非近视代理是否会发生信息级联？

实际上，取增长速度比√N（例如，MN=对数N）。然后，当级联发生时，只有不到MNplayers显示了他们的信息。这意味着在级联发生之前（对于大N），已经发现了关于V的极少量可用信息。这对社区来说确实是一个灾难性的结果（当级联操作与产品质量不一致时）。B、 在δ=1或足够大δ<1的情况下，在本小节中，我们研究固定N和δ=1或足够大δ<1的信息级联。我们将这些病例分别称为完全有耐心和充分有耐心的参与者。如图所示，在此设置中会出现非常令人惊讶的结果。δ=1的解决方案将完全避免V=-1和足够高的δ<1的解决方案将避免V=-1（所谓“有害”是指不良的信息级联，在级联时，整个私有信息中只有一小部分在网络中传播）。我们首先研究δ=1且足够大δ<1的FPE 3的解决方案。定理7。以下策略文件是FPE 3的解决方案，o对于δ=1，γ*= φ[r，y，w]=0，y≤ -2I，y≥ -1，w<N1，y≥ 1，w=N，r=1I，y∈ {0, -1} ，w=N，r=1（35a）o对于足够大的δ<1（取决于N和游戏的其他参数），γ*= φ[r，y，w]=0，y≤ -2I，y≥ -1，y+w<NI，y=1，w=N- 1，r=0I，y=0，w=N，r=11，y≥ 2，y+w≥ N1，y=1，w≥ N- 1，r=1（35b）2020年3月10日绘图证明：见附录I定理7中给出的策略文件分别在图2和图3中描述了N=11和δ=1以及大值δ<1。注意，策略γ*= I（用01表示）扩展到所有状态≥ -δ=1时，w<N。图2：。

N=11和δ=1的平衡策略。“00”、“01”和“11”分别表示策略0、I和1。图3：。N=11且δ<1足够大的平衡策略。“00”、“01”和“11”分别表示策略0、I和1。利用定理7，我们接下来论证了V=-1和δ=1。回想一下，当玩家有私人信号，但不根据他们的信号行事时，即他们玩γ时，就会发生信息级联*= φ[0，y，w]=1或γ*= φ【0，y，w】=0。请注意，这一定义基于尚未披露的参与者的策略，即r=0，而不是r=1。2020年3月10日，当V=1和γ时，出现了错误的信息级联*= φ[0，y，w]=0或V=-1和γ*= φ【0，y，w】=1。这两种情况是应该避免的。此外，在研究信息级联时，我们应该考虑层的数量w，当发生不良信息级联时，这些层已经暴露出来，因为这个数字显示了系统中已经传播的信息量。在不良信息层叠时已经透露的玩家数量越多，这种现象的危害就越小。接下来的两个定理形式化了我们的结果。定理8。对于δ=1，存在一个sPBE，在v=-1、证明：考虑定理7中δ=1的策略证明（如图2所示）。没有策略γ*=φ[r=0，y，w]=1。这意味着对于V=-1、此战略文件不会出现不好的信息级联。尽管定理8指出，对于V=-1，由于策略γ，它们总是在V=1时以正概率发生*= φ[r=0，y，w]=0，为y播放≤ -2和所有w.定理9。

对于足够大的δ<1，存在一个sPBE，V=-1只有当至少一半的玩家透露了他们的私人信息时，才会发生这种情况。证明：假设δ<1足够大，以至于定理7第二部分（如图3所示）的策略文件是sPBE。该战略文件包括战略γ*= φ[0，y，w]=1表示y≥ 2安迪+w≥ N（图3中的黄色单元格）。这意味着V=-1、只有在≥ 2和y+w≥ N、 这反过来意味着，当至少w=N时，会发生错误的信息级联。因为y的初始值为0，并且在达到其中一个状态之前使用的策略是y≥ 2和y+w≥ N、 都是γ*= φ[r，y，w]=I，w的值等于已经透露的玩家数量。因此，只有当至少一半的玩家透露了他们的私人信息时，才会发生不良级联。在这一点上，我们注意到，定理9中δ<1的值取决于博弈的参数，如N。这种依赖性在定理7的证明中明确显示出来。根据定理9，至少有一半的玩家在级联时透露了他们的信息。然而，请注意，δ的值可能接近1，asN接近于1。八、数值结果在本节中，我们给出了FPE 3解的数值结果。结果如下。首先，使用迭代算法来求解FPE，这与马尔可夫决策过程求解中使用的值迭代算法非常相似。迭代过程一直运行到值函数数值收敛。为了毫无疑问地验证该解决方案是平衡的，接下来进行了第二步。

