基于核的谱风险测度估计

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英文标题：
《Kernel Based Estimation of Spectral Risk Measures》
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作者：
Suparna Biswas and Rituparna Sen
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  Spectral risk measures (SRMs) belong to the family of coherent risk measures. A natural estimator for the class of SRMs has the form of L-statistics. Various authors have studied and derived the asymptotic properties of the empirical estimator of SRM. We propose a kernel based estimator of SRM. We investigate the large sample properties of general L-statistics based on i.i.d and dependent observations and apply them to our estimator. We prove that it is strongly consistent and asymptotically normal. We compare the finite sample performance of our proposed kernel estimator with that of several existing estimators for different SRMs using Monte Carlo simulation. We observe that our proposed kernel estimator outperforms all the estimators. Based on our simulation study we have estimated the exponential SRM of four future indices-that is Nikkei 225, Dax, FTSE 100, and Hang Seng. We also perform a backtesting exercise of SRM.
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中文摘要：
光谱风险度量（SRM）属于一致风险度量的范畴。SRM类的自然估计具有L-统计量的形式。许多作者研究并推导了SRM经验估计的渐近性质。我们提出了一种基于核的SRM估计器。我们研究了基于i.i.d和相依观测的一般L-统计量的大样本性质，并将其应用于我们的估计。我们证明了它是强相合且渐近正态的。通过蒙特卡罗模拟，我们比较了我们提出的核估计器与几种现有估计器对不同SRM的有限样本性能。我们观察到，我们提出的核估计优于所有的估计。基于我们的模拟研究，我们估计了四个未来指数的指数SRM，即日经225指数、Dax指数、富时100指数和恒生指数。我们还对SRM进行了回溯测试。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Kernel_Based_Estimation_of_Spectral_Risk_Measures.pdf (342.83 KB)

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关键词：Quantitative Applications large sample observations Econophysics

基于核的光谱风险估计M ea suresSUPARNA BISWAS&RITUPARNA SENIndian Statistic Institute，Bangalore，IndiaAbstractSpectrum风险度量（SRM）属于相干风险度量家族。SRM类的自然建模器采用L-统计的形式。许多作者已经研究并推导了SRM经验估计的渐近性质。我们提出了一种基于核函数的SRM估计。我们研究了基于i.i.d和相依观测的一般L-统计量的大样本性质，并将其应用于我们的估计。我们证明了它的强相合性和渐近正态性。我们通过蒙特卡罗模拟，将我们提出的核估计量的有限样本性能与不同SRM的几种现有估计量的有限样本性能进行了比较。我们观察到，我们提出的核估计优于所有估计。基于我们的模拟研究，我们估计了四个未来指数的指数SRM，即日经225指数、Dax指数、富时100指数和恒生指数。我们还对SRM进行了测试。关键词：谱风险测度，相干风险测度，L统计量。1简介在金融市场中，风险度量用于确定保留的资本金额。这种暂停的原因是为了限制银行和保险机构等金融机构所承担的风险，以便监管机构能够接受。风险度量是一种函数，它将实数分配给随机金融量的可能结果，如保险索赔或对账单损失。近年来，人们的注意力转向了凸性和一致性风险度量，这种度量在金融、保险和其他与不确定性相关的领域越来越流行。Artzner等人提出了一致性风险度量的概念。

（Artzner（1997）、Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999））（见附录）。Acerbi（2002）提出的谱风险度量（SRM）是损失分布分位数的加权平均值，其权重取决于用户的风险厌恶。它属于一系列连贯的风险度量。SRM的一个很好的特性是，它们将风险度量与用户的风险规避联系起来（Dowd、Cotter和Sorwar（2008））。换句话说，如果两个投资者面临相同的潜在不幸分布，SRM表明风险厌恶程度越高的投资者面临的风险越高。此外，SRM还满足两个附加条件，即定律不变性和科摩诺音调（Henryk和Silvia（2008））。法律不变性对于应用来说是一个重要的属性，因为它是从理论数据中估计风险度量的必要属性（Henryk和Silvia（2008））。Overbeck（2004）讨论了如何将SRM用于资本配置，Cotter和Dowd（2006）建议，期货交易所可以使用SRM设定保证金要求，以反映其公司利率风险规避。定义1。Let，φ∈ L（[0,1]）是可接受的风险谱（见附录），X表示投资组合的价值。然后，根据Henryk和Silvia（2008），光谱风险测量值由mφ=-Zφ（u）F-1X（u）du，（1），其中φ称为风险规避函数，F-X的X轴分量（见附录）。风险规避函数为X分布左尾的不同置信水平分配了不同的权重。Henryk和Silvia（2008）提到，任何理性投资者都可以通过绘制不同的权重函数φ来表达其主观风险规避。可以看出，如果φ（u）=p0≤u≤p Mφ是一个光谱风险度量的预期差额。

