。（11） 同样，INFV给出了按比例交易成本（4）下最优套期保值的解∈T（（R）*)DPtt（f- p - v14+α（v tt（2+))tt21），EhbXLL<∞0，平局。（12） 证明。（11） 根据定理4.3和zt | hv，bX<∞0，ui | du=vtt21。类似地，（12）遵循定理4.3和zt | hv，bX<∞0，uiXu | du=（v tt（2+))tt21附录CIn第4.2节，我们解释了为什么解决线性特征对冲问题（LSHP）可以让我们从数值上估计多项式对冲问题（PHP）的解决方案。本节的目的是提供技术细节，说明为什么这样的近似值是正确的。建议4.5。让F:bOhmLLT公司→ R是一种持续的支付。给定任意ε>0，存在一个紧集KεbOhmT（不依赖于F）和F∈ T（（R）*) 这样：1。P[Kε]>1- ε,2. |F（bXLL<∞) - hf，bX<∞0，Ti |<εbXLL<∞∈ Kε。证据设f，g∈ T（（R）*).

然后，通过松露产品，我们有：hf，bX<∞0，Tihg，bX<∞0，Ti=hf ttg，bX<∞0，Ti XLL<∞∈bOhmT、 因此，线性签名payoff形成了一个代数。此外，签名的唯一性（推论2.13）意味着线性签名族具有分离点。此外，它们通常包含常量。设ε>0。鉴于此bOhm它是可分离的，存在KεbOhmt使p[Kε]>1- ε. 因为线性签名payoff的族形成了一个代数，分隔点并包含常数，根据Stone–Weierstrass定理，存在一个`-线性签名payoff，其中f∈ T（（R）*), 使得| F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti |<εbXLL<∞∈Kε。提案C.1。设置1≤ q<∞, 让F:bOhmLLT公司→ R成为Lq支付人。当ε＞0时，存在一个紧集KεbOhm用f扩展f线性签名支付∈ T（（R）*) 这样：1。P[Kε]>1- ε,2. E[| F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti | q；Kε]<ε。证据设ε>0。由于连续函数在Lq中是稠密的，因此存在一个连续的payouff：bOhmT→ R使得kF- GkqLq<ε/2。根据命题C.1，我们可以选择KεbOhm和f∈ T（（R）*) 使得P[Kε]>1- ε、 E[| G（bXLL<∞)|qKcε]<ε和| G（bX<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti | q<ε/2bXLL<∞∈ Kε。然后，E[| F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti | q；Kε]≤ E[| F（bXLL<∞) - G（bXLL<∞)|qKε]+E[| G（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti | q；Kε]<ε/2+ε/2=ε。提案4.6。让K ∧t为紧集。那么，给定任何交易策略θ∈ T，存在`∈ T（（R）*) 使得|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司|<∞[0，t]∈ K、 证明。给定θ，θ∈ Tsig（K），存在``∈ T（（R）*) 使得θi（bX |[0，t]）=h\'i，bX<∞0，t对于每个HBX |[0，t]∈ K和i=1，2。定义θ1,2（X |[0，t]）：=h\'tt\'，X<∞0，ti。那么，θ（bX |[0，t]）θ（bX |[0，t]）=h\'，bX<∞0，tih`，bX<∞0，ti=h\'tt\'，bX<∞0，ti=θ1,2（bX |[0，t]）。因此，Tsig（K）是一个代数。

考虑到它还分隔点（[BGLY16]）并包含常数，它遵循Stone–Weierstrass定理，给出了任何交易策略θ∈ T，存在`∈ T（（R）*) 使得|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司|<∞[0，t]∈ K、 定理C.2。Leta：=infθ∈Tq（λT）EPF（bXLL<∞) - p-ZTθ（bX|<∞[0，t]）dXt是最优多项式套期保值问题（PHP）的上限。给定任意ε>0，存在一个紧集KεbOhmT、 f给出的线性签名支付∈ T（（R）*) anda线性签名交易策略由`∈ T（（R）*) 这样：1。P[Kε]>1- ε,2. |F（bXLL<∞) - hf、bXLL、<∞0，Ti |<εbXLL<∞∈ Kε，3|θ（bX|<∞[0，t]）- h`，bX<∞0，ti |<εbX公司<∞∈ Kε和t∈ [0，T]，4|aε- a |≤ ε、 式中ε：=EPhf、bXLL、<∞0，Ti- p-ZTh`，bX<∞0，tidXt; Kε.证据源自命题C.1和命题4.6，以及三角形不等式。参考文献【AC17】A.Ananova和R.Cont.关于有限二次变化路径的路径积分。《数学与贴花杂志》，107（6）：737–7572017。【Arr73】K.J.箭头。证券在风险承担的最优配置中的作用。《福利经济学读物》，第258-263页。帕尔格雷夫，伦敦，1973年。【ASL98】Y.Ait-Sahalia和A.W.Lo。金融资产价格中隐含的状态价格密度的非参数估计。《金融杂志》，53（2）：499–5471998。[密件抄送+16]Vlad Bally、Lucia Caramellino、Rama Cont、Frederic Utzet和Josep Vives。分部随机积分与函数It^o演算。Springer，2016年。【BCH+17】马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·MG·考克斯、马丁·休斯曼、尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。通过vovk的outermeasure进行路径超级复制。《金融与随机》，21（4）：1141–1166，2017年。【BGLY16】H.Boedihardjo、X.Geng、T.Lyons和D.Yang。粗糙路径的特征：唯一性。

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