第二步，确定通过该迭代过程获得的平衡策略，并用所有值函数表示未知量的线性方程组。使用有限精度算法（通过rationalMarch 10，2020 DRAFTnumber表示）求解该系统，并获得与该策略文件相对应的精确值函数。最后一步是检查获得的值函数是否满足顺序合理性，即是否满足（26）中的所有不等式。下面我们给出了N=11、p=0.1和δ的三个不同值的结果，即δ=0、δ=0.999和δ=1。第一种情况（δ=0）本质上是近视球员的情况，图4中的结果证实了[2]中的结果。无论w值多少，尚未透露信息的玩家总是会选择y≤ -2、始终为y购买≥ 2并透露他们的信息-1.≤ y≤ 请注意，对于y=1，一个非暴露玩家在γ=I和γ=1之间是不相关的，对于y=-1、我们通过假设球员总是透露信息来解决平局。此外，对于y=0，一个已经透露的玩家在任何动作之间都是无关紧要的，我们通过假设她总是透露来解决这个模糊性。图4：。N=11，p=0.1，δ=0的平衡策略。“00”、“01”和“11”分别表示策略0、I和1。第二个案例（δ=0.999）研究了更多的患者参与者，结果如图5所示。毫不奇怪，玩家在做出购买决定之前愿意等待更多。事实上，对于w=2到w=5的值，并且相信产品质量为y=2，玩家不会承诺购买（即玩γ=1），但平衡策略是揭示她的信息（γ=i）。

类似地，对于相信的产品质量y=2的玩家，已经透露了她的私人信息Xn=-1选择等待（γ=0）。第三个案例（δ=1）针对具体患者参与者进行研究，结果如图6所示。直觉表明，玩家在做出购买决定之前愿意等待更多时间。事实上，对于w=5，并且当可信产品质量为y=5时，玩家没有承诺购买（即玩γ=1），但均衡策略是披露她的信息（γ=i）。类似地，对于w=6且相信产品质量为y=4的玩家，其已披露其私人信息Xn=-1选择等待（γ=0）。很明显，随着w的增加和我们接近游戏的尾声，玩家变得更具攻击性，因为等待学习的信息越来越少，在w=N时，δ=0和δ=1的均衡策略是一致的。然而，就patientMarch 10而言，2020年绘图。N=11，p=0.1，δ=0.999的平衡策略。“00”、“01”和“11”分别表示策略0、I和1。玩家之间出现了一种更具合作性的平衡（参见图6中红三角所示的策略），玩家愿意通过透露自己的私人信息来帮助对方学习未知状态V。我们注意到，这些结果与定理7并不矛盾，因为该定理声称FPE存在特定解，但不存在唯一性。事实上，虽然这是δ=1的情况，但我们的数值算法收敛到（35b）中描述的平衡，也如图3所示。图6：。N=11，p=0.1，δ=1的平衡策略。“00”、“01”和“11”分别表示策略0、I和1。下一组图表显示了信息质量的影响。图7描绘了δ=0.999和p=0.4的情况下的平衡。

这是一个比英菲格描述的更吵闹的私人观察。因此，均衡行为变得“更为温和”：玩家愿意等待更多时间并披露他们的信息，2020年3月10日，因为现在单个观察的质量比以前低。图7：。N=11，p=0.4，δ=0.999的平衡策略。“00”、“01”和“11”分别表示策略0、I和1。与之前的结果相比，最后一个图显示了两个不同V值、不同p值和更多用户N=21的不良级联概率。我们进一步根据级联发生时W的值对该概率进行分解。我们将此信息描述为累积的badcascade概率，其中W≤ w代表w∈ 图8中的{0，…，N}。从该图中可以明显看出，对于V=1和V=-当V=1时，情况更为严重，也就是说，当产品很好而玩家选择不购买时。这是由于平衡为γ=0的（y，w）值集与平衡为γ=1的（y，w）值集的不对称性造成的。九、 结论我们研究了非近视玩家的贝叶斯学习情景。我们的模型概括了最早报告信息级联的经典近视和顺序一次性场景。为了分析该场景中的信息级联，需要对动态游戏的PBE进行复杂的分析。通过引入结构化战略（structuredstrategies），我们构建了涉及有限域上定义的价值函数的FPE。通过进一步利用模型的结构，我们构建了具有值函数的FPE，这些值函数的大小仅在参与者数量N中呈二次增长，并且具有直观的解释。基于这些方程的可处理性，Wein研究了它们在两种情况下的解。