但风险价值不是光谱风险度量，因为它不是一致的风险度量。我们对SRM的估计很感兴趣。一个相关的量是失真风险度量（DRM）。DRM的评估文献比SRM更丰富。定义2。（Tsukahara（2009））表示F-十、 失真ris kmeasure（DRM）定义为ρDθ=Z[0,1]F-1.-X（u）dDθ（u）=ZRxdDθoF-给定畸变函数Dθ（见附录）和θ的X（X），（2）。比较（1）和（2）我们得到，Mφ（X）=ρDθ(-十） iff Dθ（u）=Zuφ（1-s） ds公司u、 要使ρDθ相干，D必须是凸的。形式（2）的DRM表示可以用anL统计的形式书写的自然估计值。假设我们有独立的观测值X。。，Xnand让Xn1≤ ··· ≤ Xnnbe订单统计。如果我们用经验分布函数（df）代替F，则我们得到一个阶值的线性函数作为估计值或ρd，我们表示为ρρρ=n∑i=1cniXni，其中cni=D（i/n）-D（（i-1） /n）。许多作者研究并推导了^ρ的渐近性质。Shorack（1972）导出了i.i.d.情况下f^ρ的渐近性质。Wellner（1977b）建立了^fn及其左连续逆的近似线性界。Wellner（1977a）建立了统一经验df的Glivenko-Cantelli定理的一个强大版本，并用它建立了i.i.d.情况下^ρ的易符号性质。Sen（1978）还建立了i.i.d.情形下^ρ的渐近性质。Zwet（19 80）推广了Wellner（197 7a）和Sen（1978）consideringi的结果。i、 d案例。根据VanZwet，g和J上的所有平滑条件都是不必要的，Jn的点收敛可以放宽（关于g、J和Jn的定义，请参见第3.2节）。

Tsukahara（2014）建立了考虑平稳过程的^ρ的渐近性质。从以前的研究中，我们观察到，除了经验df之外，没有涉及df估计量的ρ估计量的结果。Swanepoel和Van Graan（20 05）介绍了基于数据非参数变换的akernel df估计。Dutta和Bis was（2017）使用Swanepoel和Graan的核df估计值来估计风险价值，并观察到其优于风险价值的经验估计值。本文的目的是在ρDθ的估计中考虑核DF估计，并建立其渐近性质。我们按照以下方式组织论文。在第2节中，我们使用常用的核df和Swanepoel以及Graan的df估计器提出了基于核的ρDθ估计器。在第3节和第4节中，我们建立了假设性质，并在附录中给出了我们结果的详细证明。在第5节中，我们使用蒙特卡罗模拟比较了基于核的估计器和经验估计器的单位样本性能。对不同的样本大小、风险度量和四种不同的模型重复进行比较。在第6节中，根据2004年1月2日至2008年12月31日和2009年1月2日至2019年1月22日期间的DailReturn数据，我们在模拟研究中估计了日经225指数、Dax指数、FTSE 100指数和恒生指数四种期货的指数RM。为了进行比较，我们还提供了早期的结果，即1991年1月1日至2003年12月31日，因为这是Cotter和Dowd（2006）考虑的时期。在第7节中，我们对SRM进行了回测。最后，在第8节中，我们讨论了这些发现。罗森布拉特（1956）提出的核方法在非参数估计中受到了广泛的关注。设，X。。，Xnbe i.i.d。

随机变量。核df估计量定义如下fn，b（x）=nbn∑i=1Zx-∞kt型-Xib公司dt=nn∑i=1Kx个-Xib公司.让我们考虑以下假设：假设1：核df K是可微的，有界核密度K的均值和有限方差为零。假设2：b是满足条件b的s光滑参数→0和nb→ ∞ 作为n→∞.Swanepoel和Van Graan（2005）提出了另一种基于数据非参数变换的核d f估计。他们表明，估计值的渐近b ias和均方误差远小于Fn、b.Swanepoel和Graan\'sdf估计值的t，其定义如下：eFn（x）=nn∑i=1KFn，b（x）-Fn，b（Xi）^b, （3） 式中，^b=cbα，1≤α< 3. Swanepoel和Van Graan（2005）建议使用^b=b=h√πi1/7σ-4/7n-1/7，（4）其中c和α等于1，σ=min{S，IQR/1.349}，S和IQR分别是样本标准偏差和四分位间距。基于此，我们提出了以下ρD.eρD=Z[0,1]eF的估值器-1n（u）dD（u）=ZRxdDoeFn（x），（5），其中D是定义（9）中定义的畸变函数。Dutta和Biswas（2017）观察到，Swanepoel和Grann的df估计器提供了比p（分位数位置）接近零且样本量小于等于500的多个分位数估计器大幅改进的分位数估计。根据Dutta和Biswas（2017）的发现，我们预计我们提出的估值器的表现优于^ρ。为了进行比较，我们基于核分布函数估值器定义了另一个ρ估值器，即Fn，b（x）as^ρbD=Z[0,1]F-1n，b（u）dD（u）=ZRxdDoFn，b（x）。（6） 这对于建立ρD的一致性和渐近正态性也很有用。我们的目标是建立ρD的一致性。我们将分两步来完成。

首先，我们建立^ρbd的一致性，然后我们可以使用它来建立ρD的一致性。我们通过遵循Shorack（1972）和Wellner（1977a）使用的技术来建立^ρbd的一致性。设ξ，ξ。。是在[0，1]上具有df F（F（t）=t的独立同分布均匀（0，1）随机变量序列。虽然g h结果是针对均匀（0,1）得出的，但通过备注（1），它们适用于所有CDF。让我们记下如下定义的核df估计器。Fn，b（t）=nbn∑i=1Zt-∞kx个-ξibdx，0≤t型≤ 其中k是核密度函数，b是满足假设1-2的平滑参数。我们知道，扭曲风险度量可以写成L-统计的形式。因此，方程（6）可以写成L-统计量的形式。设，G表示（0，1）上的左连续函数集，这些函数在（δ，1）上有界变化-δ） ，对于所有δ∈ (0, 1/2); fix克∈ G让，cn1。。，CNN编号≥ 1，为已知常数。然后我们考虑一个一般的L-统计量，其形式为tn=nn∑i=1g（ξni）cni，其中0≤ξn1≤.. . ≤ξnn≤1表示n i.i.d均匀（0，1）随机变量的阶数。备注1。如果g=f（I-1） ，f∈G对于某些分布函数I，则tn具有相同的分布Sn=n∑ni=1cni（Xni），其中Xn1≤ . .. ≤ xn是大小为n fromI的样本的顺序统计信息。3.1独立观测在本节中，当观测值是独立的时，我们为TN建立了一个强大的定律。对于n≥ 1，让我们通过Jn（t）=cnifor（i）定义函数Jnon[0，1]-1） /n<t≤ 识别号，其中1≤ 我≤ n和jn（0）=cn1。

下一步，对于0≤t型≤ 1，我们定义ψn（t）=-RtJndF使Cnin=hψn在里面-ψn（一）-1） n个i、 Tn=Zg（F-1n，b）JndF（7）=n∑i=1g（ξni）ψn在里面-ψn（一）-1） n个.我们，设置un=ZgJndF。为了证明我们的两个重要结果，我们定义了某些函数并假设了某些性质来证明我们的结果。对于固定b、b>0和M>0，定义a“得分基础函数”b byB（t）=Mt-b（1-t）-b、 0<t<1。对于δ>0定义（t）=Mt-1+b+δ（1-t）-1+b+δ，0<t<1，h（t）=[t（1-t） ]1-δ/2，0<t<1。现在，让g是g中的固定函数。让我们将J表示为（0，1）上的固定可测函数，并设置u=ZJgdF。（8） 假设（A）：（边界）。Let | g |≤ D、 全部| gn |≤ D、 | J |≤ B和所有| Jn |≤ B在（0，1）上，假设RBHD | g |<∞.假设（B）：（Smoo-thness）。除了在| g |-度量值为0的一组t上，我们有两个J在t和Jn处都是连续的→ J在t为n的s o me小邻域中一致→ ∞.定理1。如果假设1、2和（A）成立，则LIMN→∞（Tn-un）=0 w.p.1。证明：证明见附录。如果J和g满足式（A），则|u|<∞. 我们陈述了一个与Wel lner（Wellner，1977a）的推论2相似的推论。推论1。如果limn→∞un=u∞存在（带|u∞| < ∞) 假设1、2和（A）保持s，然后保持limn→∞Tn=u∞w、 第1页。证明：证明见附录。定理2。如果假设1、2、（A）和（B）成立，则LIMN→∞Tn=uw.p.1其中u是有限的。证明：证明见附录。从定理2我们可以说，在上述所有一般条件下，^ρbDin（6）证明具有强相合性。同样，我们可以证明我们的估计reρDin（5）在上述非常一般的条件下具有强相合性。3.2依赖Cas以太网3。设{ξn，n≥ 1} 是遍历平稳序列，如果假设1、2和（A）成立，则为极限→∞（Tn-un）=0 w.p.1。上述定理在i.i.d.情况下的定理1中得到了说明和证明。