第一个是固定δ<1且渐近大N。第二个是固定N和δ=1或渐近接近1。对于第一种情况，我们证明了informationalcascade最终发生的概率接近1。在这些信息级联中，只有一小部分信息被揭示出来，大N的可能性很高，这使得这些级联是无效的，并且是真正的病理结果。对于第二个政权，出现了一个非常令人惊讶的结果。当产品不好时，耐心的玩家可以完全避免不好的级联。此外，对于有足够耐心的玩家，当出现不良级联（针对不良产品）时，至少一半的玩家已经透露了他们的私人信息，即2020年3月10日DRAFTFig。8、N=21的不良级联概率，δ=0.999999，p∈ {0.1, 0.2, 0.3, 0.4}.这意味着这种行为不是病理结果。已开发FPE的数值解表明，玩家表现出的非近视行为比我们推广的近视情况要复杂得多。定理1的附录A假设：让我们假设除玩家n以外的所有玩家都按照γ进行游戏*t=θ[nt，πt，bt]，即antt=γ*t（xnt）=θ[nt，πt，bt]（xnt），对于所有的nt6=n。让我们进一步假设信念π的更新固定为πt+1=F（πt，γ*t、 antt，nt）=F（πt，θ[nt，πt，bt]，antt，nt）=：Fθ（πt，nt，antt，bt）。我们将证明游戏者n所面临的优化问题可以表述为一个马尔可夫决策过程（MDP）。为此，我们将动态系统的状态、行为和瞬时回报定义如下。系统状态定义为asst=（xn，nt，πt，bt）。

此外，动作空间根据方程式（7）定义，其中在每次t时，玩家都会接受动作蚂蚁∈ An（bnt，nt）并收到即时奖励R（st，ant）=antPvvπpr（v | xn）。我们首先证明了（st）是一个具有动作ant的受控马尔可夫过程，即P（st+1 | s1:t，an1:t）=P（st+1 | st，ant）。（36）事实上，P（st+1 | s1:t，an1:t）=P（\'xn，nt+1，πt+1，bt+1 | xn，n1:t，π1:t，b1:t，an1:t）（37a）=1xn（\'xn）NQb（bt+1 | xn，nt，πt，bt，ant）Qπ（πt+1 | xn，nt，πt，bt，ant），（37b）2020年3月10日通过qb（bt+1 | xn，nt，πt，bt，ant）=Qbn（bnt+1 | bnt，ant）NYm=1，m6=NQb定义-n（bmt+1 | xn，nt，πt，bt）（38a），带qbn（bnt+1=1 | bnt，ant）=1，bnt=1，或ant=10，否则（38b）Qb-n（bmt+1=1 | xn，nt，πt，bt）=m（nt）Pxmπpr（xm | xn）1θ[nt，πt，bt]（xm）（1），bmt=01，bmt=1（38c）和qπ（πt+1 | xn，nt，πt，bt，ant）=Pxntπpr（xnt | xn）1Fθ（πt，nt，θ[nt，πt，bt]（xnt，bt）（πt+1），nt6=nFθ（πt，nt，ant，bt）（πt+1），nt=n.（38d）正是上述等式揭示了为什么必须固定信念更新才能证明玩家面临MDP。如果情况并非如此，则上述方程将要求通过πt+1=F（πt，γt，antt，nt）形式的表达式更新信念，这将要求在nt=n的情况下，将部分函数γt包含在动作空间中，而不是仅包含动作ant。我们现在已经证明了（36）。因此，状态过程（st）与奖励R（st，ant）形成了一个有限的水平MDP，因此可以从以下状态的FPE中得出最佳纯策略s=（xn，na，π，b），a*n=γ*（xn）=arg maxan∈An（bn，na）（anXvvπpr（v | xn）+δE[Vn（xn，na，π，B）| xn，na，π，B，An]，（39a），其中na，π和B是下一状态元素的随机变量，期望值根据过渡核（38）。此外，Vn（xn，na，π，b）=maxan∈An（bn，na）（anXvvπ（v | xn）+δE[Vn（xn，na，π，B）| xn，na，π，B，An]）。