当{ξn，n时证明仍然成立≥ 1} 是一个遍历平稳序列，因为我们只需要强大数定律和分布函数估计的几乎确定的收敛性。因此，如果{ξn，n，定理2也是正确的≥ 1} 是一个遍历平稳s方程，因此我们得到以下结果。定理4。设{ξn，n≥ 1} 是遍历平稳序列，如果假设1，2，（A）和（B）成立，则为极限→∞Tn=uw.p.1其中u是有限的。从定理4我们可以说，在上述所有一般条件下，^ρbDin（6）证明具有强相合性。同样，我们可以证明我们的估计reρDin（5）在上述非常一般的条件下具有强相合性。4渐近t i c范数Alit在这一节中，我们建立了EρD的渐近正态性。该技术类似于Shorack（1972）和Tsukahara（2014）。为了建立eρD的渐近性质，首先我们需要建立变换核密度估计的一致中心极限定理。我们使用的技术是（Gin\'e和Nickl，2008）。我们引入了某些符号并定义了某些函数来证明我们的结果。设，X。。，Xnbe i.i.d随机变量，具有R上的普通定律P，且Ln=n∑ni=1δx对应的经验测量值。对于任意（非空）集M，l∞（M） 将表示M上有界实值函数H的banach空间，赋范为| | H | M：=supm∈M | H（M）|。拓扑空间S的Borelσ-代数h:R的Wedenote B→R a Borel可测函数和R上的ua Borel测度，我们设置uh：=RRhdu和| h | p，u：=（RR | h | pdu）1/p，1≤ p≤ ∞. Wewrite Lp（R，u）表示所有Borel可测函数的空间h:R→满足| | h | | p时的R th，u<∞.符号λ表示R上的Lebesgue测度。符号ol C（R）表示R上有界实值连续函数的Banach空间，由通常的sup范数| |赋范||∞. 设，α=（α，。

..,αd）是非负整数αi的多指数，集|α|=∑di=1αi，letDα=|α|(x） α···(xd）αd注意α阶偏微分算子。对于任何非负整数s，Cs（R）表示所有有界连续实值函数的Banach空间，这些函数在R上是s次连续可微的，且具有范数| | f | | s，∞=∑0≤|α|≤s | | Dαf||∞.符号BV（R）表示可测函数R 7的空间→有界变差的R，配备总变差范数| | f | | TV=supnn∑i=1 | f（xi）- f（xi）-1） |：n∈ N-∞ < x<···<xn<+∞o、 （9）定义3。内核k:R→ 实数阶R>0的R是一个Lebesgue可积函数，在原点对称，因此rrk（y）dy=1，RRyjk（y）dy=0，对于j=1。。。，{r} ，andRR | y | r | k（y）| dy<∞ 其中，[r]是严格小于r的最大整数。如果带宽序列^bn满足^bn=o（1）为n→∞, 然后给出了变换后的核密度估计量*k=n^bnn∑i=1kF^bn（x）-F^bn（Xi）^bn！（10） 式中，F^bn=n∑ni=1Rt-∞k（x-Xi^bn）dx。条件1：设随机变量X。。，x根据R上的P定律，i.i.d.和dp（x）=P（x）dλ（x）。变量Xiare被视为单位产品概率空间（RN、BRN、PN）的坐标投影。定理5。设条件1小时，假设pis是有界函数，在这种情况下，我们在下面的条件中设置t=0，或者假设p∈Ct（R）对于某些实际t>0。设U是v（R）的有界子集。设k是o阶r=2t+1的核-l对于某些l，0≤ l<2t+1。如果^bn>0，则^b2t+2-LN1/2→ 0作为n→ ∞, 然后√n（Ln*k-P）l∞（U）G，其中G是由U索引的P-布朗桥。中随机元素定律的收敛性l∞（U）如Dudley（2014）所定义（见第94页），并表示为l∞（U）。证明：证明见附录。备注2。