（39b）接下来，我们需要证明上述FPE等同于FPE 1。我们首先表明Vn（xn，na，π，bn=1，b-n） =0对于所有xn，n，π，b-n、 根据（7）中定义的动作空间，如果bn=1，An（bn，na）={0}。这意味着该状态下的即时奖励为0。另一方面，根据（38）中b的过渡核，该状态以bn为单位吸收，这意味着对于所有未来状态，bn也为1。这将导致玩家n在所有即将到来的状态中获得0奖励，因此Vn（xn，na，π，bn=1，b-n） =0。上述情况意味着playern面临着停车时间问题。如果n是代理玩家（n=na），FPE（39）实际上是在购买和获得即时回报PVVπpr（v | xn）或等待和获得δE[Vn（xn，na，π，B）| xn，na，π，B，an]之间进行选择。根据转换核（38），δE[Vn（xn，Na，π，B）| xn，Na，π，B，an]=δNPNna=1Vn（xn，Na，F（π，γ*, 0，n），b）。因此，对于n=na，FPE（39）相当于（15a），前三种情况（15c）。此外，如果n不是扮演者（n 6=na），因为An（bn，na）={0}，Vn（xn，na，π，b）=δE[Vn（xn，na，π，b）| xn，na，π，b，An]。2020年3月10日根据过渡核（38），δE[Vn（xn，Na，π，B）| xn，Na，π，B，an]=δNNXna=1EVn（xn，na，π，Bnab-na）| xn，na，π，b，an.从（38）中可以明显看出∏=F（π，γ*, γ*（Xna），na）a.s.，因此，Vn（xn，na，π，b）=δNNXna=1E{Vn（xn，na，F（π，γ*, γ*（Xna），na），Bnab-na）| xn，na，π，b，an}，这是（15c）的第四种情况。证明的结论是，Bnain（38b）的转移核与（15d）的转移核相同。现在，通过（16）中的正向算法递归地跟踪每个信息集来构造sPBE是一项简单的任务（我们还使用了私有变量X。

，XNare独立于V，这一事实将在引理2中得到确凿的证明）。附录B引理2的证明：我们用归纳法证明了这个引理。对于t=0，我们有π（x，v）=Ps（x，v | n）=Q（v）QNm=1Q（xm | v）。假设πt-1（x，v）=πt-1（v）QNm=1πt-1（xm | v）我们有πt（x，v）=Ps（x，v | a0:t-1，n0:t）（40a）=Ps（x，v，at-1，nt | a0:t-2，编号：t-1） Ps（在-1，nt | a0:t-2，编号：t-1） （40b）=（1/N）Ps（在-1 | x，v，a0:t-2，编号：t-1） Ps（x，v | a0:t-2，编号：t-1） Ps（在-1，nt | a0:t-2，编号：t-1） （40c）=（1/N）QNm=1γmt-1（xm）（金额-1)πt（x，v）Px，v（1/N）QNm=1γmt-1（xm）（金额-1)πt（x，v）（40d）=QNm=1γmt-1（xm）（金额-1)πt-1（v）QNm=1πt-1（xm | v）Px，vQNm=1γmt-1（xm）（金额-1)πt-1（v）QNm=1πt-1（xm | v）（40e）=QNm=1γmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）πt-1（v）PvQNm=1Pxmγmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）πt-1（v）。（40f）给定V和hctcan的X的条件分布现在可以写成πt（X | V）=QNm=1γmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）PxQNm=1γmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）（41a）=NYm=1γmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）Pxmγmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）（41b）=NYm=1πt（xm | v），（41c）2020年3月10日，完成归纳步骤，证明私有信息变量X，XNare conditionallyindependent给定v，hct，从而证明（17）。此外，（41c）提供了条件概率f的更新方程，即πt（xm | v）=γmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）Pxmγmt-1（xm）（金额-1） πt-1（xm | v）（42a）=πt-1（xm | v），m 6=nt-1或γmt-16=Ixm+1（金额-1） ，m=nt-1和γmt-1=I.（42b）因此，如果玩家m在时间t之前尚未透露其信息，则πt（xm | v）=···=π（xm | v）=Q（xm | v）。或者，如果玩家m在时间t之前的某个时间点透露了她的信息，我们得到πt（xm | v）=xm（xm），从而证明（18）。现在，边缘化（40a）w.r.t。